Técnicas de Integración Fracciones Parciales (III)

Técnicas de Integración
Fracciones Parciales (III)
En los documentos anteriores mencioné que cuando tenı́amos un denominador de la forma (ax + b)n
o que el numerador fuera de ”mayor exponente” que el denominador, no podı́amos aplicar ninguno
de los métodos mencionados, ası́ que ... ¿qué hacemos?
Ejemplo 1 : Separar la fracción
1
x(x + 1)2
La fracción separada, quedará de la forma
1
B
C
A
+
= +
x(x + 1)2
x
(x + 1) (x + 1)2
PAUSA
Si el denominador fuera (x + 1)4 entonces la forma serı́a
Constante1 Constante2 Constante3 Constante4
+
+
+
(x + 1)
(x + 1)2
(x + 1)3
(x + 1)4
y ası́ te vas. Esto es solo para cuando tengas una expresión (ax + b) elevada a algo (positivo). Si
no pasa esto, sigues usando las reglas que te escribı́ en los otros documentos.
CONTINUO
Sumando las fracciones
A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx
1
=
2
x(x + 1)
x(x + 1)2
Ojo en como se suman estas fracciones... Como los denominadores son iguales, puedo decir que los
numeradores son iguales
1
A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx = 1
Para encontrar el valor de las incógnitas (A, B, C) puedes usar cualquier método descrito en los
otros documentos. Expandiré el lado izquierdo de la ecuación
A(x2 + 2x + 1) + B(x2 + x) + Cx = 1
Ax2 + 2Ax + A + Bx2 + Bx + Cx = 1
Agrupando
[A + B]x2 + [2A + B + C]x + A = 1
Obtengo las siguientes ecuaciones
A+B =0
2A + B + C = 0
A=1
Resolviendo el sistema de ecuaciones encuentro el valor de cada incógnita, A = 1 , B = −1, C = −1.
Separo la fracción
1
1
1
1
= −
−
2
x(x + 1)
x (x + 1) (x + 1)2
Listo. Este procedimiento siempre lo usarás cuando tengas un denominador de la forma mencionada.
Problema Práctico 1 : Separa la fracción
La respuesta:
2+x
(x2 + 1)(x + 2)2
2−x
1
+
5(x1 + 1) 5(x + 2)
2
Z
dx
x(x + 1)2
Ejemplo 2 : Encuentra la solución a la integral
Con la respuesta del ejemplo 1 puedo separar la integral en varias integrales.
Z
dx
=
x(x + 1)2
Z
dx
−
x
Z
dx
−
x+1
Z
dx
(x + 1)2
Integrando (confı́o en tı́), llego a la respuesta
Z
1
dx
= ln|x| − ln|x + 1| +
+K
x(x + 1)2
x+1
La integral queda muy sencilla cuando separas la fracción. De esto se trata el método.
¿Qué sucede si el exponente mas grande del numerador es mayor al exponente mas grande del
denominador?
Ejemplo 3 : Separa la fracción
x3
(x + 1)(x + 2)
Primero que todo, mira que el exponente mas grande de la x en el denominador es 2 [(x+1)(x+2) =
x2 + 3x + 2] y el exponente más grande de la x en el numerador es 3. Ya que esto es ası́ no puedo
usar ninguno de los métodos mencionados anteriormente.
Para este caso haré una división sintética. Trabajaré la fracción con el denominador expandido.
x3
x3
= 2
(x + 1)(x + 2)
x + 3x + 2
Para lograr separar esto usaré división de polinomios... Te recordaré un poco de lo que es. Tendré
esta expresión
A(x)
R(x)
= C(x) +
B(x)
D(x)
3
A(x) y B(x) son polinomios, en donde A(x) tiene ”mayor exponente” que nuestro denominador
B(x). Con la división de polinomios, buscaré escribir el polinomio de la forma mostrada a la
derecha del igual.
PROCEDIMIENTO
Esta manera que te explicaré es la manera que personalmente uso, pero considero que es bastante
clara. Primero escribiré la división que voy a hacer...
x3 ÷ (x2 + 3x + 2) =
Piensa que estas dividiendo números, es el mismo procedimiento... La idea es bajar el orden
del numerador. Lo que quiero es bajar de x3 a x2 o a simplemente x. Para hacerlo, debo eliminar
ese x3 , por eso multiplicare x2 + 3x + 2 por x ,esta x irá a la derecha del igual y resultado de la
multiplicación irá debajo de x3 .
Multipliqué x2 + 3x + 2 por la x que está al lado derecho del igual, esto da x3 + 3x2 + 2x. El menos
en frente es por el procedimiento de la división, te dije que lo hicieras al igual como si dividieras
números. Ahora para cancelar el término −3x2 debo multiplicar x2 +3x+2 por −3... procedimiento
4
Detengo la división ahı́ por que 7x + 6 tiene menor exponente que x2 + 3x + 2. Para terminar el
procedimiento señalo que lo que está a la derecha del igual es C(x) = x − 3. Lo que sobra al final
de la división es R(x) = 7x + 6 y x2 + 3x + 2 es D(x). El denominador sigue siendo el mismo.
Si
R(x)
A(x)
= C(x) +
B(x)
D(x)
entonces para este caso,
x2
7x + 6
x3
= (x − 3) + 2
+ 3x + 2
x + 3x + 2
La segunda fracción puedo escribirla como
x2
7x + 6
7x + 6
=
+ 3x + 2
(x + 1)(x + 2)
Usando los métodos conocidos para separar fracciones (te lo dejo a ti) veo que
8
1
7x + 6
=
−
(x + 1)(x + 2)
x+2 x+1
Para terminar...
8
1
x3
= (x − 3) +
−
2
x + 3x + 2
x+2 x+1
5
Z
Ejemplo 4: Resuelve
x3 dx
(x + 1)(x + 2)
Con el resultado obtenido en el ejemplo 4 separo la integral en varias integrales
Z
x3 dx
=
(x + 1)(x + 2)
Z
Z
xdx −
Z
3+
8dx
−
x+2
Z
dx
x+1
La solución
Z
x3 dx
= x2 − 3x + 8ln|x + 2| − ln|x + 1| + C
(x + 1)(x + 2)
Problema Práctico 2: Separa la fracción
La respuesta: (x + 3) +
x3 + 2x2 + 3x + 1
x2 − x + 1
5x − 2
−x+1
x2
Mi consejo: PRACTICA DIVISIÓN DE POLINOMIOS y los demás métodos. Confı́a en
que puedes hacerlo.
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