Análisis de robustez del test F al faliar algunas de las hipótesis que

ESTAOISTICA ESPAÑO^A
Núm. 88, 1980, p^gs. 115 a 128
Análisis de robustez del test F al faliar algunas
de las hipótesis que permiten la inferencia en el
modelo lineal
por JAVIER CALATRAVA REQUEI^fA
INIA GRIDA-10, Cárdoba
por RAFAELA DlOS PA^OMARES
ETSIA ( Unlversidad de Córdoba)
RESUMEN
El objeto del presente trabajo es el de analizar la robustez del test F al
fallar algunas de las hipótesis que permiten la inferencia en el modelo
iineal.
Se han estudiado los efectos, sobre los resultados del test, del fallo de
la no-norrnalidad ^(distribuciones uniformes) y de la homogeneidad de las
varian^as, considerando, asimismo, otras variaciones en la naturaleza del
conjunto de datos experimentales. Para ello se han utilizado técnicas Montecarlo de Simulación, obteniendo conclusiones sobre el grado de «sensitividad^ del test F en los casos considerados.
Asimismo, se exponen algunas ideas tendentes a señalar futuras lineas
de investigación sobre el tema.
Palabras clave: Test F, robustez, hipótesis modelo lineal.
EI análisis de robustez de estimadores puntuales, o de tests estadísticos, al fallar una
o varias de las hipótesis realizadas sobre el modelo, ha sido, durante mucho tiempo,
uno de los problemas rnás interesantes con los que han debido enfrentarse estadísticos y
matemáticos en cuanto a su solución teórica, y experimentadores en todos los campos
^ IÓ
ESTADISTICA ESPAÑULA
científicos (fundamentalmente en el agro-biológico), por lo que a las consecuencias
prácticas del no cumplimiento de hipótesis se refiere.
Las técnicas Montecarlo, basadas en la generación de números pseudoaleatorios,
que permiten simular series de valores provenientes de variables aleatorias con determinadas distribuciones de frecuencia, han solucionado el problema de forma bastante
satisfactoria.
Ya en 1931, PEARSON, plantea el dilema de la resolución del Analisis de la Varianza
en el posible caso de observaciones que no provengan de una ley aleatoria normal. Más
tarde, DAVtD y JoHNSOtv (1951) analizan la función de potencia del test F en dicho caso,
intentando así resalver el problema planteado por PEARSOtv (1931), siendo dicho tipo de
análisis Ileva,do a cabo posteriormente por SRtvASTAVA (1958) para el test de Student.
Respecto a la hipótes is de homogeneidad de las varianzas, la respuesta del test F a
su no cumplimiento fue analizada por HoRSivELL (1953) y posteriormente, empleando ya
técnicas de muestreo simulado, por BRADLEY (19f^4). Dicho irab^jo de BRADLEY, junto
con el llevado a cabo por el mismo autor en 19á3 (ver referencias), relativo a la
robustez de tests paramétricos de tipo general referentes a una muestra, forman el
primer análisis global existente sobre la robustez de los distintos tests estadísticos. En
BRADLEY (1964) se desarrolla el método comúnmente empleado de transformación de
datas en experimentación para corregir la heterogeneidad de varianzas.
1Viás recientemente, y empleando ya de forma sistemática técnicas Montecarlo con
,^eneración de números pseudoaleatorios, se han realizado algunos estudios sobre robustez de estimaciones y contrastes, tratando varios de ellos el test F de forma siempre
p^areial, dada la dificultad de asumir en un salo estudio ei no cumplimiento de todo el
cor>junto de hipótesis del rnodela lineal y los efeetos de interaccián de dicho incumplimiento de hipótesis. De los distintos trab^,jos, ser3alaremos aqui, como bastante gen^rico, el llevado a cabo por poNAL.soN (19á6 y 1968} quien, empleando técnicas Montecarlo, analiza el comportamiento del test F respecto a la no-normalidad de las observaciones, simulando observa^ciones «artificiales» provenientes de distribuciones exponenciales y lognormales, considerando asimismo el caso de no homogeneidad de las varianzas, y estudiando la relacián entre dicho comportarniento y la correlación existente
entre el numera,dor y el denominador del ratio F, aspecto que, habiendo sido apuntado
por PEARSON (1931) en el primer estudio sobre robustez de tests estadísticos, ya citado,
había venido siendo ignorado en la literatura estadística.
