ANILLOS SIN ELEMENTOS NILPOTENTES DIFERENTES DE CERO

Bol.etin de taat emat icae
Vol. XVII N~. 1,2,;) (1983)
APORTES
ANILLOS SIN ELEMENTOS NILPOTENTES
DIFERENTES DE CERO
INTRODUCCION.
asociativo
que
todo
es igual
portar
cien,
producto
a cero
ductos
tes
ducto
subdir
asociativos
roo
en
iguales
que
de
0
sus
del
a cero
anillo
de anillos
conmutativos
para
rticulo
asociativo
es isomorfo
im-
se aso-
y sin elementos
cero,
que
sin
asociativo
En este
de
anillo
factores
un anillo
s a cero
cto
la propiedad
igual
a cero.
que un
diferentes
con
permanece
10 llamaremos
igual
no necesariamente
de elementos
la manera
remos
R
anillo
conmutativo,
0
productos
mostr
A un
para
depro-
nilpote~
a un pro-
no necesariamente
sin
divisores
de ce
aport:es
2
Tambien
definida
cial
tos
por
demostraremos
que
if sii
2
X ~
sobre
un anillo
iguales
a cero
mentos
nilpotentes
p obaremos
que
tributivo
un subconjunto
tonces
para
~
de cero.
E
similar
1.
LEf.M
sera
5i R es
tos
iguales
son
equivalentes:
i)
R
no
~~P(~xi)
dises
en-
y
existe
a en un ani
0
iguales
para
tiene
de anillo
acero,
algun
sentido
entero
en virtud
asociativo
para
pro-
a cero).
e r sultado,
util
cuya
las
d
asociativo
sigui
elementos
demostracion
para
n el resto
un anillo
a cero,
tiene
Ademas
existe,
..<-
a la correspondiente
ciativos,
ele-
{X,},
£1
..<- ..<-
si
..<-
si a~ =
notaci6n
es
.
productos
~.
siguien
tiene
infinitamente
Un elemento
positivo
~l
produc-
..<-
nte
iRu'les
par-
..<-
nilpot
de la definicion
no
~4P x.
que
R',
se llama
ductos
es
de que
tal
NOCIONES PRELIMINARES.
110 R asociativo
para
(La
R
distintos
L!-P x . .
..<-
para
si
orden
~
es un orden
si y solo
R
de
x
asociativo
sentido
todo
= ~ ~
R
este
en el
=
xif
la relacion
ntes
nilpotentes
anillos
este
as~
trabajo.
para
produc
condiciones
distintos
de cero.
ii)
5i aER
es
tal
que
a2
= 0,
entonces
a
= O.
LEMA
tos
2.
R
Sea
iguales
un anillo
y sin
a cero
diferentes
Si xy
=
0 entonces
ii)
Si ax
=
0 y <x>
=
iv)
=
produc-
nilpotentes
O.
representa
el ideal
x , entonces
princi= 0
a<x>
y
O.
iii) Si un producto
cero,
elementos
yx
genera do por
<x>a
para
Se tiene:
de cero.
i)
pal
asociativo
que
el producto
reemplaza
por
principal
gene
tiene
sigue
siendo
cualquier
ado
Si un producto
a cero
reordenan
de cualquier
es
si X s~
d 1 idedl
X.
es igual
igual
factor
cero
elemento
por
permanece
a X como
1 producto
acero,
si sus
fac~ores
se
forma.
Demostraei6n.
i) Si xy
(YX)2
i i)
=
0 entonces
y
por
=
Si a X
Tambien
Uiando
iii) Sea
ax
=
xa
repetidamente
donde
productc
men
de < X> .
0
=
W
En el
= O.
W
ax
caso
0
W
=
=
de
=
(a x )IL
(i)
<x>a
tiene
a
=
= xa
por
del
nces
W = ab
y
producto
=
W
por
a
factor
el mismo
por un ele
~
qu
0
W
por
= o.
(i .i ) .
induccion
0
qu~
O.
W
= X es claro
ent
a(ILx).
como
X
a ( XIL) .
vemos
X se ha reemplazado
W
=
=
(ILx)a
argumento
Representemos
Si
=
(yx)(yx)
O.
=
IL(xa)
que
general
la longitud
1, yx
este
un producto
W
que
tal
bre
=
=
y[(xy)x]
en ton ce s 0
= 0 y en virtud
a<x>
Si
el Lema
0 Y ILE"R
0
=
0
b que
so
con-
4
aportes
contiene
a X se sigue
=
que W
.i v ) Supongamos
x1x
ducto
W.
Entonces
Luego
por
(iii)
ces
=
ciativo
para
tivo
si
sus
de
tivo
qu
esta
plica
que
resultado
RIP
mal
e::P
no
c omp
0
que
no contiene
tamente
de cero.
que
elemento
para
P
a
a
sub-
entonces
todos
multi-
el lema
R
de
distinto
a O. Un
ideal
P
xy e::P
lm-
Sl
x,y
en
completamente
R.
