Quı́mica de Materials. 1er examen parcial Problemes resolts 7-octubre-2011 1 2 1. Ets responsable de la construcció d’un pont composat per un tauler que es recolza sobre columnes. Tal i com es mostra a la figura, el recolzament del tauler sobre el pont no es fa de manera directa, sinó que s’introdueix una placa de neoprè que farà d’element de transició. El projectista ha dissenyat el pont considerant un neoprè amb mòdul d’elasticitat de 7000M P a, però en el mercat només hi ha un neoprè N1 amb E1 = 4000M P a, i un altre N2 , amb E2 = 10000M P a. Has de fer una composició dels dos neoprens existents en el mercat per obtenir un equipament de recolzament amb un comportament equivalent al del neoprè definit orginalment pel projectista. Considera que els dos neoprens es posaràn l’un al costat de l’altre, mantenint el gruix i l’àrea total en planta, que ha de ser de 4.5m2 . Calcula l’àrea de cada neoprè (A1 i A2 per N1 i N2 , respectivament) suposant que el tauler del pont no presenta girs en la zona de recolzament i es comporta com un cos rı́gid. Eres responsable de la construcción de un puente compuesto por un tablero que se apoya sobre columnas. Tal y como muestra la figura, el apoyo del tablero sobre el puente no se hace de manera directa sino que se introduce una placa de neopreno que servirá como elemento de transición. El proyectista ha diseñado el puente considerando un neopreno con módulo de elasticidad 7000 MPa, sin embargo en el mercado solo hay un neopreno N1 con módulo de elasticidad E1 = 4000 MPa y un neopreno N2 con módulo de elasticidad E2 = 10000 MPa. Debes hacer una composición de los dos neoprenos existentes en el mercado para obtener un equipo de apoyo con un comportamiento equivalente al del neopreno de diseño originalmente definido por el proyectista. Considera que los dos neoprenos se pondrán uno al lado del otro, manteniendo el espesor y el área total en planta, que debe ser de 4.5m2 . Calcula el área de cada neopreno (A1 y A2 para N1 y N2 , respectivamente) suponiendo que el tablero del puente no presenta giros en la zona de apoyo y se comporta como un cuerpo rı́gido. ! "#$%&'! ! 4:;<=! *>! !" -&).'/! 0&1123!445!,&6)+,! 72'&18'2$,!7&!.')9&18&! ! ()%$*+&,! !$%& !# '%& 0&1123!445!,&6)+,!,28$#123! -&).'/!1)*.),8! ! Figura 1: Esquema del pont i vista AA’ 3 SOLUCIÓ del Problema 1 – Sergio Henrique Pialarissi Para resolver ese problema solo es necesario conocer la ley de HookE que relaciona la tensión aplicada (σ) y la deformación (ε) mediante una constante de proporcionalidad conocida como módulo de elasticidad (E), tal y como se muestra abajo. σ =E·ε Si queremos mirar la misma ley desde el punto de vista de la fuerza tenemos que multiplicar la ecuación anterior por el área. Con ello se obtiene la ecuación F =σ·A=E·ε·A Las dos incógnitas del problema son las áreas del neopreno compuesto (A1 y A2 ) que deberán ponerse en lugar del neopreno original definido por el proyectista. Para determinar esas dos variables necesitamos dos ecuaciones. Esas dos ecuaciones nos salen de las dos condiciones de contorno definidas como lı́mite para el problema. Esas condiciones son: 1) el área final en la situación original tiene que ser la misma que la de la situación compuesta y 2) el módulo de elasticidad de la situación original tiene que ser el mismo que el módulo de elasticidad resultante de la situación compuesta. Analicemos en separado que ecuación podemos derivar de cada una de esas condiciones de contorno. (a) El area final en la situación original tiene que ser la misma que la de la situación compuesta. Es la más fácil de visualizar. De acuerdo con el problema el área final en una situación y en otra debe ser el mismo. Eso conduce a que la suma de los áreas de los neoprenos en la situación compuesta sea igual al original, tal y como refleja la ecuación A1 + A2 = AR = 4, 5m2 (b) ) El módulo de elasticidad de la situación original tiene que ser el mismo que el módulo de elasticidad resultante de la situación compuesta. La obtención de esa ecuación exigirá unas consideraciones adicionales. Las cargas verticales aplicadas en el tablero producen una compresión del Neopreno que se traduce en una consecuente deformación que reduce el espesor del