Tema 1: Repaso de conocimientos previos. Funciones elementales

Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Tema 1: Repaso de conocimientos previos. Funciones elementales y sus gráficas. Lı́mites. Continuidad. 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Outline 1 Relaciones trigonométricas 2 Operaciones con logaritmos 3 Funciones elementales y sus gráficas 4 Gráficas de funciones elementales 5 Lı́mites 6 Continuidad Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Outline 1 Relaciones trigonométricas 2 Operaciones con logaritmos 3 Funciones elementales y sus gráficas 4 Gráficas de funciones elementales 5 Lı́mites 6 Continuidad Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Relaciones trigonométricas Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Outline 1 Relaciones trigonométricas 2 Operaciones con logaritmos 3 Funciones elementales y sus gráficas 4 Gráficas de funciones elementales 5 Lı́mites 6 Continuidad Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Operaciones elementales con logaritmos loga (x · y ) = loga (x) + loga (y ) loga ( yx ) = loga (x) − loga (y ) loga (x y ) = y · loga (x) ax = b x logb (a) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Outline 1 Relaciones trigonométricas 2 Operaciones con logaritmos 3 Funciones elementales y sus gráficas 4 Gráficas de funciones elementales 5 Lı́mites 6 Continuidad Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Definición de función real de variable real Definición: Sea A ⊂ R. Una función real de variable real es una aplicación f : A ⊂ R → R. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Operaciones con funciones Suma: (f + g )(x) = f (x) + g (x) Producto: (fg )(x) = f (x)g (x) Producto por escalar: (kf )(x) = kf (x) Composición: (g ◦ f )(x) = g (f (x)) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Propiedades de las funciones Dominio. Se llama dominio de f al conjunto D(f ) = {x ∈ R : ∃f (x) ∈ R} Imagen. Se llama imagen de f al conjunto Im(f ) = {y = f (x) : x ∈ D(f )} = f (D(f )) Gráfica. La gráfica de f es Gf = {(x, y ) ∈ R2 : y = f (x)} Función recı́proca o inversa. Dada f inyectiva, la inversa de f , f −1 , es la función tal que (f −1 ◦ f )(x) = (f ◦ f −1 )(x) = x. Función periódica. La función f es periódica si existe T > 0 tal que f (x) = f (x + T ) para todo x ∈ D(f ). El menor de tales T > 0 se llama perı́odo de la función. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Propiedades de las funciones Función par e impar. Si f (−x) = f (x) para todo x ∈ D(f ), se dice que f es par. Si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D(f ), se dice que f es impar. Función creciente y decreciente. Una función f : A → R es creciente (decreciente) si para todo x1 < x2 es f (x1 ) ≤ f (x2 )(f (x1 ) ≥ f (x2 )). Si la desigualdad es estricta, decimos que f es estrictamente creciente (estrictamente decreciente). Función acotada. Una función f es acotada inferiormente si existe k ∈ R tal que f (x) ≥ k para todo x ∈ D(f ). Se dice que f es acotada superiormente si existe k ∈ R tal que f (x) ≤ k para todo x ∈ D(f ). Decimos que f es acotada si lo es superior e inferiormente. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Outline 1 Relaciones trigonométricas 2 Operaciones con logaritmos 3 Funciones elementales y sus gráficas 4 Gráficas de funciones elementales 5 Lı́mites 6 Continuidad Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = x, y = x 2 , y = x 3 Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y= 1 x Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = |x| Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = sin(x), y = cos(x) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = tan(x) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = sin(x), y = arcsin(x) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = cos(x), y = arc cos(x) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = tan(x), y = arctan(x) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = ax Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad y = loga (x) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Outline 1 Relaciones trigonométricas 2 Operaciones con logaritmos 3 Funciones elementales y sus gráficas 4 Gráficas de funciones elementales 5 Lı́mites 6 Continuidad Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Definición de lı́mite Definición de lı́mite Sea I = (c, d) un intervalo abierto con a ∈ I y sea f una función definida en I (salvo quizá en a). Dado l ∈ R, se dice que lı́mx→a f (x) = l si y sólo si para todo > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces |f (x) − l| < . Una definición equivalente, mediante el empleo de sucesiones, es la siguiente: lı́mx→a f (x) = l ⇐⇒ (∀xn → a con xn 6= a para todo n → {f (xn )} → l) Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Definición de lı́mites laterales Definición de lı́mites laterales Dado l + ∈ R, se dice que limx→a+ f (x) = l + si, y sólo si, para todo > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ, entonces |f (x) − l + | < . Si, en vez de aproximar la x a la a por la derecha, lo hacemos por la izquierda, obtenemos