R.
Es
un
primo
de cero.
multiplicativo
de
Si
multiplic~
entonces
primo
ele
tiene
de
divisores
sistema
sin
sistema
todo
es
sin
aso
Un
de.cero,
l e t amen t:e p r-imo
que
R
multiplica-
a O. Por
contiene
un anillo
Si M es un
compl
enton
y
a} es un sistema
en un
yEP
3.
ideal
a cero
finito
todo
conoc'do
es
p o r'
ele-
un anillo
distinto
a
que
que
e llama
LEMA
R
de
contenido
maximal
X
X,£
la multiplicaci6n.
no contiene
de R
sii
para
iguales
se deduce
cero
pr~
1,2, .. ,m .
=
cada
un sistema
{wlw es un producto
plicativo
del
de cero,
iguales
diferentes
es cerrado
factores
Zorn
distintos
productos
a es un elemento
=
.{.
M de R se llama
M
i
para
E:<X,>
Consideremos
nilpotentes
conjunto
factores
o.
PRINCIPAL.
os
los
reemplazamos
Sl
nilpotentes
SECCION
Ma
W'
mentos
men
de
y que W'
(w,)m = a y como R no tiene
W' tenemos
W'
.. ,xm
2
es un reordenamiento
o.
= a
W =
que
R - M
maxi
e- un
apol'tes
5
Demostraci6n.
x,y ER-M.
Sean
ma multiplic~tivo
entonces
cativo
maximal
0 pertenece
que
ma multiplicativo
Por
M U
a
que
de ellos
es X y tambien
al menos
elementos
uno
y
a 0,
multipli-
al menor
a M U
siste-
{y}.
cuyos
U {x} y al menos
uno
0 = V don de V es un pro-
son
de ellos
{x}
de M
son
factores
sistema
W es un producto
factores
due to cuyos
no contiene
contiene
0 = W donde
tanto
que
al menor
contiene
M es un siste
Como
elementos
y.
es
Por
M U
de
(iv)
del
{y}
y
Lema
2
tenemos
con
con
o cual
tanto
implica
razonando
can m
o
=
R-M
R-M
€
para
todo
es un
primo
iguales
distintos
directo
vas
1.
~
ideal
Lema
R. ASl,
de R que
hemos
a cero
de cera
de anillos,
a can m uta t ivas,
R
y sin
es
que
E:
R-M,
0 =
xm
que
demostrado
resulta
€
que
completamente
multiplicativo.
asociativo
elementos
isomorfo
x
~x, .x~
que
M es un sistema
anillo
Si
10
2 concluimos
implica
€
= O. Por
tenemos
10 cual
que
Todo
del
ym2
1
~
x-y E R-M,
similar
(ii)
m<x>,
puesto
TEOREMA
tos
M y por
=
= 0 y
= 0 y as!
en forma
<x>m
xml
que
(x-y)mlm2
j
para
produ~
nilpotentes
a un producto
su~
no necesariamente
asociati-
sin -d ivis are s dec
er 0
•
6
aportes
Demostraci6n.
contenido
par
el
ideal
10
Como
en
Lema
3 para
tanto
R/Pa"
visores
de cera,
TEOREMA
2.
par
R
Y
oi y
distintos
xy
de
tos
para
YX + y2
product
~ es
Y ~ z . Entonces
= a y
di-
pro-
~ definida
parcial
sabre
nilpotentes
yx
Y
asi
par
2
X
z:
y
10 tanto
x(xz-x
[X(Z-X)]2
y
como
x Z = X 2 e s dec i r
Iu
•
2
)=-
X2
X
~
Claramente
~
Y y Y ~
go
0
=
ahora
a
=
x2
que
X
xy
(Z-X)
Y par
10
=
1 all
y
x2(z-y)
=
el mentos
a
Y
X ~
x 2 (Z-X)
=
~
Luego
xy(z-y)
entonc
Z
elemen
X
q z =- y2.
R no tiene
cera
sin
aso-
Y y la relacion
=
X
cera.
Si
Y2
=
a cera
de
Supongamos
xy
de
R es un anillo
que
iguales
Y
=
distintos
sin
para
elementos
reflexiva.
= x(xz-xy)
tes
los
el teorema.
un orden
distintos
es antisim~trica.
y(z-y)
de
anillos
La relacion
Supangamos
xy = x2
=- (X_y)2
entonces
son
asociativo
no tiene
nilpotentes
la relacion
R/Pa
es
conoci-
subdirecto
demostrado
x2
=
que
cera.
