MANUAL DE EV. DE PROYECTOS.

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VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO (Time Value of Money)
CONCEPTO TEORICO
Es importante reconocer que un peso que se reciba en el futuro valdrá menos que un peso que se
tenga actualmente, ya que este último puede ganar un rendimiento cuando es invertido por un cierto
periodo.
Por consiguiente, el concepto del valor del dinero a través del tiempo (TVM) significa que
cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes del
tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.

$1
$1
0
1
>0
TERMINOLOGIA UTILIZADA EN EL TVM
INTERES
Cantidad de dinero que se RECIBE o se PAGA por el uso del dinero ajeno.
CAPITAL
Cantidad de dinero a invertir o a pedir prestado.
MONTO
Es el valor acumulado del capital, es decir capital más intereses.
PLAZO
Duración de la inversión o préstamo.
INTERES COMPUESTO (Interest Rate Conversions)
Los intereses se calculan en base a una tasa de interés compuesto.
Ejemplo #1:
2 5 % a n u a l / tr i m e s tr a l
E x p re s ió n d e
l a ta s a d e
i n te r é s .
Capital= $100,000.00
Plazo= 1 año
P e rio d o d e
c a p i ta l i z a c i ó n
d e l o s i n te r e s e s .
Tasa = 25% anual / trimestral
Intereses= ? anuales
TRIM.
CAPITAL
TASA
INTERES
1
2
3
4
5
$100,000.00
$106,250.00
$112,890.63
$119,946.29
$127,442.93
6.25%
6.25%
6.25%
6.25%
$6,250.00
$6,640.63
$7,055.66
$7,496.64
6.25% trimestral / trimestral
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En el primer trimestre se calculan los intereses sobre el capital inicial y son sumados o
"capitalizados" a éste para que sirvan de base del cálculo de los intereses del segundo trimestre.
A su vez los intereses del segundo trimestre son capitalizados al capital acumulado para que sean
calculados los intereses del tercer trimestre, y así sucesivamente.
Al final del cuarto o inicio del quinto trimestre se tiene que el monto o capital acumulado es de
$127,442.93, del cual $100,000.00 es el capital y $27,442.93 los intereses.
Por lo tanto, la tasa de interés efectiva no es la de un 25% anual sino la de un 27.44% anual. La tasa
de interés del 25% anual / trimestral se le conoce como TASA NOMINAL. La tasa de interés del
27.44% anual / anual se le conoce como TASA EFECTIVA.
La tasa del 25% anual / trimestral se puede expresar de varias maneras:

12.5% semestral / trimestral.

6.25% trimestral / trimestral.

4.16% bimestral / trimestral.

2.08% mensual / trimestral.
Al querer expresar una tasa anual en una tasa trimestral, se divide dicha tasa entre 4, pues son
cuatro trimestres los que tiene un año. Al efectuar esta división la palabra "anual" cambia a
"trimestral". Sin embargo, el periodo de capitalización de los intereses no sufre modificación
alguna ya que es el resultado de una negociación entre acreedor y deudor.
Para calcular una tasa efectiva existe una fórmula matemática que simplifica las operaciones y que
de otra manera se tendrían que estar haciendo los cálculos como anteriormente se mostró. Dicha
fórmula es:
( 1+ j m )
m
1= i
dónde:
j = Tasa de interés nominal
i = Tasa de interés efectiva
m = veces a capitalizar los intereses
De este ejemplo la tasa de interés anual efectiva (i) se calcula como sigue:
j = 25%
m=4
n=1
(1+
25%
4
)
(4)
1= 27.44% anual / anual
EJERCICIOS
1. Qué tasa de interés anual efectiva obtendrá el:
a) 2.5% mensual / mensual
c) 6% semestral / trimestral
b) 4% trimestral / trimestral
d) 20% anual / mensual
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2. Qué tasa de interés semestral efectiva obtendrá el:
a) 10% anual / mensual
c) 5% mensual / mensual
b) 15% semestral / trimestral
d) 8% cuatrimestral / bimestral
3. Qué tasa de interés trimestral efectiva obtendrá:
a) 10% mensual / trimestral
c) 16% anual / bimestral
b) 8% cuatrimestral / trimestral
d) 20% anual / cuatrimestral
Ahora dada una tasa efectiva encontrar la tasa nominal; para esto habrá que despejar la fórmula.
Ejemplo #2:
i = 10% anual / anual o anual efectiva
m=3
n=1
j = ? anual / cuatrimestral
(3)
(1+ ) 1= 10% anual / anual
(1+ ) = 1.10
(1+ ) = 1.10
(1+ ) = 1.0323
j
3
j
3
(3)
j
3
3
j
j
3
= 1.0323 - 1
j = 3(0.0323)
j = 9.68% anual / cuatrimestral
3
Esta tasa nominal puede expresarse también como:

3.23 % cuatrimestral / cuatrimestral ó cuatrimestral efectiva

4.84 % semestral / cuatrimestral

0.81 % mensual / cuatrimestral
EJERCICIOS
1. De las tasas de interés proporcionadas, calcule su tasa equivalente:
a) 8% efectiva semestral
j = ? semestral / trimestral d) 12% efectiva anual
b) 7 % efectiva trimestral
j = ? trimestral / mensual e) 40% efectiva bianual
c) 10% efectiva cuatrimestral
i = ? mensual / mensual f) 50% efectiva trianual
2. Encontrar la tasa trimestral efectiva del 40% anual / mensual.
3. Encontrar la tasa mensual efectiva del 50% anual efectiva.
4. Encontar la tasa nominal anual / bimestral del 45% anual / diario.
i = ? mensual / mensual
i = ? anual / anual
j= ? anual / semestral
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VALOR PRESENTE (V.P.) Y VALOR FUTURO (V.F.) (Present Value – Future Value)
VALOR PRESENTE (V.P.)
El valor presente de una cantidad que se va a recibir o se va a pagar en el futuro es el valor
equivalente que en la actualidad tendría tal cantidad, dada una tasa de interés.
VALOR FUTURO (V.F.)
Es el valor que se recibe o se paga en un periodo futuro resultante de la aplicación de una tasa de
interés a una cantidad presente.
V.P.
V.F.
1
2
3
·
·
n-1
n
i
VF = VP (1 + i)n
donde:
VF = Valor Futuro.
VP = Valor Presente.
i = tasa de interés efectiva de un sólo periodo.
n = número de periodos.
Ejemplo VP-VF#1:
¿Cuánto tenemos que invertir a una tasa del 20% anual efectiva durante dos años para poder
acumular $1,440.00?
1,440.00 = VP (1 + 20%)2
1,440.00
VP = -----------(1.2)2
VP = 1,000.00
Ejemplo VP-VF#2:
¿Cuál es el valor futuro de $100,000.00 a una tasa del 2% mensual / mensual después de 5 años?
VF = 100,000.00 (1 + 2%)60
VF = 328,103.08
Ejemplo VP-VF#3:
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¿Cuál es el valor presente de $50,000.00 que se esperan recibir dentro de 18 meses considerando
que la tasa de interés vigente es del 30% semestral efectiva?
50,000.00 = VP (1 + 30%)3
50,000.00
VP = ------------(1.3)3
VP = 22,758.31
Ejemplo VP-VF#4:
¿Cuál es el valor futuro de una cantidad de $200,000.00 dentro de tres trimestres considerando una
tasa de interés del 20% anual efectiva?
VF = 200,000.00 (1 + 20%)0.75
VF = 229,306.27
EJERCICIOS
1. ¿Cuál es el valor presente de $100,000.00 al final del año dos, de $150,000.00 al final del año
tres y de $200,000.00 al final del año cinco a una tasa de interés del 20% anual efectivo?
2. ¿Cuál es el valor futuro de $100,000.00 a una tasa de interés del 25% anual efectivo al final del
quinto año?
3. ¿Cuánto debe invertir una persona ahora al 26% anual / trimestral para tener $15,000.00 en su
cuenta dentro de 10 años?
4. ¿En la compra de una casa, una persona paga $150,000.00 como pago inicial y acuerda pagar
$150,000.00 dos años después? ¿Cuál es el valor de contado de la casa al 15% anual / trimestral?
5. Un pagaré fechado el primero de febrero del 2000, estipula el pago de $25,000.00 con intereses
al 25% anual / semestral 4 años más tarde. Hallar el importe de la venta del pagaré al primero de
febrero del 2003 suponiendo un rendimiento al 30% anual / trimestral.
6. Hallar el valor presente de $15,000.00 pagaderos en 6 años 8 meses suponiendo un rendimiento
del 18% anual / trimestral.
7. Una persona obtiene un préstamo de $50,000.00 con intereses al 28% anual / semestral. Acepta
pagar $10,000.00 dentro de un año, $20,000.00 en dos años, y el saldo en tres años. Hallar el pago
final en el año 3.
8. Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal, que acumulada al 3% semestral
efectiva importe $100,000.00 cuando el hijo tenga 21 años. ¿Cuánto tendrá que invertir?
9. Un deudor puede liquidar una deuda pagando (A) $8,000.00 hoy en día o (B) $10,000.00 dentro
