Funciones Enunciados de Problemas Santillana

LIMITES Y CONTINUIDAD.
4.- Calcula los siguientes limites de funciones:
a) lim (2x3 – x2 + 5)
b) lim (x4 – 7x2 + 5)
x3
x2
(5 + x)2 – 25
e) lim ---------------x0
x
x2 – 4
c) lim ------x2
x–2
x3 + 27
d) lim ---------x-3
x2 – 9
x2 + x
f) lim -------x-1 x2 - 1
5.- Calcula los siguientes limites de funciones racionales:
2x2 + x
a) lim --------x
x2 – 3
x3 + 5
b) lim -------x x2 – x
3x + 2
e) lim ------------x x2 + 7x + 1
x+1
c) lim -------------x x4 + 2x + 2
5x5 – 2
d) lim -------------x 2x5 + x3 - 1
2x2 + x - 5
f) lim ------------x
x + 3x2
6.- Calcula los siguientes limites de las funciones irracionales:
a) lim ( 
x2
+ 2x - x )
x
 2x – 1 -  3x – 2
b) lim ----------------------x1
x–1
x+4 -2
c) lim --------------x0
5 -  x + 25
d) lim (  x2 + 2 -  x2 – 2 ) e) lim ( x -  x2 – 4x + 5 )
x
x
f) lim (  4x2 – 3x + 2 - 2x – 4 )
x
7.- Estudia la continuidad de la función:
x2 - 1
f(x) = ------- a) En el intervalo (0,2) b) En el intervalo (-2,0).
x+1
8.- Dada la función:
x – 2 
f(x) = --------- - 1 represéntala graficamemente, estudiando su continuidad.
x – 1 
(PAU).
1
5
--- + --- si x < -2
x
2
9.- Dada la función: f(x) =
-x
si – 2  x < 1
x2 – 3
si 1  x
- x2 + 5x
a) Representa graficamente f(x).
b) Estudia su continuidad. (PAU).
si 0  x < 5
10.- Sea la función: f(x) =
x–5
si 5  x  10
a) represéntala gráficamente. b) Estudia su continuidad.
- x2 + 1
(PAU).
si 0  x  2
11.- Sea la función: f(x) =
x–1
si 2 < x  3
a) ¿Es continua?. ¿En que puntos?. Dibuja su grafica. b) Comprueba que existe
un punto c  [0,3] tal que f(c) = 0. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano?. (PAU).
12.- Estudia razonadamente la continuidad de la función:
x2 + 1 si x < 2
f(x) = 2x – 1 si 2  x < 4
5
si 4  x
(PAU).
13.- Representa gráficamente la función f(x) = x + x – 1 y estudia a partir
de su grafica, su continuidad.
(PAU).
14.- Sea la función:
1 / x2 + b
f(x) =
3x2 + 4
- x3 + 8
si x  -1
si -1 < x < 1 donde b es un parámetro real.
si 1  x
Calcula el valor del parámetro b para que
f(x) sea continua en x = –1 y en x = 1 (PAU).
15.- Dada la función:
x + 1
f(x) =
2/x
si x  2
si 2 < x  4
a) Obtén la grafica de la misma.
b) Estudia su continuidad y halla a para que
a
si 4 < x
sea continua en x = 4.
c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (PAU).
2x + a
si x  -1
2
16.- Dada la función: f(x) = - x + 2
si -1 < x  1
ln x
si x > 1
a) Calcula a para que f(x) sea continua en = -1 . b) Representa la función para
a=3
17.- La calificación obtenida por un estudiante en un examen depende de las
horas x de preparación a través de la función:
x
--si 0  x  15
5
f(x) =
2x
---------- si 15 < 15
0,2x + 3
a) Estudia el conjunto de valores positivos de x para los que f(x) es creciente.
¿Tiene sentido afirmar que a mayor tiempo de preparación corresponde mayor calificación?. b) Contesta razonadamente si hay algún punto en que estudiar un poco mas puede ser rentable. c) ¿Se puede obtener la calificación 10?