material. Hay que tener presente que de acuerdo con la ley de Hooke mostrada al principio, si a la situación de proyecto (con un único neopreno de módulo elástico ER = 7000 MPa y área total AR = 4,5 m2 ) se aplica una fuerza FR tenemos una consecuente tensión σR que da como respuesta una deformación εR . Usando la ecuación deducida anteriormente para la fuerza, ello se representa matemáticamente tal y como se muestra a continuación. FR = ER · εR · AR Por una cuestión de equivalencia, dado que se mantiene el área total y el espesor, al aplicar la fuerza FR en la situación compuesta se debe obtener la misma deformación que en el caso anterior (εR ). De acuerdo con los datos del problema, el tablero del puente se comporta como un cuerpo rı́gido de modo que la deformación aplicada a cada uno de los dos neoprenos tiene que ser igual. En ese caso, se puede calcular la fuerza generada por cada neopreno mediante las dos ecuaciones F1 = E 1 · ε R · A1 F2 = E 2 · ε R · A2 4 Es evidente que la resultante de esas dos fuerzas debe ser igual a la fuerza FR , lo que permite deducir lo que sigue. FR = F1 + F2 Sustituyendo las ecuaciones anteriores en esa última se obtiene la ecuación final que buscábamos. ER · εR · AR = E1 · εR · A1 + E2 · εR · A2 E R · AR = E 1 · A1 + E 2 · A2 (c) ) Sistema de ecuaciones. Las ecuaciones finales obtenidas en los ı́tems a) y b) componen el sistema de ecuaciones que nos permite determinar las áreas de los Neoprenos N1 y N2 en la situación compuesta. El sistema obtenido se muestra a continuación. ( A1 + A2 = AR ) ER · AR = E1 · A1 + E2 · A2 Resolviendo ese sistema obtenemos las siguientes ecuaciones para las áreas A1 y A2 de los Neoprenos N1 y N2 , respectivamente. ER − E2 E1 − E2 ER − E1 A2 = AR · E2 − E1 A1 = AR · Sustituyendo los datos del problema ( ER =7000 MPa; E1 =4000 MPa; E2 =10000 MPa; AR =4,5 m2 ) obtenemos los siguientes valores para A1 y A2 . A1 = 2, 25 m2 A2 = 2, 25 m2 5 2. S’ha realitzat un assaig de fatiga per un aliatge d’alumini fent servir provetes amb una secció transversal ’d’. Els resultats obtinguts a la mateixa temperatura es mostren a la taula 1. (a) Dibuixa la corba que s’obté com a resultat de l’assaig (b) Estima la tensió lı́mit de fatiga per a un total de 1.0 · 107 cicles (c) L’aliatge en qüestió es va fer servir per construir un eix de transmissió de secció variable (Fig. 2a), amb d = 30mm y r = 7mm. La tensió lı́mit de fatiga varia en funció del radi r de l’unió entre ambdues seccions, d’acord amb la corba indicada en la figura 2b, on σ0 representa la fatiga lı́mit obtinguda experimentalment amb una proveta de secció transversal constant, i σf ent la fatiga lı́mit per a elements amb secció transversal variable. Determina la tensió màxima a la que pot estar sotmés l’eix per una vida de projecte de 5.0 · 107 cicles. Considera que els resultats de l’assaig de fatiga mostrats en la taula 1 s’han obtingut amb una barra de r/d = 1. Se ha realizado un ensayo de fatiga para una aleación de aluminio usando probetas con sección transversal ’d’. Los resultados obtenidos a la misma temperatura se muestran en la tabla. (a) Dibuja la curva que se obtiene como resultado del ensayo (b) Estima la tensión lı́mite de fatiga para un total de 1.0 · 107 ciclos (c) La aleación en cuestión se usó para construir un eje de transmisión de sección variable (Fig. 2a), con d = 30mm y r = 7mm. La tensión lı́mite de fatiga varı́a en función del radio r de la unión entre las dos secciones de acuerdo con la curva indicada en la figura 2b, donde σ0 representa la fatiga lı́mite obtenida experimentalmente con una probeta de sección transversal constante, y σf ent la fatiga lı́mite para elementos con sección transversal variable. Determina la tensión máxima que puede soportar el eje para una vida de proyecto de 5.0 · 107 ciclos. Considera que los resultados del ensayo de fatiga mostrados en la tabla 1 se han obtenido para una barra con r/d = 1. Taula 1: Resultat de l’assaig de fatiga d’una barra amb secció constant Amplitud de tensió 400 350 300 250 220 180 ∆σ (MPa) N (nombre de cicles 1.8 · 104 4.5 · 104 2.0 · 105 1.0 · 106 5.5 · 106 5.0 · 107 fins a rotura) Figura 2: a) Secció variable i b) lı́mit de fatiga en funció d’r 170 160 1.0 · 108 7.0 · 108 