Tema 2: Operaciones de constitución de capital

Operaciones de constitución de capital
Tema 2
Resumen
1.
Planteamiento general
Consideremos una estructura de tipo de interés fijada (i0,1 , i1,2 , . . . , in,n−1 ).
una operación de constitución viene caracterizada por dos flujos de capitales
financieros
C = (C0 , . . . , Cn−1 , 0)
C0 = (0, 0, . . . , Cn0 )
esto quiere decir que tenemos una serie de imposiciones C0 , . . . , Cn−1 con el
objetivo de lograr un capital Cn0 en una fecha de vencimiento dada. En primer
lugar se ha de cumplir por el principio de equivalencia financiera que
Cn0 =
n−1
X
(1 + is,n )Cs ,
(1)
s=0
En este tema emplearemos la reserva matemática por la izquierda, definida
como,
Rp+ :=
p
X
(1 + is,p+1 )Cs para 0 ≤ p ≤ n − 1,
(2)
s=0
para representar la cuantı́a del capital total constituido en la operación en la
fecha p. Observese que
R(n−1)+ =
n−1
X
(1 + is,n )Cs = Cn0
s=0
1
(3)
y
R0+ = (1 + i0,1 )C0 .
(4)
En este caso Rp+ representa el capital constituido antes de la imposición que
se realizará en p + 1. Tambien se puede denotar como R(p+1)− .
Empleando la notación introducida en el tema anterior,
Rp+1 = Rp+ + Cp para 0 ≤ p ≤ n − 1.
(5)
En este tema necesitaremos tener claros los siguientes conceptos
Cuantı́a de los términos constitutivos prepagables
C0 , C1 , . . . , Cn−1 .
Cuantı́a del capital total constituido Rp+ .
Cuotas de constitución
∆p = Rp+ − R(p−1)+
que miden la variación del capital constituido entre dos imposiciones
consecutivas,
Cuotas de interés
Ip = ∆p − Cp .
Cuantı́a del capital pendiente de constituir
mp = Cn0 − Rp+ .
1.1.
Cuotas de constitución y de interés
Recordemos que la cuantı́a del capital total constituido por la imposición
de capitales anteriores a la imposición en la fecha p + 1, viene dada por al
expresión
Rp+ =
p
X
(1 + is,p+1 )Cs para 0 ≤ p ≤ n − 1.
s=0
2
(6)
Entonces para calcular las cuotas de interés necesitamos calcular
Rp+ − R(p−1)+ =
p
X
(1 + is,p+1 )Cs −
p−1
X
(1 + is,p )Cs
s=0
s=0
p−1
p
X
X
(1 + is,p )Cs
(1 + is,p )Cs −
= (1 + ip,p+1 )
s=0
s=0
= (1 + ip,p+1 )Cp + (1 + ip,p+1 )
p−1
X
(1 + is,p )Cs −
s=0
p−1
X
(1 + is,p )Cs
s=0
= (1 + ip,p+1 )Cp + (1 + ip,p+1 )R(p−1)+ − R(p−1)+
= (1 + ip,p+1 )Cp + ip,p+1 R(p−1)+ .
Podemos entonces concluir que la cuantı́a del capital total constituido se
puede expresar como
Rp+ = (1 + ip,p+1 ) Cp + R(p−1)+ para 1 ≤ p ≤ n − 1.
(7)
En consecuencia, obtenemos que las cuotas de constitución son
∆p = Cp + ip,p+1 (Cp + R(p−1)+ ) para 1 ≤ p ≤ n − 1,
(8)
Rp+ = R(p−1)+ + ∆p para 1 ≤ p ≤ n − 1.
(9)
donde
Procediendo inductivamente, obtenemos
Rp+ =
p
X
∆s , para 0 ≤ p ≤ n − 1.
(10)
s=0
Finalmente, se definen las cuotas de interés mediante la expresión
Ip := ip,p+1 (Cp + R(p−1)+ ) para 1 ≤ p ≤ n − 1.
(11)
esta recoge el intereses generados por el capital Cp + R(p−1)+ entre p y p + 1.
Luego
∆p = Cp + Ip para 0 ≤ p ≤ n − 1.
3
(12)
1.2.
Capital total constituido y pendiente de constituir
La reserva
Rp+ =
p
X
∆s , para 0 ≤ p ≤ n − 1.
(13)
s=0
coincide con el capital total constituido hasta p con 1 ≤ p ≤ n − 1. Definimos
entonces el capital pendiente de constituir para 0 ≤ p ≤ n como
m0 := Cn0
y
mp := Cn0 − R(p−1)+ para 1 ≤ p ≤ n.
(14)
Recordemos que Cn0 = R(n−1)+ , entonces
mp = R(n−1)+ − R(p−1)+ =
n−1
X
s=0
∆s −
p−1
X
∆s =
s=0
n−1
X
∆s .
s=p
Luego
mp =
n−1
X
∆s para 1 ≤ p ≤ n − 1.
(15)
s=p
1.3.
