Lección 10: División de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 © Objetivos de la lección Al finalizar esta lección los estudiantes: • Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos. • Aplicarán el método de la división larga al dividir por un binomio. • Aplicarán el método de la división sintética al dividir por un binomio del tipo (x- a). Introducción • La división de polinomios es muy útil en muchas aplicaciones relativas a la economía, física e ingeniería, entre otras. • Entre estas aplicaciones se encuentran la teoría de números, el análisis numérico, la teoría de operadores, la teoría de representación de grupos y la mecánica cuántica, por citar algunas. Introducción • Para dividir polinomios podemos aplicar varios métodos. • En esta lección estudiaremos cómo se dividen polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos. • Estudiaremos el método de la división larga y el método de la división sintética. • La división larga aplica a todo tipo de polinomio. La división sintética aplica solo a unos casos particulares que discutiremos más adelante. Comprendiendo la División Comprendiendo la División • La división es una operación matemática que consiste en saber cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). • Ejemplo: – Cuando decimos “6 dividido por 2” (6 ÷ 2), queremos determinar cuántas veces está contenido el 2 dentro de 6. – En este ejemplo, el 2 es el divisor y el 6 es el dividendo. Componentes de la División • Los componentes de la división son los siguientes: – – – – Dividendo Divisor Cociente Residuo Cociente Divisor ) Dividendo - (cociente x divisor) Residuo • Se le llama cociente al resultado de la división y residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el producto del cociente por el divisor. • La relación existente entre estos componentes es la siguiente: DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO Relación entre los Componentes de la División DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO • A veces es conveniente expresar la relación de división anterior de otra manera. • Si dividimos cada lado de la ecuación anterior por el divisor, 1 DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO DIVISOR DIVISOR DIVISOR 1 • Obtenemos la siguiente expresión: DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUO DIVISOR DIVISOR • Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor. Relación entre los Grados de los Componentes de la División • Al dividir polinomios encontramos que el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. • Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del divisor. • Así también, la división de polinomios asume que el grado del dividendo será mayor o igual que el grado del divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendría exponentes negativos y entonces no sería un polinomio. • Esta relación nos permite comparar con facilidad los grados de todos los componentes involucrados en la operación. Grado < Grado ≤ Grado residuo divisor divdendo Formas de Expresar la División • Existen tres formas de expresar la división: – Forma 1: a ÷ b, donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor. – Forma 2: b a , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor. a – Forma 3: , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor. b • La forma 2 se conoce como la forma de la “casita de división”. • La forma 3 se conoce como la forma de “fracción”. Formas de Expresar la División • Es necesario que podamos intercambiar entre una expresión y otra para poder entender mejor y llevar a cabo el proceso de división. • Por ejemplo: -En la expresión (x2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) debemos saber que la expresión a la izquierda del signo de división (x2 + 2x + 1) es el dividendo y la que aparece a la derecha del mismo (x + 1) es el divisor. -Podemos expresar esa división de esta otra forma, en la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de división y el divisor se coloca fuera de la misma: x 1 x2 2x 1 -También, podemos expresar esa división de la siguiente manera: x2 2x 1 x 1 Ejemplo 1 • Exprese la siguiente división usando la forma 2 (casita de división): 2 x 7 x 12 x 3 • Cuando tenemos la forma de fracción, el polinomio que está en el numerador es el dividendo y el que está en el denominador es el divisor. • En la forma 2 el dividendo es el término que va dentro de la casita de división y el divisor el que va fuera: x 3 x 2 7 x 12 Ejemplo 2 • Exprese la siguiente división usando la forma 3 (forma de fracción): ( x 2 5x 6) ( x 2) • En la forma 1 el dividendo es el término que que está a la izquierda del símbolo de división y el divisor es el que está a la derecha: • En la forma 3 el dividendo es el término que va en el numerador y el divisor el que va en el x 2 5x 6 denominador: x 2 División de Polinomios por un Monomio División por un Monomio Ejemplo 1: (16x5 – 8x4 + 5x3 – 2x2) ÷ 4x • Para dividir por un monomio es conveniente 5 4 3 2 16 x 8 x 5 x 2 x expresar la división de esta forma: 4x • Observa que esto es una expresión racional, es decir, una fracción con numerador y denominador. • En una expresión racional, el denominador es común a todos los términos del numerador, por lo tanto podemos re-escribir la expresión de la siguiente forma: 16 x 5 8 x 4 5 x 3 2 x 2 4x 4x 4x 4x Continúa en la próxima pantalla. División por un Monomio • En una expresión como la anterior, donde tenemos varios monomios divididos por otro monomio, aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada 16 x 8 x 5 x 2 x expresión: 4x 4x 4x 4x • Esto es, se dividen los coeficientes numéricos que se puedan dividir y se restan los exponentes de las variables que tienen bases iguales. 5 4 3 2 – Siempre se resta el exponente de la variable que está en el numerador menos el exponente de la variable que está en el denominador. – Si los coeficientes numéricos no se pueden dividir, se dejan expresados tal como están o se simplifican si tienen algún factor común entre sí. División por un Monomio • Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio anterior tenemos: 16 x 4x 5 4 8x 4x 3 5x 4x 2 2x 4x 4x 4 2x 3 5 2 x 4 Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio, dividimos cada término del polinomio por el monomio, en forma individual. Luego aplicamos las leyes de exponentes. 1 x 2 Ejemplo 2 Divide (12x3 8x 2 x 4) por 4x. • Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio 4x. Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos: 12 x 3 8 x 2 4x x 4 12 x 3 4x 3x 2 8x 2 4x x 4x 1 2x 4 1 x 4 4x Ejemplo 3 4 5 3 4 2 3 2 3 Divide ( 8x y 3x y 5x y ) por x y • Escribimos en forma de fracción y dividimos 2 3 x cada término del polinomio por el monomio y. Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos: 8 x 4 y 5 3x 3 y 4 5 x 2 y 3 x2 y3 8x 4 y 5 x2 y3 3x 3 y 4 x2 y3 8x 2 y 2 3xy 5 5x 2 y 3 x2 y3 División de Polinomios por un Binomio: Método de la División Larga División por un binomio Divide (x 2 5x 8 ) por ( x 3 ). • Cuando tenemos un polinomio dividido por un binomio aplicamos el método de la división larga. • El método de división larga es similar al proceso que utilizamos para dividir dos números cardinales cualesquiera. • En la próxima pantalla repasaremos la división de números cardinales. Repaso de División de Cardinales • Si deseamos dividir (4565 ÷ 25) utilizamos la casita de división y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente manera: Cociente 182 25 4565 Divisor Dividendo -25 206 -200 65 -50 15 Residuo • Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios. División por un binomio • Divide ( x 2 5x 8 ) por ( x x x 3 x 2 5x 8 x2 + 3x 3) . 1. Se divide x2 y el resultado es x. x 2. Se coloca el resultado x en el cociente. 3. Se multiplica el cociente x por todo el divisor (x+ 3) y se coloca debajo del dividendo. 4. Ahora tendríamos que restar: (x2 + 5x) – (x2 +3x). Veremos en la próxima pantalla. División por un binomio • Divide ( x 2 5x 8) por x x 3 x 2 5x 8 -x2 + -3x 2x + 8 (x 3) . 5. Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio: (x2 + 5x) – (x2 +3x) = (x2 + 5x) + (-x2 + -3x) Observa que los signos del segundo polinomio cambian al opuesto de lo que eran y ahora se suma, y no se resta. 6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próximo término del dividendo. Observa que el primer término x2 y -x2 se eliminan. 7. Se repite el proceso (pasos 1-6). Veamos en la próxima pantalla. División por un binomio • Divide ( x 2 5x 8) por x +2 x 3 x 2 5x 8 -x2 + -3x 2x + 8 -2x + -6 2 (x 3) . 8. Se divide 2x y el resultado es 2. x 9. Se coloca el resultado + 2 en el cociente. 10. Se multiplica el cociente +2 por todo el divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se coloca este resultado debajo del 11. Se efectúa la suma del opuesto. anterior. Ahora tendríamos que restar y Observa que el primer término 2x como restar equivale a sumar el se elimina. opuesto tendríamos: (2x + 8) – (2x +6) = 12. Hemos finalizado el proceso ya que (2x + 8) + (-2x + -6) no tenemos ningún otro término en el dividendo que tengamos que bajar. El resultado es (x + 2) con residuo 2. División por un binomio • Divide x 2 5x 8 por x +2 x 3 x 2 5x 8 -x2 + -3x 2x + 8 -2x + -6 2 x 3 . Podemos expresar esta división de la siguiente manera: x 2 5x 8 x 3 Cociente ( x 2) 2 x 3 Residuo Observa que el residuo 2 es una parte fraccionaria del divisor. Ejemplo 2 • Divide (5x 4 x3 3x 2 6 x 8) por 5x3 x 1 5x 4 x 3 5x4 - 5x3 3x 2 6x 8 (x 1) . 1. Se divide 5x4 y el resultado es 5x3. x 2. Se coloca el resultado 5x3 en el cociente. 3. Se multiplica el cociente 5x3 por todo el divisor (x - 1) y se coloca debajo del dividendo. 4. Ahora tendríamos que restar: (5x4 + x3) – (5x4 – 5x3). Veremos en la próxima pantalla. Continuación de Ejemplo 2 • Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por x 1 . 5x3 x 1 5x 4 x 3 3x 2 6 x 8 -5x4 + 5x3 6x3 – 3x2 5. Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio: (5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) = (5x4 + x3) + (-5x4 + 5x3) 6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próximo término del dividendo. Observa que el primer término 5x4 y -5x4 se eliminan. 7. Se repite el proceso (pasos 1-6). Veamos en la próxima pantalla. Continuación de Ejemplo 2 • Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por 5x3 + 6x2 x 1 5x 4 x 3 3x 2 6 x 8 -5x4 + 5x3 6x3 – 3x2 -6x3 + 6x2 3x2 - 6x x 1 . 8. Se divide 6x3 y el resultado es 6x2. x 9. Se coloca el resultado + 6x2 en el cociente. 10. Se multiplica el cociente + 6x2 por todo el divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 – 6x2. Se coloca este resultado debajo del anterior. Ahora tendríamos que restar y como restar equivale a sumar el opuesto tendríamos: (6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) = 12. Se baja el próximo término -6x. (6x3 – 3x2) + (-6x3 + 6x2) 11. Se eliminan los primeros términos 6x3 y -6x3 y el resultado es 3x2 . Continuación de Ejemplo 2 • Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por x 1 . 5x3 + 6x2 + 3x - 3 x 1 5x 4 x 3 3x 2 6 x 8 -5x4 + 5x3 6x3 – 3x2 -6x3 + 6x2 3x2 - 6x -3x2 + 3x -3x - 8 3x - 3 - 11 13. Se repite el proceso de dividir, luego multiplicar, luego restar, finalmente bajar el próximo y último término. Observa que cuando se ha bajado el último término del dividendo y se ha obtenido el residuo correspondiente a éste, el proceso de división finaliza. Este será el resultado final. Continuación de Ejemplo 2 • Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por 5x3 + 6x2 + 3x - 3 x 1 5x 4 x 3 3x 2 6x 8 x 1 . Podemos expresar esta división de la siguiente manera: -5x4 + 5x3 5 x 4 x 3 3x 2 6 x 8 11 6x3 – 3x2 (5 x 3 6 x 2 3x 3) x 1 x 1 -6x3 + 6x2 3x2 - 6x Cociente Residuo -3x2 + 3x -3x - 8 3x - 3 Observa que el residuo -11 es una parte fraccionaria del divisor. - 11 Reflexión • Cuando se aplica la división larga hay dos reglas que hay que considerar antes de proceder a dividir. – El dividendo y el divisor tienen que estar ordenados en forma descendente de acuerdo al grado mayor de una de las variables. – Si faltara alguna potencia de la variable en el dividendo, hay que reservar este espacio con un cero. Esto significa que hay 0x ó 0x2 ó 0x3, dependiende de la potencia que falte. Ejemplo 3: 125 x 3 8 5x 2 • En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor están ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo faltan las potencias de x2 y x1 por tanto, tenemos que reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO. 5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8 • Dividimos 125x3 por 5x y tenemos 25x2. 