Conceptos básicos, datos cualitativos y datos discretas

1. LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Objetivo
Aprender cómo resumir las caracterı́sticas más
importantes de una muestra de datos.
Bibliografia recomendada
Peña y Romo (1997), Capı́tulos 1 – 5.
Newbold (1997) Capı́tulos 1 – 2.
12
Índice
1.
Introducción: Conceptos fundamentales.
2.
Tablas estadı́sticas. Distribuciones de frecuencia.
3.
Representaciones gráficas.
Diagrama de barras.
Diagrama de sectores.
Diagrama de Pareto.
Histograma y polı́gono de frecuencias.
Diagrama de tallo y hojas.
4.
Estadı́sticos o medidas de centralización.
5.
Estadı́sticos o medidas de variabilidad o dispersión.
6.
Estadı́sticos o medidas de asimetrı́a y curtosis.
7.
Estadı́sticos o medidas robustas. Diagrama de caja.
13
Conceptos fundamentales
Definición 4 La población es el conjunto de
individuos o elementos, que se quiere estudiar.
Ejemplo 6
i) La población de gente en España.
ii) Los donantes de sangre en España.
iii) La población de asientos en el estadio Santiago Bernabeu en el siguiente partido frente
a Barça.
iv) Los diabéticos en Madrid.
Observamos que una población puede ser tanto finita como infinita.
14
Definición 5 El fenómeno o caracterı́stica de
la población que se quiere estudiar se llama
una variable.
Ejemplo 7 Retomando el Ejemplo 6:
i) La edad en años. Posibles valores {0, 1, 2, . . .}
ii) El tipo de sangre. {A, B, AB, O}
iii) La cantidad de dinero pagado para un asiento. [0, ∞)
iv) Nivel de azúcar en la sangre. {alto, mediano, bajo}
15
Tipos de datos
Es posible clasificar distintos tipos de variables.
En primer lugar, se distinguen entre las variables de naturaleza categorica y las variables
de naturaleza numérica.
Definición 6 Una variable cualitativa o atributo es una variable que no aparece en forma
numérica, sino como categorı́as o atributos.
Ejemplo 8 En el Ejemplo 7, el tipo de sangre
o el nivel de azúcar en el cuerpo son variables
cualitativas.
Definición 7 Una variable cuantitativa es una
variable que puede expresarse numéricamente.
Ejemplo 9 En el Ejemplo 7, la edad y el precio
del asiento son variables cuantitativas.
16
Las variables cualitativas se dividen en variables nominales y variables ordinales. Son nominales si las distı́ntas clases no tienen una orden
natural y son ordinales si las categorı́as están
ordenadas.
Ejemplo 10 Volviendo al Ejemplo 7, el tipo
de sangre es una variable nominal y el nivel de
azúcar es ordinal.
Igualmente, se dividen las variables cuantitativas en dos clases: variables discretas y variables continuas. Una variable discreta es una
variable que puede tomar una clase fija de distı́ntos valores. Una variable continua puede tomar
cualquier valor en un rango continuo.
Ejemplo 11 En el Ejemplo 7, la edad es una
variable discreta y el precio del asiento es continua.
17
Cómo resumir una muestra de datos cualitativos
Dada una muestra de datos, se quiere extraer
la información pertinente. Mostrando a alguien
la muestra entera, no van a ser capaces de ver
los rasgos importantes.
Ejemplo 12 Se querı́a estudiar los niveles de
educación de la gente en Getafe y se preguntó a
50 personas sus niveles de estudios ( Sin Estudios, Primario, Secondario, Bachillerato, Universitarios) con los siguientes resultados.
U
S
Si
U
S
B U
U B
P P
U S
B B
S S
B B
P S
B S
S B
P
S
U
S
P
P Si
P S
B B
B B
S B
B B
B B
B S
P S
S B
¿Qué tipo de variable es el nivel de estudios?
18
La tabla de frecuencias
Es muy difı́cil distinguir cúal es el nivel de estudios más tı́pico. Para resumir los datos, en
primer lugar, es conveniente hacer una tabla
de las frecuencias en cada categorı́a.
Ejemplo 13 Volvemos al Ejemplo 12.
Categorı́a Frecuencia absoluta
Si
2
P
8
S
15
B
19
U
6
Total
50
Observamos que se ordena la tabla desde el
nivel de estudios más bajo hasta el nivel más
alto.