6 SOLUCIÓ del Problema 2 – Sergio Henrique Pialarissi (a) Curva resultante del ensayo (b) Usando el gráfico anterior tenemos que (c) La curva mostrada en los gráficos anteriores ha sido obtenida para el ensayo de una barra con r/d = 1. De acuerdo con el ensayo de fatiga realizado, para alcanzar un número de ciclos de repetición igual a 5 · 107 , se debe aplicar una amplitud de tensión igual a 180 MPa. No obstante, la barra considerada en el ı́tem c tiene sección variable, presentando un diámetro d = 30 mm y un radio r = 7 mm. Por lo tanto, el ratio r/d es 7 igual a 0,23 aproximadamente. Entrando en el gráfico abajo con ese valor se obtiene el factor de corrección para la nueva pieza que estará entre 0,50 y 0,55. Para obtener la carga resistida por la nueva pieza hay que multiplicar el resultado del ensayo por el factor de corrección encontrado, con lo que se obtiene una amplitud de tensiones que estará entre 90 MPa y 99 MPa. 8 3. En un calorı́metre s’han hidratat 150 g d’òxid de calci (CaO, calç viva) a hidròxid de calci (Ca(OH)2 , calç morta) i la calor despresa ha estat absorbida per 600 g d’aigua que s’han escalfat de 20◦ C a 84◦ C. El calorı́metre ha absorbit un 9% de la calor despresa. (a) Determina quina és la calor d’hidratació de la calç viva. (b) Calcula l’entalpia estàndard de formació de l’hidròxid de calci (sòlid). En un calorı́metro se han hidratado 150 g de óxido de calcio (CaO, cal viva) a hidróxido de calcio (Ca(OH)2 , cal muerta) y el calor desprendido ha sido absorbido por 600 g de agua que se han calentado desde 20◦ C a 84◦ C. El calorı́metro ha absorbido un 9% del calor desprendido. (a) Determina cuál es el calor de hidratación de la cal viva. (b) Calcula la entalpı́a estándard de formación del hidróxido de calcio (sólido). Dades: Les entalpies estàndard de formació de l’aigua (l) i de l’òxid de calci (s) són respectivament - 286 kJ/mol i - 635 kJ/mol SOLUCIÓ del Problema 3 – Ignasi Casanova Un calorı́metre és un recipient tancat i aı̈llat en el que podem fer i estudiar, l’intercanvi de calor de les reaccions quı́miques. La reacció que es produeix és: CaO (s) + H2 O (l) Ca(OH)2 (s) + Q La calor que desprenen els 150 g d’òxid de calci al hidratar-se han servit per escalfar 600 g d’aigua, de calor especı́fica 1cal/g ·◦ C, des de 20 ◦ C a 84 ◦ C. La quantitat de calor aprofitada per l’aigua del calorı́metre seria: Q = m · ce · ∆T = 600g · 1cal/g ·◦ C · (84 − 20)◦ C = 38.4 kcal La quantitat realment produı̈da seria, tenint en compte que hi ha una pèrdua del 9% deguda a l’absorció per part del calorı́metre: 38.4kcal · 100 kcal produı̈des = 42.2kcal 91 kcal mesurades Si expressem doncs el resultat en kJ/mol i tenim en compte que és calor despresa, és a dir negativa des del punt de vista de la reacció, tindrem: 150 g CaO · ∆H 0 = 1 mol CaO = 2.7 mols CaO 56.1 g CaO −42.2 kcal 4.18 kJ · = −65.3 kJ/mol 2.7 mols CaO 1 kcal 9 L’entalpia de la reacció d’hidratació1 , en funció de les entalpies de formació, serà: X X 0 0 0 ∆Hhid = nprod ∆Hprod − nreac ∆Hreac Per tant, 0 0 0 0 ∆Hhid − ∆HCaO = ∆HCa(OH) + ∆HH 2O 2 Com que coneixem l’entalpia de la reacció d’hidratació, i les de formació de CaO i H2 O, podem escriure 0 0 0 0 = ∆HCaO ∆HCa(OH) + ∆HH + ∆Hhid 2O 2 0 ∆HCa(OH) = (−635) + (−286) + (−65.6) = −986.6 kJ 2 1 la nomenclatura ∆H0 s’utilitza per indicar quantitats termodinàmiques, en aquesta cas l’entalpia, mesurades i en condicions estàndard (1 atm i 298.15 K). 10 4. Demostra, a partir dels principis bàsics treballats a classe i sabent que G = H − T S, que la relació entre el potencial quı́mic d’un component (µJ ) i l’entalpia del sistema es pot expressar mitjançant l’equació (1) Demuestra, a partir de los principios básicos trabajados en clase y sabiendo que G = H −T S, que la relación entre el potencial quı́mico de un componente (µJ ) y la entalpı́a del sistema se puede expresar mediante la ecuación (1) µJ = ∂H ∂nJ (1) S,p,n0 SOLUCIÓ del Problema 4 – Ignasi Casanova G = H − TS per tant, dG = dH − T dS − SdT A classe hem definit que dG = V dp − SdT + X µJ dnJ J Igualant les dues expressions de dG dH = V dp + T dS + X µJ dnJ J Aixı́ tenim que a pressió (p) i entropia (S) constants, dH = X µJ dnJ J i derivant respecte d’nJ , µJ = ∂H ∂nJ S,p,n0