25x2 5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8 Continúa en la próxima pantalla. Continuación Ejemplo 3: 125 x 3 8 5x 2 • Luego multiplicamos 25x2 por todo el divisor (5x -2) y tenemos: 25x2 5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8 125x3 – 50x2 • Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y tenemos: Observa que si no 25x2 5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8 -125x3 + 50x2 50x2 + 0x Continúa en la próxima pantalla. hubiéramos reservado el espacio de la potencia de x2 , no hubiéramos podido sumar ya que los términos no hubieran sido semejantes. Continuación Ejemplo 3: 125 x 3 8 5x 2 • Volvemos a dividir, esta vez, 50x2 por 5x que nos da 10x. Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x – 2). Finalmente sumamos el opuesto y bajamos el próximo término. 25x2 + 10x 5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8 -125x3 + 50x2 50x2 + 0x -50x2 + 20x 20x – 8 Continúa en la próxima pantalla. Continuación Ejemplo 3: 125 x 3 8 5x 2 • No hemos terminado de dividir ya que aunque se bajó el último término, todavía no hemos obtenido el residuo. • Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego multiplicamos 4 por el divisor (5x – 2) y sumamos el opuesto. El resultado obtenido es el residuo. 25x2 + 10x + 4 5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8 -125x3 + 50x2 50x2 + 0x -50x2 + 20x 20x – 8 -20x + 8 0 Residuo Ejemplo 4: x4 9x2 5 x 2 • Se ilustra el proceso para dividir: x3 + 2x2 – 5x – 10 x 2 x 4 0 x3 9 x 2 0 x 5 -x4 + 2x3 2x3 – 9x2 -2x3 + 4x2 -5x2 + 0x 5x2 – 10x -10x – 5 10x – 20 – 25 • El resultado es: x 3 2x2 5x 10 Residuo 25 x 2 Ejemplo 4: x4 9x2 5 x 2 • Se ilustra el proceso para dividir: x3 + 2x2 – 5x – 10 x 2 x 4 0 x3 9 x 2 0 x 5 -x4 + 2x3 2x3 – 9x2 -2x3 + 4x2 -5x2 + 0x 5x2 – 10x -10x – 5 10x – 20 – 25 • El resultado es: x 3 2x2 5x 10 Residuo 25 x 2 División de Polinomios por Binomios de la forma (x – a): Método de la División Sintética División Sintética • La división sintética es un proceso de división sintetizado o resumido. • Esto implica que es un proceso más corto, lo único que solo aplica cuando el divisor tiene la forma (x – a), o sea el coeficiente de x es 1. • La división sintética se conoce también por el Método de Ruffini. • Para entender mejor este método observa la próxima pantalla. División Sintética • Compara la columna de la izquierda con la de la derecha. ¿Qué observas? • La columna a la izquierda ilustra el método de división larga. La columna a la derecha ilustra el mismo proceso, excepto que solo aparecen los coeficientes, no aparecen las variables. x +2 x 3 x 2 5x 8 -x2 + -3x 2x + 8 -2x + -6 2 1+2 1 31 5 8 -1 + -3 2+8 -2 + -6 2 División Sintética • Veamos otro ejemplo 4 + 5 + 11 4x2 + 5x + 11 x 2 4 x 3 3x 2 x 7 -4x3 + 8x2 5x2 + x -5x2 + 10x 11x + 7 -11x + 22 29 1–2 4 3 1 7 -4 + 8 5+ 1 -5 + 10 11 + 7 -11 + 22 29 • Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el primer término tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo, excepto por el signo opuesto. División Sintética • Veamos otro ejemplo 4x2 + 5x + 11 x 2 4 x 3 3x 2 x 7 -4x3 + 8x2 5x2 + x -5x2 + 10x 11x + 7 -11x + 22 29 4 + 5 + 11 1–2 4 3 1 7 -4 + 8 5+ 1 -5 + 10 11 + 7 -11 + 22 29 • Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros términos cuando se van a sumar. División Sintética • Veamos otro ejemplo 4 + 5 + 11 4x2 + 5x + 11 x 2 4 x 3 3x 2 x 7 -4x3 + 8x2 5x2 + x -5x2 + 10x 11x + 7 -11x + 22 29 1–2 4 3 1 7 -4 + 8 5+ 1 -5 + 10 11 + 7 -11 + 22 29 • Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener también si en vez de sumar el opuesto se divide por el opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en vez de restar. Reflexión • En la división sintética se sintetiza el proceso de división larga al tomar en consideración las observaciones anteriores. • Ilustraremos el proceso de división sintética usando el mismo ejercicio anterior. 