electricidad y magnetismo fiz 1300 fis 1532 (10)
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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile 1er. Semestre 2006 Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) INDUCCION DE FARADAY Al cambiar el flujo magnético enlazado por el circuito a la izquierda de las figuras, se induce una fuerza electromotriz en él y el amperı́metro registra una corriente. Lo mismo ocurre en la figura de la derecha al cerrar el interruptor Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) FLUJO MAGNETICO Y LEY DE INDUCCION Z ~ · n̂dS Φ= B S S C Ley de induccion de Faraday : Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile E =− dΦ dt ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) LEY DE LENZ LA CORRIENTE INDUCIDA TIENE UNA DIRECCION TAL QUE EL CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A ESTA CORRIENTE SE OPONE AL CAMBIO DEL CAMPO MAGNETICO QUE HA INDUCIDO ESTA CORRIENTE Aumento del Campo I Ricardo Ramı́rez Campo producido por la corriente I Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) ~ IyE ~ Relación entre cambio del campo B, H C ∂~ B S ∂t R · n̂dS Bi : campo inducido por I Bi Campo B creciente I E Campo B decreciente Bi I Ricardo Ramı́rez ~ · d~l = − E E Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) GUITARRA ELÉCTRICA N S N Cuerda de guitarra Iman Hacia el Solenoide amplificador S Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Ejemplo 1 El circuito de la figura consiste de un semicı́rculo de radio r = 20 cm y tres secciones rectas y tiene una resistencia de 2 Ω. En la región del semicı́rculo existe un campo magnético B perpendicular al plano del circuito con una magnitud B = 4t 2 + 2t + 3. El circuito tiene una baterı́a ideal de 2 V. ¿ Cuál es la magnitud y la dirección del fem inducida en el circuito en t = 10 seg? B r − Ricardo Ramı́rez + Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) INDUCCIÓN Y TRANSFERENCIA DE ENERGIA I ☞ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ v Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕B ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Al mover el circuito se induce una FEM que produce una corriente que circula como se muestra en la figura. Esta corriente interactua con el campo magnético y aparecen la fuerzas que se indican. I v x x x x x x x x x x B a x x x x x x x x x x F x x x x x Por lo tanto para mover el circuito hacia la izquierda con una velocidad v , debe aplicarse una fuerza dirigida a la izquierda de la misma magnitud de F . Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Esto implica que se debe realizar un trabajo por unidad de tiempo igual a: P = Fv Si el circuito tiene una resistencia R esta potencia será igual a I 2 R. ¿Cómo se puede calcular I y F ? La FEM inducida en el circuito es E = avB, por lo tanto I = avB/R, entonces F = IaB = v (aB)2 /R Nótese que al reemplazar en P = Fv = I 2 R se obtiene una identidad. Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Aquı́ tenemos un circuito cerrado en foma de un cı́rculo de radio a que gira alrededor de un diámetro con velocidad angular ω, en presencia de un ~ perpendicular al eje de giro. campo magnético B θ B B a ω ω El flujo enlazado es Φ = Bπa2 cos θ, con θ = ωt. Luego la magnitud de la FEM inducida es: |E| = πa2 ωB sin ωt Este ejemplo ilustra el principio de un generador de corriente alterna. Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Ejemplo 2 Una barra de sección cuadrada muy pequeña, de longitud L, masa m y resistencia R se suelta perpendicularmente sobre un par de rieles conductores muy largos y resbala sin roce sobre ellos. Los rieles no tienen resistencia y estan conectados al final por un riel transversal igualmente sin resistencia. De esta manera los rieles y la barra forman un circuito rectangular. El plano de los rieles forma un ángulo θ con el plano horizontal, como se muestra en la figura. B B L θ Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Todo este sistema se encuentra en presencia de un campo ~ dirigido verticalmente hacia arriba. magnético constante B a) Demuestre que después de un tiempo muy largo, la barra adquiere una velocidad: v= mgR sin θ (BL cos θ)2 b) Demuestre que este resultado es consistente con la conservación de energı́a. ~ está dirigido hacia abajo? c) ¿ Cómo cambia este resultado si B Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Solución a) El flujo enlazado por el circuito rectangular es: Φ = BLr cos θ donde r = r (t) es la distancia entre la barra y el riel transversal. Ası́ en el circuito se induce una FEM, cuyo valor absoluto es E = BLv cos θ, donde v = v (t) = ṙ (t) y por lo tanto aparece una corriente: BLv cos θ I= R Mirando el circuito desde arriba la corriente circula contra los punteros del reloj. Entonces aparece una fuerza sobre la barra, cuyo valor es F = (BL)2 v cos θ/R. Esta fuerza tiene la dirección horizontal de tal manera que su componente paralela a los rieles se opone al efecto de la fuerza de gravedad. Proyectando las fuerzas en la dirección paralela a los rieles, la aceleración a con que barra baja está dada por: ma = mg sin θ − (BL)2 v cos θ cos θ R Esto produce un crecimiento