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Ejercicios de Teorı́a de Conjuntos
Rodrigo Hernández
4 de junio de 2013
1.
Construcciones fundamentales y uso de los axiomas
1. Muestra que en la sucesión de conjuntos ∅, {∅}, {∅, {∅}}, ... no hay dos conjuntos iguales entre sı́.
2. Pruebe que para cualquier conjunto X existe algún a ∈
/ X.
3. Demuestre que A ⊂ {A} si y solo si A = ∅.
4. Considere los siguientes enunciados (que están en el lenguaje de la Teorı́a de Conjuntos):
(Débil del Par) Para cualesquiera x, y, existe Z tal que x ∈ Z, y ∈ Z..
(Débil de la Union) Para cualquier X, existe Y tal que si x ∈ X, entonces x ⊂ Y .
(Débil de la Potencia) Para cualquier X, existe Y tal que z ⊂ X implica z ∈ Y .
Demuestre que el axioma del par, unión y potencia se pueden reemplazar por sus respectivas versiones débiles
en ZF de tal manera que queda un sistema equivalente.
5. Demuestra que {a} = {b, c} si y solo si a = b = c.
6. Dados A, B, C, demuestra lo siguiente:
(a) A∆∅ = A,
(b) A∆B = ∅ si y solo si A = B,
(c) A∆B = B∆A,
(d) (A∆B)∆C = A∆(B∆C),
(e) A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C),
(f ) Si A∆B = A∆C, entonces B = C,
(g) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C),
(h) existe a lo más un conjunto X tal que A ∪ X = A ∪ B y A ∩ X = ∅,
(i) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),
(j) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C),
(k) (A × C) ∪ (B × D) ⊂ (A ∪ B) × (C ∪ D) pero no se da la igualdad siempre.
7. Prueba que el producto cartesiano no es asociativo, con la definición de par ordenado de Kuratowski.
T
8. Demuestra que para cualquier X se tiene que P(X) = ∅
9. Sea F = {An : n ∈ ω} una familia de conjuntos. Definimos para cada n ∈ ω, Sn = ∪ni=0 Ai .
1
(a) Muestre que la familia G = {A0 } ∪ {An \ Sn−1 : n ∈ N} es de elementos ajenos dos a dos.
S
S
(b) Muestre que F = G.
10. Sea {An : n ∈ N} ⊂ P(X). Definimos:
lı́m sup An =
∞
∞ [
\
An+k
∞ \
∞
[
An+k
n=1
lı́m inf An =
n=1
k=0
k=0
Definimos, para cada x ∈ X, Jx = {n ∈ N : x ∈ An }. Demuestra lo siguiente:
lı́m sup An = {x ∈ X : Jx es infinito}.
lı́m inf An = {x ∈ X : N \ Jx es finito}.
T∞
S∞
n=1 An ⊂ lı́m inf An ⊂ lı́m sup An ⊂
n=1 An .
lı́m inf(X \ An ) = X \ lı́m sup An
Si A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , entonces lı́m inf An = lı́m sup An .
11. Sean R, S relaciónes binarias. Demuestra que R−1 y R ◦ S existen. (es decir, demuestra que son conjuntos)
T
12. Demuestra que si M es una familia de relaciones, entonces M es una relación.
13. Sean A, B conjuntos no vacı́os. Demuestra que si (A × B) ∪ (B × A) = C × C, entonces A = B = C.
14. Demuestra que la composición de relaciones binarias es asociativa. ¿Existe un elemento neutro para esta
composición?
15. Sea R una relación y A, B conjuntos. Demuestra que se cumplen las siguientes:
R(A ∪ B) = R(A) ∪ R(B),
R(A ∩ B) ⊂ R(A) ∩ R(B),
R(A \ B) ⊃ R(A) \ R(B).
Demuestra que además las contenciones no necesariamente son igualdades.
16. Sea R una relación. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?
(a) R ◦ R−1 = Iddom(R) ,
(b) (R−1 )−1 = R,
(c) dom(R) = ran(R−1 ).
17. Sea R un orden. Prueba que R−1 también es un orden y que todo mı́nimo (máximo) de R es un máximo
de R−1 (mı́nimo).
