Ecuaciones LOGARíTMiCAS

Ecuaciones LOGARíTMiCAS

Son aquellas en la que la incógnita x aparece sometida a la operación de logaritmación. Es decir, contienen términos de la forma log a x . El principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas elementales es: 
uv
x
5 x  9
log 2 x
2
5 x  9
5 x  9
5x
8
2
4 x 7
x 2  5x  6  0
x2  4x  3  0
5  25  24  x  3

2
x  2
x
4  16  12  x  3

2
x 1
Utilizando un cambio de variable log5 x  t
2  log x
log x
log x  t
3 7

t 2
2t 2  7t  6
2t
t
t2  t  2  0
t2
7  49  48 

3
4
 x  2
log5 x  2  x  25
1  1  8  t  1
t

2
 x  2
log x  1  x  10
log5 125 7

log5 x
2
log x 
t
1
100

Utilizando la definición de logaritmo 1
1
1
log 7  3 log x
 2
2
100
x
1
1
1

7 3 
x 2 
x 2 5
100
x
1
1
1
1
5
x  3

2
x
100
7
x
1
 x  343 x 2  100
 x
25
 x  10
2 x 3  32 x  0

2 x x 2  16  0
x  0 ;  x  4 ; x  4
log 1 x  0.5
3
1
 
 3
0.5
x
x  30.5
 x 3
SISTEMA DE ECUACIONES LOGARITMICAS Realizando transformaciones oportunas Un sistema de ecuaciones logarítmicas está formado por varias ecuaciones logarítmicas. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando los métodos antes dichos para las ecuaciones logarítmicas. Ejemplo 1
1
1

1  log 5   log  log x  log 5 
3
2
3

1
1

log10  log 5    log 2  log x  log 5 
3
3

1
3log 2   log 2  log x  log 5
3
1
4 log 2  log 5  log x
3
4
2
16
log 1  log x   x  3
5
53
log x  2  x 
log x 5  
El cero y los números negativos no tienen logaritmo, por tanto, la única solución válida es x  4  54
x2  4x  7  4
3
 x5 5
log5 x 
2
2 x 3  32 x

2
t
x
2
x
log x 3  log 32  log
2
x3
x
log
 log
32
2
3
x
x

32 2
 log1000  log125 log 5 x  4 x  7  log 10000
16
1000
 log
x 2 4 x 7
 625
5
125
t
Al terminar debemos comprobar las soluciones obtenidas porque pueden aparecer soluciones extrañas (no olvidar que el cero y los números negativos no tienen logaritmo) 3log x  log 32  log

 4 x  7 log 5  log16  4
x 2  5x  9  3
log5 x 
2
De manera práctica un método para resolver ecuaciones logarítmicas consiste en lograr que los dos miembros de la ecuación tengan una misma expresión logarítmica. Frecuentemente utilizaremos las propiedades de los logaritmos en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas. Reduciendo ambos miembros de la ecuación a una sola expresión logarítmica x


2
x
Aunque no existe un procedimiento que podríamos denominar de general para resolver ecuaciones logarítmicas, existen algunos métodos que podemos utilizar para resolverlas:  Aplicando la definición de logaritmo  Por igualdad de logaritmos, aplicando el principio antes señalado  Aplicando las distintas propiedades de logaritmos  Por cambio de variable  Resolución empleando ecuaciones exponenciales 
 5 x  9 log 2  log125  3
log 2 x

2
2
2x
« Los logaritmos de dos expresiones positivas, de una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales cuando, y sólo cuando, son iguales dichas expresiones ». log a u  log a v
Empleando ecuaciones exponenciales 
 x 2  107 y 3
x2
7
 2 log x  3log y  7
 log 3  log10



y
10

 log x  log y  1
 log  x  y   log10
 x y


2
 10 
7 3
7 5
   10 y  100  10 y 
y
 
y
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; x  100
10