Ramas no acotadas de soluciones estables en problemas el´ıpticos

Ramas no acotadas de soluciones estables en problemas
elı́pticos con condiciones de frontera asintóticamente lineales
José M. Arrieta, Rosa Pardo, Anibal Rodrı́guez-Bernal
Departamento de Matemática Aplicada, Universidad Complutense de Madrid,
Madrid 28040, Spain
[email protected], [email protected], [email protected]
Resumen
Analizamos la estabilidad de las soluciones de un problema elı́ptico con condición de frontera no lineal
∂u
dependiente de un parámetro del tipo ∂n
= λu + g(λ, x, u) de forma que g(λ,x,u)
→ 0 cuando |u| → ∞.
u
Establecemos condiciones suficientes garantizando que las soluciones estacionarias positivas contenidas en
las ramas subcriticas no acotadas son estables cuando el valor del parámetro λ se aproxima a un autovalor
del problema de Steklov. Tambien establecemos condiciones suficientes para garantizar la monotonı́a de la
rama con respecto al parámetro, y en consecuencia la unicidad de soluciones positivas.
Palabras clave: Nonlinear boundary conditions bifurcation stability of equilibria monotonicity
Clasificación para el Cedya 2005: Ecuaciones en derivadas parciales
Introducción
Consideramos el siguiente problema

 ut − ∆u + u =
∂u
=
∂n

u(0, x) =
parabólico con condiciones de contorno no lineales
0,
λu + g(λ, x, u),
u0 (x),
en Ω, t > 0
sobre ∂Ω, t > 0
en Ω
(1)
en un dominio Ω ⊂ RN con N ≥ 2, acotado y suficientemente regular y donde λ ∈ R es un
parámetro. Suponemos que la no-linealidad verifica la siguiente hipótesis
(H.1) g es continua en sus tres variables y existen funciones no negativas Λ(λ) y U (u) tales
que |g(λ, x, u)| ≤ Λ(λ)U (u) con la propiedad de que lı́m|s|→∞ U (s)/s = 0.
En [2], [3] estudiamos el problema elı́ptico asociado
−∆u + u = 0,
∂u
= λu + g(λ, x, u),
∂n
en Ω,
sobre ∂Ω,
(2)
Analizamos la estructura de las soluciones aplicando teorı́a de bifurcación desde infinito, ver [6].
En concreto, probamos la existencia de ramas no acotadas de soluciones, uλ , cuando λ se aproxima a
un autovalor de Steklov de multiplicidad impar. Caracterizaremos el tipo de bifurcación sub-crı́tica
(a la izquierda del autovalor) o super-crı́tica (a la derecha del autovalor). Establecimos condiciones
del tipo Landesman-Lazer, ver [5], que aseguran la existencia de soluciones para el problema resonante, es decir cuando λ coincide con un autovalor de Steklov. Finalmente establecimos un principio
de Anti Máximo, ver [4], cuando λ cruza el primer autovalor de Steklov. Existen resultados en la
literatura para problemas elı́pticos con la no linealidad actuando en Ω y con condiciones de tipo
Dirichlet homogéneas, ver [1] para el análisis de sus soluciones y el estudio de las ramas no acotadas.
Para el principio del Anti Máximo para el problema de Dirichlet nos referimos a [4, 1] y para el
estudio del problema resonante ver [5, 1]. En este caso son los autovalores del problema de Dirichlet
los que juegan un papel determinante
Ahora suponiendo que la no-linealidad es diferenciable con respecto de la última variable,
establecemos condiciones suficientes para garantizar la estabilidad de las soluciones estacionarias
positivas contenidas en ramas subcrı́ticas no acotadas. Además suponiendo que la no-linealidad
es diferenciable con respecto del parámetro, establecemos condiciones suficientes para garantizar
la monotonı́a con respecto del parámetro de dichas soluciones positivas. En consecuencia, para
cada valor de λ la solución positiva uλ será única bajo ciertas condiciones, para valores de λ
suficientemente próximos a σ1 .
Estabilidad de las soluciones positivas en la rama subcrı́tica
En esta sección establecemos condiciones suficientes que garantizan la estabilidad de las soluciones positivas subcrı́ticas bifurcadas desde (σ1 , ∞). De modo análogo se obtienen condiciones
sobre la inestabilidad de las soluciones positivas supercrı́ticas.