18. Sean (X, R), (Y, S) ordenes parciales estrictos. Definimos el orden lexicográfico, ≤lex en X × Y de la
siguiente manera: (a, b) ≤lex (x, y) si aRx o si a = x y bSy. Demuestra que el orden lexicográfico es un orden
parcial estricto.
19. Demostrar que el axioma de buena fundación es equivalente a que la relación pertenencia ∈ en cualquier
conjunto tiene elementos minimales.
2
20.
S Consideremos un conjunto A 6= ∅ y sea Part(A) el conjunto de todas las colecciones C ⊂ P(A) tales que
C = A, ∅ ∈
/ C y si C, D ∈ C son tales que C 6= D, entonces C ∩ D = ∅. A este le llamamos el conjunto
de particiones de A. Ordenamos a Part(A) de la siguiente manera: dadas C y D particiones, decimos que
C ≺ D (C refina a D) si para cada C ∈ C , existe D ∈ D con C ⊂ D. Demuestra que Part(A) es una
retı́cula completa con la relación ≺.
21. Consideremos el conjunto F de uniones finitas de intervalos de la forma (a, b] con a, b ∈ R ∪ {−∞, ∞}
(consideremos que −∞ es menor que todos los números reales y ∞ es mayor que todos), unión el vacı́o, con
el orden dado por la contención.
(a) La relación ası́ definida hace a F una retı́cula.
(b) La retı́cula F tiene un mı́nimo y un máximo.
(c) Para cada J ∈ F, existe un único elemento J c tal que si K ∈ F es tal que K ∩ J = ∅, entonces K ⊂ J c
(es decir, J c es el complemento de J).
(d) ¿Es la retı́cula F completa?
22. Sea X un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad del supremo. Demuestra que X tiene la
propiedad del ı́nfimo.
23. Sea X un conjunto arbitrario. Decimos que F ⊂ P(X) es una base de filtro en X si se dan las siguientes
condicciones:
F 6= ∅,
∅∈
/ F,
si A, B ∈ F, entonces existe C ∈ F tal que C ⊂ A ∩ B.
Si además se cumple la siguiente condición, se dice que F es un filtro en X:
Si B ⊂ X es tal que existe A ∈ F con A ⊂ B, entonces B ∈ F.
(a) Para todo x ∈ X, el conjunto Nx = {A ∈ P(X) : x ∈ A} es un filtro en X.
(b) Si F es un filtro tal que Nx ⊂ F, entonces Nx = F.
(c) Si F es un filtro en X y A ⊂ X, ¿cuando es FA = {F ∩ A : F ∈ F} un filtro en A?¿Puedes encontrar
un ejemplo?
(d) Si F y G son filtros en X y Y , respectivamente, entonces {A × B : A ∈ F, B ∈ G} es una base de filtro.
¿Puede ser un filtro?
(e) Toda base de filtro está contenida en un filtro.
24. Sea R una relación reflexiva y transitiva en dom(R). Demuestra que R ∩ R−1 es una relación de equivalencia en dom(R).
25. Considera la relación en R2
R = {((a, b), (x, y)) : a2 − b = x2 − y}.
Demuestra que R es una relación de equivalencia. ¿Puedes dar un modelo geométrico de como se ve el
conjunto de clases de equivalencia?
Q
26. Para relaciones R ⊂ A × A y S ⊂ B × B, definimos (R, S) como la relación en A × B dada por
{((a, b), (x, y)) : aRx, bSy}.
Q
Demuestra que si R y S son relaciones de equivalencia, entonces (R, S) es relación de equivalencia.
3
27. Sean R y S relaciones de equivalencia en A con S ⊂ R. Definimos la relación R/S en A/S por:
{(Sa, Sb) : ∃a′ ∈ Sa, b′ ∈ Sb tal que (a′ , b′ ) ∈ R}.
Demuestra que R/S es relación de equivalencia y que existe una biyección “natural” entre (A/S)/(R/S) y
A/R (en teorı́a de grupos existe un resultado parecido a este, uno de los teoremas de isomorfismo).
28. Considera las relaciones de equivalencia definidas de la siguiente manera
(a) en R, aRb si y solo si |b − a| ∈ Z,
(b) en [0, 1]2 (a, b)S(c, d) si y solo si {a, b} = {c, d}.
(i) Demuestra que tanto R como S son relaciones de equivalencia.
(ii) Sabemos que R es un grupo con la adición, argumenta que R/R es un grupo muy conocido.
