2008 - Universidad de los Andes

Departamento de Matematicas
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
Precálculos
Parcial I
15 %
Fecha:
Estudiante:
Tiempo: 1 h.
¶ Resolver la ecuación para w
w−1
= 3x − 3
5w + 1
.
· Marque la respuesta correcta. En este punto se califica solo la respuesta marcada. La
expresión simplificada de
r
1 1
(x− 2 y 2 )−3
x−1 y −3
÷
3
z −4
z− 2
r
r
√
x
xy
1
x
x2
(a) √
(b)
(c) 2 √
(d)
(e) √
z
z
y z
x z
z
¸ Resolver la ecuación
3 − 2(x − 2[2 − 2x]) = 3 − 3x
¹ Resolver la desigualdad
¯1 − 3x¯
¯
2 ¯
¯
¯>2
7
indicar el (ó los) intervalo(s) y representar en la recta. También se le llama el conjunto
solución.
JIJ
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 1 Precálculo
NO se admite el uso de calculadora o notas. Lea cuidadosamente cada
pregunta.
Tiempo: 50min.
1.
a) (0.5 pts.) Simplifique la siguiente expresión:
2−1 ·
2n+2 + 2n+1 + 2n
2n + 2n+2 + 2 · 2n
b) (0.5 pts.) Desarrolle el siguiente producto:
√
√
√
√
( 30 − 3)1/3 ( 30 + 3)1/3
2. (1 pt.) Halle el dominio de la siguiente expresión racional. Luego simplifı́quela:
2x2 − 10x + 12
x(x − 2)
3.
a) (0.5 pts.) Resuelva la siguiente igualdad:
2 − (3x + 5) = 2x + 1
b) (1 pto.) Resolver la siguiente desigualdad. Expresar la respuesta
en forma de intervalo:
3 ≥ |2x + 1| − 7
4. (1.5 ptos.) Unos amigos deciden alquilar un bote para irse de paseo.
El alquiler les cuesta $30000 y se reparten el costo por igual. Al final
deciden invitar un amigo más y el costo de lo que tenı́an que pagar al
comienzo se les reduce en $5000. ¿Cuántos amigos habı́an al principio?.
1
Primer Parcial Precálculo
MATE1201 Sección 9
Febrero 14 de 2008
(Primer semestre de 2008)
Código:
Nombre:
Número de preguntas: 10
Tiempo: 50 minutos
Marque aquı́ sus respuestas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Determine el valor de la siguiente expresión:
1
− 2
3
− 12
27
(A) 9
(B) 3
(C) 1
(D)
1
9
1
3
(E)
1
4
(E) 0
2. Determine el valor de x que es solución de la ecuación
1
1
1
1
2 + x − 2 2 − x + (x + 2) = .
2
2
2
2
(A) 1
3. En la suma
(A) 0
(B)
1
x
+
x+1
x+2 ,
3
4
(C)
1
2
(D)
¿cuáles números no están incluidos en el dominio?
(B) 0 y 2
(C) 2 y −2
(D) −2, −1 y 0
4. De las siguientes operaciones, indique cuál tiene el menor resultado:
1
5
+1+1
− 34
2
(A) 32 · 21 − 14
(B) 2 63 6
(C) 5+
(D) 1 − 12 − 14
8
3
(E) −2 y 0
(E)
1
2
·
1
3
·
1
4
·6
5. Señale el conjunto de soluciones de la desigualdad
|2x + 7| ≥ 15.
(A) [−11, 4]
(B) [−4, 4]
(D) (−∞, −11] ∪ [4, ∞)
(C) [−11, 8]
(E) [4, ∞)
6. Determine una expresión simplificada para
3
4
1
a 3 a− 2 a 6 .
1
(A) a− 3
(B) 1
(C) a3
1
(D) a 3
√
7. ( a + 2)2 − (a + 2) =
(A) 0
√
(B) 4 a
(C) 2
(D) a2
2
(E) a 11
√
(E) 4 a + 2
8. Determine el número de soluciones de la ecuación
2
x − 17 = 8.
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0
9. En la fiesta de bienvenida de una universidad se venden dos tipos de boletas. Unn de ellas es
solamente la entrada con un costo de $10.000, y cada bebida se debe pagar por separado a
$3.500. Otra de ellas es la entrada con barra libre, en la que se pueden pedir tantas bebidas
como se quiera, y que tiene un costo de $80.000. ¿Cuántas bebidas se deben consumir para
que el costo de la entrada de barra libre y el costo de la entrada simple y bebidas por
separado sean la misma cantidad?