La existencia de diversos trab^os de Simulación, tendentes al análisis de la robustez
del test F, no sólo no invalida el interés de posteriores estudios, sino que 1o incrernenta,
pues como se desprende de los traba^jos de BRAI3LEY (19ó3 y 1964), y se explicita
concretamente en ei de DorrALSON (1968), es muy arriesgado generalizar a partir de los
R08USTEZ DEL TEST F' AL FALLAR ALGCINAS NIPOTES1S
I^7
resultados de unos estudios realizados con unos tipos determinadas de distribucianes y
b^jo un conjunto prefyado de condiciones experimentales, y será necesaria el realizar
análisis específicos para cada caso particular.
Basado en esta necesidad, el presente trabajo trata de estudiar la eficacia del test F
considerando el fallo simultáneo de distintas hipótesis del madelo lineal, y baja diferentes condiciones.
La idea inicial con la que se comenzó este análisis fue, exclusivamente, la de
estudiar dicha eficacia b^o la na-normalidad de las observaciones expresada en valores
extremos de la Kurtosis de las distribuciones (de Uniforme a Doble expanencial).
Posteriarmente, al añadir nuevas variantes al problema, se restringió, por operatividad,
el estudio del efecto de la no-normalidad sólo para valores bajos de la Kurtosis
(uniforme), dejando para una segunda parte de este estudio la realización de un análisis
similar para valores elevados (doble exponencial).
Las condiciones en las que se realiza el presente análisis pueden resumirse como
sigue:
a) Hipótesis nula de igualdad de medias verdadera o falsa, alternativamente, considerando diferentes valores de las mismas en el primer caso.
b) En los casos de hipótesis nula falsa, se han considerado diversas diferencias
entre medias.
c}
Igualdad o desigualdad de las varianzas.
d) En el caso de desigualdad de varianzas y medias se han considerad^ varianzas
inversa y directamente proporcionales a las medias.
e)
Diferentes coeficientes de variación.
,f) Uniformidad o normalidad en la distribucián de las observaciones y errores
experimentales, dejando para un traba^jo posterior, comca se ha indicado, la cansideración
del contraste normaJ-doble expanencial.
Para llevar a cabo el análisis se han generado, en principio, 1G0 veces tres muestras
de 10 elementos provenientes de distribuciones normales y uniformes, con medias
iguales entre sí e iguales sucesivamente a 12, 12,5, 13, 13,5, 14, I4,5, 15, y con
desviaciones típicas iguales entre sí, e iguales sucesivamente a cr = 5, 10 y 15 por 100
de las medias.
La variable retenida ha sido el número de veces, de entre las 100 repeticiones de
la experiencia, que el test F ha dado signiticación de diferencia entre medias, para
« = 0,01 y 0,05, respectivamente.
1IS
ESTAU^STIC:A ESPAIYOLA
L,c^s resultados pueden verse en la tabla [, donde en la parte superior de cada celda
se encuentra el valor correspondiente a^c = O,OI y en la inferior a^c = 0,05.
Se ha repetido después todo lo anterior, pero considerando además desviaciones
4
2
tlpicas desiguales en cada generación, siendo a, ^ a y 3 a, respectivamente,
y los resultados obtenidos se expresan en la tabla II.
Del análisis de ambas tablas se sigue que las diferencias entre los valores de ^c
admitidos (U,O1 y O,OS) y los simulados, son debidas exctusivamente al muestreo en
todos los casos, si queremos realizar la inferencia con un 99 por 100 de probabilidad, y
en casi todos, si sólo exigimos el 95 por t00 (en las tablas I y li se indica ccan un
asterisco aquellos valores que difieren significativamente para 9S por l00 de su correspondiente teórico). Como puede verse, sólo en un caso dicha diferencia aparece en el
par de valores obtenidos, correspondiendo a µ= 13,5, varianzas iguales y distribución
nvrmal.
TABLA 1
RESPUESTAS SIMULADAS DEL TEST F PARA MEDíAS Y VARIANZAS IGUALES Y
OBSERVACIONES NORMALES Y UNiFORMES, CONSIDERANDfJ
DISTINTOS VALORES DE µ Y CV =^
µ
(^c = 0,01 y 0,05 en la parte superior e inferior de cada casilla, respectivamente}
Tipc^ de
distribución
NORMALES
UNIFORMES
CV
CV
CV
CV
CV
CV
l S°^0
1 O%O
S %
1 S%O
1 O%
S%
o
0
o
a
a
3
S
S
S
3
4
8
1 Z,S
0
S
1
8
1
S
0
S
2
4
2
4
13
1
8
1
4
1
S
0
3
1
S
1
S
13.5
1
4
4*
10*
0
S
1
4
l
?
