Alejandro J. Castro Espacios UMD y estimaciones Lp para

Alejandro J. Castro
Espacios UMD y estimaciones Lp para derivadas parciales.
Abstract: La noción de espacio UMD (“Unconditional Martingale Differences)
fue introducida por D. L. Burkholder [2]. Un espacio de Banach X tiene esta
propiedad si, para cierto 1 < p < 1, existe una constante Cp tal que
N
p
N
X
X p
E
εk d k dk ≤ Cp E ,
k=1
X
k=1
X
para todo N ∈ N, para cada familia de signos {εk }k∈N ⊂ {−1, 1}N y cualquier
sucesión de diferencias de martingalas {dk }k∈N en Lp (Ω, X). Aquı́, E denota la
esperanza sobre el espacio de probabilidad Ω y Lp (Ω, X) representa el espacio
constituido por todas aquellas funciones que toman valores en X, cuya X-norma
es p-integrable en Ω. Esta clase de espacios UMD parece la adecuada para extender muchos resultados clásicos en análisis de la situación escalar a la vector
valuada.
En esta charla analizamos condiciones que impliquen la propiedad UMD. Por
ejemplo, J. Bourgain [1] probó que si es posible extender la transformada de
Hilbert como un operador acotado entre espacios Lp (R, X), entonces X ha de ser
UMD. S. Geiss, S. Montgomery-Smith y E. Saksman [3] establecieron un resultado
similar, considerando, en lugar de la transformada de Hilbert, multiplicadores de
Fourier cuyo sı́mbolo es una función par, regular y homogénea.
Veremos que para que se satisfagan ciertas estimaciones en Lp (Rn , X) entre
derivadas parciales de funciones vector valuadas, también es necesario que X sea
un espacio UMD. La situación más sencilla es la siguiente
k∂1 ∂2 ikLp (R2 ,X) ≤ C k∂12 ukLp (R2 ,X) + k∂22 ukLp (R2 ,X) ,
u ∈ Cc∞ (R2 , X).
En este caso, somos capaces de determinar la constante óptima, hecho desconocido incluso en la situación escalar, esto es, cuando X = R.
Este es un trabajo en colaboración con el profesor Tuomas Hytönen de la Universidad de Helsinki.
References
[1]
J. Bourgain, Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are
unconditional, Ark. Mat., 21 (1983), 163–168.
[2] D. L. Burkholder, A geometrical characterization of Banach spaces in which martingale
difference sequences are unconditional, Ann. Probab., 9 (1981), 997–1011.
[3] S. Geiss, S. Montgomery-Smith, and E. Saksman, On singular integral and martingale
transforms, Trans. Amer. Math. Soc., 362 (2010), 553–575.