(A) 2
(B) 10
(C) 20
(D) 100
(E) 200
10. Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba a una velocidad de 196 m/s. Si la altura
después de un tiempo t está dada por la fórmula h(t) = 196t − 4.9t2 , determine el tiempo
para que el proyectil regrese a altura 0.
(A) 196
(B) 4.9
(C) 4
(D) 40
(E) 19.6
Precálculo - Parcial 1
Agosto 29 de 2008
Responda todas las preguntas justificando su respuesta.
1. Simplifique la expresión y diga si el valor es racional (Q).
s
!
2 23 20
25
a) 3
b)
√ √
√2−√3
2+ 3
2. Factorizar completamente y resolver.
a) 4x3 + 10x2 − 36x − 90 = 0
√
√
b) 6y + 7 y − 5 = 0 (sugerencia: haga x = y)
2
x+3
4
x2
≤5
c) (x + 7x + 12)
+
− 2
x + 4 x + 3 x + 7x + 12 3. Responda sólo 3 de los siguientes problemas.
a) Despues de un descuento del 20 % ud compra un celular por $336000. Cuál
era el precio original?
b) Considere un triángulo de área 3cm2 . Si la altura del triángulo es 5cm mayor
que la longitud de su base, cuánto mide el diámetro de la base?
c) A qué tasa debe invertir 100 dólares para que al cabo de 2 años obtenga una
utilidad de 21 dólares?
d ) Le propongo el siguiente trato: ud trae un grupo de personas (el respaldo) para
que nos acompañe a reclamar 15 millones de pesos. Como ud me cae bien yo
voy a dividir ese dinero en partes iguales entre las personas que vayamos. Pero
no todo es tan regalado... ası́ que entre todas las personas de su grupo excepto
usted, tienen que devolverme 10 millones. ¿Cuántas personas debe traer como
mı́nimo para asegurarles que van a ganar dinero?
1
Precalculo
Parcial 1
15 de Febrero de 2008
1
Simplifique:
a)
6x2 − 7x − 5
÷ x−2
2x3 + x2
b)
y 2 − 25
y 3 − 125
2
Encuentre el valor de x:
−3
7
−5x + 4
+
= 2
x+4 x−4
x − 16
3
Un tren puede viajar 240 kilometros en el mismo tiempo que le
toma a un carro recorrer 160 kilometros. Si la velocidad promedio
del carro es 20 kilometros por hora menor a la del tren. Cuál es la
velocidad promedio de cada uno?
Ayuda: velocidad * tiempo = distancia
Bono: −3|5x + 2| + 1 ≥ −5
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
EXAMEN PARCIAL I-MATE 1201
Nombre: ___________________________________________________
1. Factorizar completamente:
a) 3x 4  9 x 3  30 x 2
b) x 2  8x  16  9 y 2
2.
a) Resuelva la fórmula para la variable indicada:
5
C  F  32 ; para F
9
b) Simplifique:
4x  2 2x 2  x

x2
x2  4
3. Resuelva la ecuación
3 x  x  3
4. Un terreno rectangular tiene un área de 200m2 y se sabe que uno de sus lados tiene
el doble de longitud del otro. Halle las dimensiones del terreno.
5. Verdadero o falso. Justifique claramente.
a) Para todo número real x se tiene x 2  x
b) Para a, b y c número reales:
Si ab  ac entonces b  c
c) Para a, b y c número reales:
Si b  c entonces ab  ac
Primer Parcial de Precalculo
Universidad de los Andes
1 de septiembre de 2008
1. Escriba todos los primos menores que 20.
2. Halle el máximo común divisor y el mínimo común multiplo de los siguientes números:
1008
15925
(Recuerde que mcm(m, n) =
mn
mcd(m,n)
3. Con los siguientes polinomios:
a. Simplificar (Aplicar algoritmo de la división:)
x4 +3x3 +10x2 +13x−24
x3 −7x2 +16x−12
b. Factorizar: x3 − 7x2 + 16x − 12
c. Expresar en fracciones parciales la parte racional de la fracción del
numeral [a.]
4. Para el polinomio f (x) = (x + 5)(x − 3)2 (x2 − 2x − 5) encontrar
{x ∈ (R) k f (x) < 0}
{x ∈ (R) k f (x) ≥ 0}
5. Encuentre {x ∈ (R) k 23 − 4x − 35 ≥ 0}
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 1 Precalculo
1. (0.5 pts) Calcule el m.c.m y el M.C.D del conjunto {17, 23, 3}.