4 x 3 3x 2 x 7 x 2 • Veamos en la próxima pantalla: 4 x 3 3x 2 x 7 x 2 Ejemplo 1: Aquí se escribe el opuesto del segundo coeficiente del divisor. Este es el símbolo que se usa para representar la división sintética +2 4 -3 1 7 Aquí se colocan los coeficientes del dividendo en orden descendente. Si falta alguna potencia de la variable, se reserva el espacio con un cero Se coloca esta línea para separar los coeficientes de la suma Continúa en la próxima pantalla. Ejemplo 1: 4 x 3 3x 2 x 7 x 2 1 El proceso comienza siempre bajando el primer término. +2 4 -3 1 7 8 10 22 4 5 11 29 2. Luego se multiplica el primer coeficiente por el coeficiente que representa el divisor y se coloca debajo del segundo término del dividendo. 3. Se suman los segundos coeficientes. 5. Colocamos una línea para separar el residuo del cociente. 4. Se repite el paso 2 y 3 pero con el nuevo coeficiente hallado. Ejemplo 1: 4 x 3 3x 2 x 7 x 2 Grado 3 Grado 1 Observa que al dividir por un divisor de grado 1 (x-a), se producirá un cociente de grado uno menos que el grado del dividendo. Esto es, si el dividendo es de grado 3, el cociente será de grado 2. +2 4 -3 1 7 8 10 22 4 5 11 29 COCIENTE RESIDUO Es por esto que podemos construir el cociente asignando a los coeficientes encontrados, comenzando con la variable en un grado menos que el grado del dividendo. Las demás potencias de las variables quedarán en forma descendente. Ejemplo 1: 4 x 3 3x 2 x 7 x 2 4 x 3 3x 2 x 7 x 2 +2 4 -3 1 7 8 10 22 4 5 11 29 (4 x 2 5 x 11) Grado 0 29 x 2 Como el residuo es parte fraccionaria del divisor tenemos que 29 representa: 29 x-2 Grado 2 Grado 1 Grado 3 4x2 + 5x+ 11 Ejemplo 2: x 3 6 x 2 x 30 x 2 + 2 1 6 -1 -30 2 16 30 1 8 COCIENTE 15 0 Comenzamos colocando los coeficientes del dividendo asegurándonos que las variables están en orden descendente. Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor. RESIDUO Bajamos el primer coeficiente. Repetimos el proceso de multiplicar y sumar hasta obtener el residuo. Sumamos los segundos coeficientes Multiplicamos el coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente. Ejemplo 2: x 3 6 x 2 x 30 x 2 + 2 1 6 -1 -30 2 16 30 1 8 15 0 RESIDUO Grado 2 Grado 1 x2 + 8x+ 15 Grado 0 x 3 6 x 2 x 30 x 2 ( x 2 8 x 15) 0 Cociente + Residuo x 2 8 x 15 Ejemplo 3: -3 2 2 x3 7 x 2 5 x 3 7 0 -5 -6 -3 9 2 1 COCIENTE -3 4 Colocamos los coeficientes del dividendo en orden descendente. Como falta la potencia x, reservamos el espacio con un cero Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor. RESIDUO Bajamos el primer coeficiente. Repetimos el proceso de multiplicar y sumar hasta obtener el residuo. Sumamos los segundos coeficientes Multiplicamos el coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente. Ejemplo 3: -3 2 7 0 -5 -6 -3 9 2 1 2x 2 x3 7 x 2 5 x 3 2 -3 x 3 COCIENTE 4 4 x 3 RESIDUO 2 x3 7 x 2 5 x 3 (2 x 2 x 3) 4 x 3 Ejemplo 4: +1 1 0 0 0 -1 1 -1 1 1 1 1 x 3 x4 1 x 1 x 2 1 1 0 x 1 COCIENTE 0 x 1 RESIDUO x4 1 ( x3 x 1 x2 x 1) Ejercicios de Práctica Instrucciones • En tu libreta, realiza los ejercicios a continuación. • Luego, haz clic para ver resultados. Ejercicios de Práctica • Divide los polinomios a continuación. 24 x 6 18 x 5 36 x 2 6x2 4 x 4 3x 3 6 45 y 7 20 y 4 15 y 2 5y2 9 y5 4 y 2 3 (32a 4b3 14a3b2 22a 2b) (2a 2b) 16a 2b2 7ab 11 Ejercicios de Práctica • Divide los polinomios a continuación. ( x 2 10 x 21) ( x 3) (a 2 8a 16) (a 4) (4 y (2 x 4 3 6y 2 x 7 (a 14) (2 y 4) x3 5x 2 x 6) ( x 2 2) 2) 32 a 4 (2 y 2 y (2 x 2 2) 6 2y 4 x 9) 3x 12 x2 2 Ejercicios de Práctica • Divide los polinomios a continuación. ( x3 2 x 2 2 x 5) ( x 1) (x2 (a 2 11a 19) (a 4) (a (3x 4 25x 2 18) ( x 3) ( y 4 16) ( y 2) (3x 3 ( y3 2 y2 x 1) 7) 9x2 4 x 1 47 a 4 2x 4 y 8) 6)