Navegación Aérea - Tema 2: Conceptos Básicos de Navegación
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Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Navegación Aérea Tema 2: Conceptos Básicos de Navegación Aérea. Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: La estrella Polar En tiempos antiguos, la navegación (fundamentalmente marı́tima) se realizaba fundamentalmente de dos formas: navegación visual: basada en puntos de referencia conocidos. navegación astronómica: basada en la observación de fenómenos celestes. La estrella polar (Polaris) es un punto de referencia fijo en el cielo del Hemisferio Norte; está casi alineada con el eje de rotación de la Tierra. Se localiza encontrando primero la constelación de la Osa Mayor. Por tanto, su elevación en el cielo sobre el horizonte (hPOLARIS ) es aproximadamente igual a la latitud (φ) del observador: φ = hPOLARIS . 2 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: El Sol De dı́a o con el cielo nublado, no es posible determinar hPOLARIS . Si es posible ver el Sol, entonces se puede usar la elevación en el cielo del Sol, al mediodı́a: hSUN . El mediodı́a local está determinado cuando el Sol alcanza su máxima elevación en el cielo. En ese instante pasa por el meridiano del observador. Se debe conocer un dato llamado la declinación del Sol, δSUN (es la “latitud geocéntrica del Sol”) . Esta declinación depende del dı́a del año y se puede encontrar en tablas o calcularse. Entonces: φ = 90o − hSUN + δSUN . 3 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: El hemisferio Sur En el hemisferio Sur, de noche, no se puede ver la estrella Polaris, ni existe ninguna estrella alineada con el eje de rotación de la Tierra hacia el Sur. Se emplea una constelación (“la cruz”) cuyo “brazo mayor” apunta en dirección al Polo Sur celeste. A una distancia de 4.5 veces dicho brazo se encuentra el Polo Sur celeste. Su elevación es aproximadamente −φ. Otra alternativa es usar el “Puntero de la cruz”, dos estrellas cercanas a la Cruz, como se ve en la figura. 4 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: Instrumentos En todas las situaciones anteriores, es necesario medir la elevación de un objeto celeste en el cielo. Para ello se usaban diversos instrumentos astronómicos. Astrolabio: media circunferencia (ant. siglo X). Cuadrante: un cuarto de circunferencia (siglo XII). Sextante: un sexto de circunferencia, con mecanismo más sofisticado (de forma que no sea necesario, p.ej., mirar directamente al Sol) y mayor precisión (siglo XVIII). 5 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: Navegación a estima Hallar la latitud mediante los métodos anteriormente descritos no es suficiente para encontrar la posición sobre la Tierra. No obstante, conocida una estimación de la posición inicial (fix), del rumbo, y de la velocidad, y midiendo el tiempo, es posible predecir la trayectoria. En los barcos, para predecir la velocidad, se utilizaba la llamada “corredera”: formada por un lastre (barquilla), una carrete y un cordón marcado con nudos, separados 15.43 metros (1 mn/120). Lanzando la barquilla al agua y contando el número de nudos en 30 segundos, se estima la velocidad. Conocida la velocidad y el rumbo, se puede estimar (por ejemplo en una carta tipo Mercator) la trayectoria recorrida por el barco, durante un tiempo dado (medido por ejemplo con un reloj de arena), siguiendo la ruta loxodrómica. Problema: los errores (deriva) crecen con t. 6 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: El problema de la longitud I Con los métodos anteriormente descritos se puede conseguir una navegación “cruda” (de hecho se llegó a América), pero no es posible localizar con precisión la situación de un barco en medio de los océanos. Para hacerlo es necesario hallar la longitud. La solución teórica de este problema era ya conocida en el siglo XVI. 1 Observar una estrella de movimiento conocido o el Sol al mediodı́a (mediante p.ej. un sextante). 2 Medir el tiempo de observación (mediante un cronómetro). 3 Comparar con la posición de dicho cuerpo estelar en un lugar conocido (obtenida de tablas de efemérides). 