Razonamiento Matemático Cuantitativo y Cualitativo

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CUANTITATIVO
Y CUALITATIVO
RÓMULO A. BERVÍNS F
UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO”
BARQUISIMETO, 1999
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CUANTITATIVO
Y CUALITATIVO
Por
Rómulo A. Bervíns Farías
Trabajo de Ascenso presentado para optar
a la categoría de Asociado en el escalafón
del Personal Docente y de Investigación.
UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO”
Decanato de Ciencia y Tecnología.
Barquisimeto, 1999
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUANTITATIVO Y
CUALITATIVO
RÓMULO A. BERVÍNS F.
1999
A Jeanette, Guillermo, Jeandely, Yahirí y Yanireth.
II
PRÓLOGO
El presente trabajo está proyectado para servir como material de apoyo
para estudiantes que se inician en carreras como Matemáticas, Física,
Educación Matemática e Ingeniería.
Fue elaborado siguiendo el programa de la asignatura “Razonamiento
Matemático Cuantitativo y Cualitativo” de la Licenciatura en Matemáticas de
la Universidad Centro Occidental “Lisandro Alvarado”.
En el primer capítulo se presentan fundamentos de lógica y teoría de
conjuntos. En el segundo capítulo se introduce al alumno formalmente en la
demostración de teoremas, presentando las técnicas más usadas para ello. En
el capítulo cuatro se definen las relaciones y las funciones y sus propiedades.
La parte cuantitativa se centra en los capítulos tres y seis, en los que se
presentan la proporcionalidad, las progresiones y el manejo de datos.
En el capítulo seis se da una introducción a los modelos matemáticos,
presentando como ejemplo el modelo de dinámica de poblaciones. Así mismo,
se presentan algunos aspectos teóricos sobre modelos y su diferencia con los
ejercicios y los problemas.
Quiero finalmente expresar mi agradecimiento a todas las personas que
colaboraron en la realización de este trabajo, especialmente al Lic. Gerardo
Márquez, por su gran aporte.
Rómulo Bervíns
Barquisimeto, noviembre de 1999.
III
CONTENIDO
CAPÍTULO 1. LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS ........................... 1
1.1.- PROPOSICIONES VERITATIVAS ........................................ 1
1.2.- OPERACIONES CON PROPOSICIONES ............................. 3
1.2.1.- NEGACIÓN ................................................................. 3
1.2.2.- CONJUNCIÓN ............................................................. 4
1.2.3.- DISYUNCIÓN .............................................................. 4
1.2.4.- DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ...................................... 5
1.2.5.- EL CONDICIONAL ..................................................... 5
1.2.6.- EL BICONDICIONAL ................................................. 8
1.3.- FORMAS PROPOSICIONALES ............................................ 10
1.4.- TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES ........................... 13
1.5.- CONJUNTOS ........................................................................... 17
1.6.- CUANTIFICADORES .............................................................
1.6.1.- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ...........................
1.6.2.- CUANTIFICADOR UNIVERSAL ..............................
1.6.3.- NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES .....................
18
19
20
21
1.7.- INCLUSIÓN DE CONJUNTOS .............................................. 22
1.8.- IGUALDAD DE CONJUNTOS ............................................... 23
1.9.- OPERACIONES CON CONJUNTOS .....................................
1.9.1.- UNIÓN .........................................................................
1.9.2.- INTERSECCIÓN .........................................................
1.9.3.- DIFERENCIA Y COMPLEMENTO ...........................
1.9.4.- DIFERENCIA SIMÉTRICA ........................................
1.9.5.- PRODUCTO CARTESIANO ......................................
25
25
26
28
30
31
1.10.- CONJUNTO POTENCIA ...................................................... 32
1.11.- CARDINAL DE CONJUNTOS FINITOS .............................. 33
IV
CAPÍTULO 2. PENSAMIENTO MATEMÁTICO ................................... 38
2.1.- TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES ................................... 38
2.1.1.- TEOREMAS DEL TIPO p⇒q .................................... 38
2.1.2.- TEOREMAS DEL TIPO p⇔q .................................... 41
2.2.- CONTRAEJEMPLOS .............................................................. 42
2.3.- CONJETURAS ......................................................................... 43
CAPÍTULO 3. PROPORCIONALIDAD Y PROGRESIONES ................. 44
3.1.- PROPORCIONALIDAD .......................................................... 44
3.1.1.- VARIACIÓN ................................................................ 44
3.1.2.- PROPORCIÓN ............................................................. 44
3.1.3.- VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL .. 46
3.1.4.- VARIACIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL .. 48
3.2.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS ......................................... 49
3.3.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS ....................................... 51
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES ........................................ 55
4.1.- RELACIONES ......................................................................... 55
4.2.- REPERESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RELACIONES ... 55
4.3.- FUNCIONES ............................................................................
4.3.1.- NOTACIÓN FUNCIONAL .........................................
4.3.2.- FUNCIONES BIYECTIVAS .......................................
4.3.3.- FUNCIONES EXPONECIALES Y
LOGARÍTMICAS .........................................................
4.3.4.- VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN .............................
57
58
59
63
65
CAPÍTULO 5. ESTADÍSTICA ................................................................. 67
V
5.1.- CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA ........................
5.1.1.- QUÉ ES LA ESTADÍSTICA .......................................
5.1.2.- MASA, COLECTIVO Y VARIABLES .......................
5.1.3.- OPERACIONALIZACIÓN ..........................................
5.1.4.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTADÍSTICA
INFERENCIAL ............................................................
5.1.5.- UTILIZACIÓN ADECUADA DE LA
ESTADÍSTICA .............................................................
67
67
68
71
5.2.- ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN ..........................
5.2.1.- FORMA TEXTUAL .....................................................
5.2.2.- FORMA TABULAR ....................................................
5.2.3.- FORMA GRÁFICA ......................................................
73
74
74
78
72
73
5.3.- ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS ...................................... 85
5.4.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE
POSICIÓN ................................................................................ 93
5.5.- AJUSTE DE CURVAS .......................................................... 100
CAPÍTULO 6. MODELOS MATEMÁTICOS ........................................ 106
6.1.- EJERCICIOS, PROBLEMAS Y MODELOS.
INTRODUCCIÓN .................................................................... 106
6.2.- EJERCICIOS Y PROBLEMAS ............................................. 107
6.3.- MODELO DE DINÁMICA DE POBLACIÓN ..................... 109
6.4.- EJERCICIOS DEL CAPÍTULO ............................................. 112
RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS
................................... 114
REFERENCIAS ........................................................................................ 121
VI
CAPÍTULO 1 . LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS.
1.1.- PROPOSICIONES VERITATIVAS.
DEFINICIÓN 1.1: Una PROPOSICIÓN VERITATIVA ( o simplemente
proposición) es una frase cuyo contenido es verdadero o falso, pero no ambos.
EJEMPLO 1.2: a.- Las siguientes frases son proposiciones verdaderas:
1.- 6 es un número par.
2.- 7 no es un número par.
3.- Si Juan es caraqueño, entonces es venezolano.
b.- Las siguientes frases son proposiciones falsas:
1.- 6 es un número impar.
2.- Todo venezolano es barquisimetano.
3.- 2=1.
c.- Las siguientes frases no son proposiciones:
1.- ¿ Cuántos años tienes ?
2.- ¡ Qué locura!
3.- Esta frase es falsa.
Denotaremos a las proposiciones con letras minúsculas y diremos que
su VALOR LÓGICO (VL) es uno si es verdadera y cero si es falsa.
EJEMPLO 1.3: Si p y q son las proposiciones:
p: 8 es un número par.
q: 2=1.
Entonces el valor lógico de p es uno ( VL(p)=1) y el valor lógico de q es
cero ( VL(q)=0).
DEFINICIÓN 1.4: Una PROPOSICIÓN ABIERTA es un par (A, P(x)) que
satisface:
i)
A es un conjunto ( al cual llamaremos DOMINIO ).
ii)
P(x) es una frase que contiene la variable x.
iii) P(x) no es una proposición.
iv) Cada sustitución de x en P(x) por un elemento de A produce una
proposición.
El conjunto formado por los elementos de A para los cuales P(x) es
verdadera, se denomina DOMINIO DE VERDAD, denotado DV(A,P(x)).
1
EJEMPLO 1.5: a.- Sea A={1,2,3,4} y la proposición
P(x): x es par; entonces
P(1) es una proposición falsa.
P(2) es una proposición verdadera.
P(3) es una proposición falsa.
P(4) es una proposición verdadera.
Luego, (A,P(x)) es una proposición abierta y DV(A,P(x))= {2,4}
b.- Sea B={0, 1, 3, 10} y la proposición
Q(y): y² > 5; entonces
Q(0) es una proposición falsa.
Q(1) es una proposición falsa.
Q(3) es una proposición verdadera.
Q(10) es una proposición verdadera.
Luego, (B,Q(x)) es una proposición abierta y DV(B,Q(x))= {3, 10}
En las proposiciones abiertas puede haber más de una variable y en ese
caso deben haber tantos conjuntos como variables.
EJEMPLO 1.6: A={2, 4}
B= {1, 3, 5}
P(x,y): x < y
(A, B, P(x,y)) es también una proposición abierta ya que:
P(2,1) es una proposición falsa.
P(2,3) es una proposición verdadera.
P(2,5) es una proposición verdadera.
P(4,1) es una proposición falsa.
P(4,3) es una proposición falsa.
P(4,5) es una proposición verdadera.
En este caso, el Dominio de Verdad está formado por pares ordenados.
Esto es, DV(A,B,P(x,y))= {(2,3), (2,5), (4,5)}.
2
EJERCICIO 1.7:
1.- Determinar cuáles de las siguientes frases son proposiciones:
a.- 2+1=5
b.- Para todo número real x, x² > 0
c.- Esta frase no es una proposición.
d.- Esta frase es una proposición.
2.- Hallar el Dominio de Verdad de las siguientes proposiciones
abiertas:
a.- A={0, 1, 2, 3}, P(x): x-2 < 0
b.- B={círculo, cuadrado, triángulo}, Q(x):x es un polígono.
c.- C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, R(y): y no es un número primo.
1.2.- OPERACIONES CON PROPOSICIONES.
A continuación estudiaremos algunas operaciones con proposiciones
tales como: negación, conjunción, disyunción, disyunción exclusiva,
condicional y bicondicional. A los símbolos que se usan para denotar estas
operaciones (~, ∧, ∨, ∨ , →, ↔), se les denomina CONECTIVOS LÓGICOS
(o simplemente conectivos).
1.2.1.- NEGACIÓN.
DEFINICIÓN 1.8: La NEGACIÓN de una proposición p es otra
proposición ( ~ p), que se lee “ no p” ( ó “ no es cierto que p” ó “p es falsa”) y
cuyo valor lógico es VL(~p)=1-VL(p). Esto es ,
p ~p
1 0
0 1
o
~p
01
10
A las tablas de este tipo se les denomina TABLAS DE VERDAD.
EJEMPLO 1.9: Si p: 3 > 4
q: 5 < 1
r: x²+3x+2=(x+2)(x+3)
entonces VL(~p)=1.
VL(~q)=1.
VL(~r)=0.
3
1.2.2.- CONJUNCIÓN.
DEFINICIÓN 1.10: La CONJUNCIÓN de dos proposiciones p y q es otra
proposición (p∧q) que se lee “p y q”, cuyo valor lógico es VL(p∧q)=mín
{VL(p), VL(q)} . Esto es,
p
1
1
0
0
q p∧q
1 1
0 0
1 0
0 0
o
p∧q
111
100
001
000
EJEMPLO 1.11: Si p: 2² > 3
q: 2-1=0
r : 10¹ º > 100
entonces VL(p)=1, VL(q)=0, VL(r)=1.
VL(p∧q)=0.
VL(p∧r)=1.
VL(q∧r)=0.
1.2.3.- DISYUNCIÓN (o DISYUNCIÓN INCLUSIVA).
DEFINICIÓN 1.12: La DISYUNCIÓN de dos proposiciones p y q es otra
proposición (p∨q) que se lee “p o q” , cuyo valor lógico es VL(p∨q)=máx
{VL(p), VL(q)} . Esto es,
p
1
1
0
0
q p∨q
1 1
0 1
1 1
0 0
o
p∨q
111
110
011
000
EJEMPLO 1.13: Si p: Barquisimeto es la capital del estado Lara.
q: Valera es la capital del estado Trujillo.
r: Guanare es la capital del estado Cojedes.
entonces VL(p)=1, VL(q)=0, VL(r)=0.
VL(p∨q)=1
VL(p∨r)=1
VL(q∨r)=0.
4
1.2.4.- DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
DEFINICIÓN 1.14: La DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de dos proposiciones p
y q es otra proposición (p∨q) que se lee “o p o q” , cuyo valor lógico es
VL(p∨q)= |VL(p)- VL(q)| . Esto es,
p
1
1
0
0
q p∨q
1 0
0 1
1 1
0 0
o
p∨ q
1 0 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
EJEMPLO 1.15: Si p: El mes de febrero tiene siempre 28 días.
q: Mayo tiene 31 días.
r: Marzo tiene 30 días.
entonces VL(p∨q)=1.
VL(p∨r)=0.
VL(q∨r)=1.
La conjunción, la disyunción y la disyunción exclusiva son operaciones
conmutativas. Esto es, si p y q son proposiciones, entonces
VL(p∧q)=VL(q∧p), VL(p∨q)=VL(q∨p) y VL(p∨q)=VL(q∨p).
1.2.5.- EL CONDICIONAL.
DEFINICIÓN 1.16: Sean p y q dos proposiciones. El CONDICIONAL con
antecedente p y consecuente q es la proposición (pÕq), que se lee “si p,
entonces q” cuyo valor lógico es VL(p→q)=máx{1-VL(p), VL(q)} . Esto es,
p
1
1
0
0
q pÕq
1 1
0 0
1 1
0 1
o
pÕq
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
La tabla se resume en: si el antecedente es verdadero, el consecuente no
puede ser falso.
5
EJEMPLO 1.17: Si p: 5 es un número primo.
q: 6 es un número primo.
r: 9 es un número primo.
entonces VL(pÕq)=0.
VL(qÕp)=1.
VL(pÕr)=0.
VL(qÕr)=1.
Este ejemplo ilustra la no conmutatividad del condicional
VL(pÕq) ≠ VL(qÕp).
ya
que
Otras formas de leer el condicional (pÕq) son:
a.- p es una condición suficiente para q.
b.- q es una condición necesaria para p.
c.- p sólo si q.
d.- q si p.
e.- p solamente si q.
EJEMPLO 1.18: Sean las proposiciones
p: Pedro es hijo de José.
q: José es padre de Pedro.
r: José y Pedro son hermanos.
Expresar simbólicamente los condicionales:
a.- Que Pedro sea hijo de José es condición suficiente para que José sea
padre de Pedro.
b.- José y Pedro son hermanos sólo si Pedro es hijo de José.
c.- José y Pedro son hermanos si José es padre de Pedro.
d.- Una condición necesaria para que José y Pedro sean hermanos es
que José sea padre de Pedro.
Solución:
a.- pÕq.
b.- rÕp.
c.- qÕr.
d.- rÕq.
Por otra parte, suponiendo que José y Pedro son hermanos, entonces
VL(p)=0, VL(q)=0, VL(r)=1. Por tanto, los valores lógicos de los
condicionales anteriores son:
6
a.- VL(pÕq)=1.
b.- VL(rÕp)=0.
c.- VL(qÕr)=1.
d.- VL(rÕq)=0.
DEFINICIÓN 1.19: El DIRECTO, el RECÍPROCO, el CONTRARIO y el
CONTRARRECÍPROCO de un condicional pÕq son los condicionales:
Directo: pÕq.
Recíproco: qÕp.
Contrario: (~p)Õ(~q).
Contrarrecíproco: (~q)Õ(~p).
EJEMPLO 1.20: Sean p, q y r las proposiciones del ejemplo anterior.
1.- Enunciar:
a.- El recíproco de pÕq.
b.- El contrario de rÕq.
c.- El contrarrecíproco de rÕp.
2.- Identifique los siguientes condicionales como directo, recíproco,
contrario o contrarrecíproco de los condicionales pÕq, pÕr o qÕp.
a.- Si Pedro no es hijo de José, entonces Pedro y José no son
hermanos.
b.- Una condición necesaria para que José y Pedro sean hermanos es
que José sea padre de Pedro.
c.- José no es padre de Pedro sólo si Pedro no es hijo de José.
Solución:
1.- a.- Si José es padre de Pedro, entonces Pedro es hijo de José.
b.- Si José y Pedro no son hermanos, entonces José no es padre de
Pedro.
c.- Si Pedro no es hijo de José, entonces José y Pedro no son
hermanos.
Existen otras formas de enunciar estos condicionales usando, por
ejemplo, las frases que incluyen condición necesaria, condición suficiente,
sólo si, etc.
2.- a.- (~p)→(~r)
b.- r→q
c.- (~q)→(~p)
( Contrario de p→r ).
( Recíproco de q→r).
( Contrarrecíproco de p→q).
7
1.2.6.- EL BICONDICIONAL.
DEFINICIÓN 1.21: El BICONDICIONAL de dos proposiciones p y q es la
proposición (p↔q), que se lee “p si y sólo si q” y cuyo valor lógico es
VL(p↔q) = 1-|VL(p)-VL(q)|
Esto es,
p
1
1
0
0
q pÖq
1 1
0 0
1 0
0 1
o
pÖq
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
EJEMPLO 1.22: 1.-Supongamos que p, q, r y s son las proposiciones:
p: Fidel Castro fue presidente de Venezuela.
q: John F. Kennedy fue presidente de Estados Unidos.
r: Augusto Pinochet fue presidente de Argentina.
s: Carlos Salinas de Gortari fue presidente de Méjico.
Hallar el valor lógico de la proposición
((~p∨q)∧r)→((s∨r)↔p)
2.- Si la proposición ((∼p∧q)∨r)↔(p∨∼p) es verdadera y VL(r)=0,
hallar VL(p) y VL(q).
Solución:
1.-
((~p∨q)∧r)→((s∨r)↔p)
1 1 0
10 0
1
1
0
0
1
Escribimos la proposición y colocamos los valores lógicos de p, q, r, s y
∼p, obtenidos del enunciado, para obtener los valores lógicos considerando
las operaciones. Luego, hallamos los valores lógicos de ~p∨q y s∨r,
usándolos para conseguir los valores lógicos de (~p∨q)∧r y (s∨r)↔p con
los cuales se obtiene el valor lógico de la proposición.
8
2.- Para que la proposición ((∼p∧q)∨r)↔(p∨∼p) sea verdadera,
es necesario que las proposiciones de ambos lados del bicondicional tengan el
mismo valor lógico.
Veamos la tabla de la verdad del lado derecho
p ∨ ∼p
1 1 0
0 1 1
Debido a esto, (∼p∧q)∨r es verdadera y como VL(r)=0, entonces
VL(∼p∧q)=1. Luego, VL(q)=1 y VL(∼p)=1, por lo que VL(p)=0.
La siguiente gráfica muestra la secuencia mediante la cual se
obtienen los valores lógicos de p y q.
((∼p∧q)∨r)↔(p∨∼p)
1 1
10
1
1 1
Más adelante definiremos equivalencia entre proposiciones y veremos
que, como lo sugiere el nombre, el bicondicional p↔q es “equivalente” a la
conjunción de los condicionales p→q y q→p ; por lo que p↔q también se
lee “p es condición necesaria y suficiente para q”.