Justifica la respuesta. (PAU).
18.- Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta
prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas
(x, en días), obteniéndose que:
300
------si 0  x  30
x + 30
T(x) =
1125
-----------------si x > 30
(x – 5)·(x – 15)
a) Justifica que la función T(x) es continua en todo su dominio. b) ¿Se puede
afirmar que cuanto mas se entrene un deportista, menor será el tiempo empleado
en realizar la prueba?.¿algún deportista tardara mas de 10 minutos en finalizar la
prueba?.
c) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto?, ¿Y en menos de 2 minutos?. (PAU).
TEMA 7: DERIVADAS DE FUNCIONES.
1.- El numero de personas afectadas cada día por una determinada enfermedad
viene dado por la función: f(x) = - x2 + 40x + 84 donde x representa el numero de
días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcula: a) el numero de
días que deben transcurrir para que desaparezca la enfermedad. b) la tasa de
propagación de la enfermedad al cabo de cinco días. c) El momento en que la enfermedad deja de crecer.
(PAU).
2.- Dada la función f(x) = 1 – x + x2, a) Calcula f´(2) mediante limites. B) ¿Qué
significado tiene f´(2)?. Halla el punto de corte de la recta tangente a la curva en
x = 2 con el eje OX.
0
si x < 1
3.- Dada la f(x) =
a) Calcula el dominio y dibuja su grafica.
(x – 1)2 si x > 1
b) Define la función f(x) en x = 1 para que sea continua en ese punto. c)
Dándole a f(1) el valor del apartado anterior, halla si f(x) es derivable en x = 1
4- Estudia la derivabilidad de la función:
x2 + 2x + 1 si x < -1
f(x) = 2x + 2
si –1  x  2
2
- x + 8x
si x > 2
5.- Dada la función f(x) = x2 – 4x + 2 , halla la ecuación de la tangente en el punto
en el que ésta es paralela a la secante que la corta en los puntos de abcisas x = 0 y
x = 2.
6.- Representa gráficamente la función:
x2 si x  2
f(x) =
y estudia la continuidad y la derivabilidad de dicha función
2x si x> 2
en el punto x = 2
(PAU).
7.- Estudia la derivabilidad de la función:
x2
si x < 0
f(x) = -x + 1
si x  [0,2]
x2 – 4x + 2 si x > 2
(PAU).
8.- Calcula el ángulo que forma la recta tangente a la función f(x) = 3x2 – 6x + 15
en el punto x = 2 con el eje OX.
9.- Halla la derivada de las siguientes funciones, en los puntos que se indican,
utilizando la definición de derivada.
a) f(x) = 4x – 2 en x = 3. b) f(x) = x2 – x + 1, en x = 1. c) f(x) = 12 – x – x2,
en x = 0. d) f(x) = x + 3 , en x = 5
10.- La grafica adjunta representa el recorrido de un conductor a lo largo de 12
minutos. Dibuja la gráfica de la función velocidad.
s(km)
6
4
4
8
12 t (minutos)
11.- La grafica adjunta representa la velocidad en km/h del recorrido de un
conductor a lo largo de 12 minutos. Dibuja la grafica de la función espacio.
v(km/h)
60
40
20
2
4
6
8
10
12 t (minutos)
x
12.- Dada la función f(x) = a + ax - ------- , determinar las constantes a y b
b–x
para que la recta y – x – 2 = 0 sea tangente a la grafica de la función en el punto
(0,f(0)).
(PAU).
13.- La función que determina la curva de demanda de un producto es
f(x) = - 2x + 16, donde x es la cantidad de producto fabricado por unidad de tiempo
y f(x) es el precio en dólares por unidad. Se define el ingreso total obtenido como el
producto x · f(x). Dibuja en el primer cuadrante, las funciones f(x) y g(x) = x ·
f(x). Halla el punto de intersección y determina el ingreso total máximo. Si el
ingreso total del producto aumenta de 14 a 24 dólares, ¿en qué cantidad aumenta
el pro-ducto fabricado por unidad de tiempo y en qué cantidad disminuye el precio
del producto?. (PAU).