i
7
4*
10
0
S
0
3
0
3
2
7
2
7
14.5
0
S
0
S
0
S
0
3
2
4
2
4
1S
1
S
2
6
1
4
2
8
0
S
1
S
Valores de N
I^
14
119
ROBUSTEZ DE[. TEST F Al. F,ALLAR ALCUNAS HIPOTESIS
TweLw II
RESPUESTAS SIMULADAS DEL TEST F PARA MEDIAS IGUALES Y VARIAN2AS
DIFERENTES CON O$SERVACIONES NORMALES Y L,INIFORMES, CONSIDERANDO
DISTINTOS VALORES DE N Y CV = a
u
(ac = 0,01 y O,OS en la parte superíor e inferior de cada casilla, respectivamente)
Tipa de
distr^bucibn
NORMALES
UNIFORMES
CV
CV
CV
CV
i S%
10 %
S%
1 S °Ja
CV
10 %o'
S%a
12
2
9
1
S
1
4
4
^9
2
9
1
4
12,50
2
9
1
S
1
ó
2
6
1
4
1
4
13
1
S
S
9
1
S
3
9
2
S
2
S
13,50
S*
9
1
1
0
S
0
b
0
2
0
2
14
1
1
Z
9
0
3
4*
9
2
S
2
S
14,50
2
9
0
3
2
9
4*
9
3
10*
3
6
1S
1
S
0
4
1
8
2
?
1
4
2
9
Valores de N
CV _
La simple observación de la posición que ocupa dicho caso en las tablas, asY como el
hecho de que cumple las hipótesis, nos indica que se trata de un fenómeno de azar,
encontrándonos en el S por 100 de los casos que escapan a la inferencia.
Puede afirmarse que el test F es muy «robusto^, cuando la hipótesis nula es cierta,
aunque se trate de distribuciones uniformes con b^ja Kurtosis, las varianzas sean
distintas y cambien sensiblemente los coeficientes de variación de las distribuciones
para distintos valores de µ{esta afirmación es válida para muestras de tamaño n= 10, o
valores aproximados).
Para valores sensiblemente inferiores a l0 (n = 4) se han simulado al azar alguno de
los casos estudiados y la robustez del test permanece, en general, si bien habña que
repetir todo el análisis para los distintos valores de n para poder inferir al respecto con
cierto rigor. Evidentemente, para n> 10 la robustez del test debe en principio afirmarse .
ESTADISTICA ESPAÑOL,^ ^
Para analizar fa robustez en el caso de hipótesis alternativa cierta [caso mucho
menos estudiado que el anterior como afirma DoNALSON (19b8)), se han realizado l00
^enerawciones de tres scries de I O observaciones con mcdias 1 S ± 1^µ , siendo eµ ,
respectivamente, 4.5, 1, 1,5, 2, 2,5 y 3, correspondiente en porcent^je de 1S a 3,33,
6,b6, 10, í3,33, 16,66 y 20, respectivamente, Las generaciones se han realizado simulando distribuciones normales y uniformes alternativamente. Repitiendo las anteriores
variantes se han considerado, asimismo, tres casos distintos, a saber:
a}
Heterogeneidad de las varianzas, ordinalmente proporcionales de forma directa
a las medias: Desviaciones tipicas iguales a c^", ^ a" y? cs"' en cadageneración, orde3
3
nadas proporcionalmente al valor de las medias ( los cs' son distintos al ser distintas las
medias).
Heterogeneidad de las varianzas, ordinalmente proporcionales de forma inversa a
4
2
las medias: I3esviaciones típicas igual a a', ^ a", 3 a"' en cada generación, ordenab)
das inversarnente al valor de ías medias.
c) Homogeneidad de las varianzas. Desviación típica c^ = porcentaje correspondiente del CV aplicado a l5 (media de las tres medias).
^ En los tres casos se han considerado las tres variaciones en las desviaciones típicas
respectivamente a= S, 10 y IS por l00 de sus medias correspondientes en cada caso.
Los resultados pueden verse en las tablas 1 II, I V y V, donde, como anteriormente,
la variable retenida ha sido el número de veces que el test ha detectado diferencia
significativa para x= 0,01 y x= 0,05 ( parte superior e inferior de cada casilla}.
Vemos que los factores que fundamentalmente afectan los resultados son, lógicamente, los valores de aµ (separación entre medias} y CV (coeficiente de variación). No
siendo significativamente diferentes los resultados obtenidos generando normales o
uniformes, ni apreciándose efecto por el hecho de ser la heterogeneidad de las varianzas
directa o inversamente proporcional a las medias, existiendo diferencia entre ambos
casos y los resultados obtenidos en el caso de varianzas homogéneas, en el que, a
igualdad de otras condiciones, el test es mucho más potente que en los dos casos de
heterogeneidad considerados.