(iii) Encuentra una correspondencia “natural” entre [0, 1]2 /S y el triangulo [0, 1]2 ∩ {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y}
de tal forma que las clases de equivalencia de puntos (a, b) ∈ [0, 1]2 con a 6= b y {a, b} ∩ {0, 1} = ∅
corresponden a los puntos del interior del triángulo. Esta construcción se conoce como segundo producto
simétrico del intervalo.
29. Sea f : X → Y una función. Demuestra que F : P(X) → P(Y ) y G : P(Y ) → P(X) dadas por
F (A) = f (A), G(A) = f −1 (A) son funciones.
30. Sean f : X → Y y g : Y → X dos funciones. Demuestra que existen conjuntos X1 , X2 , Y1 , Y2 tales que
X = X1 ∪ X2 , Y = Y1 ∪ Y2 , X1 ∩ X2 = ∅ = Y1 ∩ Y2 y f (X1 ) = Y1 , g(Y2 ) = X2 .
T
Sugerencia: Para cada A ⊂ X, considera Q(A) = X \g[Y \f [A]] y define X1 = {Q(A) : A ⊂ X, Q(A) ⊂ A}.
31. ¿Es cierto que si f es una función y A es un conjunto, entonces f |A = f ∩ A2 ?
32.
Q Sea I unQconjunto y J, K ajenos tales que I = J ∪ K. Demuestra que hay una biyección entre
y i∈J Ai × i∈K Ak .
Q
i∈I
Ai
33. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos de RN pueden ser expresados como producto cartesiano de subconjuntos de R?
{(xn )n∈N : xn es entero para toda n ∈ N},
{(xn )n∈N : xn ≥ n para toda n ∈ N},
{(xn )n∈N : xn es entero para toda n ≥ 2009},
{(xn )n∈N : x2 = x3 }.
34. Ordenamos a los elementos de AB de la siguiente manera: f ≤ g si y solo sı́ f ⊂ g.
(a) Prueba que ≤ es un orden.
(b) ¿Cuando tiene un conjunto A ⊂ AB supremo con este orden? ¿Como se calcula?
35. Sean A, B, C conjuntos. Demuestra que existe una biyección natural entre (C B )A y C (A×B) .
36. Sean A.B conjuntos y f : A → B una función. Sea
Rf = {(x, y) ∈ A × A : f (x) = f (y)}.
(a) Demuestra que Rf es una relación de equivalencia.
(b) Sea g : A/Rf → B tal que g(x̄) = f (x) para cualquier x ∈ A. Demuestra que g es una función inyectiva.
(c) Si F = {(a, f (a)) : a ∈ A}, entonces Rf = F −1 ◦ F .
37. Sea n ∈ Z. Consideremos el conjunto Gn de subgrupos de Zn ordenado por la inclusión.
(a) Demuestra que Gn es una retı́cula distributiva, que tiene un mayor y un menor.
(b) Demuestra que Gn es un álgebra booleana si y solo si n 6= 1 y n es libre de cuadrados.
4
2.
Ordinales
En esta sección, trabaja en ZF− , es decir, sin el Axioma de Elección y sin el Axioma de Buena Fundación.
2.1.
Buenos órdenes
38. Da una cantidad numerable de buenos ordenes de ω, no isomorfos dos a dos.
39. Sea (A, <) un conjunto bien ordenado. Demuestra que no existe una sucesión {an : n ∈ ω} ⊂ A tal que
an+1 < an para todo n ∈ ω.
40. Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado. Supongamos que X = A ∪ B y que tanto A como B están
bien ordenados por la relación ≤. Demuestra que (X, ≤) está bien ordenado. ¿Es necesaria la hipótesis de
que (X, ≤) está linealmente ordenado?
2.2.
Conjuntos transitivos
41. Demuestra que las siguientes condiciones son equivalentes para un conjunto x:
(a) x es un conjunto transitivo,
(b) si z ∈ y, y ∈ x, entonces z ∈ x,
S
(c)
x ⊂ x,
(d) x ⊂ P(x),
S
(e)
P(x) ⊂ P(x),
(f ) si z ∈ y, y ⊂ x, entonces z ⊂ x.
42. Considera las propiedades para un conjunto x:
x es transitivo.