EJERCICIO 1.23: 1.- Consideremos las siguientes proposiciones:
p: x=0 es la única solución de la ecuación x²+x=0.
q: x=0 es una solución de la ecuación x²+x=0.
r: La ecuación x²-1=0 tiene solución en el conjunto de los
números reales.
Hallar el valor lógico de las proposiciones:
a.- (p∧q)∨r
b.- p∧(q∨r)
c.- (p∧q)↔(∼r)
d.- (∼r)→((∼p)∧q)
2.- Enunciar el recíproco, el contrario y el contrarrecíproco de
los condicionales:
9
a.- Si x²=1, entonces x=1.
b.- Una condición necesaria para que Ana acepte ir al cine
con Juan es que Juan tenga dinero.
c.- José aprueba matemáticas si estudia mucho.
3.- Sean p, q y r las proposiciones del ejercicio 1.23.1.
Identifique los siguientes condicionales como directo, recíproco, contrario o
contrarrecíproco de los condicionales p→q, p→r o q→r.
a.- Si la ecuación x²-1=0 no tiene solución en el conjunto
de los números reales, entonces x=0 no es una solución de la ecuación x²+x=0.
b.- Una condición necesaria para que x=0 sea una
solución de la ecuación x²+x=0 es que sea la única.
c.- Una condición suficiente para que x²-1=0 no tenga una
solución en el conjunto de los números reales es que x=0 no sea la única
solución de x²+x=0.
d.- Si x=0 es solución de x²+x=0, entonces no es la única.
4.- Si la proposición (p∨q)→(r∧p) es falsa y VL(q)=0, hallar
VL(p) y VL(r).
5.- Si la proposición (p∨q)↔(((∼q)∧r)→s) es falsa y VL(p)=1,
hallar VL(r), VL(q) y VL(s).
1.3.- FORMAS PROPOSICIONALES.
Consideremos la expresión
((p∨q)∧r)↔((p∧r)∨(q∧r)) (I)
Ésta no es una proposición ya que no podemos afirmar que es cierta o
falsa. Sin embargo, si tomamos las letras p, q y r como VARIABLES
PROPOSICIONALES; esto es, si podemos sustituirlas por proposiciones,
entonces (I) se convierte en una proposición. A este tipo de expresiones se les
conoce como FORMAS PROPOSICIONALES, las cuales se denotan con
letras mayúsculas y seguidamente se colocan entre paréntesis las variables
proposicionales que intervienen. Por ejemplo, (1) puede denotarse A(p, q, r) o
B(p, q, r), etc.
El valor lógico de una forma proposicional depende de los valores
lógicos de las variables proposicionales ( también llamadas
10
PROPOSICIONES ATÓMICAS ), éste se calcula usando tablas de la verdad.
Para ilustrar esto, construyamos la tabla de la verdad de (I).
(( p ∨ q ) ∧ r)↔((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))
1 11 11 1 1 11 1 111
1 11 00 1 1 00 0 100
1 10 11 1 1 11 1 001
1 10 00 1 1 00 0 000
0 11 11 1 0 01 1 111
0 11 00 1 0 00 0 100
0 00 01 1 0 01 0 001
0 00 00 1 0 00 0 000
Para hacer esta construcción se colocan todas las combinaciones
posibles de valores lógicos de las variables proposicionales, luego se asignan
valores lógicos de acuerdo a las operaciones que intervienen, como aparece en
la siguiente secuencia
(( p ∨ q ) ∧ r)↔((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))
1 1
1
1 1
1 1
1 1
0
1 0
1 0
1 0
1
1 1
0 1
1 0
0
1 0
0 0
0 1
1
0 1
1 1
0 1
0
0 0
1 0
0 0
1
0 1
0 1
0 0
0
0 0
0 0
(( p ∨ q ) ∧ r)↔((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))
1 11
1
1 11
111
1 11
0
1 00
100
1 10
1
1 11
001
1 10
0
1 00
000
0 11
1
0 01
111
0 11
0
0 00
100
0 00
1
0 01
001
0 00
0
0 00
000
11
(( p ∨ q ) ∧ r)↔((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))
1 11 11
1 11 1 111
1 11 00
1 00 0 100
1 10 11
1 11 1 001
1 10 00
1 00 0 000
0 11 11
0 01 1 111
0 11 00
0 00 0 100
0 00 01
0 01 0 001
0 00 00
0 00 0 000
(( p ∨ q ) ∧ r)↔((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))
1 11 11 1 1 11 1 111
1 11 00 1 1 00 0 100
1 10 11 1 1 11 1 001
1 10 00 1 1 00 0 000
0 11 11 1 0 01 1 111
0 11 00 1 0 00 0 100
0 00 01 1 0 01 0 001
0 00 00 1 0 00 0 000
La columna obtenida en el último paso (llamada COLUMNA
PRINCIPAL), contiene los valores lógicos posibles de la forma proposicional,
y se resalta usando letras negritas, encerrándola en un rectángulo o ambas
cosas. El conectivo debajo del cual está esta columna es llamado
CONECTIVO PRINCIPAL de la forma proposicional.
EJEMPLO 1.24: Construir la tabla de la verdad de las siguientes formas
proposicionales:
a.- (p∨q)→(p∧q)
b.- p∧(∼p)
c.- ((p→q)∧(q→r))→(p→r)
d.- p∨(∼p)
12
Solución:
a.- (p ∨ q)→(p ∧ q)
111 1 111
110 0 100
011 0 001
000 1 000
b.- p∧(∼p)
10 0
00 1
c.- ((p→q)∧(q→r))→(p→r)
1111 111 1 111
1110 100 1 100
1000 011 1 111
1000 010 1 100
0111 111 1 011
0110 100 1 010
0101 001 1 011
0101 010 1 010
( Silogismo Hipotético )
d.- p∨(∼p)
11 0
01 1
1.4.- TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES.
DEFINICIÓN 1.25: Una forma proposicional cuya columna principal esté
constituida sólo por unos, se denomina TAUTOLOGÍA. Si la columna
principal está constituida sólo por ceros, se denomina CONTRADICCIÓN.
Una IMPLICACIÓN LÓGICA es una tautología cuyo conectivo
principal es un condicional ( en cuyo caso el símbolo → se cambia por ⇒ ).
Una EQUIVALENCIA es una tautología cuyo conectivo principal es
un bicondicional ( en cuyo caso el símbolo ↔ se cambia por ⇔ o por ≡ ).
EJEMPLO 1.26: 1.- Demuestre que las siguientes formas proposicionales son
implicaciones lógicas:
a.- (p∧q)→p
(Ley de Simplificación)
b.- p→(p∨q)
(Ley de Adición)
13
c.- ((p∨q)∧(∼q))→p
(Ley de Silogismo Disyuntivo)
2.- Demuestre que las siguientes formas proposicionales son
equivalencias:
a.- (p→q)↔(∼p∨q)
(Ley del Condicional)
b.- (p↔q)↔((p→q)∧(q→p)
(Ley del Bicondicional)
c.- (p→q)↔((∼q)→(∼p)) (Ley del Contrarrecíproco)
Solución:
1.- a.- (p ∧ q) → p
11 1 1 1
10 0 1 1
00 1 1 0
00 0 1 0
b.- p→(p ∨ q)
1 1 111
1 1 110
0 1 011
0 1 000
c.- ((p ∨ q) ∧ (∼q)) → p
111 0 0
1 1
110 1 1
1 1
011 0 0
1 0
000 0 1
1 0
2.- a.- (p → q)↔(∼p ∨ q)
1 1 1 1 0 11
1 0 0 1 0 00
0 1 1 1 1 11
0 1 0 1 1 10
b.- (p↔q)↔((p→q)∧(q→p)
111 1 111 1111
100 1 100 0011
001 1 011 0100
010 1 010 1010
14
c.- (p→q)↔((∼q)→(∼p))
111 1 0 1 0
100 1 1 0 0
011 1 0 1 1
010 1 1 1 1
EJERCICIO 1.27: Demuestre que las siguientes formas proposicionales son
tautologías; siendo V una tautología y F una contradicción.
1.- ∼(∼p)↔p
(Doble Negación)
2.- (p∨p)↔p
3.- (p∧p)↔p
4.- (p∨q)↔(q∨p)
5.- (p∧q)↔(q∧p)
6- ((p∨q)∨r)↔(p∨(q∨r))
7.- ((p∧q) ∧r)↔(p∧(q∧r))



(Leyes Idempotentes)



(Leyes Conmutativas)



(Leyes Asociativas)
8.- (p∧(q∨r))↔((p∧q)∨(p∧r)) 

9- (p∨(q∧r))↔((p∨q)∧(p∨r)) 







10.- p∨F↔p
11.- p∧F↔F
12.-p∨V↔V
13.- p∧V↔p
(Leyes de De Morgan)
(Leyes de Identidad)
14.- (p∨∼p)↔V
(Ley del tercio excluido)
15.- (p∧∼p)↔F
(Ley de la Contradicción)
15
16.- ∼V↔F
17.- ∼F↔V
18.- (p→q)↔((p∧∼q)→F)
(Ley de reducción al absurdo)
19.- ((p∨q)→r)↔((p→r)∧(q→r)) (Ley de demostración por
casos)
16
1.5.- CONJUNTOS.
Apoyados en conocimientos previos, hemos usado el concepto de
conjunto sin definirlo formalmente. A continuación se presenta este concepto
y algunas propiedades y operaciones básicas.
Consideramos CONJUNTO a toda colección de objetos de cualquier
naturaleza. A tales objetos los denominamos ELEMENTOS. Los conjuntos se
denotan con letras mayúsculas (Ej.: A, B, C,...) y los elementos con
minúsculas (Ej.: a, b, c,...).
Cuando un elemento a está en un conjunto A, decimos que “a pertenece
a A”, y lo denotamos a∈A. En caso contrario, decimos que “a no pertenece a
A”, y lo denotamos a∉A.
Un conjunto está bien definido si, dado cualquier elemento a, se tiene: o
a es un elemento de A o a no es un elemento de A; esto es, para cualquier
elemento a ocurre: a∈A ∨ a∉A.
Un conjunto está definido por EXTENSIÓN cuando enumeramos sus
elementos, separándolos por comas y encerrándolos entre llaves. (Ej.:
A={2, 3, 4}).
Un conjunto está definido por COMPRENSIÓN cuando caracterizamos
sus elementos por una propiedad, o usando una proposición abierta (Ej.:
A={x∈N / 2≤x≤4}).
EJEMPLO 1.28: Definir por extensión los siguientes conjuntos:
a.- A={x∈N / x≤9}.
b.- B={x∈Z / x²=x}.
c.- C={x∈N / x es primo ∧ x≤20}.
Solución:
a.- A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}= {1, 2,...,9}.
b.- B={0, 1}.
c.- C={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Obsérvese que en cada caso se utiliza un conjunto referencial ( en la
definición de A fue N, en la de B fue Z y en la de C fue N). A tal conjunto se
17
le denomina CONJUNTO UNIVERSAL y varía de acuerdo al contexto en el
que se trabaje. Podemos obviar este conjunto referencial cuando se
sobreentienda.
Se denomina CONJUNTO VACÍO a una colección sin objetos, o
análogamente, a un conjunto sin elementos. Este conjunto se denota por ∅ o
{}.
1.6.- CUANTIFICADORES.
Sea (A, P(x)) una proposición abierta. Un problema interesante es
averiguar para cuántos elementos de A, P(x) es verdadera; esto es, cuantificar
el dominio de verdad DV(A,P(x)). Entre las posibilidades que existen
tenemos:
1.- Para al menos un elemento x de A, P(x) es verdadera.
2.- Para ningún elemento x de A, P(x) es verdadera.
3.- Para todos los elementos x de A, P(x) es verdadera.
4.- Para un sólo elemento x de A, P(x) es verdadera.
Ilustraremos la situación con un ejemplo sencillo.
EJEMPLO 1.29: A={0, 1, 2, 3, 4}
P(x): x²>5
Q(x): x<0
R(x): x≥0
S(x): x²=9
De esta situación se obtiene:
Para al menos un elemento x de A, P(x) es verdadera.
Para ningún elemento x de A, Q(x) es verdadera.
Para todos los elementos x de A, R(x) es verdadera.
Para un sólo elemento x de A, S(x) es verdadera.
Obsérvese que la redacción de la segunda proposición puede ser
modificada de tal manera que resulte del tercer tipo. Esto es, la segunda
proposición puede ser redactada: Para todos los elementos x de A, P(x) es
falsa.
De lo anterior resulta de basta estudiar los términos “al menos uno”,
“todos” y “uno sólo”. Estos términos se denominan CUANTIFICADORES.
Daremos formalidad a la definición de los dos primeros y del tercero como
caso particular del primero.
18
1.6.1.- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.
DEFINICIÓN 1.30: El cuantificador “al menos uno”, se denomina
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL y se denota con el símbolo ∃.
Dada una función proposicional (A,P(x)), la proposición “para al menos
un elemento x de A, P(x) es verdadera” se escribe
(∃x∈A)(P(x))
A continuación tenemos otras formas de leer esta proposición:
- Existe un elemento x de A tal que P(x).
- Para algún elemento x de A, P(x).
- P(x), para algún elemento x de A.
Existe otra pregunta. Dada una función proposicional (A, P(x)).
¿Cuándo es verdadera la proposición (∃x∈A)(P(x))? La respuesta es sencilla:
cuando para al menos un elemento x de A, P(x) es verdadera. Esto es, cuando
DV(A, P(x)) es un conjunto no vacío.
Luego, será falsa cuando DV(A, P(x)) no tiene elementos (es un
conjunto vacío).
EJEMPLO 1.31: Decidir cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
a.- (∃x∈A)(P(x)) donde A={0, 1, 2, 3} y P(x): 1<x²≤9.
b.- (∃x∈R) x²>0.
c.- (∃x∈Z) x²<0.
Solución:
a.- Verdadera, ya que P(2) y P(3) son verdaderas.
b.- Verdadera, ya que 3 es un número real tal que 3²=9>0.
c.- Falsa, ya que el cuadrado de todo número entero es no negativo.
Supongamos que A es un conjunto finito (A={a1, a2,...,an }); nótese que
(∃x∈A)(P(x))≡ P(a1)∨P(a2)∨...∨P(an)
Esto se debe a que (∃x∈A)(P(x)) es veradera si y sólo si al menos una
de las proposiciones P(a1), P(a2),..., P(an) es verdadera y esto ocurre si y sólo si
P(a1)∨ P(a2)∨...∨ P(an) es verdadera.
DEFINICIÓN 1.32: El cuantificador “uno sólo” se denomina
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDAD y se denota con el
símbolo ∃!
19
La proposición “para un solo elemento x de A, P(x) es verdadera”, se
escribe
(∃x∈A)(P(x))
Otras formas de leer esta proposición:
- Existe un único elemento x de A tal que P(x).
- Para uno y sólo un elemento x de A, P(x).
- P(x), para un solo elemento x de A.
Esta proposición es verdadera cuando DV(A, P(x)) es un conjunto
unitario ( tiene un solo elemento).
1.6.2.- CUANTIFICADOR UNIVERSAL.
DEFINICIÓN
1.33:
El
cuantificador
“todos”
se
denomina
CUANTIFICADOR UNIVERSAL y se denota con el símbolo ∀.
La proposición “para todo elemento x de A, P(x) es verdadera”, se
escribe
(∀x∈A)(P(x))
Otras formas de leer esta proposición:
- Para cada elemento x de A, P(x).
- P(x), para todo elemento x de A.
Esta proposición es cierta cuando para todos los elementos x de A, P(x)
es verdadera; esto es, cuando DV(A, P(x))=A. Luego, será falsa cuando
DV(A, P(x))≠A.
Por un razonamiento similar al hecho con el cuantificador existencial, si
A={a1, a2,...,an }, entonces
(∀x∈A)(P(x))≡ P(a1)∧P(a2)∧...∧P(an).
EJEMPLO 1.34: Decidir cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
a.- (∀n∈N)(n²≥n)
b.- (∀x∈R)(|x| =x)
c.- (∀y∈Z)(y²+y>0)
Solución:
a.- Verdadera. El cuadrado de todo natural n es mayor o igual a n.
20
b.- Falsa. Tenemos a –2∈R tal que |-2| =2≠-2.
c.- Falsa. Tenemos a –1∈R tal que (-1)²+(-1) = 1 +(-1)=0.
1.6.3.- NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES.
La negación de la proposición “existe al menos un elemento x de A tal
que P(x)” es “para todos los elementos x de A, P(x) es falsa” o similarmente
“para todos los elementos x de A, ∼P(x) es verdadera”. Esto es,
∼[(∃x∈A)(P(x))]≡ (∀x∈A)(∼P(x))
Asimismo, la negación de la proposición “para todos los elementos x de
A, P(x)” es “existe un elemento x de A tal que P(x) es falsa” o similarmente
“existe un elemento x de A tal que ∼P(x) es verdadera”. Esto es,
∼[(∀x∈A)(P(x))]≡ (∃x∈A)(∼P(x))
EJEMPLO 1.35: Negar las proposiciones de los dos ejemplos anteriores:
Solución:
∼[(∃x∈A)(P(x))] ≡ (∀x∈A)(∼P(x))
∼[(∃x∈R)( x²>0)] ≡ (∀x∈R)(∼ (x²>0))
≡ (∀x∈R) (x²≤0)
∼[(∃x∈Z)( x²<0)] ≡ (∀x∈Z)(∼ (x²<0))
≡ (∀x∈Z) (x²≥0)
∼[(∀n∈N)( n²≥n)] ≡ (∃x∈Z)(∼ (n²≥n))
≡ (∃x∈Z) (n²<n)
∼[(∀x∈R)(|x| =x)] ≡ (∃x∈R)(∼(|x| =x))
≡ (∃x∈R)(|x| ≠x)
∼[(∀y∈Z)(y²+y>0)] ≡ (∃x∈R)(∼(y²+y>0))
≡ (∃x∈R)(y²+y≤0)
EJERCICIO 1.36: Decidir cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas y escribir su negación:
a.- (∃x∈R)( x²+1=0)
b.- (∃y∈Z)( 2y=1)
c.- (∃n∈N)( n²=n)
21
d.- (∀x∈R)( x²>0)
e.- (∀x∈Z )( x>1→ x²>x)
f.- (∀x∈R)(∃y∈R)(x.y=1)
1.7.- INCLUSIÓN DE CONJUNTOS.
DEFINICIÓN 1.37: Sean A y B dos conjuntos en el conjunto referencial U.
En lo sucesivo usaremos U para denotar al conjunto universal o referencial,
salvo cuando se indique). Diremos que A está incluido en B (A⊂B) si todo
elemento de A pertenece a B. Esto es,
A⊂B⇔(∀x∈U)(x∈A⇒x∈B)
Otras formas de leer A⊂B:
- A es subconjunto de B.
- B contiene a A.
- B es un superconjunto de A.
Veamos ahora cuándo un conjunto A no está incluido en un conjunto B
(A⊄B).
A⊄B ⇔ ∼[(∀x∈U)(x∈A⇒x∈B)]
⇔ (∃x∈U)∼(x∈A⇒x∈B)
(Neg. de cuantificadores)
⇔ (∃x∈U)∼(x∉A∨x∈B)
(Ley del condicional)
⇔ (∃x∈U)(x∈A∧x∉B)
(Leyes de De Morgan)
Esto es,
A⊄B ⇔ (∃x∈U)(x∈A∧x∉B)
(Transitividad de ⇔)
EJEMPLO 1.38: Determinar en cada caso, si A⊂B o B⊂A.
a.- A={0, 1, 2} B={0, 1, 2, 3}.
b.- A={x, y, z} B={x, z, y}.
c.- A={x∈Z / |x|≤2} B={-1, 0, 1}.