de v y a disminuye. Después de un tiempo a se hace 0, y se llega a una velocidad lı́mite: v= Ricardo Ramı́rez mgR sin θ (BL)2 cos2 θ Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) REFORMULACION DE LA LEY DE FARADAY E =− Z dΦ → dt I ~ · d~l = − E C ~ =− ∇×E Ricardo Ramı́rez S ~ · n̂dS = − ∇×E S Z S ~ ∂B ∂t Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile Z ~ ∂B · n̂dS ∂t ~ ∂B · n̂dS ∂t Ley de Faraday ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) CORRIENTES DE REMOLINO Si reemplazamos el circuito que se mueve en un campo magnético por una placa conductora sólida, se inducen corrientes enn las placas, como se muestra en la figura. Estas corrientes se llaman corrientes de remolino (eddy currents) ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ Ricardo Ramı́rez ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ B ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) INDUCTANCIA Inductancia propia: L= Φ I Inductancia mutua del circuito 2 con respecto al 1 M21 = Φ21 I1 Φ21 es el flujo enlazado por circuito 2 debido al circuito 1. Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile C1 C2 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Inductancia propia de un solenoide Primero calculamos el flujo en un solenoide: Φ = NBA donde A = πr 2 pero B = µo nI = µo NI/`, donde n = N/` es el número de vueltas por unidad de largo. Por lo tanto: Φ= µo N 2 IA ` L= µo N 2 A ` y Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Inductancia mutua de dos circuitos R I1 I2 Circuito 1 Circuito 2 El flujo enlazado por el circuito 2 se debe tanto al campo magnético producido por su propia corriente (L2 I2 ) y como al campo magnético del producido por el circuito 1. Φ21 I1 De la misma manera podemos escribir una expresión para el flujo enlazado por el circuito 1: Φ12 Φ1 = L1 I1 + M12 I2 M12 = I2 Φ2 = L2 I2 + M21 I1 Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile M21 = ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Inductancia mutua de dos solenoides del mismo largo L C2 C1 Suponemos una corriente en el circuito 1. El campo magnético dentro del solenoide es B1 = µo n1 I1 . El flujo a través del circuito 2 es: Φ2 = N2 B1 (πr12 ) = µo n1 n2 L(πr12 )I1 M21 = Ricardo Ramı́rez Φ2 = µo n1 n2 Lπr12 I1 Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Inductancia mutua. Formula de Neumann Consideramos dos circuitos C1 y C2 . Por el circuito C1 pasa una corriente I1 . Consideremos una superficie S2 que se apoya en C2 . El campo mágnetico debido a la corriente I1 en un punto ~r2 de la superficie S2 está dado por: ~ 1 = µo I1 B 4π d~l1 × (~r2 − ~r1 ) |~r2 − ~r1 |3 I C1 ~ 1 a través de la superficie de la superficie S2 es: Por lo tanto el flujo de B Z Φ12 = Ricardo Ramı́rez ~ 1 · n̂dS2 = µo I1 B 4π S2 Z ˆ S2 Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile I C1 d~l1 × (~r2 − ~r1 ) ˜ · n̂dS2 |~r2 − ~r1 |3 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Sin embargo: I C1 I d~l1 × (~r2 − ~r1 ) 1 = − d~l1 × ∇2 3 ~ ~ ~ |r2 − r1 | |r2 − ~r1 | C1 I = ∇2 × C1 d~l1 ~ |r2 − ~r1 | Por lo tanto: M21 = µo Φ21 = I1 4π Z ∇2 × ˆ I S2 Y usando el Teorema de Stokes: I I µo d~l1 · d~l2 M21 = 4π C1 C2 |~r2 − ~r1 | C1 d~l1 ˜ · n̂dS2 |~r2 − ~r1 | Formula de Neumann LUEGO LA INDUCTANCIA MUTUA CUMPLE LA SIMETRIA: M12 = M21 Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) La fórmula de Neumann también se puede aplicar a la inductancia propia: I I d~l1 · d~l10 µo L= 4π C1 C1 |~r1 − ~r10 | Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) ENERGÍA MAGNÉTICA Consideremos el circuito RL: S R ε L Ya que la FEM inducida en la inductancia es dΦ/dt = LdI/dt la ley de Kirchhoff nos da: dI E − IR − L = 0 dt y multiplicando esta ecuación por I: EI = I 2 R + LI Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile dI dt ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) El término EI es la potencia entregada por la baterı́a e I 2 R es la potencia disipada como calor por la resistencia. El último LIdI/dt corresponde a la potencia entregada a la inductancia. Ası́ si Um es la energı́a de la inductancia: dI dUm = LI → dUm = LIdI dt dt Integrando entre 0 e I: 1 Um = LI 2 2 Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Esta es la energı́a almacenada en la inductancia. En un solenoide la inductancia propia en un largo ` es L = µo n2 A/` y el campo magnético B = µo nI, donde A es el área de la sección transversal del solenoide. Por lo tanto la energı́a almacenada por unidad de volumen es: um = 1 1 B2 B2 µo n 2 I 2 = µo 2 = 2 2 µo 2µo Esta es una relación general y representa la energı́a magnética almacenada por unidad de volumen. Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) CIRCUITO RL S R ε L E − IR − L dI =0 dt (1) Solución particular: Io = E R Solución de ecuación homogénea: IR + L Ricardo Ramı́rez dI =0 dt Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile Rt Ih = Ae− L ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (10) Solución general: I(t) = Io + Ih = Rt E + Ae− L R La constante A se determina con la condición de borde: I = 0 en t = 0, i.e A = − RE : I(t) = Io + Ih = i Rt E h 1 − e− L R I ε /R t Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