En las bguras I, II y IIi se han representado para x= 0,01 las curvas de potencia
del test respecto a la separación entre medias expresada en porcentaje de la media que
hemos considerado base (µ„ = l S) para la operatividad de las simulaciones.
Vemos que el test es más patente para mayor separación entre medias y menor
coeficiente de variación, y que la diferencia de resultados, entre el caso de homogenei-
Rnfl USTEZ DEL TEST F AL FALLAR ALGUNAS H tPOTESIS
121
TABLA iii
RESPUESTAS SIMULADAS DEL TEST F PARA HIPOTESIS ALTERNATIVA
CIERTA; HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS Y OBSERVACIONES NORMALES
Y UNIFORMES, COi^SIDERANDO DISTINTOS VAL(3RES I3E ^µ Y CV =^
µ
(
= 0,01 y O,OS en la pnrte superior e inferior de cada casilla, respectivarnente)
Tipo de
distribucisn
Valures de Oµ
NORMALES
UNIF©1tMES
CV
CV
CV
CV
CV
CV
IS%
10%-
S%
1S^lo
10%
S%
± O,S
1
7
?
24
27
S6
6
íS
18
30
37
S1
^- l,0
11
25
S3
77
94
99
l0
19
47
67
91
100
± l, S
20
37
94
99
í 00
100
1S
43
94
97
100
100
± 2,0
58
78
10^0
l00
í00
100
41
?3
100
100
i00
100
± 2,5
8^0
96
100
100
100
100
73
92
100
100
100
100
^ 3,0
96
97
100
100
100
l00
94
99
100
100
100
100
dad y heterogeneidad de las varianzas, aparece patente para pequeñas diferencias entre
medias, y pequeños coefcientes de variación.
Así por ejemplo:
Para oµ = 1,5, ^100
e
µ
= 10 ). La potencia del test es según las casos;
Distribución
CV
Humugeneidad
Heterogeneidad
directa
H.
^nversa
Normal . . . . , . . . . .
S%
10 °,^0
1 S °l0
1,00
0,94
0,20
1,00
0,94
0,1 S
0.8#3
0,41
0,10
0,85
0,33
0,07
0.85
U,46
0,05
0,91
0,4b
0,09
Uniforme .......
,^0
S ^
10 %
l S °Io
Para valores menores de Aµ las diferen^ias entre valores del CV y homogeneidadheterogeneidad se agrandan y para valores mayores desaparecen.
122
E STADISTICA ESPAI^OL,A
TAH^A IV
RESFUESTAS SIMULADAS DEL TEST F PARA HIPOTESIS ALTERNATIVA
CIERTA. HETEROGENEIDtAD DIRECTA DE VARIANZAS Y OBSERVACIONES
NORMALES Y UNIFORI^^^ES, CONSIDERANDO DISTINTOS VALORES DE
a
^u Y CV = -N
(x - O,OI y O,OS en !a parte superior e inferior de cada casilla, respectivamenie)
^1'ip° dc
distribución
UNIFORMES
NORMALES
cv
Iv %
cv
s ^o
5
I1
2
15
7
18
4b
73
10
22
11
35
43
73
41
63
8K
99
7
21
33
ó2
85
98
8
25
75
9Q
100
1()í}
13
35
82
94
100
100
^ 2,S
28
49
89
l00
100
l00
25
48
97
100
100
100
± 3, U
39
7U
104
l00
l 00
l00
49
66
100
100
100
l0U
cv
^o %
cv
s ^^
2
6
5
l4
11
25
*^ 1,0
S
ló
22
31
± 1,5
10
24
-*- 2,0
va^f^^ d^ dµ
cv
is ^o
^- 0,5
cv
rs ^a
Resumienda las conclusiones:
l. Si la hipótesis nula es cierta, el test es muy robusto frente a la consideración de
no-normalidad (uniformidad de las distribuciones) o de heterogeneidad de las varianzas,
independientemente de la dimensión de las medias y su coeficierite de variación.
2. Si la hip©tesis alternativa es cierta, la potencia del test se ve afectada por la
diferencia entre medias, el coeficiente de variación y la heterogeneidad de varianzas,
pero no por la uniformidad de las distribuciones.
E1 test es muy robusto para ,grandes diferencias entre medias y pequeños coefícientes de variacián.
Se da la círcunstancia que, cumpliéndose las hipótesis, el test falla frecuentemente
para valores del coeficiente de variación grandes (10 por lOQ de la media). Asimismo,
para diferencias de medias de1 orden del 6 por 100, o inferiores, el test falla con
frecuencia en cualquier caso. Esto nos parece enormemente importante en el momento
de utilizacián práctica del test en experimentacián.