Otras expresiones equivalentes
Empleando el principio de equivalencia financiera obtenemos que
Vp =
p
X
s=0
(1 + is,p )Cs +
n−1
X
Cs
Cn0
=
= Vp0
(1
+
i
)
(1
+
i
)
p,s
p,n
s=p+1
se cumple para 0 ≤ p ≤ n − 2. Esto implica que la igualdad
p
X
n−1
X
Cn0
Cs
(1 + is,p )Cs =
−
.
(1 + ip,n ) s=p+1 (1 + ip,s )
s=0
(16)
se cumple para todo 0 ≤ p ≤ n − 2. Multiplicando en ambos términos por
(1 + ip,p+1 ) obtenemos
p
X
n−1
X
Cn0
Cs
(1 + is,p+1 )Cs = (1 + ip,p+1 )
− (1 + ip,p+1 )
,
(1 + ip,n )
(1 + ip,s )
s=0
s=p+1
4
esto es,
Rp+ = (1 + ip,p+1 )
n−1
X
Cn0
Cs
−
(1 + ip,n ) s=p+1 (1 + ip,s )
!
= (1 + ip,p+1 )Rp ,
(17)
para todo 1 ≤ p ≤ n − 2.
2.
Un caso simple
Consideremos el caso (i0,1 = i, i1,2 = i, . . . , in,n−1 = i). donde
C = (C, . . . , C, 0)
C0 = (0, 0, . . . , C 0 )
Entonces
0
C =
n
X
(1 + i)s C = R(n−1)+ .
(18)
s=1
Recordemos que
R(n−1)+ =
n
X
∆s ,
s=0
luego las cuotas de interés son:
∆p = (1 + i)p+1 C para 0 ≤ p ≤ n − 1.
(19)
El capital constituido hasta p es entonces
Rp+ = R(p−1)+ + (1 + i)p+1 C para 1 ≤ p ≤ n − 1.
con R0+ = ∆0 = (1 + i)C. Las cuotas de interés son entonces
Ip = i C + R(p−1)+ para 1 ≤ p ≤ n − 1.
(20)
(21)
Finalmente, el capital pendiente de constitución es:
mp = C 0 − Rp+ = R(n−1)+ − Rp+ para 0 ≤ p ≤ n − 2.
(22)
En consecuencia podemos calcular todas estas cantidades de forma recursiva empleando el Algoritmo 1:
5
Algorithm 1 Cálculo de los valores de la tabla de constitución
1: Datos (i, C)
2: m0 ← 0,
3: mn ← C,
4: Almacenamos δ ← 1 + i
5: R0+ = ∆0 ← Cδ
6: I0 ← ∆0 − C,
7: for p = 1, 2, . . . , n − 1 do
8:
∆p ← Cδ p+1 ,
9:
Rp+ ← R(p−1)+ + ∆p ,
10:
Ip ← ∆p − C,
11: end for
12: C 0 ← R(n−1)+ ,
13: for p = 1, . . . , n − 2 do
14:
mp ← C 0 − Rp+ ,
15: end for
Problema 2.1 Construir el cuadro de constitución de la siguiente operación:
1. Capital a constituir: 20.000,00 euros
2. Fecha en la que ha de estar constituido: 01/01/10
3. Aportaciones trimestrales constantes que se efectuarán en las siguientes
fechas: 01/01/09;01/04/09;01/07/09 y el 01/10/09.
4. Tipo de interés del 4 % anual, liquidaciones trimestrales de intereses.
Los datos que nos facilita el ejemplo son C 0 = 20.000, 00 y i = 0.04/4 =
0.01. Entonces δ = 1.01. En este caso se cumple
0
C = R3+ =
4
X
(1 + i)s C
s=1
Recordemos que
n
X
s=1
(1 + i)s =
n
X
δ s (tomando δ = 1 + i)
=
s=1
δ − δ n+1
1−δ
entonces
C 0 = R3+ =
4
X
δ − δ5
(1 + i)s C = C ·
1−δ
s=1
6
(23)
despejando C obtenemos
C = C0 ·
1−δ
1 − 1.01
= 20000 ·
= 4876.85.
5
δ−δ
1.01 − 1.015
La tabla de constitución, calculados los valores empleando el Algoritmo 1, se
escribe entonces del modo siguiente:
Fechas
01/01/09
01/04/09
01/07/09
01/10/09
01/01/10
Cp
C0
C1
C2
C3
C40
∆p
= 4876.85
= 4876.85
= 4876.85
= 4876.85
= 20000
∆0
∆1
∆2
∆3
Rp+
= 4925.62
= 4974.88
= 5024.63
= 5074.87
7
R0+
R1+
R2+
R3+
Ip
= 4925.62
= 9900.50
= 14925.13
= 20000
I0
I1
I2
I3
mp
m0
= 48.78 m1
= 98.02 m2
= 147.77 m3
= 198.02 m4
= 20000
= 15074.38
= 10099.50
= 5074.87
=0