4 Resolver el triángulo astronómico (usando trigonometrı́a elemental). 7 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: El problema de la longitud II Por ejemplo, si para un dı́a dado se determina la hora t a la que es el mediodı́a local, y se conoce la hora t0 en la que es mediodı́a local, dicho dı́a, en Greenwich: λ ≈ (t0 − t)15o , donde los tiempos están medidos en horas y con el mismo reloj. El problema es tecnológico: ¿cómo medir el tiempo con precisión a bordo de un barco que navega durante meses? Los mejores cronómetros del siglo XVI tenı́an al menos 10 minutos de error al dı́a. El problema fue tan importante que varios paı́ses (España en 1598, Gran Bretaña en 1714) convocaron concursos internacionales. Finalmente John Harrison (1730) resolvió el problema para Inglaterra inventando un reloj que cometı́a un error de segundos al dı́a. Su mejor reloj viajó a Jamaica desde Inglaterra cometiendo sólo 5 segundos de error en 1764. 8 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Historia de la navegación: La era moderna El nacimiento de la aeronáutica ha demandado una gran mejora de los métodos de navegación, que ha de tener en cuenta las 3 dimensiones. En la primera mita del siglo XX nacen las radioayudas: ADF, VOR, ILS... En la segunda mitad del siglo XX: Los avances en computación hacen posible la navegación inercial. La conquista del espacio hace posible la navegación por satélite: Transit, GPS... Últimos avances: sensores inerciales de bajo coste, GPS diferencial, futuro sistema GALILEO... 9 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Tipos de navegación Navegación. Sistemas de navegación. Navegación: Conjunto de técnicas para desplazarse entre dos puntos conocidos, origen y destino, siguiendo una cierta trayectoria. Sistemas de navegación: permiten obtener la posición, velocidad, actitud y tiempo en cualquier instante. PVAT: P: posición, dada como x e = [x e y e z e ]T , (λ, φ, h)... V: velocidad, dada como Vgn o (Vg , γ, χ)... A: actitud, dada por los ángulos de Euler (ψ, θ, ϕ) u otras representaciones. T: tiempo (UTC). 10 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Tipos de navegación Errores de navegación. Un sistema de navegación no sólo tiene que proporcionar como salida el dato actual de PVAT. Puesto que la estimación del PVAT nunca es perfecta, también es necesario conocer una estimación del error cometido. Tı́picamente se visualiza para cada instante el error como una región de incertidumbre (tı́picamente un elipsoide) en cuyo centro se encuentra la estimación actual de la posición del avión. El error cometido en la dirección del movimiento se llama ATE (along-track error). El error cometido en la dirección perpendicular al movimiento se llama CTE/XTE (cross-track error). El error cometido en la dirección vertical se llama VE (vertical error). Uno de los objetivos de la navegación es minimizar la incertidumbre en posición, es decir, minimizar el tamaño del elipsoide de incertidumbre. 11 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Tipos de navegación Tipos de Navegación Los sistemas de navegación se pueden dividir en dos grandes familias: Navegación autónoma: Aquella que emplea dispositivos internos de la aeronave sin necesidad de emplear sistemas externos. Por tanto no son vulnerables a fallos en comunicaciones, ni dependen de la disponibilidad de otros sistemas ajenos. Ello los hace muy deseables, especialmente en aeronaves militares. Dos ejemplos son la antigua navegación a estima y la navegación inercial (que no es sino un tipo sofisticado de navegación a estima). Navegación por posicionamiento: Emplea medidas externas como referencia para localizar la posición. Por ejemplo, navegación visual (basada en puntos de referencia visuales), navegación astronómica (basada en la observación de cuerpos celestes), navegación basada en radioayudas (basada en señales de radio recibidas), navegación por satélite... En realidad, ambos tipos de navegación son complementarios y la tendencia moderna es a integrarlos. 