Definimos para algún α < 1, las siguientes funciones
G+ (x) :=
g(λ, x, s)
sα
(λ,s)→(σ1 ,+∞)
(3)
D+ (x) :=
gu (λ, x, s)
sα−1
(λ,s)→(σ1 ,+∞)
(4)
sg(λ, x, s) − s2 gu (λ, x, s)
s1+α
(λ,s)→(σ1 ,+∞)
(5)
F+ (x) :=
lı́m inf
lı́m inf
lı́m inf
∂g
donde σ1 es el primer autovalor de Steklov y gu = ∂u
. Análogamente se definen los lı́mites superiores que se denotan por G+ , D+ , F+ . Denotaremos por Φ1 a la autofunción positiva normalizada
kΦ1 kL∞ (∂Ω) = 1.
Teorema 1. (Estabilidad de las soluciones positivas subcrı́ticas) Supongamos que la nolinealidad g verifica la hipótesis (H.1) y que la función g es diferenciable con respecto de la última
variable. Supongamos que existe α < 1 tal que G+ , D+ , D+ , F+ ∈ L1 (∂Ω). Supongamos además
que
Z
Z
>0
G+ Φ1+α
1
∂Ω
> 0,
F+ Φ1+α
1
y
∂Ω
entonces la bifurcación desde infinito de soluciones positivas en λ = σ1 es subcrı́tica, y cualquier
solución de equilibrio positiva contenida en dicha rama subcrı́tica es asintóticamente estable para
λ suficientemente próximo a σ1 .
Demostración. En [2, Theorem 4.3] demostramos que bajo esas condiciones la bifurcación desde
infinito de soluciones positivas es sub-crı́tica. Demostraremos ahora la estabilidad de las soluciones
estacionarias positivas contenidas en la rama subcrı́tica de soluciones positivas bifurcada desde
infinito.
Denotemos por Λ1 (b) el primer autovalor del siguiente problema
−∆φ1 + φ1 = Λ1 (b)φ1 ,
in Ω
(6)
∂φ1
+
b(x)φ
=
0,
on
∂Ω.
1
∂n
Se verifica la siguiente propiedad de monotonı́a, si b1 ≤ b2 , con b1 6= b2 , entonces Λ1 (b1 ) < Λ1 (b2 ).
Denotemos por uλ > 0 una solución de (2) bifurcada desde infinito. El problema de autovalores de
la linealización en torno a uλ viene dado por
(
−∆φ̃1 + φ̃1 = Λ1 φ̃1 ,
in Ω
(7)
∂ φ̃1
= λφ̃1 + gu (λ, x, uλ )φ̃1 ,
on ∂Ω.
∂n
donde Λ1 denota al primer autovalor y φ̃1 a la primera autofunción, ambos dependientes de (λ, uλ ).
Demostraremos que el primer autovalor, Λ1 = Λ1 (−λ − gu (λ, x, uλ )) > 0 para λ suficientemente
próximo σ1 . Para conseguirlo, consideremos el problema de autovalores de Steklov asociado a la
linealización alrededor de uλ dado por
(
−∆Φ̃1 + Φ̃1 = 0,
in Ω
(8)
∂ Φ̃1
= µ1 Φ̃1 + gu (λ, x, uλ )Φ̃1 ,
on ∂Ω.