de 5 años. ¿Qué opción debe aceptar suponiendo un rendimiento del 12.5% trimestral / semestral?
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10. ¿Cuál es el valor presente de un pagaré por $12,000.00 con intereses al 5% semestral /
trimestral por 10 años si el rendimiento actual es del 13% anual efectivo?
ANUALIDAD (A.) (Payment – End mode)
Es una cantidad fija de dinero que se recibe o se paga durante un cierto periodo de tiempo.
La anualidad, aunque usa el vocablo anual, no quiere decir que exclusivamente la cantidad fija de
dinero se va a recibir o se va a pagar cada año, sino que ésta puede ser recibida o pagada cada
semestre, cuatrimestre, trimestre, mes, etc...
Por lo que anualidad sólo designa la cantidad fija y no la frecuencia con que ésta va a recibirse o a
pagarse.
A
A
A
A
A
A
A
V.P.
V.F.
1
2
3
·
i
·
n-1
n
FORMULAS:
(
VF = A (
VP = A
(1 + i) n - 1
i (1 + i) n
(1 + i) n - 1
i
)
)
===>
===>
(
A = VF (
A = VP
i (1 + i) n
(1 + i) n - 1
i
(1 + i) n - 1
)
)
dónde:
VP = Valor Presente.
VF = Valor Futuro.
A = Anualidad.
i = tasa de interés efectiva de un periodo determinado
n = número de periodos
El planteamiento de este tipo de problemas tiene dos formas:
I. Cuando la tasa de interés no requiere ninguna conversión:
Ejemplo A#1:
¿Cuál es el valor presente de pagar $2,000.00 cada año por los próximos tres años a una tasa del
10% anual efectiva?
7 de 10
V.P.
10% anual efecti va
0
1
2
2,000
3
2,000
VP = 2,000
2,000
(1 + 10%) 3 - 1
10% (1 + 10%) 3
(
)
VP = 4,973.70
II. Cuando hay que convertir la tasa de interés:
Ejemplo A#2:
¿Cuál es el valor presente de recibir $1,500.00 cada mes por los próximos dos años a una tasa del
10% anual efectiva?
150
150
1
150 150 150
2
3
·
150
·
150
23
24
VP
a) Conversión de la tasa anual efectiva a su equivalente mensual efectiva.
i = 24% anual / anual.
j = 2% mensual / anual.
i = ? mensual / mensual.
(1/12)
(1+ )
2%
1= i
1/12
i
= 1.80% mensual / mensual
b) Calcular el valor presente con la tasa efectiva correspondiente.
VP = 1,500
(
(1 + 1.80%) 24 - 1
1.80% (1 + 1.80%) 24
)
VP = 29,024.30
Ejemplo A#3:
¿Cuál es el valor presente de $500.00 que se pagarán cada tres meses durante dos años, suponiendo
un rendimiento del 15% anual / trimestral?
8 de 10
VP
1
500
2
500
3
·
500 500 500
·
7
500
8
500
j = 15% anual / trimestral
i = 3.75% trimestral / trimestral
VP = 500
(
(1 + 3.75%) 8 - 1
3.75% (1 + 3.75%)8
)
VP = 3,401.40
EJERCICIOS
1. ¿Cuál es el valor presente de $5,000.00 anuales durante los 5 años próximos a una tasa del
13.32% anual / trimestral?
2. Una persona deposita el día de hoy $100,000.00 en una cuenta maestra que paga el 14.5% de
interés semestral efectivo. Si desea retirar cantidades iguales cada semestre durante los próximos
tres años, ¿a cuánto ascenderá cada retiro?
3. Una empresa espera recibir $1'000,000 anuales por los próximos 5 años a una tasa del 0.80%
mensual efectiva. ¿Cuál sería el valor presente de esas cantidades?
4. Una agencia de automóviles tiene en oferta una camioneta usada, pagando un enganche de
$25,000.00 y $3,950.00 mensuales por los próximos 2 años. Si se carga un interés del 35% anual
efectivo, encuentre el valor de contado.
5. Usted solicitó un préstamo de $50,000.00 para pagar cada quincena por los próximos cuatro
años. El acreedor y usted acordaron una tasa del 48% anual / mensual, ¿a cuánto asciende cada
pago quincenal?
6. Una computadora tiene un precio de contado de $17,250.00 (incluye IVA) y se piensa financiar a
dos años considerando una tasa del 60% anual / mensual. ¿De cuánto serán los pagos quincenales,
si el enganche es el valor del IVA?
7. Una computadora tiene un precio de contado de $10,000.00 (incluye IVA) y se financió con
pagos mensuales de $780.00 durante año y medio. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual que se