14.- Determina, utilizando la regla de los cuatro pasos, la derivada de las
funciones:
1
2
a) f(x) = 2x + 3x , b) f(x) = -------3x + 1
15.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
2x3
a) f(x) = ------- ; b) g(x) = 2/3 · ln (5x) ; c) h(x) = ½ e5x – 3 ;
cos x
d) j(x) = ln [3·tg2x].
(PAU).
16.- Calcula y simplifica las derivadas de las siguientes funciones:
1 + sen x
1
2
a) y = ln  ----------- ; b) y = ln (arc tg x ) ; c) y = tg ( x + --- )
1 – sen x
x
x2
x
a2
d) y = ln ( cos --- ) ; e) y = -- ·  x2 – a2 - --- · ln ( x +  x2 – a2 )
2
2
2
17.- Deriva y simplifica las siguientes funciones:
 1 + x2
2
2
a) y =  a – x + arc sen(x/a) ; b) y = ln ---------- + arc tg x ; c) y = (sen x)x
1+x
d) y = ( x / a )x ; e) y = (2 – x)x ; f) y = e x
18.- Utilizando el método de derivación logarítmica, calcula las derivadas de:
a) y = xln x ; b) y = xx2 ; c) y = ( ln x)x ; d) y = (xx)x
19.- Halla los valores de las derivadas de las siguientes funciones en los puntos
que se indican:
4
a) y =  (1 – x2)3 en x = ½ b) y = -- · (x3 + x – 3) en x = ½
3
x2 + 8x + 7
c) y = 5x2 + 2· x2 + 1 en x = 0 ; d) y = -------------- en los puntos en que se
x+2
x
2x
e +e
anula la función, e) y = --------- en x = 1.
3
20.- Considera la función f(x) = x·(x – 1)·(x – 2) definida en R. a) Determina el
valor de la pendiente de la recta tangente en los ceros de f(x). Esboza la grafica de
la función. b) Comprueba que la función f´(x) = 0 tiene dos raíces reales sin determinarlas explícitamente.
(PAU).
21.- Calcula la expresión de la derivada de orden n de la función y = e2x
x2 + x + 1
22.- Halla la ecuación de la tangente a la curva y = ------------ en el punto de
x2 - 1
abcisa x = 2.
23.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = sen x, en los
puntos de abcisas 0 y .
24.- La grafica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos A(2,3) y
B(3,13), siendo la tangente a la misma en el punto de abcisa 1 paralela a la bisectriz
del primer cuadrante. Halla el valor de los coeficientes a, b y c.
25.- Halla las ecuaciones de las tangentes a la curva y = x2 / 2 – x + 3/2 en los
puntos en que su ordenada es igual a su abcisa.
26.- Dada la función y = ax2 + bx + c, en la que a, b y c son constantes, determina el valor de dichas constantes, sabiendo que la función vale 4 para x = 1, su derivada primera vale 5 para x = 1, y su derivada segunda vale 4.
x
27.- ¿En que punto de la curva y = -------- su tangente tiene una inclinación de
1 – x2
respecto al semieje positivo de OX?.
TEMA 8: Estudio de funciones. Optimización.
x2 + 2
1.- Dada la función: f(x) = ------- a Calcula sus asindotas, b) Calcula sus
2x + 1
y mínimos, c) Represéntala gráficamente.
(PAU).
2.- Representa la función f(x) = 3x2 – x3 estudiando: puntos de corte con los ejes,
crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y asindotas. (PAU).
x
3.- Representa gráficamente la curva y = --------- encontrando:
1 + x2
a) Dominio, cortes con los ejes y simetrías, b) Asindotas y regiones.
(PAU).