∈ es un buen orden en x.
todo subconjunto no vacı́o de x tiene ∈-máximo.
Demuestra que no se puede deducir cualquiera de las propiedades a partir del resto.
43. Sea x un conjunto. Demuestra que
(a) Si P(x) es transitivo, entonces x es transitivo.
S
(b) Si x es transitivo e inductivo, entonces x = x.
44. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?
(a) Si x, y son transitivos, entonces x ∩ y es transitivo.
(b) Si x, y son transitivos, entonces x ∪ y es transitivo.
(c) Si y es transitivo y x ∈ y, entonces x es transitivo.
S
(d) Si x es transitivo, entonces x es transitivo.
(e) Si x ⊂ y y y es transitivo, entonces x es transitivo.
S
(f ) Si x es transitivo y y ⊂ P(x), entonces x ∪ ( y) es transitivo.
S
45. ¿Cuando se da la igualdad S(x) = x?
5
2.3.
Números naturales
46. Demuestra que todo subconjunto de los números naturales cumple con el axioma de buena fundación.
47. Sean m, n ∈ ω. Demuestra que
(a) S(m) = S(n) si y sólo si m = n.
(b) S(m) ∈ S(n) si y sólo si m ∈ n.
48. Demuestra que si n es un natural no vacı́o, entonces existe k natural tal que n = S(k) (usando unicamente la definición de naturales).
49. Sea g una función en A × ω y sea a ∈ A. Demuestra que existe una única función f tal que
f (0) = a,
si n es tal que S(n) ∈ dom(f ), f (S(n)) = g(f (n), n),
dom(f ) = ω o dom(f ) = S(k) donde k = mı́n{r ∈ ω : g(f (r), r) ∈
/ A}.
50. Sean h1 : X × Y → X y h2 : X × Y → Y funciones y tomemos x ∈ X, y ∈ Y . Demuestra que existen
funciones únicas f1 : ω → X y f2 : ω → Y tales que
f1 (0) = x, f2 (0) = y,
fi (S(x)) = hi (f1 (n), f2 (n)) para i ∈ {1, 2}.
S
0
n+1
51. Dado un conjunto A, sea
(A) = T (T n (A))
S Tn(A) = A. Definimos recursivamente T (A) = A y T
para n ∈ ω. Sea trcl(A) = {T (A) : n ∈ ω}, que llamamos cerradura transitiva de A. Demuestra que la
cerradura transitiva está bien definida y que trcl(A) es un conjunto transitivo.
52. Demuestra que la suma y producto de naturales es asociativa, conmutativa y que la suma se distribuye
sobre la multiplicación.
53. Sean n, m, k, r, s ∈ ω. Demuestra que si n ≤ m y r ≤ s, entonces n + r ≤ m + s y kn ≤ km.
2.4.
Propiedades de Ordinales
54. Demuestra que si X es un conjunto de ordinales sin elemento máximo, entonces sup X es un ordinal
lı́mite.
55. Sea x un conjunto de ordinales. Demuestra que x ∈ ON si y sólo si x es transitivo.
56. Sea α ∈ ON. Demuestra que α es lı́mite si y solo si para todo β ∈ ON, β ∈ α implica S(β) ∈ α.
57. Demuestra que para todo α ∈ ON, existe β ∈ ON tal que α ∈ β y β es lı́mite.
58. Sea α ∈ ON lı́mite y β ⊂ α. Si para todo γ ∈ α, existe δ ∈ β tal que γ ∈ δ, prueba que
S
β=α
59. Usando recursión, demuestra que los siguientes conjuntos existen:
(a) {∅, {∅}, {{∅}}, . . .},
(b) {ω, P(ω), P(P(ω)), . . .},
(c) ω + ω = ω ∪ {ω + n : n ∈ ω}.
60.
(a) Demuestra que ω × 2 con el orden lexicográfico (ver Ejercicio 18) es isomorfo como orden a ω.
(b) ¿A que ordinal es isomorfo 2 × ω con el orden lexicográfico?
(c) Para cada pareja (n, m) ∈ (ω + 1)2 , encuentra un ordinal isomorfo a n × m, con el orden lexicográfico.
6
61. (la definición de ω1 ) Demuestra que existe un primer ordinal no numerable en ZF, a este le llamaremos
ω1 .
