Convergencias estocásticas (Tema 2)

Convergencias estocásticas
Sean X , Xn : (Ω, A, P) −→ (R, BR ) v.a., n ∈ N.
¿Qué significa Xn −−−→ X ?
n→∞
• Convergencia en probabilidad
Decimos que {Xn }n∈N converge a X en probabilidad y lo
P
denotamos Xn −−−→ X si, para todo > 0,
n→∞
lim P{|Xn − X | ≥ } = 0
n→∞
o equivalentemente
lim P{|Xn − X | < } = 1.
n→∞
En Análisis este tipo de convergencia se llama convergencia en
medida.
Estadı́stica I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baı́llo
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• Convergencia casi segura
Decimos que {Xn }n∈N converge a X casi seguro (o con
probabilidad uno o en casi todo punto) y lo denotamos
c.s.
Xn −−−→ X si
n→∞
P{ω ∈ Ω : Xn (ω) −−6 −→ X (ω)} = 0
n→∞
o equivalentemente si, para todo > 0,
P{ lim |Xn − X | < } = 1.
n→∞
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Ejemplo de convergencia en probabilidad pero no c.s.
Consideramos una sucesión de v.a. construidas del siguiente modo.
Primero definimos una v.a. U uniforme en el intervalo [0,1] y luego
le aplicamos ciertas funciones indicatrices 1Ain , siendo
i
Ain = i−1
n , n , i = 1, . . . , n, n ≥ 1:
1 Ai
U
n
(Ω, A, P) −→ (R, B) −→
(R, B).
Para un ω ∈ Ω fijo, U(ω) es una observación concreta extraı́da de
la distribución uniforme en [0,1].
La sucesión de v.a.
X11 = 1A1 (U),
1
X31 = 1A1 (U),
3
X21 = 1A1 (U),
2
X32 = 1A2 (U),
3
X22 = 1A2 (U),
2
X33 = 1A3 (U), . . .
3
converge a 0 en probabilidad pero no c.s.
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• Convergencia débil o en distribución
Sean F y Fn las funciones de distribución de X y Xn
respectivamente. Decimos que {Xn }n∈N converge a X débilmente
d
o en distribución y lo denotamos Xn −−−→ X si
n→∞
lim Fn (x) = F (x)
n→∞
para todo x ∈ R en el que F sea continua.
Sean φ y φn las funciones caracterı́sticas de X
Xn
R y itx
itX
respectivamente, es decir, φ(t) = E(e ) = R e dF (x). Se
cumple que
d
Xn −−−→ X ⇔ φn (t) −−−→ φ(t), ∀t ∈ R.
n→∞
n→∞
También se cumple que
d
Xn −−−→ X ⇔ E(g (Xn )) −−−→ E(g (X ))
n→∞
n→∞
para toda g : R → R continua y acotada.
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Se satisfacen las siguientes implicaciones:
c.s.
P
Xn −−−→ X
⇒ Xn −−−→ X
Xn −−−→ X
⇒ Xn −−−→ X
n→∞
P
n→∞
n→∞
d
P
n→∞
d
n→∞
n→∞
Xn −−−→ c, con c constante ⇒ Xn −−−→ c
Teorema de Slutsky: Sean {Xn }n e {Yn }n sucesiones de v.a. y X
d
P
una v.a. Si Xn −−−→ X e Yn −−−→ c, siendo c ∈ R una
n→∞
n→∞
constante, entonces
d
(i) Xn + Yn −−−→ X + c
n→∞
d
(ii) Xn Yn −−−→ c X
(iii)
n→∞
d
Xn
−−→ X
Yn −
n→∞ c
siempre que c 6= 0.
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