3x2
4.- Sea la función f(x) = -------- a) Calcula sus asindotas. b) Calcula sus ex
x2 + 1
tremos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Represéntala gráficamente.
(PAU).
5.- La grafica de una función en el intervalo [0,10] es la indicada en la figura.
7
Encuentra: a) Su máximo y mínimo absolutos
b) Puntos en los que la función no es continua
c) Puntos en los que la función no es derivable.
(PAU).
6
5
4
3
o
1
3
5
10
6. Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos la unidad, vende
una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende
2 helados menos al día. Si el coste de la unidad es de 40 céntimos, ¿A que precio de
venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero.
(PAU).
7.- Dibuja la grafica de una función con las siguientes propiedades:
a) El recorrido de la función es [-2,+). b) La función es decreciente en (-,2)
c) la función presenta un máximo relativo en el punto x = 2, y el valor de la función
en ese punto es 4. d) La función es discontinua en x = 0. e) En el punto x = 5 la
función es continua pero no derivable. (PAU).
2x + 3
8.- Considera la función f(x) = -------- ,
3x – 3
se pide: a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
b) Razona si existen máximos, mínimos y puntos de inflexión. En caso de existir,
calcularlos. ) Estudia la existencia de asindotas. En caso de que existan, calcularlas. d) Con la información obtenida, representa la grafica de la función. (PAU).
x2 + 2x
si x  0
9.- Sea f(x) = 1 / x
si 0 < x < 1
Ln x
si x > 1
a) Representa gráficamente f(x). b) A partir de su gráfica, estudia el
crecimiento de f(x). Halla los puntos de corte con los ejes. (PAU).
10.- Sea la función y = 1/12 · x4 + 1/6 · x3 + 1/2 · x2 ; a) Analiza sus puntos de
inflexión en R. b) Analiza su máximo absoluto en R. (PAU):
11.- Un club deportivo cuenta con un numero de socios que viene dado (en miles
de personas) por la función : s(x) = 2x3 – 15x2 + 24x + 26 donde x indica el numero
de años desde la ultima remodelación. A) Halla el año en el que el club ha tenido el
mayor número de socios. b) El cuarto año se remodelo de nuevo. Indica razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no.
(PAU).
12.- Un granjero dispone de 3000 € para cercar una porción de terreno rectangular adyacente a un rió, usando a este como un lado del área cercada; es decir,
construirá tres cercas. El coste de la cerca paralela al rió es de 5 € por metro y para cada uno de los lados restantes es de 3 € por metro. Calcula las dimensiones del
área máxima que puede ser cercada.
(PAU).
13.- Una hoja de papel debe de tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtén razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie de papel. (PAU).
14.- El precio de cada bloque de una cierta materia es proporcional al cuadrado
de su peso. Tenemos un bloque de 20 kg que cuesta 5 €. a) Si el bloque se rompe en
dos trozos de 5 y 15 kg, ¿Cuál es ahora el precio de los dos trozos?. b) Demuestra
que si el bloque se rompe en dos trozos cualesquiera, siempre se despreciara su valor. c) Calcula para que partición se produce la máxima perdida de valor. (PAU).
15.- Estudia la concavidad, convexidad y los intervalos de crecimiento de la
función f(x) = x · ex . Dibuja la grafica de la función. (PAU).
16.- Dada la función y = x2 - 7 a) Represéntala gráficamente. b) Determina
la ecuación de la recta tangente en el punto de abcisa x = 1. c) Halla sus máximos y
mínimos relativos.
(PAU).
17.- El índice de inflación de un país fue variando con el paso de los meses de un
cierto año según la función:
t2 – 8t
I(t) = 3 + --------- donde t = 1 corresponde a Enero, t = 2 a Febrero... t = 12 a Di40
ciembre.
a) ¿Durante que meses el índice de inflación fue subiendo y durante cuales bajo?.
b) ¿Cuáles fueron los valores máximo y mínimo del índice de inflación de ese año y
en que meses se alcanzaron?.
(PAU).