Solución:
a.- A⊂B y B⊄A.
b.- A⊂B y B⊂A.
c.- A⊄B y B⊂A.
TEOREMA 1.39: Si A, B y C son conjuntos en U, entonces:
1.- ∅⊂A.
2.- A⊂A.
22
3.- (A⊂B∧B⊂C) ⇒ A⊂C.
Demostración:
1.- Para demostrar que ∅⊂A, se debe probar que dado cualquier
elemento x∈U, x∈∅→x∈A es una tautología. Pero como ∅ no tiene
elementos, entonces VL(x∈∅)=0, cualquiera sea x∈U. Luego,
x∈∅→x∈A
0 1 1
0 1 0
2.- x∈A→x∈A es una tautología ya que
x∈A→x∈A
1 1 1
0 1 0
3.- (A⊂B∧B⊂C) ⇒ (∀x∈U)((x∈A⇒x∈B)∧(x∈B⇒x∈C))
⇒ (∀x∈U)((x∈A⇒x∈C)
(Silogismo Hipotético)
⇒ A⊂C
Esto es, (A⊂B∧B⊂C) ⇒ A⊂C. ( Transitividad de ⇒ )
Otra forma de demostrar 3, es demostrando que
((x∈A⇒x∈B)∧(x∈B⇒x∈C)) ⇒ (x∈A⇒x∈C)
es una tautología construyendo la tabla de la verdad ( ver ejemplo pag. ).
El teorema anterior nos dice:
- El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
- La inclusión es transitiva.
1.8.- IGUALDAD DE CONJUNTOS.
DEFINICIÓN 1.40: Sean A y B dos conjuntos en U. Diremos que A y B son
iguales (A=B), si se cumple
(∀x∈U)(x∈A⇔x∈B)
Esto es, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
23
TEOREMA 1.41: Si A, B y C son conjuntos en U, entonces:
1.- A=A.
2.- A=B⇔B=A
3.- A=B⇔(A⊂B∧B⊂A)
4.- A=B∧B=C⇒A=C
Demostración:
3.- A=B⇔ (∀x∈U)((x∈A⇔x∈B)
⇔(∀x∈U)((x∈A⇒x∈B)∧(x∈B⇒x∈C)) (Ley del Bicond.)
⇔(∀x∈U)(x∈A⇒x∈B)∧(∀x∈U)(x∈B⇒x∈C))
⇔(A⊂B∧B⊂A)
( Definición de Inclusión)
Luego, A=B⇔(A⊂B∧B⊂A) ( Transitividad de ⇔)
Para probar que dos conjuntos A y B son iguales, lo más usual es
demostrar que A⊂B y B⊂A.
EJEMPLO 1.42: Para cada par de conjuntos A y B, determinar si A=B.
a.- A={0, 1} B={1, 0}
b.- A={0, 1} B={0, 1, 2}
c.- A={x∈Z ⁄ |x|≤1} B={-1, 0, 1}
d.- A=∅ B={∅}
Solución:
a.- A=B
b.- A≠B pues A⊂B, pero B⊄A ya que (∃2∈U)(2∈B∧2∉A).
c.- A=B
d.- A≠B pues A⊂B, pero B⊄A ya que (∃∅∈U)( ∅∈B∧∅∉A).
EJERCICIO 1.43: 1.- Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son
iguales:
a.- A={x, y, z} B={z, y, x}
b.- A={ x∈Z ⁄ x²=x} B={1}
c.- C={y∈R ⁄ 1≤y≤2} D={y∈R ⁄ 1<y<2}
2.- Demuestre que si A⊂B⊂C⊂A, entonces A=B=C.
24
1.9.- OPERACIONES CON CONJUNTOS.
1.9.1.- UNIÓN.
DEFINICIÓN 1.44: Sean A y B conjuntos en U. La UNIÓN de A y B es el
Conjunto A∪B={ x∈U ⁄ x∈A ∨ x∈B }. Esto es,
x∈A∪B⇔(x∈A ∨ x∈B)
U
A
B
EJEMPLO 1.45: Para cada par de conjuntos A y B, hallar A∪B.
a.- A={0, 1, 2} B={2, 3}
b.- A=∅ B={x, y}
c.- A={x∈R ⁄ 0≤x≤2} B={y∈R ⁄ 0≤y<1}
Solución:
a.- A∪B={0, 1, 2, 3}
b.- A∪B={ x, y}
c.- A∪B={ x∈R ⁄ 0≤x≤2}=B
TEOREMA 1.46: SI A, B y C son conjuntos en U, entonces:
1.- A∪A=A
(Idempotencia)
2.- A∪B= B∪A
(Conmutatividad de la unión)
3.- (A∪B) ∪C= A∪(B∪C)
(Asociatividad de la unión)
4.- A∪∅= ∅∪A=A
(Elemento neutro)
5.- A∪U= U∪A=U
6.- A⊂ A∪B
(Adición)
7.- A⊂B⇔A∪B=B
Demostración:
1.- (x∈A∨x∈A)↔x∈A
1 1 1 1 1
0 0 0 1 0
25
Al ser una tautología, se tiene que para cada x∈U, (x∈A∨x∈A)⇔x∈A; luego
A∪A=A.
4.- (x∈A∨x∈∅)↔x∈A
1 1 0 1 1
0 0 0 1 0
Al ser una tautología, se tiene que para cada x∈U, (x∈A∨x∈∅)⇔x∈A;
luego A∪∅=A.
Similarmente se prueba que ∅∪A=A.
7.- (x∈A→x∈B)↔((x∈A∨x∈B)↔x∈B)
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1 0
Al ser una tautología, se tiene que para
(x∈A→x∈B)⇔((x∈A∨x∈B)↔x∈B); luego A⊂B⇔A∪B= B.
cada
x∈U,
1.9.2.- INTERSECCIÓN.
DEFINICIÓN 1.47: Sean A y B conjuntos en U. La INTERSECCIÓN de A y
B es el Conjunto A∩B={ x∈U ⁄ x∈A ∧ x∈B }. Esto es,
x∈A∩B⇔(x∈A ∧ x∈B)
U
A
B
EJEMPLO 1.48: Para cada par de conjuntos A y B, hallar A∩B.
a.- A={0, 1, 2} B={2, 3}
b.- A=∅ B={x, y}
c.- A={x∈R ⁄ 0<x≤2} B={y∈R ⁄ 0≤y<1}
Solución:
a.- A∩B={2}
b.- A∩B=∅=A
c.- A∩B={ x∈R ⁄ 0<x<1}
26
TEOREMA 1.49: Si A, B y C son conjuntos en U, entonces:
1.- A∩A=A
(Idempotencia)
2.- A∩B= B∩A
(Conmutatividad de la intersección)
3.- (A∩B)∩C= A∩(B∩C)
(Asociatividad de la intersección)
4.- A∩∅=∅∩A=∅
5.- A∩U=U∩A=A
(Elemento neutro)
6.- A∩B⊂A
7.- A⊂B⇔A∩B=A
8.- A⊂B ⇒ (A∩C) ⊂ (B∩C)
9.- A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
10.- A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
11.- A∩B ⊂ A∪B
Demostración:
6.- (x∈A∧x∈B)→x∈A
1 1 1 1 1
1 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
Al ser una tautología, se tiene que para cada x∈U, (x∈A∧x∈B)⇒x∈A;
luego A∩B⊂A.
7.- (x∈A→x∈B)↔((x∈A∧x∈B)↔x∈A)
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 0 1 0
Al ser una tautología, se tiene que para
(x∈A→x∈B)⇔((x∈A∧x∈B)↔x∈B); luego A⊂B⇔A∩B=A.
11.- (x∈A ∧ x∈B) → (x∈A ∨ x∈B)
1 1 1 1
1 1 1
1 0 0 1
1 1 0
0 0 1 1
0 1 1
0 0 0 1
0 0 0
Al ser una tautología, se tiene que
(x∈A∧x∈B)⇒(x∈A∨ x∈B); luego A∩B ⊂ A∪B.
27
para
cada
x∈U,
cada
x∈U,
1.9.3.- DIFERENCIA Y COMPLEMENTO.
DEFINICIÓN 1.50: Sean A y B conjuntos en U. La DIFERENCIA de A y B
es el Conjunto A-B={ x∈U ⁄ x∈A ∧ x∉B }. Esto es,
x∈A-B⇔(x∈A ∧ x∉B)
A
B
EJEMPLO 1.51: Para cada par de conjuntos A y B, hallar A-B:
a.- A={0, 1, 2} B={2, 3}
(En este caso hallar también B-A)
b.- A={x, y} B={z, w}
c.- A={x, y} B={x, y, z}
d.- A={x∈R ⁄ 0<x≤2} B={y∈R ⁄ 0≤y<1}
Solución:
a.- A-B={0, 1}
B-A={3}
Obsérvese que A-B≠B-A
b.- A-B={x, y}=A.
c.- A-B=∅
d.- A-B={x∈R ⁄ 1≤x≤2}
DEFINICIÓN 1.52: Sea A un conjunto en U. El COMPLEMENTO de A
relativo a U es el Conjunto Ac ={ x∈U ⁄ x∉A }=U-A. Esto es,
x∈Ac ⇔ x∉A
U
A
28
Cuando cse quiera destacar al conjunto referencial U, el complemento se
denota por A U .
EJEMPLO 1.53: Hallar Ac, donde:
a.- A={x∈N ⁄ x≤20}
U=N
b.- A={x∈R ⁄ |x|<1}
U=R
Solución:
a.- A ={x∈N ⁄ x>20}
b.- Ac ={x∈R ⁄ |x|≥1}
c
TEOREMA 1.54: Si A y B son conjuntos en U, entonces:
1.- A-B=A∩Bc
2.- A∩Ac=∅
3.- A∪Ac =U
4.- (Ac) c =A
5.- ∅c =U
6.- (A∪B) c=Ac∩Bc
 Leyes de De Morgan 
c
c
c
7.- (A∩B) =A ∪B

para conjuntos

Demostración:
1.- x∈A-B⇔x∈A∧x∉B
⇔x∈A∧x∈Bc
⇔x∈A∩Bc
(Definición de Diferencia)
(Definición de Complemento)
(Definición de Intersección)
Luego, x∈A-B⇔ x∈A∩Bc
(Transitividad de ⇔)
Por tanto, A-B=A∩Bc
(Definición de igualdad de conjuntos)
4.- x∈(Ac) c ⇔x∉Ac
⇔∼(x∈Ac)
⇔∼(x∉A)
⇔∼(∼(x∈A))
⇔x∈A
(Definición de Complemento)
(Doble negación)
Luego, x∈(Ac) c ⇔ x∈A
Por tanto, (Ac) c =A
7.- x∈(A∪B) c ⇔x∉A∪B
(Transitividad de ⇔)
(Definición de igualdad de conjuntos)
(Definición de Complemento)
(Definición de Complemento)
29
⇔∼(x∈ A∪B)
⇔∼ (x∈A∨x∈B)
⇔(∼x∈A)∧(∼x∈B)
⇔x∉A∧x∉B
⇔x∈Ac ∧ x∈Bc
⇔x∈Ac∩Bc
Luego, x∈(A∪B) c ⇔ x∈Ac∩Bc
Por tanto, (A∪B) c =Ac∩Bc
(Definición de Unión)
(Ley de De Morgan)
(Definición de Complemento)
(Definición de Complemento)
(Transitividad de ⇔)
(Def. de igualdad de conjuntos)
1.9.4.- DIFERENCIA SIMÉTRICA.
DEFINICIÓN 1.55: Sean A y B dos conjuntos en U. La DIFERENCIA
SIMÉTRICA de A y B es el conjunto A∆B = (A-B)∪(B-A).
Esto es,
x∈A∆B⇔(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A)
U
A
B
EJEMPLO 1.56: Hallar la diferencia simétrica de cada par de conjuntos:
a.- A={0, 1, 2} B={2, 3, 4}
b.- C={x, y, z} D={z}
c.- B={x∈R ⁄ x<0} C={x∈R ⁄ x>0}
Solución:
a.- A∆B ={0, 1, 2, 3, 4}
b.- C∆D ={x, y}
c.- B∆C =R
TEOREMA 1.57: Si A y B son conjuntos en U, entonces:
1.- A∆B=B∆A
(Conmutatividad)
2.- A∆(B∆C)=(A∆B) ∆C
(Asociatividad)
3.- A∆B=(A∪B)-(A∩B)
4.- A=B⇔A∆B=∅
30
Demostración:
4.- (x∈A↔x∈B)↔(((x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A))↔x∈∅)
1 1 1
1
1 1 0 0 1 0 0
1 0
1 0 0
1
1 1 1 1 0 0 0
0 0
0 0 1
1
0 0 0 1 1 1 1
0 0
0 1 0
1
0 0 1 0 0 0 1
1 0
Al ser una tautología, se tiene que para cada x∈U,
(x∈A↔x∈B)⇔(((x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A))↔x∈∅); luego A=B⇔A∆B=∅.
EJERCICIO 1.58:
1.- Se ha dejado como ejercicio la demostración de algunas partes de las
proposiciones. Estos ejercicios deben ser realizados en el siguiente Capítulo.
2.- Sean A, B y C los conjuntos:
A={1, 3, 5} B={0, 2, 4} C={0, 1, 2, 3, 4, 5}
Hallar:
a.- A∩B
b.- A∪B
c.- A∆B
d.- A-C
e.- C-A
3.- Sean A y B conjuntos en U. Demostrar que:
a.- A-B⊂Bc
b.-Ac-Bc=B-A
c.- A∆Ac=U
d.- A-U=∅
e.- A∆B=Ac∆Bc
f.- A⊂B⇔A∩Bc=∅
g.- B=(B-A)∪(A-B)
1.9.5.- PRODUCTO CARTESIANO.
DEFINICIÓN 1.59: Llamaremos PAR ORDENADO, con primera coordenada
x y segunda coordenada y, al par (x, y) que satisface
(x, y)=(z, w)⇔(x=z ∧ y=w).
31
EJEMPLO 1.60: (1, 2)≠(2, 1)
(1, 0)=(1, 1-1)
DEFINICIÓN 1.61: El PRODUCTO CARTESIANO de dos conjuntos A y B
es el conjunto AxB={(x, y) ⁄ x∈A∧y∈B}.
Asimismo, se define el producto cartesiano de más de dos conjuntos de
la siguiente manera:
AxBxC={(x, y, z) ⁄ x∈A ∧ y∈B ∧ y∈C}
A1xA2x...xAn ={(x1, x2,..., xn) ⁄ x1∈A1 ∧ x2∈A2 ∧...∧ xn∈An}
A los elementos (x1, x2,..., xn) se les denomina n-uplas y satisfacen la
propiedad (x1, x2,..., xn) = (y1, y2,..., yn) ⇔ ( x1= y1 ∧ x2=y2 ∧... xn=yn ).
La expresión An representa al producto cartesiano de A por sí mismo, n
veces. Esto es,
An =AxAx...xA (n veces)
(Ej. Rn ={(x1, x2,..., xn) ⁄ xi∈R, para 1≤ i ≤ n})
EJEMPLO 1.62: Sean A={1, 3, 5} y B={0, 2, 4}. Hallar: AxB, BxA, NxB.
Solución:
AxB={(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
BxA={(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)}
Nótese que AxB≠BxA.
BxN={(1, x), (1, y), (2, x), (2, y),...,(n, x),(n, y),...}
1.10.- CONJUNTO POTENCIA.
DEFINICIÓN 1.63: El CONJUNTO POTENCIA ( o conjunto de partes ) de
un conjunto dado A es el conjunto P(A) que tiene como elementos a todos los
subconjuntos de A. Esto es,
P(A)={X ⁄ X⊂A}
EJEMPLO 1.64: Hallar el conjunto potencia de los siguientes conjuntos:
A={a}
B={0, 1}
C=∅
32
D={x, y, z}
Solución:
P(A)={∅, {a}}
P(B)={∅, {0}, {1}, {0, 1}}
P(C)={∅}
P(D)={∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}
Si un conjunto A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos.
1.11.- CARDINAL DE CONJUNTOS FINITOS.
DEFINICIÓN 1.65: Diremos que A es un CONJUNTO FINITO si A tiene n
elementos, con n∈N; para denotar el número de elementos de A escribiremos
CardA=n (se lee “el cardinal de A es n”).
Si CardA=1, diremos que A es UNITARIO.
Si A no es finito, diremos que es infinito.
Si A y B son dos conjuntos DISJUNTOS (A∩B=∅), entonces
Card(A∪B)=CardA+CardB.
Si A1, A2,..., An son conjuntos disjuntos dos a dos, entonces
Card(A1∪A2∪... ∪An)=Card A1+Card A2+...+Card An.
EJEMPLO 1.66: Si A={0, 1, 2}, B={x, y, z, w} y C={∅}, entonces
CardA=3
CardB=4
CardC=1
TEOREMA 1.67: Si A, B y C son conjuntos finitos en U, entonces:
1.- Card(B-A)=CardB-Card(A∩B).
2.- Card(A∪B)=CardA+CardB-Card(A∩B).
3.- A⊂B⇒CardA≤CardB.
4.- Card(A∆B)= CardA+CardB-2Card(A∩B).
Demostración:
1.- Sabemos que B=(B-A)∪(A∩B) y que (B-A) y (A∩B) son disjuntos.
Luego, CardB=Card((B-A)∪(A∩B))
=Card(B-A)+Card(A∩B)
Por tanto,
33
Card(B-A)=CardB-Card(A∩B).
2.- Sabemos que A∪B=A∪(B-A) y que A y (B-A) son disjuntos.
Luego, Card(A∪B)=CardA+Card(B-A)
=CardA+ CardB-Card(A∩B).
Veamos ahora algunos ejemplos que involucran cardinalidad en
conjuntos finitos.
EJEMPLO 1.68: 1.- Supongamos que los conjuntos finitos A, B y C
satisfacen:
Card(A∩B∩C)=5
Card(A∩B)=6
Card(A∩C)=8
Card(B∩C)=8
CardA=CardB=CardC=11
Hallar:
i.- Card(A-(B∪C))
ii.- Card((B∪C)-A)
Solución:
Elaboramos un diagrama que represente los tres conjuntos, comenzando
a colocar las cantidades de elementos que hay en: A∩B∩C, A∩B, A∩C,
B∩C y luego se va colocando el resto de las cantidades de acuerdo a la
información que tenemos. El siguiente diagrama ilustra el procedimiento:
A
B
2
3
C
U
1
5
3
34
5
0
De la gráfica se obtiene:
i.- Card(A-(B∪C))=2
ii.- Card((B∪C)-A)=8
2.- Sean A, B y C tres conjuntos finitos que satisfacen:
CardA=10
CardB=19
CardC=11
Card(A∩B)=4
Card(A∩C)=3
Card(B∩C)=6
Card(A-(B∪C))=4
Hallar:
i.- Card(A∩B∩C)
ii.- Card(C-(A∪B))
iii.- Card((A∪B)-C)
Solución:
Se sigue un procedimiento similar al del ejemplo anterior, sólo que la
cantidad que primero se debe colocar (Card(A∩B∩C)) no se conoce; en su
lugar se coloca una incógnita (por ejemplo x) calculando luego su valor.
U
A
B
4
4-x
4-44
3-x
x
C
De la gráfica se obtiene:
CardA=10=4+(4-x)+x+(3-x) ⇒ 10=11-x ⇒x=1
35
Luego,
U
A
B
4
3
2
10
1
5
C
3
Por tanto,
i.- Card(A∩B∩C)=1
ii.- Card(C-(A∪B))=3
iii.- Card((A∪B)-C)=17.