2. (1 pt) Simplifique la expresión
(x3 − 1)(x + 5)
− x2 − x
x2 + 4x − 5
3. (1.5 pt) Resuelva las siguientes ecuaciones
a) (x2 + x − 1)(x − 4)(x2 + 5) = 0
b) |x + 1| − |2x − 5| + 1 = 0
4. (1 pt) Resuelva la siguiente desigualdad
|x − 1| + |x − 3| + 5 ≤ 0
5. (1 pt) Suponga que se tiene una escalera apoyada sobre una pared y
que la longitud de la escalera es dos veces la altura sobre la pared de
la escalera y tres veces la distancia horizontal hacia la pared. Halle el
valor de la altura.
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
Departamento de Matemáticas- I Exámen de Precálculo
1. (18) Falso o Verdadero, justifique su respuesta.
a) Los números decimales infinitos e infinitos periódicos estan en el mismo subconjunto de los números reales.
µ
b)
−30a15 b9
10a18 b−6
¶ 13
=
√
3
−3ab
¯ √
¯
√
c) ¯−( 2 − π)¯ = | − 2| − |π|
d)
p
√
3
4
16 +
√
625 = 4
e) La distancia entre x y −3 es 4, es equivalente a la expresión |3 − x| = 4
f ) El polinomio P (x) = 3x5 + x3 − x − 2 es divisible entre Q(x) = x + 3
√
b2 − 4ac
2. (7)Pruebe que la solución x =
satisface la ecuación ax2 +bx+c = 0,
2a
donde a, b, c ∈ R
¯
¯
¯ 2x − 1 ¯
¯
¯ < 3 y la ecuación x2 − 2x − 20 = 4 por dos
3. (14)Resuelva la inecuación ¯
x−5 ¯
métodos diferentes, sin usar la fórmula cuadrática.
−b +
R1 R2
= R representa la resistencia en circuitos paralelos R1 y
R1 + R2
R2 . Despeje R1 en términos de las variables restantes.
4. (6) La ecuación
5. (5)Simplifique
3x − 5y
x2 − 2xy − 3y 2
∗
6x2 − 7xy − 5y 2
x − 3y
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 1 Precálculo
29 de Agosto del 2008
1.
a) (0.5 pts.) Factorice completamente
y7 + y
b) (1 pts.) En la siguiente expresión despeje f2 en términos de las
otras variables
f1 f2
f=
f1 + f2
2. (1 pt.) Simplifique la siguiente expresión
x
x−2 + 1
3
+1
x2 −4
3. (1 pto.) Resuelva la siguiente igualdad
|x2 + 2x − 36| = 12
4. (1.5 ptos.) Unos amigos deciden alquilar un bote para irse de paseo.
El alquiler les cuesta $30000 y se reparten el costo por igual. Al final
deciden invitar un amigo más y el costo de lo que tenı́an que pagar al
comienzo se les reduce en $5000. ¿Cuántos amigos habı́an al principio?.
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
I Exámen de Precálculo .
Nombre
Departamento de Matemáticas.
Código
1. (24p)Responda falso o verdadero, justifique su respuesta.
√
a) x2 = x, para todo x ∈ R
x
x+2 = 1
1
x
1+
x
1−
b)
√
√
√
√
√
c) 3 54 − 2 24 − 96 + 4 63 = 2 3
d ) x−1 + y −1 =
1
x+y
e) Al despejar la variable f de la expresión h =
fg
h+g
se obtiene f =
f +g
g
√
√
f ) |1 − 2 3| = |1| − |2 3|
g) m= 4/3 es un punto que satisface que la distancia de m a 3 sea menor que 1.
h)
x2
x
2x
3x
=
− 2
+ 3x − 10 x + x − 6
x−2
1
¯
¯
¯4 4¯
x+2
¯
2. (5p)Eliminar las barras de valor absoluto en la expresión.
+ − ¯
|3x + 6| ¯ 5 3 ¯
3. (5p)Deduzca la fórmula cuadrática a partir de la ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, a, b, c ∈ R.
4. (8p)Resuelva dos de las siguientes ecuaciones:
a)9x2 − 30x + 15 = −10
b)2x − 4(5x + 1) = 3x + 17,
5. (8p)Resuelva las inecuaciones:
¯
¯
¯ 3x − 2 ¯
¯<1
b) ¯¯
2 ¯
2
c)2x2 − 3x < 2
c) − 4|2x + 1| + 9 = 1