el lı́mite por la izquierda, lı́mx→a− f (x) = l − . Los lı́mites laterales también se pueden definir empleando sucesiones que se aproximen por cada uno de los lados de a. Teorema Existe lı́mx→a f (x) si y sólo si existen los lı́mites laterales y coinciden, esto es, lı́mx→a+ f (x) = lı́mx→a− f (x) = l ∈ R Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Lı́mites infinitos y lı́mites en el infinito Lı́mites infinitos. Decimos que lı́mx→a f (x) = +∞ (−∞) si para todo M ∈ R existe un δ > 0 tal que f (x) > M (f (x) < M) para todo x tal que 0 < |x − a| < δ. Los lı́mites laterales infinitos lı́mx→a+ f (x) = ±∞ y lı́mx→a− f (x) = ±∞ se definen de modo análogo, pero aproximándose por el lado adecuado de a. Lı́mite finito en el infinito. Si (a, +∞) ⊂ D(f ), se dice que f tiende a l cuando x → +∞, esto es, limx→∞ f (x) = l si para todo > 0 existe M ∈ R tal que si x > M entonces |f (x) − l| < . Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Lı́mites infinitos y lı́mites en el infinito Lı́mite infinito en el infinito. Si (a, +∞) ⊂ D(f ), decimos que limx→+∞ f (x) = −∞ si para todo M ∈ R, ∃N ∈ R tal que si x > N entonces f (x) > M. De modo análogo se definen los lı́mites lı́mx→+∞ f (x) = −∞, lı́mx→−∞ f (x) = +∞ y lı́mx→−∞ f (x) = −∞. Teorema El lı́mite, si existe, es único. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Propiedades de los lı́mites Sean f , g tales que lı́mx→a f (x) = l1 y lı́mx→a g (x) = l2 . Entonces: 1 lim x→a α = α, α ∈ R 2 lim x→a f (x) = αl1 , α ∈ R 3 lim x→a (f (x) ± g (x)) = l1 ± l2 4 lim x→a (f (x)g (x)) = l1 l2 f (x) l1 5 lim x→a g (x) = l2 (l2 6= 0) n n 6 lim x→a (f (x)) = l1 1/n = l 1/n (si n impar ó n par y l ≥ 0) 7 lim 1 x→a f (x) 1 f (x) l1 , b ∈ R 8 lim b = b x→a g (x) = l l2 (l > 0) 9 lim x→a f (x) 1 1 Los casos 0 ∞ , , 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 , ∞0 0 ∞ son indeterminaciones. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Regla del Sandwich Regla del Sandwich Si f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) en un entorno de a (salvo, quizá, en el propio a) y lı́mx→a f (x) = lı́mx→a h(x) = l, entonces lı́mx→a g (x) = l. Aquı́ a y l pueden ser tanto finitos como infinitos. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Outline 1 Relaciones trigonométricas 2 Operaciones con logaritmos 3 Funciones elementales y sus gráficas 4 Gráficas de funciones elementales 5 Lı́mites 6 Continuidad Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Definición de continuidad Definición de continuidad Una función f es continua en a si se satisfacen las condiciones siguientes: 1 f (a) está definida. 2 limx→a f (x) = f (a) (el lı́mite existe y es igual a f (a)). Otra caracterización de continuidad es con sucesiones: f es continua en a ∈ D(f ) si para toda sucesión xn → a se verifica que {f (xn )} → f (a). Decimos que f es continua en un intervalo abierto (c, d) si lo es en cada punto del intervalo. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Definición de discontinuidad Si f no es continua en a, se dice que f tiene en a una discontinuidad. La discontinuidad es: Evitable si existe limx→a f (x) ∈ R. Inevitable en caso contrario. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Continuidad lateral Definición La función f es continua por la izquierda (derecha) de a ∈ D(f ) si lı́mx→a− f (x) = f (a) (limx→a+ f (x) = f (a)). Definición La función f es continua en a si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda de a. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Propiedades de la continuidad Definición Sean f, g continuas en a ∈ R. Entonces kf es continua en a para cualquier k ∈ R. (f ± g ) es continua en a. (fg ) es continua en a. Si g (a) 6= 0, entonces f g es continua en a. Si h es continua en g (a), entonces (h ◦ g )(x) = h(g (x)) es continua en a. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Funciones elementales continuas Las funciones elementales (polinomios, funciones racionales, raı́ces, funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, funciones exponenciales, logarı́tmicas) son todas ellas continuas en sus dominios. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Teorema del valor intermedio Teorema del valor intermedio Si f es continua en I = [a, b] y k es un número real entre f (a) y f (b), existe al menos un c ∈ I tal que f (c) = k. Matemáticas (Grado en Quı́mica) Relaciones trigonométricas Operaciones con logaritmos Funciones elementales y sus gráficas Gráficas de funciones elementales Lı́mites Continuidad Teorema de Weierstrass Teorema de Weierstrass Si f : [a, b] → R es continua, entonces f alcanza un máximo y un mı́nimo en el intervalo [a, b], esto es, existen x1 , x2 ∈ [a, b] tales que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) ∀x ∈ [a, b] Matemáticas (Grado en Quı́mica)

Tema 1: Repaso de conocimientos previos. Funciones elementales

Documentos relacionados

Productos

Apoyo

Tema 1: Repaso de conocimientos previos. Funciones elementales

Documentos relacionados

Añadir este documento a la recogida (s)

Añadir a este documento guardado

Sugiéranos cómo mejorar StudyLib