Sugerencia: Para cada W ⊂ ω ×ω buen orden, sea α(W ) ∈ ON tal que (ω, W ) es isomorfo a (α, ∈). Considera
el conjunto de los ordinales de la forma α(W ). (¿porqué es un conjunto?)
62. Sea α ∈ ON. Demuestra que α ∈ ω1 si y solo si existe una función inyectiva f : α → R que preserva el
orden.
Sugerencia: Para un lado, usar inducción y para el otro, usar que los racionales son densos en R.
2.5.
Operaciones con ordinales
63. Evalua las siguientes operaciones:
(a) (ω + 1) + ω,
(b) ω + ω ·ω ,
(c) (ω + 1) · ω ·2 .
64. Demuestra que para cada α ∈ ON existe un único ordinal lı́mite β y un único n ∈ ω tal que α = β + n.
65. Sean α ≤ β ordinales. Entonces la ecuación δ + α = β tiene 0, 1 ó una infinidad de soluciones en ON.
66. Demuestra que si α, β ∈ ON \ {0}, entonces α · ω ·β = (α + 1) · ω ·β .
67. Demuestra que si α, β ∈ ON, entonces α · β = 0 si y solo si α = 0 ó β = 0.
68. Encuentra α, β, γ ∈ ON tales que α ∈ β y
(a) α + γ = β + γ,
(b) α · γ = β · γ,
(c) α·γ = β ·γ .
69.
(a) Demuestra que ω1 es indescomponible.
(b) Sea α ∈ ON tal que ω1 = ω ·α . Calcula el valor de α.
70. Para cualesquiera α, β ∈ ON, definimos
F (α, β) = {f ∈ β α : {ξ ∈ β : f (ξ) 6= 0} es finito}.
Si f, g ∈ F (α, β), definimos f ⊳ g si f (δ) < g(δ), cuando δ = máx{γ ∈ β : f (γ) 6= g(γ)}.
(a) Demuestra que (F (α, β), ⊳) es un buen orden,
(b) Demuestra que (F (α, β), ⊳) es isomorfo a α·β .
71. Para cada par de ordinales siguientes, dı́ cual es mayor.
(a) ω + k y k + ω, para k ∈ ω,
(b) k · ω y ω · k, para k ∈ ω,
(c) ω + ω1 y ω1 + ω,
(d) ω ·n · an + . . . + ω · a1 + a0 y ω ·(n+1) , donde n, an , . . . , a1 , a0 ∈ ω con n > 1.
7
72. Resuelve la ecuación siguiente para ordinales α, β:
α + β = ω ·2 + 1.
73. Consideramos un juego entre dos jugadores (I) y (II). Alternadamente, (I) y (II) escogen ordinales
numerables en ω pasos. Es decir, en el primer paso (I) escoge α0 ∈ ω1 , despues (II) escoge α1 ∈ ω1 , despues
(I) escoge α2 ∈ ω1 y asi sucesivamente, formando un conjunto A = {αn : n ∈ ω} ⊂ ω1 . El jugador (II) gana
si A es un segmento inicial de ω1 y si no lo es, gana el jugador (I). Describe una estrategia ganadora para
el jugador (II), es decir, el que escoge el segundo ordinal.
74. Consideramos un juego entre dos jugadores (I) y (II), de longitud ω. En el paso i ∈ ω, primero (I)
escoge un ordinal numerable αi ∈ ω1 mayor a todos los ordinales {αj : j < i} y después (II) escoge un
conjunto finito Si ⊂ αi . El jugador (II) gana si y solo si
[
Si = sup{ai : i ∈ ω}.
i∈ω
Demuestra que el jugador (II) tiene una estrategia ganadora.
75. Sea α ∈ ON.
(a) Demuestra que si ω + 2 y ω + 3 son divisores de α por la derecha, entonces ω + 6 es divisor de α por
la derecha.
(a) Demuestra que si ω + 2 y ω + 3 son divisores de α por la izquierda, entonces ω ·2 es divisor de α por
la izquierda.