∂n
donde µ1 = µ1 (λ, uλ ) y Φ̃1 = Φ̃1 (λ, uλ ) está normalizado en la norma L∞ (∂Ω). El hecho de que el
primer autovalor sea el único que tiene una autofunción positiva asociada, implica que el autovalor
en el interior denotado por Λ1 (−µ1 − gu (λ, x, uλ )) = 0 y en este momento para conocer el signo
de Λ1 hemos de comparar µ1 con λ. Gracias a la propiedad de monotonı́a, si µ1 > λ, entonces
Λ1 > 0 y la solución correspondiente será estable. Teniendo en cuenta la formulación variacional
de la anterior ecuación y eligiendo uλ como la función test obtenemos
Z
Z
λ
Z
uλ Φ̃1 +
∂Ω
Z
g(λ, x, uλ )Φ̃1 = µ1
∂Ω
uλ Φ̃1 +
gu (λ, x, uλ )uλ Φ̃1
∂Ω
∂Ω
reagrupando los términos
Z
Z
(µ1 − λ)
[g(λ, x, uλ ) − gu (λ, x, uλ )uλ ]Φ̃1
uλ Φ̃1 =
∂Ω
(9)
∂Ω
Supongamos por ahora que Φ̃1 (λ, uλ ) → Φ1 cuando λ → σ1 . Bajo esas condiciones y por
hipótesis,
Z
α
Z
[g(λ, x, uλ ) − gu (λ, x, uλ )uλ ]Φ̃1
|uλ |
g(λ, x, uλ ) − gu (λ, x, uλ )uλ
∂Ω
=
Φ̃1
kuλ kα
|uλ |α
kuλ kL∞ (∂Ω)
∂Ω
L∞ (∂Ω)
Utilizando el Lema de Fatou y por hipótesis
α
Z
uλ
g(λ, x, uλ ) − gu (λ, x, uλ )uλ
lı́m inf
Φ̃1
α
λ→σ1
kuλ kL∞ (∂Ω)
∂Ω
α |uλ |
Z
uλ
g(λ, x, uλ ) − gu (λ, x, uλ )uλ
Φ̃1
≥
lı́m inf
|uλ |α
kuλ kL∞ (∂Ω)
Z∂Ω λ→σ1
(10)
>0
F+ (x)Φα+1
1
≥
∂Ω
e introduciendo esta desigualdad en (9)resulta que
lı́m inf
λ→σ1
µ1 − λ
>0
α−1
kuλ kL
∞ (∂Ω)
y por tanto Λ1 > 0 para λ suficientemente próximo a σ1 y el equilibrio es stable.
Para concluir la demostración nos falta comprobar que Φ̃1 (λ, uλ ) → Φ1 cuando λ → σ1 . El
autovalor µ1 = µ1 (λ, uλ ) se caracteriza por
Z
Z
|∇ψ|2 + |ψ|2 −
gu (λ, x, uλ )|ψ|2
Ω
∂Ω
Z
µ1 = mı́n
(11)
ψ∈H 1 (Ω)
|ψ 2
∂Ω
Ahora por hipótesis, para cualquier ψ ∈ H 1 (Ω) con kψkL∞ (∂Ω) < C se tiene
Z
2
gu (λ, x, uλ )ψ =
∂Ω
α−1
kuλ kL
∞ (∂Ω)
Z
∂Ω
gu (λ, x, uλ )
|uλ |α−1
|uλ |
kuλ kL∞ (∂Ω)
α−1
Pero, por el Lema de Fatou,
α−1
Z
gu (λ, x, uλ )
uλ
lı́m sup
ψ2
|uλ |α−1 " kuλ kL∞ (∂Ω)
λ→σ1
∂Ω
α−1 #
Z
gu (λ, x, uλ )
uλ
≤
lı́m sup
ψ2
|uλ |α−1
kuλ kL∞ (∂Ω)
λ→σ1
∂Ω
Z
≤
D+ (x)Φ1α−1 ψ 2 < ∞
ψ2
(12)
∂Ω
Análogamente se deduce la acotación inferior para el lı́m inf y por lo tanto, debido a que kuλ kα−1
L∞ (∂Ω) →
0 cuando λ → σ1 podemos asegurar que µ1 (λ, uλ ) → σ1 cuando λ → σ1 y en consecuencia
Φ̃1 (λ, uλ ) → Φ1 cuando λ → σ1 lo que finaliza la demostración.
Hemos consideramos el caso de la bifurcacion subcrı́tica desde infinito de soluciones positivas.
La demostración para las soluciones positivas supercrı́ticas es similar, y conduce a resultados de
inestabilidad.
Teorema 2. (Inestabilidad de las soluciones positivas supercrı́ticas). Supongamos que la
no-linealidad g verifica la hipótesis (H.1) y que la función g es diferenciable con respecto de la
última variable. Supongamos que existe α < 1 tal que G+ , D+ , D+ , F+ ∈ L1 (∂Ω). Supongamos
además que
Z
Z
G+ Φ1+α
<
0
y
F+ Φ1+α
< 0,
1
1
∂Ω
∂Ω
entonces la bifurcación desde infinito de soluciones positivas en λ = σ1 es supercrı́tica, y cualquier
solución de equilibrio positiva contenida en dicha rama supercrı́tica de soluciones positivas bifurcada
desde infinito es inestable para λ suficientemente próximo a σ1 .
