INECUACIONES POLINÓMICAS

Departamento de Matemáticas
INECUACIONES POLINÓMICAS
El procedimiento de resolución es el siguiente:
• Expresarla como P(x)<0,
• Factorizar el polinomio P(x)
• Estudiar el signo de cada factor
• Estudiar el signo del producto de los factores, que será el producto de los signos.
Inecuación 1:
x 3 + x ≤ 4x 2 − 6
x 3 − 4x 2 + x + 6 < 0
P(x) = x 3 − 4x 2 + x + 6
divisores de 6 : ±1, ± 2, ± 3, ± 6
P(1) = 1 − 4 + 1 + 6 = 4 ≠ 0
P(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0
Dividimos por (x+1) aplicando la regla de Ruffini:
1
-4 1
6
-1 5 -6
1 -5 6
0
3
2
x − 4x + x + 6 = (x + 1) ⋅ (x 2 − 5x − 6)
-1
Las raíces del polinomio de 2º grado x 2 − 5x − 6 son las soluciones de la ecuación de 2º grado
x − 5x + 6 = 0 ⇒ x =
2
−(−5) ±
( −5 )2 − 4 ⋅1⋅ +6
2 ⋅1
=
5 ± 1 ⎧ x1 = 3
=⎨
2
⎩x 2 = 2
⇒ x 2 − 5x − 6 = (x − 3)(x − 2)
Finalmente la inecuación inicial es equivalente a
( x + 1) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 2 ) < 0
( −∞, −1)
( x + 1)
( x − 3)
( x − 2)
( x + 1) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 2 )
( −1, 2 )
( 2,3)
( 3, +∞ )
<0
>0
>0
>0
<0
<0
<0
>0
<0
<0
>0
>0
>0
<0
>0
<0
Solución: x ∈ [ −1, 2] ∪ [3, +∞)
Los intervalos son cerrados en -1, 2 y 3 porque el símbolo de la inecuación es ≤
Observación: en la tabla anterior se puede escribir >0 ó + y <0 ó -.
1
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2x 3 − 5x 2 − 3x > 0
Inecuación 2:
Se puede extraer x como factor común.
x(2x 2 − 5x − 3) > 0
2x − 5x − 3 = 0 ⇒ x =
2
5 ± 5 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3 )
2⋅2
1
⎧
5 ± 49 ⎪ x1 = −
=
=⎨
2
4
⎪⎩ x 2 = +3
1
⇒ 2x(x + )(x − 3) > 0
2
1⎞
⎛
⎜ −∞, − ⎟
2⎠
⎝
<0
x
1
(x + )
2
(x − 3)
1
2x(x + )(x − 3)
2
⎛ 1 ⎞
⎜ − ,0⎟
⎝ 2 ⎠
<0
( 0,3)
( 3, +∞ )
>0
>0
<0
>0
>0
>0
<0
<0
<0
>0
<0
>0
<0
>0
⎛ 1 ⎞
Solución: ⎜ − , 0 ⎟ ∪ ( 3, +∞ )
⎝ 2 ⎠
Los intervalos son abiertos en 3, 0 y -1/2 porque el símbolo de la inecuación es >.
Inecuación 3:
x 3 − x 2 + 3x − 10 ≥ 0
P(x) = x 3 − x 2 + 3x − 10
divisores de 10 : ±1, ± 2, ± 5, ± 10
P(1) = 1 − 1 + 3 − 10 ≠ 0
P(−1) = −1 − 1 − 3 − 10 ≠ 0
P(2) = 8 − 4 + 6 − 10 = 0 ⇒ (x − 2) es un factor
Dividimos por (x − 2) aplicando la regla de Ruffini:
1
-1 3 -10
2
2
2
10
1
1
5
0
3
2
x − x + 3x − 10 = (x − 2)(x 2 + x + 10)
Las raíces del polinomio de 2º grado x 2 + x + 10 son las soluciones de la ecuación de 2º grado
x 2 + x + 10 = 0 ⇒ x =
−1 ± 12 − 4 ⋅1⋅10 5 ± −39
=
, no tiene
2 ⋅1
2
2
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El polinomio de 2º grado es IRREDUCIBLE, no se anula para ningún valor de x, por lo tanto
tiene siempre el mismo signo. ¿Cuál? Para x=0 es 10, POSITIVO. (se toma un valor
cualquiera)
( −∞, 2 )
( 2, ∞ )
(x + x + 10)
<0
>0
>0
>0
(x − 2)(x 2 + x + 10)
<0
>0
(x − 2)
2
Solución [2, +∞ )
3