76. Si α es un ordinal lı́mite, prueba que 1·α + 2·α = 3·α .
77. Sean α, β ordinales infinitos. Demuestra que α·β = β ·α si y solo si existen n, m ∈ ω tales que α·n = β ·m .
78. Sean α, β ordinales. Demuestra que α + β = β + α si y solo si existen n, m ∈ ω tales que α · n = β · m.
79. Sea α > 1 un ordinal. La clase {β ∈ ON : α · β = β · α} es un conjunto numerable.
80. La forma de superbase de un numero entero positivo k en base b > 1 se obtiene escribiendo a k en base
b, después, escribiendo cada exponente en base b, después escribiendo cada exponente de la representacion
de los exponentes en base b y ası́ sucesivamente. Por ejemplo,
2
24 = 24 + 23 = 22 + 22+1
es la forma de superbase de 24 en base 2. Empezando con un k entero positivo, construimos una sucesión de
enteros {an+1 : n ∈ ω} tal que a1 = k de la siguiente manera:
escribimos a2n−1 en superbase n + 1 y dejando todos los coeficientes, reemplazamos la base por n + 2,
a este número le llamamos a2n .
hacemos a2n+1 = a2n − 1.
Para ilustrar el proceso, si k = 24, tenemos
2
a1 = 24 = 24 + 23 = 22 + 22+1 ,
3
a2 = 33 + 33+1 ,
3
3
a3 = 33 + 33+1 − 1 = 33 + 2 · 33 + 2 · 32 + 2 · 31 + 1 · 30 ,
4
a4 = 44 + 2 · 44 + 2 · 42 + 2 · 41 + 1 · 40 ,
4
a5 = 44 + 2 · 44 + 2 · 42 + 2 · 41 , y ası́ sucesivamente
Demuestra que existe m ∈ ω tal que am = 0, no importando con que k se empieza.
8
3.
Cardinalidad
Usa el Axioma de Elección si y solo si el problema esta marcado con (AC).
3.1.
Equipotencia (cardinalidad sin cardinales)
81. Para x, y ∈ R ∪ (−∞, ∞), con x < y, construye biyecciones entre (x, y), (0, 1) y R.
Nota: NO se vale usar la función tangente, se puede resolver el ejercicio usando una función mucho más
elemental.
82. Demuestra que si n ∈ ω, entonces P(ω) y Rn son equipotentes.
83. Demuestra que ω ω es equipotente con P(ω).
84. Demuestra que Rω es equipotente con P(ω).
85. Demuestra lo siguiente:
(a) El conjunto de funciones continuas del intervalo [0, 1] a los reales es equipotente con R.
(b) El conjunto de funciones monotonas del intervalo [0, 1] a los reales es equipotente con R.
86. Demuestra que hay una cantidad numerable de números algebráicos sobre Q.
87. Demuestra que el conjunto [ω]n = {A ⊂ ω : |A| = n} es numerable para todo n ∈ ω.
88. Prueba las siguientes relaciones:
(a) ω ω es equipotente con R,
(b) RR es equipotente con P(R).
89. Usa el ejercicio 30 para dar una demostración más del teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein.
90. Demuestra que el conjunto de funciones inyectivas de ω en ω es equipotente con R.
3.2.
Finitud
91. Si x, y son conjuntos finitos, demuestra que x × y, P(x) son conjuntos finitos.
92. Prueba que no existe ningún conjunto X tal que P(X) es equipotente con ω.
93. Supongamos que X es un conjunto finito y que R, S son dos ordenes totales para X. Demuestra que
existe una función f : X → X biyectiva tal que xRy si y solo si f (x)Sf (y), es decir, R y S son ordenes
parciales isomorfos.
94. Si X es un conjunto Dedekind-finito y x ∈
/ X, prueba que X ∪ {x} también es Dedekind-finito.
95. Demuestra que todo orden lineal en un conjunto finito es un buen orden.
96. Sea a ∈ A y sea h : A → A una función inyectiva tal que a ∈
/ Im(h). Demuestre que existe una función
inyectiva f : ω → A.
97. Demuestra que un conjunto A es Dedekind-infinito si y solo sı́ existe una función inyectiva f : ω → A.
9
3.3.
Cardinales como ordinales
98. Demuestra que si κ es un cardinal, entonces κ es un ordinal sucesor si y solo si κ es finito.
99. Sea K ⊂ ON un conjunto de cardinales. Demuestra que sup K es un cardinal.
100. Demuestra que todo cardinal infinito es de la forma ℵα para algún α ∈ ON.
101. Definimos inductivamente un cardinal γn para n < ω de la siguiente manera:
γ0 = ℵ0 ,
γn+1 = ℵγn para todo n < ω.