Monotonı́a de la rama de soluciones con respecto al parámetro. Unicidad
de soluciones para un valor del parámetro
Suponiendo en esta sección que la no-linealidad es tambien diferenciable con respecto de λ,
establecemos condiciones suficientes para garantizar la monotonı́a con respecto del parámetro de
las ramas sub(super)-crı́ticas de soluciones positivas. En consecuencia la solución positiva será única
para λ suficientemente próximo a σ1 .
Teorema 3. (Soluciones subcrı́ticas crecientes con respecto del parámetro. Unicidad
de soluciones) Supongamos que se verifican las hipótesis del Teorema 1. Si además la función
g es diferenciable con respecto al parámetro λ y para alguna constante C < 1, se tiene
∂g
cuando (λ, s) → (σ1 , +∞)
(H.2) (λ, x, s) ≤ C|s|
∂λ
entonces para cualquier conjunto conexo (λ, uλ ) → (σ1 , +∞) con λ suficientemente próximo a σ1
se verifica que el conjunto conexo bifurcado es creciente con respecto a λ i.e.
∂u
(λ, x) > 0
para todo x ∈ Ω.
∂λ
Por tanto la solución positiva es única para λ suficientemente próximo a σ1 .
∂u
Demostración. Sea ahora v := ∂λ
(λ, x), derivando en (2) con respecto a λ obtenemos
−∆v + v = 0,
in Ω
∂v
=
u
+
λv
+
g
(λ,
x,
u
)
+
g
(λ,
x,
u
)v,
on ∂Ω.
λ
λ
u
λ
∂n
(13)
donde u = uλ y gλ = ∂g(λ,x,s)
. Consideremos la formulación débil de la anterior ecuación, eligiendo
∂λ
como función test Φ̃1 , la autofunción del problema de autovalores (8), podemos escribir
Z
Z
(µ1 − λ)
v Φ̃1 =
uΦ̃1 + gλ (λ, x, uλ )Φ̃1 .
∂Ω
∂Ω
Por la hipótesis (H.2) sobre gλ el segundo miembro es estrictamente positivo, y teniendo en cuenta
el Principio del Anti-Maximo, (cf. [2, Theorem 6.1]), para un λ fijo, existe un = (uλ , gλ ) tal que
o bien v > 0 si µ1 − < λ < µ1 , o v < 0 si µ1 < λ < µ1 + y en cualquier caso λ 6= µ1 (λ, uλ ) para
cualquier λ suficientemente próximo a σ1 .
Ahora permitimos que varı́e λ suficientemente próximo a σ1 . Hemos demostrado que
lı́m inf
λ→σ1
µ1 − λ
>0
α−1
kuλ kL
∞ (∂Ω)
y en consecuencia
v=
∂u(λ, x)
> 0.
∂λ
La unicidad se deduce de la monotonı́a.
Teorema 4. (Soluciones supercrı́ticas decrecientes con respecto del parámetro. Unicidad de soluciones) Supongamos que se verifican las hipótesis del Teorema 2. Si además la
función g es diferenciable con respecto al parámetro λ y para alguna constante C < 1, se verifica
la hipótesis (H.2) , entonces para cualquier conjunto conexo (λ, uλ ) → (σ1 , +∞) con λ suficientemente próximo a σ1 se verifica que el conjunto conexo bifurcado es decreciente con respecto a λ
i.e.
∂u
(λ, x) < 0
para todo x ∈ Ω
∂λ
Por tanto la solución positiva es única para λ suficientemente próximo a σ1 .
Observaciones finales
Se puede caracterizar de modo análogo la estabilidad/inestabilidad, la monotonı́a con respecto del parámetro y la unicidad, de las soluciones estacionarias negativas contenidas en ramas
sub(super)-crı́ticas no acotadas.
Todos los resultados se pueden obtener de modo análogo para las soluciones positivas (negativas) sub(super)-crı́ticas bifurcadas desde (σ1 , 0) sin mas que calcular los lı́mites cuando (λ, s) →
(σ1 , 0+ ), y considerando α > 1.
Bibliografı́a
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