EJERCICIO 1.69: 1.- Sean A, B y C conjuntos en U. Demuestre que:
a.- Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
b.- Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
c.- P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)
d.- ¿Es cierto que siempre P(A∪B)⊂P(A)∪P(A)? Justifique.
2.- Sean A, B y C tres conjuntos finitos que satisfacen:
CardA=8
CardB=8
CardC=11
Card(A∩B)=1
Card(A∩C)=3
Card(B∩C)=4
Card(A∩B∩C)=1
Hallar:
i.- Card((A∪B)- (A∩C))
ii.- Card(C-(A∪B))
iii.- Card(A∪B∪C)
36
3.- De un grupo de 15 personas, se tiene la siguiente
información:
5 tienen licencia de conducir;
8 tienen tarjeta de crédito;
3 tienen celular;
1 tiene licencia y tarjeta de crédito;
1 tiene licencia y celular;
2 tienen celular y tarjeta de crédito; y
3 tienen licencia pero no tienen celular ni tarjeta de crédito.
De este grupo:
i.- ¿Cuántas personas tienen licencia, tarjeta de crédito y celular?
ii.- ¿Cuántas personas tienen tarjeta de crédito o celular, pero no
licencia?
iii.- ¿Cuántas personas no tienen ni tarjeta de crédito ni celular ni
licencia?
37
CAPÍTULO 2. PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
En el Capítulo anterior, hemos enunciado y demostrado teoremas, sin
dar una definición de teorema ni establecer procedimientos para demostrarlos.
Esto tiene la finalidad de despertar la curiosidad y crear la necesidad de
conocer unos y otros.
En matemáticas, existen varios tipos de enunciados: verdaderas, falsos y
conjeturas. Se denomina TEOREMA a todo enunciado verdadero relevante;
esto es, una tautología (los teoremas son llamados PROPOSICIONES por
algunos autores).Un enunciado falso es una forma proposicional que no es una
tautología. Una CONJETURA es un enunciado del cual aún no se ha probado
su veracidad ni su falsedad.
Como se afirmó, hemos estado trabajando con teoremas y enunciados
falsos en el capítulo anterior. Profundizaremos más en el tema, haciendo
énfasis en los teoremas y sus demostraciones.
2.1.- TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES.
Colocar el adjetivo “relevante” a una forma proposicional verdadera,
como condición para que sea considerada un teorema, tiene la intención de
evitar la proliferación de teoremas simples o superfluos. Por ejemplo, la
afirmación (∃x∈R)(x>0) es un enunciado verdadero; sin embargo, no se
considera como un teorema por lo trivial que resulta ser.
No existe una forma predeterminada de demostrar un teorema dado;
asimismo, en muchos casos, existe más de una manera de hacerlo. Una forma
es, en los casos más sencillos, construir la tabla de la verdad para verificar que
es una tautología. A continuación veremos otras formas algunas de las cuales
ya hemos usado.
2.1.1.- TEOREMAS DEL TIPO p⇒
⇒ q.
En este caso, p se denomina HIPÓTESIS y q TESIS. Las formas más
usadas para demostrar este tipo de teoremas son:
USANDO SILOGISMO HIPOTÉTICO (también llamado transitividad del
condicional).
38
Recordemos que
((p→q)∧(q→r))⇒(p→r)
Se puede probar p⇒q ( en este caso se lee “p implica q”) con base en
otros resultados ya demostrados, usando una cadena de condicionales. Esto es,
estaremos
demostrando
que
p⇒q
si
demostramos
que
(p⇒q1)∧(q1⇒q2)∧...∧(qn-1⇒qn)∧(qn⇒q); lo que regularmente se escribe
p⇒q1
⇒q2
.
.
.
⇒qn
⇒q
En la cadena de condicionales pueden intervenir algunos bicondicionales. Esto no altera el resultado ya que claramente (p⇔q)⇒(p→q).
EJEMPLO 2.1: Demostrar usando silogismo hipotético: ((p∨q)∧∼q)⇒∼p
Solución:
((p∨q)∧∼q)⇔(∼p∨q)∧∼q)
⇔(∼p∧∼q)∨(q∧∼q)
⇔(∼p∧∼q)∨F
⇔(∼p∧∼q)
⇒ ∼p
(Ley del condicional)
(Ley de De Morgan)
(Ley de la contradicción)
(Ley de identidad)
(Ley de simplificación)
USANDO LA LEY DEL CONTRARRECÍPROCO.
Recordemos que
(p→q)⇒(∼q→∼p)
Luego, si demostramos que ∼q→∼p es una tautología, entonces p→q
también lo es.
EJEMPLO 2.2: Demostrar usando la Ley del contarrecíproco:
(p→(q→r))⇒((p∧q)→r)
39
Solución:
∼((p∧q)→r)⇔∼(∼(p∧q)∨r)
⇔∼((∼p∨∼q)∨r)
⇔∼(∼p∨(∼q∨r))
⇔∼(∼p∨(q→r))
⇔∼(p→(q→r))
(Ley del condicional)
(Ley de De Morgan)
(Ley asociativa de ∨)
(Ley del condicional)
(Ley del condicional)
USANDO LA LEY DE REDUCCIÓN AL ABSURDO.
Recordemos que
(p→q)⇔((p∧∼q)→F)
Luego, si demostramos que (p∧∼q)→F es una tautología, entonces p→q
también lo es.
EJEMPLO 2.3: Demostrar el silogismo hipotético usando la ley de reducción
al absurdo.
Solución:
Debemos probar que
((p→q)∧(q→r))⇒(p→r)
((p→q)∧(q→r))∧∼(p→r)⇔(∼p∨q)∧( ∼q∨r)∧∼( ∼p∨r)
⇔(∼p∨q)∧( ∼q∨r)∧∼( ∼p)∧∼r
⇔(∼p∨q)∧( ∼q∨r)∧ p∧∼r
⇔((∼p∨q)∧p)∧(( ∼q∨r)∧∼r)
⇒ q∧∼q
⇔F
(Ley del cond.)
(Ley de De Morgan)
(Doble negación)
(Conmut. y Asoc.)
(Silogismo disy.)
(Ley de contrad.)
USANDO LA LEY DE DEMOSTRACIÓN POR CASOS.
Recordemos que
((p∨q)→r)⇔((p→r)∧(q→r))
Luego, podemos demostrar un teorema de la forma
demostrando p⇒r y q⇒r por separado.
EJEMPLO 2.4: Demostrar usando la ley de demostración por casos
((p→r)∨(q→s))⇒((p∧q)→(r∨s))
40
(p∨q)⇒r
Solución:
(p→r)⇔(∼p∨r)
⇒(∼p∨r)∨(∼q∨s)
⇔(∼p∨∼q)∨(r∨s)
⇔∼(p∧q)∨(r∨s)
⇔((p∧q)→(r∨s))
(Ley del condicional)
(Ley de adición)
(Conmutatividad y Asociatividad)
(Ley de De Morgan)
(Ley del condicional)
Luego, (p→r)⇒((p∧q)→(r∨s)) (i)
(q→s)⇔(∼q∨s)
⇒(∼q∨s)∨(∼p∨r)
⇔(∼p∨∼q)∨(r∨s)
⇔∼(p∧q)∨(r∨s)
⇔ ((p∧q)→(r∨s))
(Ley del condicional)
(Ley de adición)
(Conmutatividad y Asociatividad)
(Ley de De Morgan)
(Ley del condicional)
Luego, (q→s)⇒((p∧q)→(r∨s)) (ii)
De (i) y (ii) por la ley de demostración por casos se tiene
((p→r)∨(q→s))⇒((p∧q)→(r∨s))
2.1.2.- TEOREMAS DEL TIPO p⇔
⇔ q.
USANDO LA TRANSITIVIDAD DEL BICONDICIONAL.
Es fácil probar que ((p↔q)∧(q↔p))⇒(p↔q).
Usando este hecho y siguiendo un razonamiento similar al del
condicional; se concluye que, si probamos que
(p⇔q1)∧(q1⇔q2)∧...∧(qn-1⇔qn)∧(qn⇔q)
lo que regularmente se escribe
p⇔q1
⇔q2
.
.
.
⇔qn
⇔q
estaremos demostrando que p⇔q.
41
EJEMPLO 2.4: Ver demostración del teorema 1.54.
USANDO LA LEY DEL BICONDICIONAL.
Recordemos que (p↔q)⇔((p→q)∧(q→p)).
Luego, podemos probar p⇔q demostrando p⇒q y q⇒p por separado,
para cada uno de los cuales podemos usar cualquier método de 2.1.1.
2.2.- CONTRAEJEMPLOS.
Si se quiere demostrar que una proposición de la forma (∀x∈A)(P(x))
es falsa, es suficiente con probar que su negación ((∃x∈A)(∼P(x))) es
verdadera; esto es, basta mostrar un elemento x0∈A tal que P(x0) es falsa, o
que ∼P(x0) es verdadera. A tal elemento se le denomina CONTRAEJEMPLO.
EJEMPLO 2.6: Demostrar, usando contraejemplos, que las siguientes
proposiciones son falsas:
a.- (∀x∈R)(x2>0)
b.- (∀n∈Q)(10n≥10)
Solución:
a.- Para x0=0, se satisface 0∈R y 02=0. Contraejemplo: x0=0.
b.- Para n0=½, se satisface ½∈Q y 10½=<10.
Como sucede en la parte b, puede existir más de un elemento en el
dominio para el cual P(x) es falsa; es decir, puede existir más de un
contraejemplo. Sin embargo, basta con mostrar uno.
EJERCICIO 2.7:
1.- Demostrar las partes a, b y d del teorema 1.41.
2.- Demostrar las partes b, c, e y f del teorema 1.46.
3.- Demostrar las partes a, b, c, d, e, h, i y j del teorema 1.49.
4.- Demostrar las partes 2, 3, 5, 6 y 8 del teorema 1.54.
5.- Demostrar las partes 1, 2 y 3 del teorema 1.57.
6.- Demostrar las partes 3 y 4 del teorema 1.67.
7.- Demostrar la ley de reducción al absurdo (p→q)⇔((p∧∼q)→F):
a.- Demostrando por separado:
i.- (p→q)⇒((p∧∼q)→F) (Usando ley de demost. por casos)
ii.- ((p∧∼q)→F)⇒(p→q)
b.- Usando la ley del contrarrecíproco.
42
8.- Demuestre, mediante contraejemplos, que las siguientes proposiciones son falsas:
a.- (∀x∈R)(|x|=x)
b.- Todo venezolano es barquisimetano.
c.- (∀x∈N)(n2+n>n)
2.3.- CONJETURAS.
En general, una CONJETURA es un juicio que se forma de una cosa o
acaecimiento por las señales o indicios que de él se tienen. Es una suposición.
Como aparece en la introducción de este capítulo, una CONJETURA,
en matemáticas, es un enunciado del cual no se haya probado aún su veracidad
ni su falsedad.
Algunas conjeturas son tan famosas y tomadas por ciertas que son
llamadas teoremas. Tal es el caso del Teorema de Fermat, resultado que ha
dado lugar a importantes descubrimientos en álgebra y análisis.
El matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) propuso que la
ecuación an+bn=cn no tiene solución para números enteros si n es mayor que 2.
La obra Aritmética del matemático griego Diofante, contiene un
capítulo dedicado a los números pitagóricos (los conjuntos de tres números a,
b y c, como 3, 4 y 5 para los cuales se cumple la ecuación an+bn=cn).
Fermat escribió en su ejemplar de Aritmética: “He descubierto una
demostración realmente extraordinaria de esto, que no cabe aquí por ser este
margen demasiado pequeño”.
En 1908, la Universidad de Gotinga (Alemania) estableció un premio de
100.000 marcos (55.000 dólares aprox.) para quien demuestre la veracidad o
falsedad del teorema, antes del 13 de septiembre del 2007.
Con el uso de computadoras, el teorema ha sido comprobado para
exponentes hasta 125.000.
En junio de 1993, Andrew Wiles, matemático británico de la
Universidad de Princeton, afirmó que había demostrado el teorema. En
diciembre de ese mismo año, los expertos encontraron un fallo en la
demostración, pero Wiles siguió trabajando en ella obteniendo resultados que
son actualmente aceptados por gran parte de los matemáticos.
43
CAPÍTULO 3. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES.
3.1.- PROPORCIONALIDAD.
3.1.1.- VARIACIÓN.
DEFINICIÓN 3.1: Sean a y b dos números enteros. La RAZÓN de a a b es el
cociente a/b, lo cual también se escribe a÷b o a:b.
EJEMPLO 3.2:
a.- Si una persona pesa 60 Kg., esto significa que la relación de su peso
a la unidad de peso, 1 Kg., es 80:1.
b.- Si un hombre pesa 80 Kg. Y su hijo pesa 20 Kg., la relación del peso
del hombre al peso del hijo es 80:20 o 4:1. Esta es la relación que
establecemos cuando decimos que el hombre pesa cuatro veces lo que pesa el
hijo; o bien, que el hijo pesa la cuarta parte de lo que pesa el padre.
c.- Si un automóvil recorre 140 Km. En 2 horas, la relación entre la
distancia y el tiempo 140:2 o 70:1 es su velocidad media (lo cual se expresa
comunmente 70 Km./h.).
d.- Cuando se dice que una vía tiene una pendiente del 3%, lo que se
quiere decir es que un móvil ascenderá 3 mts. por cada 100 mts. de
movimiento horizontal. Por tanto, la razón del ascenso al movimiento
horizontal es 3:100 o 3/100.
3 mts.
100 mts.
3.1.2.- PROPORCIÓN.
DEFINICIÓN 3.3: Una PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. La
proporción
a c
=
b d
se lee “a es a b como c es a d”.
44
EJEMPLO 3.4:
1.- Resolver la proporción
2y
y
=
y+2 4
2.- Para preparar el agua de una pecera de 45 lts. Se necesitan 9 gotas de
cierto antibiótico. ¿Cuántas gotas de antibiótico se necesitarán para una pecera
de 70 lts.?
3.- En una fuente de soda, a cada litro de jugo de naranja, le añaden 1/4
lt. De agua. ¿Cuánta agua le añaden a 11/2 lts. de jugo de naranja?
Solución:
1.-
/y+2= y/4 ⇔ 4(2y)=y(y+2)
⇔ 8y=y²+2
⇔ y²-6y=0
⇔ y(y-6)=0
⇔ y=0 ∨ y=6
2y
2.- 45/9 = 70/x ⇔ 45x=70.9
⇔ x=14
Luego, se necesitan 14 gotas de antibiótico para preparar el agua de una
pecera de 70 lts.
3.- 1/1/4 = 11/2 /x ⇔ x = 11/8
Luego, le añaden
11
11
/8 lt. De agua a
/2 lts. de jugo de naranja.
Con estas proporciones se elaboran tablas como la siguiente:
Jugo de Naranja (lts.)
Agua (lts.)
1
2
1
1
/4
3
3
...
/2
/4
45
...
11
/2
11
/8
3.1.3.- VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL.
Con frecuencia, decimos que una variable x es directamente
proporcional a otra variable y, cuando en la medida que x aumenta, y aumenta
y en la medida que x disminuye, y disminuye. Por ejemplo, si el precio del
tomate es de 500 Bs. cada Kg., el costo C de comprar m Kgs. de tomate será:
C = 500m
o
C
= 500
m
Este tipo de relación entre variables se denomina Variación Directa.
DEFINICIÓN 3.5: Una variable y VARÍA EN RAZÓN DIRECTA ( o es
DIRECTAMENTE PROPORCIONAL ) a otra variable x si
y
=k
x
donde k es una constante diferente de cero (k∈R∗).
Nótese que
y
=k
x
es equivalente a y=kx.
A la constante k se le denomina CONSTANTE DE VARIACIÓN.
EJEMPLO 3.6:
a.- Un móvil viaja con una velocidad uniforme; esto es, la distancia que
recorre varía en razón directa del tiempo. Sabemos que recorre 120 Kms. en 2
horas. Hallar una fórmula para determinar la distancia en función del tiempo.
¿Qué distancia recorre en 5 horas?
b.- La corriente I de un circuito eléctrico varía en razón directa del
voltaje E. Cuando E=220 volts., I=6 amperes. Completar el siguiente cuadro
46
I
E
4
110
3.5
100
Solución:
a. -
d
=k
t
donde d es la distancia, t el tiempo y k la constante de variación.
Sabemos que d=120 Km. cuando t=2h. Luego,
120 Km
=k
2h.
de donde k=60 Km/h.
Obtenemos la fórmula d=t60Km./h
Haciendo t=5h., se tiene
d=5h.60Km/h=300Km.
Luego, el móvil recorre 300 Km. en 5 horas.
b.- E=k.I y como E=240 volts. cuando I=6 amp., tenemos
k=
240volt
= 40volt / amp.
6amp
Con la fórmula obtenida E=I.40volt/amp. completamos el cuadro
I
2.75
2.5
4
E
110
100
160
3.5
140
Si en lugar de la relación y=kx, tenemos y=kx², decimos que y varía en
razón directa al cuadrado de x.
También y puede variar en razón directa al cubo de x; esto es, y=kx³.
En general, y varía en razón directa ( es directamente proporcional ) a la
n-ésima potencia de x si y=kxn, donde k es una constante no nula.
47
3.1.4.- VARIACIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL.
En ocasiones también decimos que una variable y es inversamente
proporcional a otra variable x, cuando en la medida en que x aumenta, y
disminuye; y si x disminuye, y aumenta.
DEFINICIÓN 3.7: Una variable y VARÍA EN RAZÓN INVERSA (o es
INVERSAMENTE PROPORCIONAL) a otra variable x si x.y=k, donde k es
una constante diferente de cero.
EJEMPLO 3.8: El volumen V de un gas varía en razón inversa de la presión P,
cuando se mantiene constante la temperatura. Si V=80 cuando P=2, hallar una
fórmula que establezca esta razón inversa y determinar el valor de V cuando
P=5.
Solución:
V.P=k , además k=80(2)=160 de donde
V.P=160 y cuando P=5,
160
V=
= 32
5
Análogamente a la variación directa, y también puede ser inversamente
proporcional a la n-ésima potencia de x ( y.xn=k )
EJERCICIOS 3.9:
a.- Si x=10 cuando y=2, hallar una fórmula que establezca la relación de
x y y cuando:
1.- y es directamente proporcional a x.
2.- y es inversamente proporcional a x.
b.- Si y es directamente proporcional a x, entonces ¿x es directamente
proporcional a y?¿Qué sucede con la proporcionalidad inversa?
c.- Determinar la relación de proporcionalidad que existe entre x y y si:
a.- x.y=4
b.- x=4y
x2
c. - y =
2
d. - x 3 =
48
10
y
3.2.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.
DEFINICIÓN 3.10: Una PROGRESIÓN ARITMÉTICA es un conjunto
ordenado de números (TÉRMINOS), cada uno de los cuales, después del
primero, se obtiene sumando un número fijo (DIFERENCIA COMÚN) al
número anterior del conjunto.
EJEMPLO 3.11: 3, 5, 7, 9, 11 son los términos de una progresión aritmética
con primer término 3, diferencia común 2 y último término 11.
Nótese que la diferencia común puede hallarse restando a cualquier
término el anterior.
Si denotamos los términos mediante w0, w1, w2, w3 y w4 tenemos:
w0 = 3
w1 = 5 = w0+2
w2 = 7 = w1+2 = w0+2.2
w3 = 9 = w2+2 = w0+2.3
w4 = 11 = w3+2 = w0+2.4
Podemos representar la progresión aritmética mediante la fórmula
wn=w0+a.n, donde w0 es el primer elemento, a es la diferencia común y 0≤n≤4.