19
Se ve que la clase más frecuente es de estudios secondarios. Supongamos que se interesaba por la proporción de gente sin estudios de
secondario.
Se aumenta la tabla con frecuencias relativas
Categorı́a
Frecuencia
absoluta
Si
2
P
8
S
15
B
19
U
6
Total
50
Frecuencia
relativa
0,04
0,16
0,30
0,38
0,12
1
Entonces, un (0,04 + 0,16) × 100 % = 20 %
de la gente en la muestra no tenı́a estudios
secondarios.
20
Cómo construir una tabla de frecuencias
Para una variable con k categorı́as C1, . . . , Ck ,
sea nk el número de observaciones en cada
clase. Entonces se construye la tabla de frecuencias.
Categorı́a
C1
C2
..
Ck
Total
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
n1
f1 = nn1
n2
f2 = nn2
..
..
nk
fk = nnk
n = n1 + n2 + . . . + nk
1
La tabla que presenta las clases o categorı́as
de las variables y sus respectivas frecuencias se
llama la distribución de frecuencias.
21
Ejemplo 14 El Departamento de Estadı́stica
tiene interés en las licenciaturas ( Economı́a,
Economı́a de la Empresa o Estudios Conjuntos)
que cursan los alumnos de Introducción a la
Estadı́stica. Toman una muestra aleatoria de
40 estudiantes con los siguientes resultados.
Ec
C
Ec
C
Ec
Emp
Ec
Ec
Ec
Ec
C
C
Ec
Ec Emp
Ec
C
Emp Emp
C Emp
Ec Emp
Emp
C
Emp Emp
Ec
Emp
Ec
Ec
Emp Emp
Ec
Emp
Ec Emp
Ec
Ec Emp
Esta variable es nominal. Entonces para construir la tabla de frecuencias, el orden no importa. Es normal ordenar las categorias alfabéticamente.
Categorı́a
Frecuencia
absoluta
C
7
Ec
18
Emp
15
Total
40
Frecuencia
relativa
0,175
0,450
0,375
1
22
El diagrama de barras
La gente prefiere ver imagenes que tablas de
números y entonces es útil usar gráficos para
mostrar los datos. El gráfico más importante
para variables cualitativas es el diagrama de
barras.
Ejemplo 15 Construimos un diagrama de barras de los datos del Ejemplo 12 sobre estudios.
23
Diagrama de barras de los niveles de estudios
de los Getafenses
frecuencia
absoluta✻
20
15
10
5
0
Si
P
S
B
U
Clave
Si
P
S
B
U
=
=
=
=
=
Sin Estudios
Primario
Secondario
Bachillerato
Universitarios
24
Es importante observar que como la variable
en este ejemplo es ordinal, es natural ordenar
las barras en el orden de las categorı́as de la
variable desde la más baja (Sin estudios) hasta
la más alta (Universitaria).
Si la variable es nominal, el orden de las barras
no importa tanto. Lo más natural es ordenar
las barras alfabéticamente.
También es posible construir un diagrama de
barras usando frecuencias relativas en lugar de
frecuencias absolutas.
25
Ejemplo 16 Construimos un diagrama de barras para los datos del Ejemplo 14.
Programas de licenciatura de estudiantes de Estadı́stica
frecuencia
relativa
✻
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
C
Ec
Emp
Clave
C =
Ec =
Emp =
Estudios Conjuntos
Economı́a
Economı́a de la Empresa
26
Los rasgos importantes de un diagrama de
barras
Tı́tulo
✛
✻
Etiqueta
Flecha
Espacios entre barras
✗
✕
Frecuencias
✛
✲
Altura ∝ ni
✲
✠

Anchuras iguales

✛ ✲
✐
✻
✶
✛ ✲
✿
✛
Sin Flecha
Etiquetas
Clave
27
Otros gráficos para datos cualitativos
Si se ordenan las categorı́as de más a menos
frecuentes y se dibuja un diagrama de barras
de frecuencias absolutas, añadiendo una linea
para mostrar las frecuencias relativas acumuladas, se tiene un diagrama de Pareto.
Ejemplo 17 Retomamos el Ejemplo anterior.
Ordenamos las categorı́as en términos de frecuencia y calculamos las frecuencias acumuladas.
