Función Logarítmica

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Función Logarítmica
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Función Logarítmica
La función que es inversa de la exponencial
f (x) = bx es la función logarítmica. Introducimos el
vocabulario y la notación que nos permita escribir este
concepto en forma abreviada.
y=
exponente
bx
potencia
base
logb y = x
base
exponente
potencia
Definición: Entonces logb y representa “el exponente” x
para elevar la base b y obtener la potencia y.”
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Función Logarítmica
Ejemplos
(a) log2 (8)= 3, porque 3 es el exponente donde elevas a 2
para tener la potencia 8: 23 = 8
(b) log10(1/10) = –1, porque –1 es el exponente para que
10 se eleva para obtener 1/10: 10-1 = 1/10
(c) log5 1 = 0, porque 0 es el exponente donde elevas 5
para obtener la potencia 1: 50 = 1
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Función Logarítmica
Usando notación algebraica, sea y = f (x). Entonces
y = logb x
es equivalente a
x = by
Llamamos a la ecuación
y = logbx la forma logarítmica y la
ecuación equivalente
x = by
es la forma exponencial.
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Función Logarítmica
La Tabla 1 muestra algunos ejemplos.
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Funciones Logarítmicas
Resumimos:
1. Por la prueba de la línea horizontal, f (x) = bx
es uno-a-uno y tiene una inversa. Esta función inversa
escribe
f –1(x) = logb x
que representa el exponente para el cual la base b
genera la potencia x.
2. En notación algebraica, logb P = n means that P = bn.
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Función Logarítmica
Recuerda que la función exponencial f definida por f (x) =
bx es uno-a -uno. Se ve al aplicar la prueba de la línea
horizontal.
La funcion exponencial y = bx es uno-a-uno.
Figura 1
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Gráfica de función Logarítmica
Conociendo la gráfica de la función exponencial y = bx , y
que la función logarítmica es su inversa y = logb x,
(intercambia los nombres x  y), se obtiene la gráfica
simétrica a la identidad: y = x. La gráfica con b > 1 se
muestra.
Figure 2
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Función Logarítmica
Se observa que la función logarítmica y = logb x en la
Figura 3: siempre crece pero muy lentamente.
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Función Logarítmica
Considere y = log2 x, por ejemplo. Entonces ¿para qué
valor de x el valor de la curva alcanza la altura de y = 10?
Figure 4
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Función Logarítmica
Contestar esta pregunta es resolver la ecuación
logarítmica, sustituyendo y = 10 en la ecuación y = log2 x:
10 = log2 x
La forma exponencial de la ecuación anterior es:
x = 210 = 1024
Se concluye que hay que pasar de 1000 en el eje de x
antes que y = log2 x alcance una altura de y= 10
unidades.
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Función Logarítmica
Precaución: En la tabla hay unos errores comunes que
surgen al olvidar que logb es el nombre de una función, No
un número.
Errores para evitar:
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Ejemplo para Hallar el Dominio de una Función Logarítmica
Halle el dominio de la función f (x) = log2(12 – 4x).
Solución:
Como se observa, el Dominio (entrada) de la función
logarítmica está restringido a números positivos: D = (0, ).
Figure 3
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Ejemplo 1 – Solución
cont’d
Al Transformar la gráfica se requiere que
12 – 4x se positivo. Por lo tanto,
12 – 4x > 0
–4x > –12
x<3
El dominio de la función f (x) = log2(12 – 4x) es el intérvalo
(– , 3).
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Función Logaritmo Natural
Definición: La notación “ln” se usa para logaritmos de
Base e
ln (x) significa loge (x)
Ejemplo
1. ln e = 1 porque ln e = loge e, es igual a 1, o sea: e1 = e
2. ln(e2) = 2 porque ln(e2) = loge(e2), que es igual a 2:
e2 = e2.
3. ln 1 = 0 porque ln 1 = loge 1= 0, o sea: e0 = 1.
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Ejemplo 2: Gráfica de Transformaciones de ln x
Dibujar las gráficas de las siguientes funciones:
(a) y = ln x;
(b) y = ln (x – 1) – 1.
Solución:
(a) La función y = ln x (= loge x) es la inversa de y = ex.
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Ejemplo 2: Solución
cont’d
La gráfica se obtiene reflejando la gráfica de
y = ex con respecto a la recta identidad y = x.
Figure
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Ejemplo 2 – Solución
cont’d
Detalles de la gráfica: el dominio D = (0, ), el rango
(recorrido) es todo número real: R = (- , ), No hay
simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0
No pertenece al dominio.
Intercepto del eje- x: y = 0 implica 0 = ln x, que en
forma esponencial equivale a: x = e0 = 1. Entonces el
intercepto del eje de-x es (1,0).
La asíntota vertical (A.V.) es x = 0 (el eje de y) porque
la función y = ln x va hacia -  cuando se acerca al eje de
y por la derecha.
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Ejemplo 2 – Solución
cont’d
En la otra esquina, la función y = ln x , crece sin
asíntota (sin cota).
(b) La gráfica de y = ln(x – 1) – 1, es una transformación de
y = ln x , se mueve una unidad en la dirección positiva
(derecha) de x, 1 unidad en dirección negativa (abajo) de
y.
Figure
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Example 2 – Solución
cont’d
Detalles de la gráfica: el dominio D = (1, ), el rango
(recorrido) es todo número real: R = (- , ), No hay
simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0
No pertenece al dominio.
Intercepto del eje de x: y = 0 implica 0 = ln(x – 1) – 1,
resolviendo: ln(x – 1) = 1. En forma exponencial:
x – 1 = e1 . Resuelve para x: x = e1 + 1
Entonces el intercepto de x es e + 1 ( 3.72).
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Ejemplo 2 – Solución
cont’d
La asíntota vertical es x = 1, porque y = ln(x – 1) – 1
la gráfica tiende a -  , cuando x se acerca a 1 por la
derecha.
Este comportamiento no cambia al mover la gráfica 1
unidad hacia abajo..
En la otra esquina, y = ln(x – 1) – 1 crece sin asíntota
(sin cota).
Este comportamiento no cambia al trasladar la gráfica
horizontal o verticalmente.
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