Esta fórmula caracteriza las progresiones aritméticas.
Ahora bien, supóngase que deseamos conocer la suma de los primeros n
términos de una progresión aritmética dada por wn=w0+a.n. A esta suma la
denotaremos por Sn. Luego,
Sn = w0 + w1 + w2 +...+ wn
= w0 + (w0+ a) + (w0+ 2a) +...+ (wn-1 - 2a) + (wn-1 - a) + wn-1
o
Sn = wn-1 + (wn-1 - a) + (wn-1 - 2a) +...+ (w0+ 2a) + (w0+ a) + w0
de donde
2Sn = (w0+ wn-1) + (w0+ wn-1) + (w0+ wn-1) + ... + (w0+ wn-1) + (w0+ wn-1)
+ (w0+ wn-1)
= n(w0+ wn-1)
Esto es,
Sn =
n
( w0 + wn −1 )
2
Además, considerando que wn-1 = (n-1)a , obtenemos otra fórmula para Sn
49
S n = nw0 +
n(n − 1)
a
2
EJEMPLO 3.12:
1.- Hallar el décimo término (w9) de una progresión aritmética cuyos
dos primeros términos son 15, 17.
2.- Hallar el primer término (w0) de una progresión aritmética que
satisface w5 = 10 y a=-2.
3.- Demostrar que la suma de los n primeros enteros positivos es
n
(n + 1)
2
Solución:
1.- w0 =15 y w1 =17
a= w1 - w0 =17-15=2
w9 = w0 + 9a
= 15 + 9(2)
= 15 + 18
=33
2.- w5 = w0 +5a⇒ 10= w0 +5(-2)
⇒ w0 =10+10=20
3.- Si consideramos la progresión aritmética 1, 2, 3, 4, ... ; Obtenemos
que la suma de los n primeros enteros positivos es la suma Sn de los primeros n
términos de esta progresión, para la cual w0 =1 y a=1.
S n = nw0 +
n(n + 1)
a
2
n(n + 1)
1
2
n(n + 1)
=n+
2
2
2n + n − n
=
2
2
n +n
=
2
n
= (n + 1)
2
= n.1 +
50
EJERCICIOS 3.13:
1.- Hallar el término
primeros términos son:
a) 3, 7
w10
de una progresión aritmética cuyos dos
b) 2, -1
c) 3, 5/2
2.- Hallar el término w5 de una progresión aritmética que satisface:
a) w1 = 3
a = -2
b) w6 = 3
a=1
c) w10 = 10 a = 0
3.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de números son términos
consecutivos de una progresión aritmética?
a) 1, 3, 5
c) 9, 9/2, 0
b) 3h, h, -3h
d) 2, 4, 8, 16
3.3.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.
DEFINICIÓN 3.14: Una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA es un conjunto
ordenado de números (TÉRMINOS), cada uno de los cuales, después del
primero, se obtiene multiplicando el número anterior del conjunto por un
número fijo r (RAZÓN COMÚN).
EJEMPLO 3.11: 1, 2, 4, 8, 16 son los términos de una progresión geométrica
con primer término 1 (w0 =1) y razón común 2.
Nótese que la razón común puede hallarse dividiendo cualquier término
entre el anterior.
Además,
w0 = 1
w1 = w0.r
w2 = w1.r = w0.r2
w3 = w2.r = w0.r3
.
.
.
wn = wn-1.r = w0.rn
Esta última fórmula caracteriza a las progresiones geométricas.
51
Por otra parte, si denotamos por Sn a la suma de los primeros n términos
de una progresión geométrica, tenemos
S n = w0 + w1 + w2 + ... + wn −1
= w0 + w0 r + w0 r 2 + ... + w0 r n −1
rS n = w0 r + w0 r 2 + w0 r 3 + ... + w0 r n
S n − rS n = w0 − w0 r n
S n (1 − r ) = w0 (1 − r n )
De donde,
S n = w0
1− rn
1− r
Esta fórmula es válida para r≠1.
Es claro que si r=1, Sn = n.w0
EJEMPLO 3.16:
1.- Hallar el término w10 de una progresión geométrica que satisfaga:
a) w0 = 1 y r = 1
b) Sus dos primeros términos son 4, 2.
c) W6 = 2 y w8 = ½
2.- Hallar la suma de los primeros n términos de las progresiones
geométricas de la parte 1.
Solución:
1.- a) w10 = w0 r10 = 1. 110 = 1
w 2 1
b) r = 1 = =
w0 4 2
de donde,
52
10
1
1
1
=
w10 = w0 r 10 = 4.  = 4.
1024 256
2
c) w8 = w7 .r = w6 .r 2
de donde,
1
w8
=
w6
2 =
2
1 1
=
4 2
w10 = w9 r = w8 r 2 =
11 1
=
24 8
r=
luego,
2.- a) Sn = nw0
= n.1
=n
( caso r=1)
1− rn
b) S n = w0
1− r
n
1
1−  
2
=4  
1
1−
2
1 

= 81 − n 
 2 
1
w8
c) w8 = w0 r ⇒ w0 = 8 = 2 = 64
1 8
r
2
8
luego,
n
1
1−  
n
1− r
1 
2

S n = w0
= 64   = 1281 − n 
1
1− r
 2 
1−
2
53
EJERCICIO 3.17:
1.- Hallar el término w5 de una progresión aritmética que satisfaga:
a) w0 = 1
r=2
b) w4 = 3 w7 = 81
c) Sus dos primeros términos son 1, 0.
2.- Si en una progresión geométrica Sn = 171, r=-2 y wn = 256 ; hallar
w0 y n.
3.- Un banco paga un interés del 24% anual, capitalizado
mensualmente. ¿Cuánto dinero generarán en intereses el depósito de 250.000
Bs. en 9 meses?
54
CAPÍTULO 4. RELACIONES Y FUNCIONES.
4.1.- RELACIONES.
Recordemos el estudio que hicimos en el Capítulo 1 sobre las
proposiciones abiertas (Definición 1.4). En una proposición abierta de dos
variables (A, B, P(x,y)) se establece una relación entre los elementos de A y
los de B. Esto es, a∈A está relacionado con b∈B si y sólo si P(a, b) es
verdadera; es decir, si y sólo si (a, b)∈DV(A, B, P(x, y)).
DEFINICIÓN 4.1: Sean A y B conjuntos en U. Una RELACIÓN de A
(CONJUNTO DE PARTIDA) en B (CONJUNTO DE LLEGADA) es una
proposición abierta R=(A, B, P(x, y)).
El DOMINIO de R es el conjunto
DomR={a∈A ⁄ ∃b∈B t.q. P(a, b)}
El RANGO de R es el conjunto
RgoR={ b∈B ⁄ ∃a∈A t.q. P(a, b)}
El GRÁFICO de R es el conjunto
GrR={(a, b) ⁄ P(a, b)}=DV(A, B, P(x,y))
Si (a, b)∈GrR, diremos que “a está relacionado con b mediante R” y
escribiremos aRb.
Supongamos que tenemos la relación definida por la proposición abierta
del Ejemplo 1.6. Esto es,
A={2, 4}, B={1, 3, 5} y P(x, y): x<y
Entonces,
GrR={(2, 3), (2, 5), (4, 5)}
DomR={2, 4}=A
RgoR={3, 5}
Otra forma de definir esta relación es: Sean A={2, 4}, B={1, 3, 5} y R
la relación de A en B definida por aRb⇔a<b.
4.2.-REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RELACIONES.
Las relaciones pueden representarse gráficamente de diferentes
maneras. Las más comunes son la representación cartesiana y la
representación sagital.
55
Ilustrémoslo con el mismo ejemplo anterior.
La representación cartesiana consiste en colocar dos ejes o rectas
perpendiculares (ejes cartesianos) e identificar con puntos a los elementos de
cada conjunto. Luego se colocan puntos en los sitios correspondientes a los
pares de elementos relacionados.
B
5
.
3
.
.
1
2
4
A
La representación sagital consiste en representar los conjuntos por
figuras geométricas y sus elementos por puntos. Luego se dibuja una flecha
entre los elementos que están relacionados.
R
A
B
2.
.1
4.
.3
.5
56
EJERCICIO 4.2: Hallar el dominio, el rango, el gráfico y hacer una
representación cartesiana y una sagital de cada una de las siguientes
relaciones.
a) A={1, 2, 3} B={0, 1} xRy⇔x≤y
b) A={0, 1, 2} B={a, b} xRy⇔x=0
c) A=B=Z xRy⇔x=y
4.3.- FUNCIONES.
DEFINICIÓN 4.3:Sean A y B conjuntos en U. Una FUNCIÓN de A en B es
una relación R que satisface:
(∀x∈A)(∃!y∈B)xRy
Esto es, todo elemento de A está relacionado con uno y sólo un
elemento de B.
EJEMPLO 4.4: Decidir cuáles de las siguientes relaciones son funciones:
a)
R1
A
B
a.
.1
b.
.2
c.
b)
R2
A
B
a.
.1
b.
.2
c.
57
c)
R3
A
B
a.
.1
b.
.2
.3
d) A=B=Z y R de A en B definida por xRy⇔x=y²
e) A=B=Z y f la relación de A en B definida por xfy⇔x²=y.
a)
b)
c)
d)
e)
Solución:
Sí es función.
No es función ya que c∈A no está relacionado con ningún elemento
de B .
No es función ya que a∈A está relacionado con dos elementos de B.
No es función ya que –1∈A no está relacionado con ningún
elemento de B.
Sí es función.
4.3.1.- NOTACIÓN FUNCIONAL.
Supongamos que tenemos una función f de un conjunto A en B definida
por xfy⇔y=x²+2.
La manera más usual de denotar y definir esta función es: Sea f:A→B la
función definida por f(x)= x²+2.
Para el caso de las funciones xfy se escribe f(x)=y y se lee de cualquiera
de las siguientes maneras:
- x está relacionado con y mediante la función f.
- y es la imagen de x mediante f.
- x es pre-imagen de y mediante f.
- f evaluada en x es igual a y.
- f de x es igual a y.
58
Nótese que todo elemento x de A tiene exactamente una imagen, mientras
que los elementos y de B pueden no tener preimagen o tener más de una.
En las ecuaciones de la forma f(x)=y, y se llama variable dependiente y
x variable independiente.
Diremos que f:A→B es una FUNCIÓN REAL si B⊂R y diremos que es
de VARIABLE REAL si A⊂R.
Para las funciones también aplican las definiciones de dominio y rango
dadas para las relaciones. Sólo que en el caso de las funciones el dominio
siempre coincide con el conjunto de partida.
EJEMPLO 4.5: Hallar el dominio y el rango de las funciones reales de
variable real definidas por:
a) f(x)=x²
b) g ( x) =
1
x
c) h( x ) = x
Solución:
a) Domf = R
Rgof ={x∈R⁄ x≥0}
b) Domg = R-{0} = Rgog
c)Domh = {x∈R⁄ x≥0} = Rgoh
4.3.2.- FUNCIONES BIYECTIVAS.
DEFINICIÓN 4.6: Sea f:A→B una función. Diremos que f es:
- INYECTIVA si (∀x1, x2∈A) x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2)
- SOBREYECTIVA si (∀y∈B)(∃x∈A) f(x)=y.
- BIYECTIVA si es inyectiva y sobreyectiva.
Una función f:A→B no es inyectiva si existe al menos un elemento y de
B que tiene más de una pre-imagen. Esto es, si ocurre una situación similar a
la de la siguiente gráfica.
59
f
A
B
a.
.1
b.
.2
Una función f:A→B es sobreyectiva si Rgof=B. Y no es sobreyectiva si
existe al menos un elemento de B que no tiene pre-imagen. Esta situación
también ocurre en la gráfica anterior.
EJEMPLO 4.7: Determinar la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de
las siguientes funciones:
a)
f1
A
B
a.
.1
b.
.2
c.
b)
f2
A
B
a.
.1
b.
.2
c.
.3
.4
60
c) g:R→R definida por g(x)=x²
d) g:R→R definida por h(x)=x
Solución:
a) f1 no es inyectiva ya que 1 tiene más de una pre-imagen.
f1 sí es sobreyectiva ya que Rgof1=B.
f1 no es biyectiva ya que no es inyectiva.
b) f2 sí es inyectiva.
f2 no es sobreyectiva ya que 3 no tiene pre-imagen.
f2 no es biyectiva ya que no es sobreyectiva.
c) g no es inyectiva ya que 4 tiene dos pre-imágenes distintas (2 y –2).
g no es sobreyectiva ya que –1 no tiene pre-imagen.
g no es biyectiva ya que no es inyectiva ni sobreyectiva.
d) h es inyectiva ya que (∀x1, x2∈R) x1≠x2 ⇒ h(x1)≠h(x2).
h es sobreyectiva ya que dado cualquier elemento y∈R, existe un
elemento x=y∈R t.q. h(x)=y.
H es biyectiva ya que es inyectiva y sobreyectiva.
EJERCICIO 4.9:
1.- Hallar el dominio y el rango y determinar cuáles de las siguientes
relaciones son funciones:
a)
R1
A
B
a.
.1
b.
.2
c.
.3
61
b)
R2
A
B
a.
.1
b.
.2
c.
.3
c)
R3
A
B
a.
.1
b.
.2
c.
.3
d) A=B=Z y R de A en B definida por
xRy ⇔
1
=y
x
e) A=B=Z y S de A en B definida por
xSy⇔x²≥0
2.- Hallar el dominio y el rango y determinar la inyectividad,
sobreyectividad y biyectividad de las funciones reales de variable real
definidas por:
a) f ( x ) = x 2 + 1
b) g ( x ) = x − 1
1
c) h( x ) = 2
x
62
4.3.3.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
DEFINICIÓN 4.9: Sea a un número real positivo. La FUNCIÓN
EXPONENCIAL DE BASE a es la función F:R→R definida por F(x)=ax.
Hasta ahora, hemos estudiado potencias con exponentes enteros; esto es,
a n = a.a...a
an =
1
an
(n veces )
( si n es un entero positivo)
( si n es un entero negativo)
Sin embargo, puede considerarse también potencias con exponentes
racionales: si x=p/q ∈ Q, entonces
p
q
a = a = ap
x
q
No profundizaremos en la definición de ax para x irracional, el cual se
calcula aproximándose a x a través de números racionales.
Para las potencias con exponentes reales, se satisfacen las propiedades
conocidas para potencias enteras:
(a )
x y
= a x. y
a x .a y = a x + y
ax
= a x− y
y
a
Estudiando el comportamiento asintótico de F, su gráfica depende del
valor de a. Daremos una aproximación.
y
y=ax
1
x
0 < a< 1
63
y
y=ax
1
x
a>1
Como caso particular de este segundo caso (a>1) está un caso que es de
mucha utilidad para resolver problemas prácticos:
n
 1
a = e = Lim 1 +  ≈ 2,718
n → +∞
 n
DEFINICIÓN 4.10: Sea a un número real positivo. La FUNCIÓN
LOGARÍTMICA DE BASE a es la función loga:R+→R definida por
loga(x)=y ⇔ x=ax.
Como puede observarse, las funciones exponenciales a las logarítmicas
guardan estrecha relación.
Las funciones logarítmicas satisfacen las siguientes propiedades, cuya
demostración se deja como ejercicio:
logax.y= logax+ logay
loga(x/y)= logax- logay
logaxy= y.logax
De las funciones logarítmicas, las más estudiadas son la función
logarítmica de base 10 y la de base e. Esta última es llamada logaritmo natural
o neperiano y denotada por ln.
Las gráficas de estas dos funciones (log10 y ln ) son similares a la
siguiente:
64
y
1
x
4.3.4.- VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN.
Sea f : R→ R una función de la cual sabemos que satisface que f(1)=4
y f(5)=26; esto es, la gráfica de la función pasa por los puntos P1=(1, 4) y
P2=(5, 26).
DEFINICIÓN 4.11: Los INCREMENTOS de la función desde P1=(x1, y1)
hasta P2=(x2, y2), en las coordenadas x y y respectivamente se definen como:
Äx = x2-x1 y Äy = y2-y1 = f(x2)-f(x1) = f(x1+Äx )-f(x1)
DEFINICIÓN 4.12: Se define el COCIENTE DE PROPORCIONALIDAD
de f desde P1 hasta P2 como
Äy y 2 − y1 f(x1 + Äx) − f(x1 )
=
=
x1
x1
x1
En el ejemplo anterior, el cociente de proporcionalidad entre P1 y P2 es:
Äy 26 − 2
=
= 24
x1
1
DEFINICIÓN 4.13: La TASA MEDIA de variación de f entre los puntos P1 y
P2 es el cociente:
Äy y 2 − y1 f(x1 + Äx) − f(x1 )
r=
=
=
Äx x 2 − x1
Äx
Este cociente no es más que la pendiente de la recta que pasa por los
puntos P1 y P2; y al considerar el límite de esta tasa media cuando Äx tiende a
cero, obtenemos la derivada de la función f en el punto x1 (si existe).
65
En el ejemplo, la tasa media de variación de f entre P1 y P2 es:
26 − 4 11
r=
=
5 −1
2
En el Capítulo 6, el relativo a modelos matemáticos, estudiaremos las
tasas geométricas y las tasas aritméticas.
EJERCICIO 4.14: Sea f una función de la cual conocemos que satisface la
siguiente tabla:
x
y=f(x)
0
2
5
4
10
8
15
16
20
32
Construir una tabla con los cocientes de proporcionalidad y las tasas
medias de variación en cada intervalo.
66
CAPITULO 5. ESTADÍSTICA.
INTRODUCCIÓN.
La estadística se encuentra estrictamente ligada a la investigación,
cualquier especialidad
en
es útil conocer y saber interpretar conceptos
relacionados con ella.
En este capítulo dotaremos al estudiante de herramientas elementales en el
uso, análisis y aplicación de la estadística discreta, descriptiva e inferencial.
Por tratarse de un curso introductorio no se profundiza mucho en los
análisis y conceptos, pero las aplicaciones que se muestran son hechas con
datos reales y se trata de explicar el mayor número de conceptos y sus
aplicaciones.
Se comienza por establecer los conceptos fundamentales, las formas de
organizar datos para luego presentarlos y se culmina con aproximaciones
continuas de problemas discretos.
No se dejarán ejercicios propuestos por considerar que con información y
datos sobre un problema real y actualizado (además del apoyo bibliográfíco)
el trabajo tiene más pertinencia y por consiguiente mayor interés.
5.1 CONCEPTOS BASICOS EN ESTADÍSTICA.
5.1.1 QUÉ ES LA ESTADÍSTICA.
En primer lugar estableceremos conceptos indispensables para describir el
ambiente de trabajo y definiremos los elementos fundamentales que
intervienen en el desarrollo de este capitulo.
67
El primer concepto es el de estadística, que puede tomarse de distintas
maneras, entre las cuales se encuentran las siguientes:
a) Es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los
fenómenos de masas
o colectivos, entendiendo por tales, aquellos
fenómenos naturales, económicos, sociales, etc., cuya medición requiere
una masa de observaciones de otros fenómenos más simples llamados
individuales o particulares.
b) Es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de
los hechos sujetos a una apreciación numérica como base de la
explicación, descripción y comparación de un fenómeno.
c) Es un poderoso auxiliar en la investigación científica, que le permite a
ésta
aprovechar
el
material
cuantitativo.
En
consecuencia
consideraremos a la estadística no como una ciencia sino como un
conjunto de métodos, que llamaremos métodos estadísticos.