123
ROBUSTEZ DEL. TEST F AL FALLAR ALGUNAS NlP'OTESIS
TwBLA V
RESPUESTAS SIMULADAS DEL TEST F PARA HIFOTESIS ALTERNATIVA
CIERTA: HETEROGENEIDAD INVERSA DE VARIANZA Y OBSERVACIONES
NORMALES Y UNIFiC)RMES, CONSIDERANDO DISTINTOS VALORES DE
AµYCV= ^
µ
(a = 0,01 y O,OS en la po^rte superior e inferior de cada casilla, respectivamente)
Tipo de
Distnbución
V alore s de Aµ
UNIFORMES
NORMALES
CV
15°/'0
CV
l0%
CV
S%
CV
1S%
CV
10%
CV
S°^o
±0,5
1
8
6
12
10
19
4
12
8
12
9
22
± 1,0
S
1S
12
29
44
67
1
9
9
21
33
ó9
± 1,S
5
23
4b
68
8S
96
9
23
4b
70
91
99
± 2,0
1S
29
78
92
98
99
2S
44
79
95
100
100
± 2,5
21
43
95
100
100
100
23
48
97
1{IO
100
100
± 3,0
34
b0
99
99
100
100
44
b3
99
100
100
100
A la vista de los resultados anteriores, consideramos interesante como lineas de
investigación sobre el tema: la realizacibn del análisis anteri©r para distintos valores de
las muestras, y el estudio de la no-normalidad hacia valores elevados de la Kurtosis en
la distribución de las observaciones (doble exponencial). Esto nos proporcionará un
espectro bastante completo de su robustez.
Para la generación de variables aleatorias y realización sucesiva del test se ha
preparado un programa en BASIC para el microordenador H-F 9830 A del Centro de
Cálculo de la E. T. S. I. A. de la Universidad de Córdoba.
Para la generación de
variables uniformes se ha utilizado una subrutina congruencial multiplicativa anexa al
i= 12
sistema, y para las normales, la subruiina ^ U(0, t)- 6 para la N(0,1), siendo por tanta
;_ ^
;=^z
un valor de la N (µ, a) = a ^ V(0, l} - 6 + µ.
i= 1
ESTADISTICA ESPAÑULA
0. 9 ^
0.8 ^
0.7 -^
0,6 ,.^
0.5 -^
0. 4 -^
0.3 ^
0.2 -1
0.^ -^
- T-
^o
Figura I
'
en e! caso de heterogeneidad directa de
^µ
N
varianuts.
N-n = Curva cornespondient^e a distribuciones normales con coeficiente de variación n por cien.
U-n = Idem para distribuciones uniformes.
Curva de potencia del test respecto a 1 U!)
RC}^USTEZ DEL TEST F AL FALLAR ALCiUNAS HIPOTES^S
Í.0
0.9
o.a
o.s
0.5
0.4
0,3
0.2
0.1
_ ^._
-1
10
20
Figura 2
Curva de pr^tencia del test respecto a
en el caso de homogeneidad de varianzas
^^`µ
µ
varian zas
11U0
N-n = Curva corr+esponáicntc a distríb^uciones normalas con coeficiente de variación n por cien.
U-n = Idem para distribuciones uniformes.
126
ESTADiSTFCA ESPAÑOGA
1.0 ^
0.9 -^
0. 8 ~
0.? -^^
0.6 ^
0.5 -^^
0.4 ^
0.3 -^
0.2 ^
0.1-
Figura 3
Curva de potencia del test respecto a 10^0
^µ
µ
en et caso de homogeneidad de varianzas
N-n = Curva correspondiente a distribuci©nes normales con co+eticiente de variacitín n por cien.
U-n = Idem p^ara distribuciones un^formes.
RO^B USTEZ DEL TEST F AL FALLAR ALGUNAS NIPOTESIS
127
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pp. 421-430 (1958).
SUMMARY
The aim of the present work is to anatyse the robustness of the F-test when sorne of
t ^e hipotheses for inference are not true.
The effects of departure from the hypotheses
of normally distributed ta uniforrn populations, and equal to unequal variances, are
studied, considering some variations in the nature of the set of experimental data.
For doing the analysis, Montecarlo Simulation Thechniques has been used.
Conclusions have been taken related with the «insensitivity» of the test investigated
to the underlying assumptions and variations.
Finally, some ideas concerning future research on the field have been commented.
Key wurds: F, test, robustness, linear model assumptions.
AMS. 1970. Subject classification: GOE05.