Unidad 5. Proporcionalidad PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES. ESCALAS.

Unidad 5. Proporcionalidad
• PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES.
• EXPRESIONES USUALES DE PROPORCIONALIDAD. TANTOS POR ALGO.
• ESCALAS.
• TANTOS POR CIEN. PORCENTAJES ENCADENADOS.
• INTERÉS SIMPLE. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
• PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES:
• REGLAS DE TRES SIMPLES:
a) Regla de tres simple directa.
Definición: la regla de tres simple directa es el procedimiento utilizado para conocer una cantidad que forma
proporción con otras tres cantidades de dos magnitudes directamente proporcionales.
Importante: en la regla de tres simple y directa siempre dividimos por cantidad cruzada de x.
Ejemplo:
b) Regla de tres simple inversa:
Definición: la regla de tres simple inversa es le procedimiento utilizado para conocer una cantidad que forma
proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes inversamente proporcionales.
Ejemplo: Un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días. ¿Cuántos días emplearán 30 albañiles en pintar el
mismo edificio?
días.
• REGLAS DE TRES COMPUESTAS:
• Reglas de tres compuestas directas:
Ejemplo: si 5 personas han ido a cenar 8 noches a un restaurante gastándose un total de 600€, ¿cuánto
gastarán 10 personas si van a cenar 5 noches al mismo restaurante, suponiendo que siempre comen lo
mismo?
Pers.− Cenas − Precio (€)
Solución: se gastarán 750€.
• Reglas de tres compuestas inversas:
Intervienen tres o más magnitudes, de las cuáles algunas son inversas. Veamos un ejemplo:
En unas fiestas se han gastado 2000€ para colocar 1000 farolillos que están conectados 6 h/día. Si se
conectan 10 000 farolillos durante 9 h/día, ¿cuánto dinero se gastarán?
Farol.− h/día − precio (€)
Solución: gastarán 210.000€
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• EXPRESIONES USUALES DE PROPORCIONALIDAD. TANTOS POR ALGO.
La proporcionalidad suele expresarse mediante razones o fracciones, por ejemplo:
• La mitad de treinta y ocho:
• La quinta parte de nueve:
• El quince por ciento de cien:
• Ochocientos por mil de cuarenta: 800 de 40
TANTOS POR ALGO:
Existen dos tipos fundamentales para trabajar en matemáticas de tantos por algo:
• Tantos por cien: indica una cantidad sobre 100. Su símbolo es %. Ej.: 2% = 2 de cada 100. Se suelen
ver en los comercios en época de rebajas.
• Tantos por mil: indica una cantidad sobre 1000. su símbolo es . Ej.: 340% = 340 de cada 1000. Se
utilizan con mucha frecuencia en economía y en las cien− cias sociales parta representar índices de
mortandad, fecundidad, natalidad, etc.
• ESCALAS:
Definición: la escala es una proporción de medida que relaciona cantidades en el plano y en la realidad. Por
ejemplo, un mapa puede tener escala 1:30 000. Significa que un centímetro en el mapa equivale a treinta mil
centímetros (300m.) en la realidad.
Ejemplo: si el largo de una habitación es de 5m. y tengo que hacer un plano en una hoja de 30cm. de largo,
¿qué escala debo usar para utilizar 25cm. en el papel?
• TANTOS POR ALGO. PORCENTAJES ENCADENADOS.
Porcentaje: es n proporción que, como tal, podrá expresarse como una fracción. Esa fracción tiene como
denominador cien.
Ejemplo: que porcentaje representa 46 de cada 780 alumnos?
Cuando aplicamos porcentajes de forma sucesiva, tendremos porcentajes encadenados, por ejemplo: el 15%
del 70% del 30% del 20% del 50% del 50% de 30.000:
• Método A:
• Método B:
• INTERÉS SIMPLE:
Al ingresar en un banco o caja de ahorros un dinero, nos da un beneficio llamado interés. Este interés puede
ser:
• Simple: cuando los beneficios obtenidos se retiran al final de un tiempo, sin volver a invertirlos.
• Compuesto: el beneficio obtenido se acumula al dinero prestado y se vuelve a ingresar.
El interés simple cumple la siguiente fórmula:
2
,
donde:
i es le interés producido al depositar una cantidad de dinero llamada capital, c, durante un tiempo t
determinado.
C es el capital depositado en la entidad bancaria,
r es el rédito (expresado en %)
y t es el tiempo que está depositado el capital en la entidad bancaria, siempre en años.
Así pues, a partir de esta fórmula obtenemos las demás; sólo se trata de despejar la incógnita oportuna:
Además, para t, decimos que un año fiscal son 360 días, ya que el número de días al año que va usted a
obtener beneficio si tiene un capital en una entidad bancaria con las reglas del interés simple son 360, y no
365 ó 366 en caso de año bisiesto.
Así, la fórmula del interés sufrirá unas pequeñas variaciones en función de la forma de representación del
tiempo:
• Si t viene dado en años,
• Si t viene dado en meses,
• Si t viene dado en días,
Ejemplo: Alejandro deposita 7000€ durante 3 años en un banco a un interés del 0,4%. ¿Cuánto dinero tendrá
al cabo de esos tres años?
Solución: tendrá 7084€.
Ahora hazlo tú
• En la cocina de un restaurante se han pagado 40€ por 70 barras de pan. ¿cuánto tendrán que pagar si
hubieran comprado 47 barras?
• Para construir una piscina 11 obreros trabajan 17 días. ¿Cuántos obreros trabajaron en su construcción si el
nº de días empleados fue de 38?
• Tres gatos se comen 10 ratones en 4 horas. ¿cuántos gatos se comerán 4 ratones en media hora?
• Una barra de metal de 10 metros de largo y 2 cm² de sección pesa 8kg y 450g. ¿Cuántos cm² de sección
tendrá una barra de 5 metros de largo que pese 14,8kg?
• un artículo que costaba 50€ se ha rebajado un 20%. En unas segundas rebajas, se ha descontado otro 20%.
¿Cuánto cuesta después de cada rebaja?¿Qué porcentaje total se ha rebajado respecto del precio inicial?
• ¿Cuál es la distancia real entre Huesca y Zaragoza si he medido 19cm. en un mapa de escala 1:300 000?
• El sueldo de Patro es de 2500€. Se lo aumentan un 10% por su rendimiento en el trabajo, pero Hacienda le
retiene un 15% de lo que le aumenta. ¿Cuánto cobra limpio, es decir, neto?
• Averigua el capital que invirtió Juan en un banco al 4,5% durante dos años sie n total me han devuelto
1463€.
• Manolo prestó a Pepe 2460€ al 3% durante cuatro años. Indica el dinero total que le devolvió Pepe durante
ese tiempo.
• Julià deposita en la sucursal nº3 de La Caixa de Barcelona un capital al 7,75% durante dos años. De los
intereses recibidos, dona el 10% (400€) a una organización benéfica. Calcula los intereses producidos y el
capital que se ha depositado.
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