Demostraci6n.
ciativo
queda
si R
s610
los
a cera.
sii
a ¢P •
Par
a
conjunto
de ideales
del
R un anillo
Sea
un
Io I y par un teorema
es
Como
iguales
X ~
Pa tal
al producto
anillos
maximal.
a t 0 de R existe
cada
primo
ol
a t
R es isomorfo
ductos
multiplicativo
la int~rseccion
e:R,
a t 0 de R esta
elemento
un sistema
completamente
{Pala
do
todo
0
=
nilpote~
x(z-x)
t
2
0
sea
l.~ r- e J d -
aporuee
l'
I ,-,II
7
.:::. t'
s
i V ,'I
t r:,'I n sit
El reciproeo
•
es faeil
y
similar
al
easo
asociativo.
LEMA
tos
4. Sea
iguales a cero y
distintos
R.
R un anillo
de cero.
Si X ~ lj y
U
Demost:raci6n.
V E:R,
que
xlj
2
x
=
o
~
Probaremos
= X(lj-X)
= X(ljV-XV)
que ~4P
-<-
X~ existe.
~
Sea
existe
y
caso
es
Entonces
~up
Denotaremos
X~ ~ S para
eada
~ e:l,
ahora
conjunto
{~X~}~
da ,{C 1,
tenemos
U
ILl'
Como
xu .:::.
ljv.
todD
cualquier
Pupsto
(~e:l)
de R tal
~
E:
= ~ ~up
~-<-
R,
X.
X. par S. Puesto
-<por el Lerna 4 tene-
que
Sea
2
(XV)(ljV-XV).
~X. ~ ~S para cada ~ cl.
Por
-<~S es una cota superior
del conjunto
mos
tod
el Lema
~up(~x,)
-i.
-<-
ademas
para
v q . Puesto
similar.
para
~
que
que
VX ~
=
de
ljv.
transitividad
-<-
Demost:racion.
XU ~
E: 1 un subeonjunto
{x~}-i.
3.
elementos
repetidamente
XU ~ lju y Iju ~ ljv por
TEOREMA
y
produc-
nilpotentes
primero
XV .:::.
Ijv
aplicando
para
x,lj,u,v
entonces
V
XV ~ ljV. El otro
~up(~x,)
elementos
Sean
X .:::.
lj impliea
tenemos
As}
sin
asoeiativo
cota
10 tanto
{~x.}.
-<- -<- e:
superior
que ~x.
-<-
l'
del
~ U para
ca-
( 1)
aportes
8
y en particular
( It X
Como
. ) (
-<-
< S para
X.
=
itS)
(It
cada
-
= x2,
x.S
-<-
De
o
en
y
(1)
(2)
-<-.{
Por
para
cada
Lema
2,
= x.(It(u-ItS»)+
obtenemas
(3)
= x;[It(u-ItS)
-<-
+ S].
~
10 tanto
U-
concluimos
(4)
definicion
donde
(Jz.S)u
mos
y par
x v.S
+ S
que
S ~ Jz.(u-l1.S)
=
visto
conjunto
S [It(
de < obtenemos
a =
S[Jz.(u-ItS)]
(ltS)2
que
{Jz.x.}.
.c
itS
.{.(
t:
Jz.x.
(4)
+ S
y
par
+
SJ
= S
s1
U-ItS)
= (itS)
(u-l1.S)
y
~
De esta
manera
U
•
es la minima
-<- e:
S4P
itS
sea
0
(iE])
Jz.S)
.{
de
..[
E],
-<-
x . ~ It (
De
( 3)
= x.(It(u-ItS»
.{
del
(..[E])
-<-
= (ltx.)(u-ItS)
virtud
x~
tenemas
-t c ],
-<-
( 2 )
(-tEl)
X . ) 2
-<-
cota
superior
Es d e c i r:
=
~S
= ~
S~P
.{.
X'o
.{
la
2 ,
hedel
9
apOl'tes
Los
zan
a los
iguales
bados
tra
Teoremas
anillos
a cero,
en
que
2 y
[1],
asociativos
algunos
[2],
un anillo
la relacion
3 Y el Lema
[4J:
Surgen
10 GEs posible
a anillos
les
20 GSe
tivo
sea
R
equipado
~ es un orden
las
y
para
direcsi y
s~
sobre
ortogonalmente
preguntas:
el resultado
asociativos
con
parcial
siguientes
extender
pro-
se demues
de division
R tal que R es hiperatomico
completo.
r4J
a un producto
alternativos
10 si la relacion
productos
resultados
En
alternativo
~ es isomorfo
to de anillos
para
de los
[3J Y
4 generali-
anterior
productos
igua-
a cero?
puede
dar
para
productos
un anillo
tentes
un ejemplo
iguales
aternativo
distintos
de un anillo
a cero
sin
que
elementos
asocia
no
nilp~
de cero?
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