aplicó a este financiamiento, si el enganche fue el valor del IVA?
8. En los últimos diez años, una persona ha depositado $10,000.00 al final de cada año en una
cuenta de ahorros, la cuál paga el 35% anual efectivo. ¿Cuánto había en la cuenta inmediatamente
después de haber hecho el décimo depósito?
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9. Una persona depositó cada 6 meses $100.00 dólares en una cuenta de ahorros, la cuál producía
intereses al 7% anual / semestral. El primer depósito se hizo cuando el hijo de esta persona tenía 6
meses de edad y el último cuando cumplió 21 años. El dinero permaneció en la cuenta y fue
entregado al hijo cuando cumplió 25 años. ¿cuánto recibió?
10. ¿Cuál es el importe de 60 mensualidades y de 5 anualidades que resultan de la compra de un
terreno con valor de $500,000.00, si la tasa de interés es del 38% anual efectiva y las condiciones
de pago son 10% de enganche y el resto se reparte igual en mensualidades y anualidades?
ANUALIDAD ANTICIPADA (A.A.) (Payment – Begin Mode)
Es una cantidad fija de dinero que se recibe o se paga al principio de cada periodo. Un ejemplo
típico es el pago de la renta de un local comercial o de una bodega.
A
A
A
A
A
A
A
V.F.
V.P.
1
2
3
VP = A + A
VF = A
(
·
i
(
·
n-1
(1 + i) n-1 - 1
i (1 + i) n-1
(1 + i) n+1 - 1
i
n
) ===>
-1
A = VP
(
) ===> A = VF (
i (1 + i) n-1
(1 + i) n - 1
)
(1 + i) n+1 - 1
i
-1
)
-1
EJERCICIOS
1. La renta mensual de un edificio de 5 pisos es de $150,000.00. Dicha renta se paga al inicio de
cada mes. ¿Cuál es la renta anual equivalente que se debe pagar al inicio de cada año al 40% anual
/ mensual?
2. El día primero de cada mes, una persona deposita $1,000.00 en una cuenta de ahorros que paga
el 30% anual / mensual. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final del décimo mes?
3. En lugar de estar pagando $4,250.00 por una casa al inicio de cada mes, por los próximos 8 años,
una persona decide comprar una casa. ¿Cuál es el valor de contado de la casa al 26% anual
efectiva?
4. Una corporación reserva $1,000,000.00 al principio de cada año para crear un fondo en caso de
futura expansión. Si el fondo se invierte en un instrumento que genera un rendimiento del 25%
anual efectivo, ¿cuál será su monto al final del décimo año?
5. Una deuda de $50,000.00 se contrató el día de hoy con intereses al 40% anual / trimestral. Esta
deuda va a ser liquidada mediante 8 pagos trimestrales iguales, el primero con vencimiento el día
de hoy. ¿A cuánto asciende cada pago trimestral?
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PERPETUIDAD (P) (Payment - Forever)
Es una anualidad de vida infinita.
VP =
A
i
( )
¿Cuál es el valor presente de recibir $5,000.00 anuales a perpetuidad utilizando una tasa de interés
del 10%?
5,000.00
VP = ---------10%
VP = 50,000.00
EJERCICIOS
1. Una empresa espera pagar $25.00 cada semestre, indefinidamente, como dividendos sobre cada
acción preferente. Suponiendo un rendimiento del 30% anual efectivo, ¿cuánto debería estar
dispuesto a pagar un inversionista por cada acción?
2. ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar el inversionista del problema 1 por cada acción si el
rendimiento es del 25% anual / trimestral
3. Una universidad estima que el nuevo edificio de la biblioteca requerirá $60,000.00 anuales de
mantenimiento por los próximos 10 años y posteriormente $90,000.00 anuales a perpetuidad. ¿Qué
donativo se hace necesario para asegurar el mantenimiento del edificio, suponiendo una tasa de
interés del 20% anual / mensual?
4. Una granja, en promedio, produce mensualmente $30,000.00. ¿Si usted quisiera comprarla, qué
cantidad de dinero ofrecería al propietario, sabiendo que la tasa de interés es 25% anual efectivo?