Anexo 2: Análisis de Sensibilidad en Programación Entera Archivo

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Introducción
El análisis de sensabilidad o de postoptimalidad
busca determinar rangos característicos en donde
la solución óptima no cambia.
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Determinar el rango característico frente a
cambios en: los coeficientes de los costos, del
lado derecho, de la matriz de restricciones; así
como en el agregado y eliminación de variables.
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La Programación Paramétrica brinda una forma
de analizar las diferentes soluciones en función
de los parámetros. Los casos más comunes son
cambios en coeficientes de costos y RHS.
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Introducción
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LP paramétrico en los costos:
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LP paramétrico en el lado derecho (RHS):
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Se pueden determinar los rangos
característicos de la función z(θ), empleando el
algoritmo simplex en caso de los costos y el
simplex-dual en el caso del RHS.
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Introducción
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Las definiciones de problemas paramétricos de
PL se pueden extender al caso con variables
enteras.
Observación: En el caso de los costos, el
problema paramétrico entero P es equivalente
al problema paramétrico lineal en conv(P) y la
función z(θ) se puede estudiar entonces de
forma análoga.
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Análisis de Sensibilidad en PLE
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El análisis de sensibilidad en el caso de
problemas de optimización lineal con variables
enteras es más difícil de realizar debido
fundamentalmente a la falta de continuidad
ante cambios en los valores de los parámetros.
Ejemplo desalentador: A diferencia del caso
con variables continuas, las soluciones óptimas
de instancias "vecinas" de problemas enteros,
pueden ser muy diferentes, como se puede
observar en instancias similares del Problema
de la Mochila.
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Análisis de Sensibilidad en PLE
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Sea el siguiente problema (a,c,I,K):
Sea una instancia con
y
para algún
. La solución óptima con un
RHS = K será
, mientras que en el caso
de un RHS = (K – 1) quedara determinada por
los
con
.
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Análisis de Sensibilidad en PLE*
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Existen casos sencillos de cambios en los
coeficientes donde se preserva la optimalidad de
la solución.
Proposición 2.2: Sea x* una sol. óptima de una
relajación (R) de (P), con la misma función
objetivo que (P). Si x* es factible en (P), entonces
es óptima en (P).
* Tomado de: A.M. Geoffrion & R. Nauss (1977): Parametric and Postoptimality Analysis in
Integer Linear Programming, Management Science 23(5), 453-466 (exceptional paper).
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Análisis de Sensibilidad en PLE
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Corolario 2.2.1: Sea A' ≤ A con A'x* ≥ b, entonces
x* permance óptima en (P) con A' en lugar de A.
Corolario 2.2.2: Sea b' con Ax* ≥ b' ≥ b, entonces
x* permance óptima en (P) con b' en lugar de b.
Corolario 2.2.3: Sea cj' con cj' ≥ cj, para todo j con
xj* = 0 y cj' = cj en otro caso. Entonces x*
permance óptima en (P) con c' en lugar de c.
Corolario 2.2.4: Sea cj' con cj' ≤ cj, para todo j con
xj* = uj si existe restricción xj ≤ uj, y cj' = cj en otro
caso. Entonces x* permance óptima en (P) con c'
en lugar de c.
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Análisis de Sensibilidad en PLE
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Proposición 2.3: Sea xj en {0,1} con xj* = 1 y
z(P|xj = 0) = z(P) + ∆j , con ∆j ≥ 0. Entonces x*
permance óptima en (P) con cj' en lugar de cj si se
cumple que cj ≤ cj' ≤ cj + ∆j.
Pregunta: En el caso de xj* = 0, ¿cuánto puede
disminuir el valor de cj ?
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Bibliografía
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A.M. Geoffrion & R. Nauss (1977): Parametric
and Postoptimality Analysis in Integer Linear
Programming, Management Science 23(5),
453-466 (Exceptional Paper).
L. Jenkins (1990): Parametric Methods In
Integer Linear Programming, Annals of
Operations Research 27(1), 77-96.