5.1.2 MASA, COLECTIVO Y VARIABLES.
El estudio de los fenómenos de masas o colectivos se precisa a través de
fenómenos menos generales sobre los cuales recae el interés del estudio
además de las relaciones entre estos fenómenos, de esta manera se establece el
universo estadístico (Masa o colectivo), las variables de interés (fenómenos
generales o particulares que se puedan medir) y las medidas estadísticas
adecuadas o pertinentes.
La validez y pertinencia de un estudio estadístico depende de la
identificación y clasificación adecuada de las variables que intervienen en el
68
problema, de hecho, es el primer paso a seguir en un estudio de esta
naturaleza.
5.1.2.1
CLASIFICACION DE VARIABLES
Las variables suelen clasificarse de acuerdo a:
Su naturaleza:
a) Cualitativa: cuando la característica asigna una condición no
numérica. Por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc.
b) Cuantitativa: cuando la característica asigna un número. Este tipo de
variables pueden clasificarse en:
b.1) Cuantitativa Discreta: cuando el instrumento que mide la
variable no admite valores intermedios entre dos puntos
consecutivos cualesquiera. Por ejemplo: número de cédula,
número telefónico, cantidad de estudiantes de la LCM.
b.2) Cuantitativa Continua: cuando el instrumento que mide la
variable
admite
valores
intermedios
entre
dos
puntos
consecutivos cualesquiera. Por ejemplo: tiempo, estatura, peso.
Su escala de medida:
a) Nominal: si al aplicarla sobre las unidades de investigación
determina sub-grupos disjuntos dos a dos, esto es, una variable de
tipo nominal determina una partición sobre el universo estadístico.
Este tipo de variables etiqueta sub-grupos entre los elementos del
universo estadístico sin establecer ningún otro tipo de comparación.
Por ejemplo: sexo, estado civil, grupo sanguíneo.
b) Ordinal: si su medición determina sub-grupos jerarquizados dentro
del universo estadístico. Por tanto toda variable ordinal es nominal.
69
Por ejemplo: grado de instrucción, rango militar, prioridad de
inscripción.
c) De Intervalo: si permite establecer relaciones de diferencia
cuantitativa entre las unidades de investigación pero no permite
establecer comparaciones absolutas entre
estas unidades. Esta
imposibilidad de comparaciones absolutas se debe a la ausencia de
un cero absoluto o punto en la escala que indique ausencia total de la
característica medida. Una variable de intervalo es a su vez ordinal y
nominal. Ejemplos de este tipo de variables se encuentran en su
mayoría en el campo de la psicología, como la variable cociente
intelectual, no se puede afirmar que una persona con coeficiente
intelectual de 80 es el doble de inteligente de otra que tiene como
cociente intelectual 40, lo correcto es decir que existe una diferencia
de 40 puntos entre ambas medidas. (ninguna escala de las usadas
para medir inteligencia tiene un cero absoluto)
d) De Razón: si permite hacer comparaciones absolutas entre las
unidades de investigación. Por ejemplo el peso, una persona de 100
Kg pesa el doble de una persona que pesa 50 Kg o que la segunda
pesa la mitad que la primera.(la balanza tiene un cero que indica la
ausencia de peso). Toda variable de razón es de intervalo, ordinal y
nominal.
Su Nivel de Abstracción:
a) General: cuando no puede cuantificarse directamente o se refieren a
realidades no inmediatamente medibles empíricamente.
b) Intermedia : expresan dimensiones o aspectos parciales de la
variable.
70
c) Indicadores : expresan números, cantidades que permiten cuantificar
la variable.
Su Relación con otras Variables:
a) Dependiente : cuando se constituye en el objeto de la investigación.
b) Independiente: a partir de ellas se obtienen los valores de las
variables dependientes.
5.1.3 OPERACIONALIZACION.
El proceso de pasar de una variable general a una intermedia o a un
indicador se conoce como proceso de operacionalización, este proceso
consiste en definir la variable general y observando los factores de los cuales
depende establecer o definir los indicadores que en general son números,
porcentajes, totales, promedios que cuantifican la variable de interés. Por
ejemplo una empresa requiere medir la calidad de determinado producto que
manofactura, la variable de interés es calidad del producto manofacturado que
por supuesto es general. La calidad de un producto depende de muchos
factores entre los cuales se puede mencionar: la experiencia de los operadores,
condiciones de la maquinaria, materia prima utilizada. Estas son las variables
intermedias
y como indicadores se pueden tomar el número de artículos
defectuosos fabricados en un período de tiempo determinado.
71
5.1.4 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTADÍSTICA INFERENCIAL.
Teniendo identificada la variable de interés, al efectuar las mediciones
aparecen los Datos Estadísticos
que a su vez determinan la Población
Estadística que está conformada por conjuntos de medidas. Cualquier parte
de la población constituye una Muestra y por tanto este será un conjunto de
medidas.
Los conjuntos de datos se pueden caracterizar a través de las
Medidas Estadísticas de Interés a saber: Medidas de Tendencia Central,
Medidas de Posición, Medidas de Dispersión, Medidas de Asimetría, Medidas
de Curtosis, Medidas de Relación.
Cuando estas medidas de interés se
refieren a toda la población se llaman Parámetros y si se refieren a una
muestra se llaman Estadísticos.
La investigación puede realizarse sobre toda la población o sobre una
muestra, todo depende de los objetivos de la investigación, del tamaño de la
población, de los costos entre otros factores. En todo caso si se hace sobre
toda la población se hará un censo y por consiguiente una descripción de la
población y se determinarán los parámetros, si se realiza la investigación
usando una muestra se usará la Estadística Inferencial y en consecuencia se
estimarán los parámetros. Para obtener una estimación confiable y poder
generalizar los resultados la muestra debe ser representativa y deben cumplir
con algunas condiciones como la aleatoriedad (esto significa que todos los
elementos deben tener las mismas posibilidades de ser parte de la muestra).
72
5.1.5 UTILIZACION ADECUADA DE LA ESTADÍSTICA
La estadística queda ligada a una serie de métodos y procedimientos que
tienen que ver con la recolección, organización, análisis e interpretación de
información. Esto nos hace pensar que debemos seguir los siguientes pasos
para la utilización adecuada de la estadística como auxilio en la toma de
decisiones:
a) Recolección de la información: se refiere al trabajo de campo que se
realiza después de fijar los objetivos, finalidades, cobertura, período de
referencia, variables de estudio, antecedentes, diseño de investigación
según sea el caso, validación de los instrumentos, etc. Con este trabajo
de campo se obtienen los datos estadísticos para la investigación.
b) Organización de la Información: al obtener los datos estos aparecen,
en general, en forma no organizada y la información que pueden aportar
en tal estado no conduce a ninguna conclusión relevante. Esto obliga a
establecer esquemas de organización de datos que serán expuestos en la
siguiente sección.
c) Análisis e Interpretación: consiste en calcular e interpretar las medidas
estadísticas.
5.2
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
( PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS)
Luego de haber efectuado el análisis estadístico y la interpretación de los
resultados, se presenta un proceso de carácter publicitario para informar al
interesado los resultados y datos obtenidos en la investigación. Entonces debe
73
escogerse la forma de presentación más sencilla y comprensible de acuerdo
con el grupo que recibirá la información.
Las formas de presentación son: la textual, la tabular y la gráfica.
5.2.1 Forma Textual
Se realiza a través de palabras o símbolos algebraicos. Es la forma menos
aconsejable y usada en la actualidad, al punto de usarse como complemento a
la forma tabular o a la forma gráfica y esto se debe a que en general resulta
ser muy extensa, tediosa y de difícil comprensión.
Un ejemplo de este tipo de presentaciones es el siguiente:
El rendimiento de los estudiantes del curso Matemática I de Ingeniería en
Informática ha experimentado mejoras desde el segundo lapso del año 97, en
comparación con los dos lapsos anteriores. Los resultados obtenidos hasta los
momentos en aprobados y aplazados para los lapsos 97-II y 98-I
son
43,23% y 57,27% respectivamente y los de los lapsos 96-I y 97-I son
25,69% y 74,31% respectivamente. Además de esto se ha experimentado un
aumento en el índice de notas en la asignatura pasando de un 4,9965 en los
lapsos iniciales a un 6,7 en los últimos lapsos.
5.2.2 Forma Tabular: Tablas y Cuadros
TABLA: es la presentación ordenada de los datos numéricos en filas y
columnas con las especificaciones correspondientes según el tipo y
características de los datos. Las partes de una tabla son:
74
1
Título. Debe ser claro y conciso. Va escrito en minúsculas,
después de la palabra TABLA y preferiblemente centrado
respecto a la tabla.
2
Número. Un ordinal arábigo que indica qué o cuál tabla es la
numerada.
3
Columna Matriz. Es la primera columna de la izquierda. La
ordenación de las cifras puede ser ascendente o descendente.
4
Encabezamiento. Contiene el título y el subtítulo de cada
columna.
5
Cuerpo. Abarca el contenido de filas y columnas.
6
Notas. Hay dos tipos: al pie, que se ordenan con asteriscos y
de introducción (poco frecuente) para tratar de especificar el
título.
7
Indicación de la fuente. En caso de no ser originales los
datos debe citarse
la fuente de donde se tomó, lo más
frecuente es hacerlo debajo de la nota de calce.
A continuación se presenta un ejemplo,
75
TABLA 5.1. Rendimiento Estudiantil en Matemática I
Lapso
Inscritos
Aprobados
%
Reprobados
%
Prom.Notas
96/1
337
105
31,16
232
68,84
5,273
97/1
356
72
20,22
284
79,78
4,72
97/2
348
130
37,36
218
62,64
5,957
98/1
332
163
49,10
169
51,9
7,443
Nota: el lapso 96/2 fue cancelado.
Fuente: Jornadas de Innovación Educativa UCLA 1.999. Gerardo Márquez
Las tablas no deben superar el tamaño del escrito de las páginas y no van
encerradas en cuadros, es suficiente con una raya sencilla horizontal por
encima del encabezamiento otra por debajo de éste y una al final del cuerpo
de la tabla. Es factible hacer llamadas con los signos convencionalmente
usados para esto. (Asterisco * , guión - , etc).
CUADRO: es otra forma de tabular, las normas de elaboración se ajustan a
las de las tablas y sólo difieren en algunas especiales:
1 Por lo menos la columna matriz contiene designaciones o conceptos
cualitativos.
2 Los conceptos cualitativos y cuantitativos pueden estar juntos pero
ordenados en el cuerpo del cuadro.
3 Sólo llevan rayado cuando las líneas facilitan su lectura.
76
4 El cuerpo se encierra en un recuadro.
A continuación un cuadro con conceptos cualitativos y cuantitativos
CUADRO 5.1. Gastos de Condominio
Fecha
Concepto
Debito
15 de Octubre
Sueldo de Vigilantes
106.500,00
16 de Octubre
Enelbar
20 de Octubre
Artículos de Limpieza
30 de Octubre
Hidrolara *
14.400,00
5.125,00
59.620,00
* Gasto Estimado
Fuente: Junta de Condominio Centro Profesional Don Samuel.
77
El siguiente cuadro tiene solo datos cualitativos
CUADRO 5.2. El lugar de los planes del docente
Ejecutor
Documento que Produce
Contenido de Documentos
Objetivos,
Autoridades
Documentos de Base.
contenidos
y
metodología apropiados para
Programa,bases del Currículo la
nación
provincia
o
municipio.
Adaptación del documento a
Escuela
Maestro
Currículo Institucional
base de la comunidad.
Plan anual
Adaptación
Plan de unidad
institucional a su grupo de
Plan diario
alumnos.
del
currículo
Tomado de Cuadernos Pedagógicos. 26, pág.11.
5.2.3 Forma Gráfica
Las representaciones gráficas pueden ser en el plano cartesiano tal como
se grafica una función o una figura, una figura en el espacio, ortográficas y
especiales. Se dividen en gráficos, cuando se representan los datos por una o
varias líneas, curvas si representa las variaciones de una cantidad
y
diagramas que son dibujos que muestran la variación de un fenómeno. Las
figuras se numeran en arábigos y se coloca junto con el título al final de la
78
figura. En la medida de lo posible las tablas, gráficos
o figuras
deben
colocarse en la misma página donde se nombran.
Para la construcción de un gráfico se parte de un módulo numérico que le
sirve de base y se denomina Escala Gráfica que puede ser natural
(matemática),
semilogarítmica
y
logarítmica.
La
primera
representa
variaciones absolutas y las últimas se usan en la representación de tasa de
variación o incrementos relativos.
La presentación gráfica puede ser de base matemática o de base no
matemática.
5.2.3.1
De Base Matemática
Gráficos de líneas: puede ser rectilíneo o curvilíneo dependiendo si se
usan líneas o curvas, se ajustan al método cartesiano de construcción. Son
usados preferiblemente para series cronológicas y en distribuciones de
frecuencias.
En la siguiente página presentamos algunas gráficas relacionadas con la
tabla 5.1.
79
Grafico 5.1 . Aprobados y Reprobados Mat.I
300
180
280
160
260
140
240
120
220
100
200
80
180
60
160
Lapso 96I
Lapso 97I
Lapso 97II
Lapso 98I
APROBADO (L)
REPROBAD (R)
Esta gráfica presenta simultáneamente el comportamiento de aprobados y
reprobados en los lapsos 96I al 98I y es claro que las observaciones se pueden
hacer con mucha facilidad, por ejemplo en el lapso 97II el número de
aprobados superó al número de reprobados y esta tendencia se mantuvo en el
lapso 98I.
En la página siguiente tenemos una gráfica con la columna que describe el
promedio de calificaciones en la tabla 1.
80
Gráfico 5.2. Promedio de Notas Mat.I
7.443
PROM_NOT
5.957
4.72
5.273
Lapso 96I
Lapso 97I
Lapso 97II
Lapso 98I
Se observa que el promedio de notas ha venido ascendiendo en los último
lapsos.
Gráficos de barras: se diseñan con figuras rectangulares, pueden ser
horizontales, verticales, subdivididas o compuestas.
A continuación una gráfica de barras correspondiente a datos de la tabla
5.1.
81
Gráfico 5.3. Aprobados y Reprobados Mat.I
300
240
180
120
60
APROBADO
0
Lapso 96I
Lapso 97I
Lapso 97II
Lapso 98I
REPROBAD
Este gráfico también puede disponerse en forma horizontal.
El Histograma (histograma de frecuencias): consiste en representar cada
clase de una serie por un rectángulo con base sobre el eje horizontal y cuya
altura y superficie se determinan por la frecuencia de dicha clase.
Polígono de Frecuencias: es un gráfico lineal trazado sobre las marcas de
clase, se puede obtener uniendo los puntos medios de los rectángulos del
histograma.
El histograma y el polígono de frecuencias serán explicados en la sección
5.3.
82
Gráfica circular o por segmento (Torta): muestra la división de una
unidad en sus componentes. El ángulo que corresponde a cada categoría se
calcula dividiendo la cantidad de la categoría entre el total de mediciones y
multiplicando por 360 y los componentes se ordenan en el sentido de las
agujas del reloj.
A continuación gráficos circulares correspondientes a la tabla 5.1
Gráfico 5.4 . Aprobados en Mat.I
Lapso 96I
Lapso 98I
49
31
,16
%
,10
20,
22%
Lapso 97I
37
,3
6
Lapso 97II
83
Gráfico 5.5. Reprobados Mat.I
Lapso 98I
Lapso 96I
51,90
68,84
62,64
Lapso 97II
79,78
Lapso 97I
5.2.3.2 GRÁFICOS DE BASE NO MATEMÁTICA.
El Cartograma: consiste en colocar sobre un mapa señales que son
proporcionales a la magnitud del hecho que representan.
El Pictograma: se usan para presentar datos estadísticos en forma
llamativa y representan por sí mismos la naturaleza del fenómeno.
Estas representaciones se hacen por medio de dibujos que son semejantes al
fenómeno que se quiere representar, por ejemplo si se trata de población se
dibujas figuras humanas, si es sobre viviendas se dibujan casas, etc. No
estudiaremos este tipo de representaciones con detalles, sin embargo son de
fácil comprensión y se pueden ver en las referencias bibliográficas.
84
5.3
ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.
Cuando se realiza una investigación, por lo general, es conveniente
organizar los datos para disponerlos en orden o secuencia lógica y así facilitar
el análisis de la misma. Esto produce la necesidad de estudiar las series o
distribuciones de datos.
Las series o distribuciones se definen como un conjunto de datos
dispuestos de acuerdo a los valores de un carácter variable. Existen tres tipos
de distribuciones: históricas, territoriales y las generales.
Las series históricas se definen como un conjunto de observaciones
ordenadas respecto a una característica de un fenómeno individual o colectivo
que se toman en periodos de tiempo diferentes. ( como la
cantidad de
estudiantes con beca premio)
Las series territoriales son aquellas en las cuales la variable que la
define está expresada en términos de posición territorial. (como los resultados
de elecciones regionales)
Las series generales abarca las históricas y las territoriales
y serán
estudiadas a continuación.
5.3.1 FORMAS DE ORGANIZAR DATOS.
5.3.1.1
ORDENAMIENTO.
El ordenamiento es la forma más simple de organizar datos, consiste en
disponerlos
en
algún
orden
preseleccionado.
decreciente).
85
(alfabético,
creciente,
A continuación se presentan las calificaciones finales de cuarenta alumnos
de la asignatura Matemática IV.
60 , 58 , 15 , 26 , 63 , 41 , 59 , 71 , 54 , 44 ,
56 , 62 , 62 , 34 , 63 , 66 , 43 , 77 , 62 , 61 ,
53 , 53 , 71 , 38 , 50 , 83 , 50 , 84 , 63 , 51 ,
36 , 58 , 45 , 52 , 52 , 60 , 61 , 65 , 54 , 58 .
Ordenamos los datos de menos a mayor
15 , 26 , 34 , 36 , 38 , 41 , 43 , 44 , 45 , 50 ,
50 , 51 , 52 , 52 , 53 , 53 , 54 , 54 , 56 , 58 ,
58 , 58 , 59 , 60 , 60 , 61 , 61 , 62 , 62 , 62 ,
63 , 63 , 63 , 65 , 66 , 71 , 71 , 77 , 83 , 84.
Después de esta organización se puede apreciar que la menor calificación
es 18 la mayor es 84, además hay calificaciones repetidas, podemos contar
cuantos hay sobre 48, etc. El ordenamiento se utiliza cuando el número de
datos no es muy grande.
5.3.1.2 ROL DE FRECUENCIA.
El rol de frecuencia consiste en ordenar los datos en forma creciente o
decreciente e indicar el número de veces que aparece cada dato en una tabla
dispuesta para esto.
86
TABLA 5.3. Rol de Frecuencias
(Calificaciones Matemática IV)
Valores
f
Valores
15
1
50
26
1
51
34
1
52
36
1
53
38
1
41
1
43
1
44
1
45
1
54
56
58
59
60
f
2
1
2
2
2
1
3
1
2
Valores
f
61
2
62
3
63
3
65
1
66
1
71
2
77
1
83
1
85
1
Se observa con claridad que de este rol de frecuencias se puede
determinar con facilidad cuantos estudiantes obtuvieron x calificación, la
cantidad de estudiantes que obtuvieron calificaciones entre dos valores
dados, etc. y muestra como se distribuyen los datos en relación a la
escala escogida.
5.3.1.3 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.
La distribución de frecuencias se usa cuando el número de datos es muy
elevado y dificulta el análisis a través del rol de frecuencias, entonces se
agrupan los datos dentro de determinados límites dentro de los cuales ningún
dato se considera distinto de otro en el sentido de no haber “mucha” diferencia
entre uno y otro, por ejemplo las calificaciones de 58 y 59 pueden
87
considerarse “iguales” para algunos efectos (en la escala del 0 al 20 ambas
equivalen a 12 y las dos calificaciones son aprobatorias).