Sea γ = sup{γn : n < ω}. Demuestra que γ es un cardinal, cumple ℵγ = γ y es el mı́nimo con esta propiedad.
102. Suponiendo CH pero no GCH, demuestra que para todo 1 ≤ n < ω, (ωn )ω = ωn .
103. ¿Cuales son los primeros tres cardinales singulares?
104. Demuestra que si α ∈ ON es lı́mite, entonces cf (ωα ) = cf (α).
105. Demuestra que para cada cardinal κ existe un cardinal λ tal que κ < λ y λω = λ.
Sugerencia: Sea λ = 2κ·ω .
106. Demuestra que κκ ≤∗ 2κ para todo κ infinito.
107. (AC) Si κ, λ son cardinales y λ es infinito, demuestra que
κ<λ = sup {κθ : θ < λ y θ es un cardinal}.
108. (AC) Sea κ un cardinal infinito y λ un cardinal con 0 < λ < cf (κ). Demuestra que
X κλ =
ρλ κ.
ρ<κ
109. (AC) Demuestra que existe un cardinal infinito que es lı́mite fuerte.
110. (AC) Demuestra las siguientes igualdades
Q
(a) 0<n<ω n = 2ℵ0 ,
Q
(b) n<ω ℵn = ℵℵω0 ,
Q
0
(c) α<ω·2 ℵα = ℵℵω·2
.
ℵ1
ℵ0
1
111. (AC) Demuestra que ℵω
ω = ℵω × 2 .
112. (AC) Si 2ℵ0 > ℵω , prueba que ℵℵω0 = 2ℵ0 .
4.
Aplicaciones del Axioma de Elección
Aqui puedes suponer que el Axioma de Elección es equivalente al Lema de Zorn.
113. Demuestra que todo filtro F ⊂ P(X) está contenido en un filtro maximal (con el orden la contención)
en X. (ver ejercicio 23 para la definición)
114. Demuestra que el axioma de elección es equivalente al siguiente enunciado:
(∗)Para cada función suprayectiva f : X → Y , existe una función g : Y → X tal que g ◦ f = idX .
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115. Demuestra que el axioma de elección es equivalente al siguiente enunciado:
(∗)Para cada familia de conjuntos C existe una subcolección C ′ ⊂ C maximal con respecto a la
propiedad de que si A, B ∈ C ′ , entonces A ∩ B = ∅.
116. Si X y Y son conjuntos, entonces X ≤∗ Y ó Y ≤∗ X.
Sugerencia: Considera el conjunto {f : f es una función inyectiva, dom(f ) ⊂ X, im(f ) ⊂ Y } y aplica el lema
de Zorn.
117. X es Dedekind-infinito si y sólo si X es infinito.
Sugerencia: Usa el ejercicio 97.
118. Si X es infinito, entonces X × X =∗ X.
Sugerencia: Considera el conjunto {f : f es una biyección entre B × B y B, donde B ⊂ X, ω ≤∗ B}, usa el
ejercicio anterior, el hecho de que ω × ω =∗ ω y aplica el lema de Zorn.
119. Demuestra que si X es infinito, Y 6= ∅ y X ∩ Y = ∅, entonces X × Y =∗ X ∪ Y .
Sugerencia: Usa el ejercicio 118.
120. Dado un conjunto X, calcula el tamaño de los siguientes conjuntos, en términos del tamaño de X:
[X]ω = {A ⊂ X : A =∗ ω},
[X]≤ω = {A ⊂ X : A ≤∗ ω}.
¿Donde se usa el Axioma de Elección?
Sugerencia: Nota que son distintos los casos cuando X es finito o infinito. Usa los ejercicios 87 y 118.
121. Si ≤ es un orden en un conjunto A, entonces existe un orden lineal ≤∗ ⊂ A × A tal que a ≤ b implica
a ≤∗ b.
Sugerencia: Considera el conjunto de ordenes que extienden a ≤ y demuestra que un elemento maximal es
un orden total.
122. Sabemos que R es un Q-espacio vectorial con la suma usual y el producto escalar definido por el producto
usual. Demuestra que la dimensión de R sobre Q es no numerable. (puedes suponer que todo espacio vectorial
tiene una base, esto necesita del axioma de elección).
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