OSCILACIONES AMORTIGUADAS

OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Aquel sistema oscilante donde existe de fricción o algún mecanismo que retarda el
movimiento.
Causando una disminución en la energía mecánica a través de tiempo
Fuerza retardadora  Velocidad del cuerpo en movimiento
R  bv
 Aquella fuerza esta dirigida en sentido contrario al movimiento.
 b  coeficiente de amortiguamiento.
 Ecuación de movimiento (EDOSH):
d 2x
dx
m

b
 kx  0
2
dt
dt
d 2x
dx
2




x0
0
2
dt
dt
Donde:
 El factor de amortiguamiento es:
 0 
 
b
m
k
m
 La solución para este tipo de EDOSH:
x(t )  Ae

b
t
2m
Cos(t   )
x(t )  e

b
t
2m
A1Cost  A2 Sint 
 Con la función x(t) y la EDOSH se obtiene una frecuencia:
  
2
2
0
2
4
 Demostremos lo anterior a partir de una función compleja…
z  Ae j ( pt )
p  n  js
 Este tipo de ecuaciones EDOSH, se pueden trabajar como un polinomio con
sus respectivas raíces.
2
r
 b  b  4mk
2m
 Casos de Amortiguamiento.
a) Oscilaciones Subamortiguadas :
Solución de raíces complejas
b 2  4mk  0

4mk  b 2  0
r    j


b
2m
4mk  b 2

2m
b2
 
4m 2
2
x(t )  e t A1Cost  A2 Sint 
b) Oscilaciones críticamente amortiguadas
bc
 0
2m
El sistema no oscila
donde, bc Coeficiente critico. Para el cual
b 2  4mk  0
b   4mk
 la solución para un sistema de este tipo es:
x(t )  A1e

b
t
2m
 A2te

b
t
2m
b) Oscilaciones Sobre amortiguadas

No hay indicios de oscilar, regresa x=0.
b
 Las raíces son:
Tenemos un medio muy viscoso
b
 0
2m
4mk
b
r1  

2m
b 2  4mk
2m
 la solución para este sistema es:
x(t )  A1e r1t  A2e r2t
b
r2  

2m
b 2  4mk
2m
Parámetro Importante: valor Q  calidad del sistema
0
Q

Se podría reescribir la ecuación de la frecuencia como:
1
   (1 
)
2
4Q
2
2
0
Q será grande cuando hay pequeñas perdidas de energía en el tiempo 
viscosidad baja.
PROBLEMA:
Se esta diseñando un dispositivo que se puede modelar como un sistema masaresorte. La constante K=10 [g/s^2] y la constante de amortiguamiento es de b= 20
[g/s].
a) Determine la masa de tal manera que el sistema resultante tenga
amortiguamiento critico.
b) La masa se hala hacia abajo 5 [cm] a partir de la posición de equilibrio y se
suelta con velocidad hacia debajo de 10 [cm/s]. Resolver la ecuación de Mvto.