A este tipo de clasificaciones se le llama distribución de frecuencias.
Los componentes de una distribución de frecuencias son:
a) AMPLITUD TOTAL: determinada por la diferencia entre el menor y
el mayor valor de la serie. En nuestro ejemplo la amplitud total es 84-15
= 69.
b) CLASE O GRUPO: fraccionamiento de la amplitud total para agrupar
los casos que se encuentran entre los límites seleccionados. Para
nuestro ejemplo consideraremos siete clases.
c) LÍMITES
DE CLASE: son los valores que limitan las clases, el
primero se llama límite inferior (li) y el segundo límite superior (ls).
d) AMPLITUD DE CLASE ( ic ): es la diferencia entre los límites
inferiores de dos clases consecutivas.
e) PUNTO MEDIO ( PM ): es el punto medio entre los límites de una
clase, regularmente se usa para representar la clase o grupo.
f) FRECUENCIA DE CLASE ( f ): es el número de casos
comprendidos entre los límites de una clase.
Ahora organizaremos una distribución de frecuencias para los datos de la
tabla 5.3.
88
Como ya vimos la amplitud total es 69, al escoger siete ( 7 )
clases
entonces la amplitud de clase es ic = Amplitud Total / Número de clases = 69
/ 7 = 9,857 y escogemos ic=10..
Después de construida la tabla de distribución de frecuencias,
presentaremos las gráficas del histograma, el polígono de frecuencias y la
torta. Estas gráficas se han hecho con el apoyo de tecnología y el software
usado es el STATISTICA, sin embargo puede usarse cualquier otro que
permita la elaboración de estas gráficas. Aunque se presentan solamente las
gráficas que se ajustan a la teoría aquí expuesta, este paquete tiene alcance
muy general, es sencillo de entender
y no ocupa mucho espacio en el
computador. No daremos muchas explicaciones sobre el software utilizado por
no ser el objetivo primordial de estas notas y por el hecho de dejarse con
carácter electivo el uso del mismo.
TABLA 5.4. Distribución de Frecuencias
(Calificaciones Matemática IV)
Clase
Intervalo
PM
f
fa
01
15 - 25
20
1
1
0,025
02
26 - 34
30
2
3
0,050
03
35 - 44
40
5
8
0,125
04
45 - 54
50
10
18
0,250
05
55 - 64
60
15
33
0,375
06
65 - 74
70
4
37
0,100
07
75 - 84
80
3
40
0.075
____
N=40
89
hi
______
1,00
Notas :
a) La columna fa representa las frecuencias acumuladas hasta la clase
referida.
b) El número total de datos es la suma de las frecuencias y se denota con
N
c) La columna hi representa la frecuencia relativa y se obtiene por la
fórmula hi = f / N .
A continuación se presentan las gráficas correspondientes a la distribución
de frecuencias de la tabla 5.4.
La Torta o diagrama de círculo,
Gráfico 5.6. Calificaciones Mat.IV
Clase7 Clase1Clase2
Clase6
Clase3
Clase4
Clase5
90
El Histograma,
Gráfico 5.7 . Calificaciones MatIV
Número de Observaciones (Frecuencia)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
Polígono de frecuencias (en la página siguiente),
91
5
6
7
8
Gráfico 5.8 . Polygono de Frecuencias Calif. MatIV
18
14
Frecuencia
10
6
2
-2
20
30
40
50
60
70
80
Missing
65
75
Missing
La Ojiva o gráfica de frecuencias acumuladas,
Gráfico 5.9 . Ojiva Calificaciones MatIV
45
Frecuencia Acumulada
35
25
15
5
-5
15
26
35
45
92
55
5.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN.
El análisis de un conjunto de datos se inicia observando las medidas o
datos alrededor de los cuales se concentra la mayoría de los datos, estas
medidas se conocen como medidas de tendencia central y se reconocen como
los valores representativos de la serie. Por su parte las medidas de posición se
usan para hacer análisis sobre casos extremos o intermedios. Existen varias
medidas de posición y de tendencia central a las cuales se dedicará la presente
sección.
5.4.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
5.4.1.1
MEDIA ARITMÉTICA: es la medida de tendencia central por
excelencia, es el valor típico que representa los datos y se calcula en dos
formas
N
Para datos no agrupados por la fórmula X =
∑x
i
i 01
donde xi son los datos.
N
Para el ejemplo de las calificaciones de matemática IV, la media aritmética
es
X=
2.217
= 55,425.
40
m
Para datos agrupados por la fórmula X =
∑ x ( PM
i =1
i
N
i
)
, donde m es el número
de clases.
Para el ejemplo de las calificaciones de matemática IV, tenemos que
X =
2.200
= 55.
40
93
Este valor es la nota promedio de este grupo de estudiantes de matemática
IV, observamos que X está en la quinta clase que es la más frecuente y
coincide con el límite inferior de la misma, esto se debe a que los datos se
encuentran concentrados en la cuarta y quinta clase. La media puede ser
influenciada por valores muy extremos, que suelen aparecer en distribuciones
o series muy abiertas.
5.4.1.2 MEDIA GEOMÉTRICA: es la raíz n-ésima del producto de los N
valores de los datos.
N
Para el caso de datos no agrupados G =
N
∏ xi , en nuestro ejemplo es G =
i =1
40
40
∏ xi = 53.41918250 y entonces G = 53,41.
i =1
Para datos agrupados se calcula por la fórmula,
m
log (G) =
∑f
i =1
i
log( PM )
= 1,7254301, por lo que
m
∑f
i =1
G = 53,14. (tomando
i
antilogaritmo).
La media geométrica se usa con frecuencia en promedios de variaciones
porcentuales, series distribuidas logarítmicamente y en índices de cambios de
precios.
5.4.1.3 MEDIA ARMÓNICA: es la recíproca de la media aritmética de los
recíprocos de los valores o datos.
Para datos no agrupados, es
H=
1
1
N
N
1
∑
i =1 x i
Esto es, H = 50,81.
94
= 50.80899640 .
m
Para datos agrupados, es H =
∑f
i =1
m
i
fi
∑
i =1 PM
= 50.87055261 .
Es decir, H = 50,87.
La media armónica es siempre menor que la media aritmética y que la
media geométrica y se usa primordialmente en problemas donde es necesario
promediar tiempo en condiciones variables.
5.4.1.4 LA MEDIANA: es la medida por encima de la cual está el 50% de
los valores de la serie, es decir divide la serie en dos partes iguales. Para
encontrar la mediana la serie debe de estar ordenada y se calcula de la manera
siguiente
Para datos no agrupados
Cuando N es impar, la mediana es Md = xk +1 donde k+1 =
N +1
, en
2
nuestro ejemplo tenemos un número par de observaciones y no se aplica esta
fórmula.
Cuando N es par, la mediana se calcula por la fórmula, Md =
donde
x k +1 + x k
,
2
k +1+ k N
58 + 56
= , en nuestro caso es Md=
= 57 .
2
2
2
Para datos agrupados
interpolación,
la mediana se calcula por la fórmula de
N
+ f a −1
Md = 2
ic + li , donde f a −1 es la frecuencia de la
fi
clase anterior de la clase medial, que se define como la clase donde se ubica la
95
mitad del número de las observaciones y que se encuentra usando la columna
de las frecuencias acumuladas.
En nuestro ejemplo tenemos, la mitad del número de datos (orden) es 20, la
clase medial es la quinta clase, entonces f a −1 = 18, li = 55, ic = 10 y f i = 15 , al
sustituir se tiene que Md = 56,33.
5.4.1.5 LA MODA: es el valor que más se repite o el valor alrededor del cual
se encuentran acumulados la mayoría de los datos. Se calcula, para datos no
agrupados, por simple observación. En nuestro ejemplo, Mo = 62, Mo = 63 o
Mo = 58.
Para datos agrupados Mo =
d1
i c + li , donde d1 es valor absoluto de la
d1 + d 2
diferencia entre las frecuencias de la clase modal (clase que contiene el valor
que más repite) y la clase anterior a esta clase modal y d 2 es el valor absoluto
de la diferencia entre las frecuencias de la clase modal y la clase siguiente a
esta clase modal.
En nuestro ejemplo los valores que más se repiten son 58, 61 y 62 todos
están
en
la
quinta
clase
y
se
tiene
que,
li = 55,
ic = 10
y
d1 = 15 − 10 = 5, d 2 = 15 − 4 = 11 , al sustituir se encuentra que Mo = 58,125.
5.4.1.5 OBSERVACIONES:
a) Si la distribución es muy asimétrica (datos acumulados para los
extremos), debe usarse Md o Mo, o si la media aritmética está
influenciada por los valores extremos (muy bajos o muy altos ).
96
X < Md < Mo ,
b) Si
la distribución es asimétrica negativa; si
X > Md > Mo , es asimétrica positiva y si X = Md = Mo es simétrica.
5.4.2
MEDIDAS DE POSICIÓN.
5.4.2.1 CUÁRTILES: son los valores que dividen la distribución ordenada
en cuatro partes iguales, los cuartiles son tres Q1 , Q2 , Q3 ( Q3 coincide
con la mediana) . Para el conjunto de datos de la sección 5.3.1.1
tenemos que Q1 =50, Q2 =58 y Q3 =63.
5.4.2.2 DÉCILES Y PERCENTILES: son medidas que dividen la serie de
datos o distribución en ciertas porciones. Los deciles se denotan Dk
( D5 coincide con la mediana) y los percentiles con Pk . Se calculan de
acuerdo al siguiente procedimiento,
a) Se obtiene la columna de frecuencias acumuladas f a .
b) Se determina la posición del término a calcular
El 18 – percentil
P33 =
18∑ f i
100
,
El 33 – percentil
33∑ f i
100
El 6to – decíl
D2 =
P18 =
D6 =
6∑ f i
10
,
El 2do-decíl
2∑ f i
10
c) Se verifica la clase que lo contiene usando la columna f a .
97
d) Se calcula la medida de posición por medio de la fórmula P =
li +
p − f a −1
ic , donde p es la posición de la medida.
fi
Calculemos alguna medidas para la distribución de las calificaciones de
Matemática IV.
D2 =
2∑ f i
10
2(40)
= 8 =p
10
=
li = 35 , f i = 5 , f a −1 = 3 , ic = 10 ,
La
tercera
clase
contiene
el
2do
decíl,
entonces P=45. Esto significa que el 80% de las
calificaciones está sobre 45 o también el 20% de las calificaciones está por
debajo de 45.
6∑ f i
6(40)
= 24 =p.
10
La quinta clase contiene el 6to decíl,
li = 55 , f i = 15 , f a −1 = 18 , ic = 10 ,
entonces P=59. Esto significa que el 40% de
D6 =
10
=
las calificaciones está sobre 59 o también el 60% de las calificaciones está por
debajo de 59.
P18 =
18∑ f i
100
=
18(40)
= 7,2 =p. La tercera clase contiene el 18vo percentil,
100
li = 35 , f i = 5 , f a −1 = 3 , ic = 10 ,
entonces P=43,4 es decir P=44. Esto significa
que el 82% de las calificaciones está sobre 44 o también el 18% de las
calificaciones está por debajo de 44.
5.4.3
MEDIDAS DE DISPERSIÓN.
Las medidas de tendencia central por sí solas carecen de significación, no
tiene sentido conocer el promedio de una serie de valores si no sabemos como
se acercan o se alejan los valores a tal promedio, en otras palabras cómo es la
98
dispersión. Por dispersión se entiende del hecho de que los valores se
diferencian unos de otros.
5.4.3.1 LA DESVIACIÓN MEDIA
( DM ): es el promedio de las
desviaciones de los datos con respecto a un término central.
m
Se calcula por la fórmula DM =
∑f
i =1
i
PM − X
.
N
En nuestro ejemplo DM=10,5. En el cálculo de esta medida los desvíos se
toman en valor absoluto y esto hace a esta medida no subceptible a
operaciones algebraicas. Se estima que si aproximadamente el 60% de los
datos se encuentre en el intervalo
[DM- X , DM+ X ], la distribución
es moderadamente simétrica.
En el ejemplo que hemos manejado el intervalo es [ 44.5 , 65.5 ], un total
de 27 datos se encuentran en tal intervalo que representan el 67,5% por lo que
la serie se considera simétrica.
5.4.3.2 LA DESVIACIÓN STANDAR O TÍPICA ( s ): determina la
variación de los datos con respecto a la media aritmética.
Es la medida que mejor proporciona la
variación de los datos con
respecto a la media, a mayor desviación típica mayor dispersión de los datos y
a menor desviación típica menor dispersión de los datos. En el intervalo [ X -s
, X +s ] determina la zona normal de la serie donde se encuentra el 68,27%, el
intervalo [ X -2s , X +2s ] contiene el 95,45% de los datos y el intervalo [ X -
99
3s , X +3s ] contiene el 99% de los casos. La desviación típica se calcula
mediante la fórmula
s =
∑ f ( PM − X )
∑f
i
2
.
i
En nuestro ejemplo s = 13,23 y la zona normal es [41.77 , 68.23] .
5.5
AJUSTE DE CURVAS.
En la práctica dos o más variables suelen relacionarse de alguna manera,
como lo hacen la talla y el peso, la masa y el volumen. En muchos casos es
conveniente encontrar las relaciones entre las variables y si es posible las
expresiones matemáticas que describen tal relación. Si la relación no es
evidente o directa entonces es necesario hacer aproximaciones o estimaciones
a partir de los datos. Esto se puede lograr usando el diagrama de dispersión
que consiste en graficar N pares ordenados ( X , Y ), correspondientes a
valores relacionados de las variables en consideración, en un sistema
rectangular. En un diagrama de dispersión es posible observar una curva suave
que se aproxime a los datos, esa curva puede ser lineal o no lineal y se conoce
como la curva aproximante y se concluye que la relación es lineal o no lineal
dependiendo de las características de la curva. El problema de encontrar
curvas aproximantes se llama ajuste de curvas.
Consideremos la tabla de valores
100
TABLA 5.5. Datos Para Ajuste de Curvas
X
2
3
5
7
9
10
Y
1
3
7
11
15
17
El diagrama de dispersión o nube de puntos es
Gráfico 5.10 . Nube de Puntos Tabla 5
22
18
Y
14
10
6
2
-2
1
3
5
7
9
11
X
Se observa que una recta se ajusta al diagrama de dispersión. La ecuación
de una recta es Y = b + m X , donde b y m son parámetros a determinar. Los
parámetros se pueden determinar sustituyendo cualesquiera dos puntos de la
tabla en la ecuación Y = b + m X , por ejemplo si escogemos los puntos ( 2 ,
1 ) y ( 7 , 11 ) tenemos que :
101
 1 = b + 2m
⇒ 10 = 5m ⇒ m = 2 y b = −3 . Por tanto la curva de ajuste es

11 = b + 7 m
Y= -3 + 2X.
El valor de m es la pendiente de la recta de ajuste y representa el cambio
en Y ( ∆ Y ) por unidad de cambio en X ( ∆ X ) es decir m =
∆Y
, el valor de
∆X
b se llama Y-intersección,
El valor
−
b
m
es la X-intersección. Una vez hecho el ajuste uno puede
encontrar valores esperados para Y correspondientes a valores dados de X, por
ejemplo si queremos conocer el valor de Yo correspondiente a Xo = 4,
entonces sustituimos en la ecuación de la curva de ajuste y obtenemos que
Yo= -3+2(4) = 5. En este caso como Xo se encuentra entre dos valores de la
tabla ( 3 < Xo < 5 ) se dice que Yo se encontró mediante interpolación. Si
deseamos hallar Y1 para X1=20 (valor fuera de la tabla) Y1=-3+2(20) = 37,
en este caso se encontró Y1 por extrapolación.
En la siguiente página se muestra la curva de ajuste y la nube de puntos
correspondientes a la Tabla 5.5.
102
Gráfico 5.11. Curva de Ajuste Correspondiente a la Tabla 5.5
22
18
Y
14
10
6
2
-2
1
3
5
7
9
11
X
La curva de ajuste puede ser también, entre otras
Cuadrática
Y= c + bX + aX 2
Exponencial
Y= ab X o log(Y ) = log(a ) + (log(b)) X
Logarítmica
Y= a+blog(X)
El problema de decidir que curva usar se puede complicar en los casos
donde el diagrama de dispersión no indique con tanta evidencia que curva
usar, en etos casos se puede recurrir a diagramas de dispersión auxiliares,
como por ejemplo si el diagrama de dispersión de la forma ( X , logY ) indica
una relación lineal, la curva de ajuste para ( X ,Y) debe ser exponencial
Y= ab X . ( en este tipo de análisis puede usarse el papel calibrado
semilogarítmico ). Si el diagrama ( logX , logY ) es lineal, la curva de ajuste
103
es de la forma Y= aX b y en este caso el papel calibrado se llama papel loglog (dos escalas logarítmicas).
Es usual que la intuición intervenga en la decisión sobre la curva de ajuste
escogida. Si la ecuación de la curva escogida es conocida, se puede obtener
con algunos puntos, por ejemplo, dos puntos para la lineal y tres puntos para
la cuadrática. La gran desventaja de este método es que se afecta la unicidad
de la curva de ajuste debido a que la escogencia de la curva depende de la
persona que haga el ajuste.
Por ejemplo para la siguiente tabla,
TABLA 5.6
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Y
1
3.9
8
16
23
37
50
20
80
1.6 100 140 169
La correspondiente nube de puntos y gráfica de la curva de ajuste es,
104
13
Gráfico 5.12. Nube de Puntos y Curva de Ajuste Tabla 5.6
169
Y
140
1.6
3.9
80
50
37
23
20
16
8
1
0
2
4
6
8
10
12
X
Se puede deducir que la curva de ajuste es una función cuadrática.
105
14
CAPÍTULO 6. MODELOS MATEMÁTICOS.
6.1.- EJERCICIOS, PROBLEMAS Y MODELOS. INTRODUCCIÓN.
Inicialmente intentaremos dar una definición de modelo en general y
específicamente de modelo matemático.
Para el ingeniero y el científico un MODELO es todo lo que se emplea
para describir la estructura o el comportamiento de una contraparte de la vida
real. Con los modelos se logra esto mediante palabras, números, símbolos
especiales, diagramas, gráficos o semejanza en cuanto a apariencia o
comportamiento con las contrapartes de la vida real que representan (E. Krick.
Fundamentos de Ingeniería. 1991).
Veamos ahora algunas definiciones de modelo matemático:
♦ MODELO MATEMÁTICO es una representación matemática de un
fenómeno físico, económico, humano, etc., realizada con el fin de poder
estudiarlo mejor (Diccionario Larousse. 1999).
♦ Los MODELOS MATEMÁTICOS son aquellos modelos que establecen
relaciones entre un conjunto de variables. Estas relaciones se expresan,
generalmente, mediante ecuaciones, inecuaciones y en forma gráfica,
utilizando coordenadas y escalas u otros tipos de representaciones gráficas (M.
Orellana. Modelando con Matemática. 1994).
♦ Un MODELO MATEMÁTICO es una colección de objetos matemáticos y
de relaciones seleccionadas con el objeto de representar y reflejar aspectos de
un área extra-matemática dada, denominada realidad (ICME 6. Problem
Solving, Modelling and Applications. 1988).
♦ MODELO MATEMÁTICO es la traducción al lenguaje matemático
(ecuaciones, inecuaciones, gráficas, etc.) de una situación extra-matemática.