Categorı́a
Frecuencia
absoluta
Ec
18
Emp
15
C
7
Total
40
Frecuencia Frecuencia
relativa acumulada
0,450
0,450
0,375
0,825
0,175
1
1
—
28
Diagrama de Pareto de programas de licenciatura
frecuencia
cumulativa
✻
1
0,9
0,8
0,7
frecuencia
absoluta
0,6
✻
20
0,5
16
0,4
12
0,3
8
0,2
4
0,1
0
Ec
Emp
C
0
Clave
Ec =
Emp =
C =
Economı́a
Economı́a de la Empresa
Estudios Conjuntos
29
El diagrama de sectores o de pastel
Se divide un cı́rculo en sectores donde el área
de un sector es proporcional al número de datos
en una categorı́a.
Ejemplo 18 Se ilustra un diagrama de sectores de los datos del nivel de educación de
los Getafenses.
Diagrama de sectores de niveles de educación de los Getafenses
4%
12%
16%
U
B
S
P
Si
38%
30%
30
Pictogramas etc.
Un pictograma es una representación gráfica
usando dibujos relevantes para ilustrar los datos,
en lugar de simples barras. Son de muchos estilos y formas.
Ejemplo 19 La tabla muestra las frecuencias
de las distı́ntas primeras jugadas encontradas
en el 20 de febrero del 2006 en el buscador de
aperturas de http://www.chessgames.com/.
Apertura Frecuencia
e4
178130
d4
125919
Cf 3
32206
c4
28796
Otras
6480
T otal
371631
Usamos tableros con tamaños proporcionales
a frecuencias para representar los datos.
31
Pictograma de las aperturas utilizadas en el
ajedrez
e4
d4
Cf3
c4 Otr.
32
El diagrama de barras con datos discretas
Es posible construir un diagrama de barras para
una muestra de datos discretas.
Ejemplo 20 Un estadı́stico decidió grabar el
número de cartas que recibió durante 30 dı́as
laborales con los siguientes resultados.
2 3 2 3 3 1 0 4 2 3
3 2 0 3 3 3 2 3 4 1
2 2 1 2 3 0 3 2 4 3
33
En primer lugar, construimos una tabla de frecuencias de estos datos.
Número Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
0
3
0,1
1
3
0,1
2
9
0,3
3
12
0,4
4
3
0,1
>4
0
0
Total
30
1
Hemos incluido una fila vacia (> 4).
34
Diagrama de barras de cartas recibidas por dı́a
f
0,5
✻
0,4
0,3
0,2
0,1
✲
0
0
1
2
3
4
5
# cartas
Es habitual poner rectas (o barras muy finas)
en lugar de las barras anchas usadas en los
ejemplos anteriores. Además, incluimos una clase
vacia al final.
35
Rasgos de los datos
En el ejemplo anterior, podemos ver que la distribución de los datos es unimodal, (con una
moda de 3 cartas por dı́a) y un poco asimétrica a la izquierda.
✻
✻
✲
✻
✲
✻
✲
✲
36
Frecuencias acumuladas
Ejemplo 21 Volviendo al Ejemplo 20, puede
que el estadı́stico tenga interés en la proporción de dı́as en los cuales ha recibido menos de
dos cartas.
Podemos calcular el resultado mediante una
tabla de frecuencias acumuladas.
Número Frec. Frec.
abs.
rel.
0
3
0,1
1
3
0,1
2
9
0,3
3
12
0,4
4
3
0,1
>4
0
0
Frec. abs.
Frec. rel.
acumulada acumulada
3
0,1
6
0,2
15
0,5
27
0,9
30
1
30
1
La proporción de dı́as es un 20 %.
37
Además, podemos hacer un diagrama para mostrar
la distribución de frecuencias acumuladas.
Frecuencias acumuladas de cartas recibidas por dı́a
f
1
✻
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
✲
0
1
2
3
4
5 # cartas
38
Método general para construir una tabla
de frecuencias acumuladas
Supongamos que tenemos una muestra de datos
x1 < . . . < xk con frecuencias absolutas n1, . . . , nk .
i
1
2
...
xi ni
fi
Ni
Fi
x1 n1 f1 = nn1
N1 = n1
F1 = f1
x2 n2 f2 = nn2 N2 = n1 + n2 F1 = f1 + f2
...
...
...
...
...
k
xk nk fk = nnk
Nk = n
Fk = 1
> k > xk
0
0
n
1
n
1
39