Ecuaciones irracionales.

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.
1
Ecuaciones irracionales.
1.
Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
Operaciones básicas con polinomios.
Resolución de ecuaciones de primer grado.
Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Serı́a conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
2.
Ecuaciones irracionales.
Definición: Son las ecuaciones en las que la incógnita está dentro de alguna raı́z.
Por ejemplo:
√
x + 1 + x = 2x + 1
Para resolver dichas ecuaciones se sigue el siguiente procedimiento:
❶ Se despeja alguna de las raı́ces que tengan una incógnita.
En este caso sólo hay una raı́z por lo que se despeja:
√
√
√
x + 1 + x = 2x + 1; ⇒ x + 1 = 2x + 1 − x; ⇒ x + 1 = x + 1;
❷ Se elevan al cuadrado ambos mienbros de la ecuación
√
x + 1 = x + 1; ⇒
√
2
2
x + 1 = (x + 1) ; ⇒ x + 1 = x2 + 2x + 1
❸ Se resuelve la ecuación si no tiene raı́ces. En el caso de tener raı́ces, se vuelve al paso ❶ hasta que todas
las raı́ces sean eliminadas.
x + 1 = x2 + 2x + 1; ⇒ 0 = x2 + x;
Las soluciones de esta ecuación son x = 0 y x = −1.
❹ Se comprueban las soluciones en la ecuación original y se descartan aquellas que no la verifiquen.
Se comprueba x = 0:
√
√
x + 1 + x = 2x + 1; ⇒ 0 + 1 + 0 = 2 · 0 + 1; ⇒ 1 = 1
Sı́ es válida.
Se comprueba x = −1:
√
√
x + 1 + x = 2x + 1; ⇒ −1 + 1 − 1 = 2 · (−1) + 1; ⇒ −1 = −1
3 EJERCICIOS
2
Sı́ es válida.
Es muy recomendable que el lector trate de resolver la ecuación anerior.
El siguiente ejemplo es una muestra de lo que se pueden complicar estas ecuaciones:
√
x−1+
√
2x + 1 = x + 1
Se aplican los pasos anteriores. En esta ecuación se tienen dos raı́ces con incógnita. Se despeja una de las
dos:
√
√
x − 1 + 2x + 1 = x + 1 ⇒
√
√
x − 1 = x + 1 − 2x + 1
Se eleva al cuadrado:
√
2
x−1
= x+1−
√
2
2x + 1
√
⇒ x − 1 = x2 + 2x + 1 − 2(x − 1) 2x + 1 + 2x + 1 ⇒
Operando:
√
√
x − 1 = x2 + 4x + 2 − 2(x − 1) 2x + 1 ⇒ −x2 − 3x − 3 = −2(x − 1) 2x + 1
En este caso la raı́z no se ha podido eliminar. Siempre que esto suceda hay que volver a realizar todo desde el
paso ❶, es decir, hay que despejar y elevar al cuadrado ambos mienbros de la ecuación, para poder eliminar la
raı́z:
2
2
√
−x2 − 3x − 3 = −2(x − 1) 2x + 1
x4 + 6x3 + 15x2 + 18x + 9 = 4(x2 − 2x + 1)(2x + 1)
x4 + 6x3 + 15x2 + 18x + 9 = 8x3 − 12x2 + 4
x4 − 2x3 + 27x2 + 18x + 5 = 0
Es fácil verificar que esta ecuación no tiene solución. Por ello, la ecuación planteada inicialmente no se puede
resolver.
3.
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones:
√
1. 1 − x + 2x − 3 = 0 Sol.: x = 2
√
2. 1 − x − 2x − 3 = 0 Sol.: No tiene solución
√
3. x − x = −2 Sol.: x = 4
√
4. x + x = 2 Sol.: x = 1
√
√
5. 2x − 3 − x + 7 = 4 Sol.: x = 114
√
√
6. 3x + 3 = 2x + 8 + 1 Sol.: x = 2