♦ Un MODELO MATEMÁTICO es una representación ideal (en la forma de
un sistema, proposición, fórmula o ecuación) de un fenómeno físico, biológico
o social (Enciclopedia Microsoft Encarta 99).
Tan importante como saber a qué nos referimos cuando hablamos de
modelos es saber diferenciarlos de los ejercicios o los problemas.
La característica principal de un EJERCICIO es que se cuenta con un
procedimiento o algoritmo directo para obtener la respuesta. Por ejemplo,
maximizar el área de un cuadrilátero de perímetro fijo 4 es un ejercicio para
estudiantes de cálculo diferencial.
106
Un PROBLEMA MATEMÁTICO es una situación que da origen a
ciertas interrogantes que son intelectualmente un desafío para alguien que no
cuenta con métodos, procedimientos o algoritmos para obtener la respuesta.
Podemos observar que esta definición se acerca a la de modelo. Veamos
cuál es la diferencia:
Un problema tiene una respuesta específica correcta. Un modelo es más
general y especulativo. Modelos diferentes pueden ser desarrollados para la
misma situación y se pueden obtener respuestas distintas. No se trata de que
una será correcta y las otras erradas, pero algunas pueden ser más útiles que
otras. Resolver un problema requiere perspicacia y el uso de una técnica
apropiada. Desarrollar un modelo requiere de esas cualidades conjuntamente
con imaginación creativa (Edwards & Hamson. Guide to Mathematical
Modelling. 1990.).
6.2.- EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
Lo que resulta ser un ejercicio para algunos puede ser un problema para
otros. Por ejemplo, para un estudiante que no cuente con la herramienta del
cálculo diferencial, maximizar el área de un cuadrilátero de perímetro 4 pasa a
ser un problema.
Busquemos la respuesta a esta maximización tratándola como ejercicio
y luego como problema.
♦ Como ejercicio (usando cálculo diferencial)
x
y
El área del cuadrilátero viene dada por A=x.y. Sin embargo,
2x+2y=4⇒y=2-x. Por lo que podemos expresar el área en función de x; esto
es, A(x)=2x-x2 y la cuestión se reduce a hallar el máximo absoluto de A en
107
[0, 2]. Como A(0)=A(2)=0, y A(x)>0 ∀x∈(0, 2), el máximo absoluto está en
(0, 2).
Usando cálculo diferencial se concluye que en x=1 existe el único punto
crítico de A, donde además existe un máximo absoluto.
Por tanto, el cuadrilátero de perímetro 4 con área mayor es el
cuadrado. Puede generalizarse para un cuadrilátero de perímetro p obteniendo
también como resultado el cuadrado.
♦ Como problema (sin usar cálculo diferencial).
Un estudiante que no cuente con la herramienta del cálculo diferencial
puede atacar el problema mediante el uso de tablas, dándole valores a x y a y
en [0, 2], sabiendo que 2x+2y=4.
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
y
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
x.y
0
0.19
0.36
0.51
0.64
0.75
0.84
0.91
0.96
0.99
1
0.99
0.96
0.91
0.84
0.75
0.64
0.51
0.36
0.19
0
Se observa que el máximo ocurre cuando x=y=1; esto es, cuando el
cuadrilátero es un cuadrado.
108
La carencia de un método formal hace que en ocasiones sea muy
improbable alcanzar la respuesta correcta. Por ejemplo si usamos tablas de
valores para resolver un problema cuya solución es un número irracional.
6.3.- MODELO DE DINÁMICA DE POBLACIÓN.
Veamos ahora un ejemplo de modelo matemático. La siguiente es una
tabla con datos (aproximados) sobre la población mundial.
Año
Cantidad de habitantes
(en millones)
2.500
2.714
3.000
3.286
3.643
4.000
4.371
4.786
5.243
0.950
1.955
1.960
1.965
1.970
1.975
1.980
1.985
1.990
Observando la tabla surgen algunas preguntas:
• ¿Qué podemos hacer con esos datos?
• ¿Podemos estimar a partir de esos datos, la población mundial antes de
1.950, digamos, en 1.930?
• ¿Podemos estimar la población mundial en cada uno de los años
comprendidos entre 1.950 y 1.990?
• ¿Podemos estimar la población mundial del año 2.020?
• ¿En qué año se llegó a 5.000 millones de habitantes?
Considerando como variables al tiempo t (en años) y a la población P
(en millones de habitantes), P es una función creciente de t. La cuestión se
reduce a estudiar el comportamiento de y eventualmente buscar una fórmula
para P. Para esto, disponemos de varios procedimientos:
6.3.1.- GRÁFICAMENTE.
Se pueden elaborar varios tipos de gráficas tales como: nube de puntos,
poligonal, curva continua, etc. Usemos la curva continua.
109
7.000
6.000
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
50 55 60 65 70 75 80 85 90
Para obtener una estimación de la población mundial en un año t0, basta
hallar la ordenada correspondiente a la abscisa t0. Por ejemplo, según
estimaciones de las Naciones Unidas, en el año 1999 se superaron los 6
millardos de habitantes. Esto se refleja en la gráfica.
Un buen ejercicio para el lector es elaborar gráficas de otro tipo y
obtener conclusiones a partir de los mismos.
6.3.2.- NUMÉRICAMENTE.
Podemos considerar datos que proporcionan información a cerca de
P(t), tales como: incrementos, cocientes de proporcionalidad y tasas de
variación .
Hagamos una tabla con los incrementos netos de la población
ÄP=P(t+Ät)+P(t) con amplitud de intervalo Ät = 5 años y con los cocientes de
proporcionalidad.
Años
P(t)
(en millones)
1950
55
60
65
70
75
80
85
90
2500 2714 3000 3286 3643 4000 4371 4786 5243
ÄP
(en millones)
214
286
286
357
357
371
415
457
Cociente de
Proporcionalidad
( x10-3 )
86
105
95
109
98
93
93
105
110
A partir de estos datos y para extrapolarlos a años anteriores a 1950 o
posteriores a 1990, podemos trabajar, entre otros con:
- El promedio de los incrementos X =2743x106/8=342.875≈343. Con lo que
obtenemos, por ejemplo, que para el año 2015 la población mundial será de
6615 millones de habitantes.
- El promedio del cociente de proporcionalidad I=0.0983. Con lo que
obtenemos, por ejemplo que para el año 2015 la población mundial será de
7629 millones de habitantes.
6.3.3.- ANALÍTICAMENTE.
Podemos desarrollar el modelo de dinámica de poblaciones encontrando
una expresión para la función P=P(t), con la finalidad de calcular y graficar.
Una forma de hacerlo es trazar segmentos de rectas entre los puntos
dados por la tabla y semirectas en los extremos, con lo que obtenemos
ecuaciones a trozos.
Desarrollemos el modelo con un par de procedimientos muy usados.
6.3.3.1.- MODELO LINEAL DISCRETO.
Podemos escoger el incremento neto en un lapso determinado (por
ejemplo 371 de 1975 a 1980), con lo que obtenemos el promedio anual (74,5).
Suponiendo que este promedio se mantiene, para un año t, la población
mundial se estima en:
P(1976)=4.000+74,5 millones de habitantes
P(1977)=4.000+2(74,5) millones de habitantes
P(1978)=4.ooo+3(74,5) millones de habitantes
.
.
.
P(1974)=4.000-74,5 millones de habitantes
P(1973)=4.000-2(74,5) millones de habitantes
.
.
.
P(t)=4.000+(t-1975)74,5 millones de habitantes
111
6.3.3.2.- MODELO EXPONENCIAL DISCRETO.
Usemos la tasa media (anual) de variación relativa (tasa geométrica);
por ejemplo, la del mismo período 1975-80, R=1,855%.
Siguiendo un procedimiento análogo al del modelo lineal discreto
obtenemos:
P(1976)=4.000(1,855) millones de habitantes
P(1977)=P(1976)(1,855)=4.000(1,855)2 millones de habitantes
P(1978)=4.ooo(1,855)3 millones de habitantes
.
.
.
P(t)=4.000(1,855)(1975-t) millones de habitantes
6.3.4.- CONCLUSIONES.
Podemos observar que desarrollando distintos tipos de modelos para
una misma situación se pueden obtener resultados divergentes. En la medida
que se cuenten con más datos y se apliquen más herramientas matemáticas, se
obtendrán mejores resultados. Por ejemplo, el modelo de dinámica de
poblaciones se puede desarrollar usando matrices y sistemas de ecuaciones
diferenciales, obteniendo resultados más ajustados a la realidad.
6.4.- EJERCICIOS DEL CAPÍTULO.
Con los datos de la tabla (población mundial):
1.- Elaborar gráficos distintos al realizado en el ejemplo (nube de puntos y
poligonal) y obtener conclusiones sobre la población mundial.
2.- Hacer una tabla usando la tasa media de variación simétrica y obtener
conclusiones.
3.- Desarrollar el modelo lineal discreto usando un lapso distinto al usado en
el ejemplo.
4.- Desarrollar el modelo exponencial discreto usando un lapso distinto al
usado en el ejemplo.
5.- Calcular los errores porcentuales cometidos al usar los métodos anteriores,
comparándolos con la tabla.
112
Diagrama de flujo para desarrollar un modelo matemático.
(Elaborado por el Dr. Mauricio Orellana (U.C.V.))
INICIO
1
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN REAL QUE
CONDUCE A FORMULAR UN PROBLEMA.
2
SELECCIONAR LAS VARIABLES QUE INTERVIENEN Y
LA INFORMACIÓN DISPONIBLE Y NECESARIA.
3
SIMPLIFICAR EL PROBLEMA
4
EXPRESAR MATEMÁTICAMENTE EL PROBLEMA UTILIZANDO SÍMBOLOS, ECUACIONES,
INECUACIONES, GRÁFICOS, ETC.
5
APLICAR PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS MATEMÁTICAS PARA
RESOLVER EL PROBLEMA MATEMÁTICO.
6
APLICAR LA SOLUCIÓN ENCONTRADA A LA SITUACIÓN DE PARTIDA.
7
COMPARAR CON LA REALIDAD; ESTO ES, VALIDAR CON LA SITUACIÓN DE PARTIDA:¿LOS RESULTADOS SON VÁLIDOS?
SI
NO
9
8
EL MODELO ES ADECUADO.
MODIFICAR EL MODELO.
REGRESAR AL PASO
FIN
113
2.
RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS.
EJERCICIO 1.7: 1.- a.- Sí es proposición.
b.- Sí es proposición.
c.- Sí es proposición.
d.- No es proposición.
2.- a.- DV(A, P(x))= { 0, 1, 2 }
b.- DV(B, Q(x))= { cuadrado, triángulo }
c.- DV(C, R(x))= { 4, 6 }
EJERCICIO 1.23: 1.- a.- VL ((p ∧ q ) ∨ r ) = 1 .
b.- VL (p ∧ (q ∨ r )) = 0 .
c.- VL (( ≈ r ) → (( ≈ p ) ∧ q )) = 1 .
2.- a.- Recíproco: Si x=1, entonces x2=1.
Contrario: Si x2 ≠ 1, entonces x ≠ 1.
Contrarrecíproco: Si x ≠ 1, entonces x2 ≠ 1.
b.- Recíproco: Si Juan tiene dinero, entonces Ana
acepta ir al cine con él.
Contrario: Si Ana no acepta ir al cine con Juan,
entonces Juan no tiene dinero.
Contrarrecíproco: Si Juan no tiene dinero, entonces
Ana no acepta ir al cine con él.
c.- Recíproco: Si José aprueba matemáticas, entonces
estudia mucho.
Contrario: Si José no estudia mucho, entonces no
aprueba matemáticas.
Contrarrecíproco: Si José no aprueba matemáticas,
entonces no estudia mucho.
3.- a.- Contrarrecíproco de q → r.
b.- Recíproco de p → q.
c.- Contrario de p → r.
d.- Ninguno.
114
4.- VL(p)=1 y VL(r)=0.
5.- VL(r)=1, VL(q)=0 y VL(s)=0.
EJERCICIO 1.27: 1.- ≈ (≈ p ) ↔ p
1 0 1 1
0 1 1 0
6.- ((p ∨ q ) ∨ r ) ↔ (p ∨ (q ∨ r ))
111 11 1 11 111
111 10 1 11 110
110 11 1 11 011
110 10 1 11 000
011 10 1 01 111
010 10 1 01 110
000 11 1 01 011
000 00 1 00 000
EJERCICIO 1.31: a.- Falsa.
Negación: ( ∀ x ∈ R)(x2+1 ≠ 0).
b.- Falsa.
Negación: ( ∀ y ∈ Z)(2y ≠ 1).
c.- Verdadera.
Negación: ( ∀ n ∈ N)(n2 ≠ n).
d.- Falsa.
Negación: ( ∃ x ∈ R)(x2 ≤ 0).
e.- Verdadera.
Negación: ( ∃ x ∈ Z)(x>1 ∧ x2 ≤ x).
f.- Falsa.
Negación: ( ∃ x ∈ R)( ∀ y ∈ R)(x.y ≠ 1).
EJERCICIO 1.43: 1.- a.- A=B.
b.- A ≠ B.
c.- C ≠ D.
115
2.- Supongamos que A ⊂ B, B ⊂ C y C ⊂ A; entonces, por
transitividad de la inclusión, tenemos que B ⊂ A y C ⊂ B;
Luego, A ⊂ B, B ⊂ A, B ⊂ C y C ⊂ B; por tanto, A=B y
B=C.
EJERCICIO 1.58: 2.- a.- A ∩ B= ∅ .
b.- A ∪ B= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
c.- A ∆ B= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
d.- A-C= ∅
e.- C-A= { 0, 2, 4, }
3.- a.- x ∈ A ∧ x ∉ B → x ∉ B
1 1 1 1
1
1 0 0 1
0
0 0 1 1
1
0 0 0 1
0
Al ser una tautología, se tiene que
x ∈ A ∧ x ∉ B ⇒ x ∉ B ; luego, A-B ⊂ Bc.
para
cada
x∈ U,
f.- (x ∈ A → x ∈ B) ↔ (x ∈ A ∧ x ∉ B ↔ x ∈ ∅ )
1
1
1
1
1 0 0
1 0
1
0
0
1
1 1 1
0 0
0
1
1
1
0 0 0
1 0
0
1
0
1
0 0 1
1 0
Al ser una tautología, se tiene que para cada x∈ U,
(x ∈ A → x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B ↔ x ∈ ∅ ) ; luego, A ⊂ B ⇔ A ∩ Bc= ∅ .
EJERCICIO 1.69: 1.- a.(x, y ) ∈ Ax(B ∪ C ) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B ∪ C (Def. de Prod. Cartesiano )
⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∨ y ∈ C ) (Def. de Unión )
⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C ) (Distributi vidad )
⇔ (x, y ) ∈ AxB ∨ (x, y ) ∈ AxC (Def. de Prod. Cart.)
⇔ (x, y ) ∈ (AxB) ∪ (AxC) (Def. de Unión )
d.- Falso. Dados A= {a} y B = {b}. Tenemos:
P(A ∪ B)= {∅, {a}, {b}, {a, b}}
P(A) ∪ P(B)= {∅, {a}, {b}}
116
3.- i.- Ninguna persona.
ii.- 7 personas.
iii.- 3 personas.
EJERCICIO 2.7: 8.- a.- ( ∃ - 1 ∈ R) ( − 1 = 1 ≠ −1 )
b.- ( ∃ 0 ∈R)(02+0=0 ∧ ≈ (0 > 0 ) )
EJERCICIO 3.9: 1.- x=5y
2.- x.y=20
3.- a.- x es inversamente proporcional a y.
b.- x es directamente proporcional a y.
c.- y es directamente proporcional a x2.
d.- y es inversamente proporcional a x3.
EJERCICIO 3.13: 1.- a.- w10 = 43
b.- w10 = -28
c.- w10 = -2
2.- a.- w5 = -5
b.- w5 = 2
c.- w5 = 10
3.- a.- Sí son términos consecutivos de una progresión aritmética.
b.- No son términos consecutivos de una progresión aritmética.
c.- Sí son términos consecutivos de una progresión aritmética.
d.- No son términos consecutivos de una progresión aritmética.
EJERCICIO 3.17: 1.- a.- w5 = 32
b.- w5 = 9
c.- w5 = 0
1 - (0,02 )
3.- S9 = 250.000
= 298.773,14 . Por tanto los intereses
1 − 0,02
generados en 9 meses son 48.773,14 Bs.
9
117
EJERCICIO 4.2: a.- DomR= { 1 }
RgoR= { 1 }
GrR= { ( 1, 1 ) }
Representación sagital
R
A
B
1.
.0
2.
.1
3.
Representación Cartesiana
B
1-
.
01
2
b.- DomR=Z
RgoR=Z
GrR= { ( x , x ) / x ∈ Z}
118
3
A
Representación Sagital
R
Z
Z
.
.
.
3.
2.
1.
0.
- 1.
- 2.
- 3.
.
.
.
.
.
.
.3
.2
.1
.0
. -1
. -2
. -3
.
.
.
Representación Cartesiana
Z
.
3-
.
2-
-3
-2
.
.
1-
.
-1
0
1
.
-1 -2 -3 119
2
3
Z
EJERCICIO 4.9: 1.- a.- DomR1= { a, b, c }
RgoR1= { 1, 2 }
Sí es función.
b.- DomR2= { a, b, c }
RgoR2= { 1, 2, 3 }
No es función.
c.- DomR3= { a, b }
RgoR1= { 1, 2, 3 }
No es función.
2.- a.- Domf = R
Rgof = [ 1, + ∞ )
Sí es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva.
b.- Domg = [ 1, + ∞ )
Rgog = [ 0, + ∞ )
Sí es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva.
c.- Domh = R- { 0 }
Rgoh = ( 0, + ∞ )
No es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva.
EJERCICIO 4.14:
x
0
5
10
15
20
y=f(x)
2
4
8
16
32
∆x
x1
2,5
1,25
0,625
0,3125
R
2,5
1,25
0,625
0,3125
120
REFERENCIAS
NESTOR ÁLVAREZ. CONCEPTUALIZACIÓN EN ESTADÍSTICA.
POST-GRADO. U.F.T. BARQUISIMETO.
D. EDWARDS & M. HAMSON. GUIDE TO MATHEMATICAL
MODELLING. FLORIDA. U.S.A. 1990.
ICME. PROBLEM SOLVING, MODELLING & APPLICATIONS.
ACTAS DE ICME. HUNGRÍA. 1988.
E. KRICK. FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA.
EDITORIAL LIMUSA. 4TA IMPRESIÓN. MÉXICO. 1991.
MAURICIO ORELLANA. MODELANDO EN MATEMÁTICA.
U.N.A. CARACAS. 1998.
MAURICIO ORELLANA. MODELOS MATEMÁTICOS.
CURSO TALLER. SEGUNDA VERSIÓN. U.C.V. 1999.
ERNESTO G. RIVAS. ESTADÍSTICA GENERAL.
SÉPTIMA EDICIÓN. EDITORIAL E.B.V.C.
JORGE SÁENZ Y OTROS. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA.
EDITORIAL HIPOTENUSA. BARQUISIMETO. 1986
MURRAY R. SPIEGEL. ESTADÍSTICA. SEGUNDA EDICIÓN.
SERIE SCHAUM. EDITORIAL McGRAW HILL.
ENNODIO TORRES. MATEMÁTICA BÁSICA UNIVERSITARIA.
EDITORIAL HIPOTENUSA. BARQUISIMETO. 1990.
ENCICLOPEDIA MICROSOFT ENCARTA 99.
MICROSOFT CORPORATION. 1999.
DICCIONARIO LAROUSSE.1999
121