12 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Tipos de navegación Navegación integrada La navegación integrada es aquella que emplea la información proporcionada por todos los diferentes sensores y sistemas de navegación para obtener la mejor estimación PVAT posible. La navegación autónoma (p.ej. inercial) proporciona una estimación continua (alto ancho de banda), integrando las ecuaciones del movimiento. Pero se degrada con el tiempo (errores no acotados). La navegación por posicionamiento proporciona una estimación cada cierto tiempo (bajo ancho de banda), pero con error acotado. 13 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones La actitud de la aeronave La actitud de la aeronave es su orientación respecto al sistema de referencia de navegación (tı́picamente el sdr horizonte local o el de azimut errante). En realidad, es suficiente conocer la orientación de un sistema de referencia solidario a la aeronave (los ejes cuerpo). Los ángulos de Euler cabeceo, guiñada y alabeo son la representación clásica, pero no la única; existen otras representaciones con diferentes ventajas e inconvenientes. Estudiaremos cuatro representaciones diferentes: Matriz de cosenos directores. Ángulos de Euler. Ángulo y eje de Euler. Cuaterniones. Nota: La posición (φ, λ) o (φ, λ, α) también se puede considerar una “orientación” del sistema de referencia de navegación respecto al ECEF. 14 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Matriz de cosenos directores (DCM) I Dado un sistema de referencia S (determinado por una base de vectores unitarios (e x , e y , e z ) y otro S’ (determinado por una base de vectores unitarios (e x 0 , e y 0 , e z 0 ), la orientación de S respecto a S’ está totalmente determinada por la matriz de 0 S cambio de base CS , que para un vector genérico v permite 0 0 cambiar de base: v S = CSS v S . Denotemos: 2 c11 S0 4 c21 CS = c31 S0 ex Obsérvese: = Luego: e x 0 · e x = Igualmente: c12 c22 c32 3 c13 c23 5 c33 S0 S S0 CS ex = CS [1 0 0]T = [c11 c21 c31 ]T . 0 0 (e Sx 0 )T e Sx = [1 0 0][c11 c21 c31 ]T = c11 . = ey 0 · ex , ex0 · ey , c31 = e z 0 · e x c22 = e y 0 · e y , = ex0 · ez , c23 = e y 0 · e z , c21 = c12 c13 c32 = e z 0 · e y c32 = e z 0 · e z 15 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Matriz de cosenos directores (DCM) II Por tanto: S0 CS ex0 · ex = 4 ey 0 · ex ez0 · ex 2 ex0 · ey ey 0 · ey ez0 · ey 3 ex0 · ez ey 0 · ez 5 ez0 · ez Obsérvese que razonando igualmente: 2 ex0 · ex 6 e ·e S CS 0 = 4 x 0 y ex0 · ez ey 0 · ex ey 0 · ey ey 0 · ez 3 ez0 · ex ez0 · ey ez0 · ez 7 S0 T 5 = (CS ) 0 Y por tanto, puesto que CSS0 = (CSS )−1 , obtenemos que S S 0 −1 S0 T CS 0 es ortogonal, es decir: (CS ) = (CS ) . También se justifica el nombre “matriz de cosenos directores”. Otra propiedad es det(CSS0 ) = 1. Esto se debe a que 1 = det(Id) = det((CSS0 )(CSS0 )−1 ) = det((CSS0 )(CSS0 )T ) = 2 S det(CS 0 ) . Por tanto det(CSS0 ) = ±1. El signo + corresponde a los sistemas de referencia que son triedros “a derechas”. 16 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Matriz de cosenos directores (DCM) III Es una representación de la actitud con 9 parámetros. Estos parámetros son dependientes entre sı́, es decir, las entradas de la matriz C no pueden ser cualesquiera (la matriz ha de ser ortogonal y con determinante +1). Supongamos que la actitud de S2 respecto a S1 viene dada por CSS12 y que la actitud de S3 respecto a S2 viene dada por CSS23 . La actitud de S3 respecto a S1 viene dada por CSS13 = CSS23 CSS12 . Por tanto la “composición” de actitudes viene dada por un simple producto matricial. 17 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Ángulos de Euler I En general una actitud se puede describir mediante tres rotaciones, en ejes no consecutivos. Por ejemplo, la rotación clásica: ψ θ ϕ z yS xS 0 n −→ S −→ S BFS −→ n 0 Existen otras posibilidades: θ θ θ x yS zS 1 2 0 2 n −→ S −→ S −→ BFS n 0 Ω i ω z xS zS 0 n −→ S −→ S −→ BFS n 0 Existen hasta 12 posibles secuencias de ángulos de Euler para representar la actitud. El número de parámetros de cada secuencia es siempre 3. Se puede obtener la DCM a partir de los ángulos de Euler mediante multiplicación de matricies de rotación elementales. 0 Por ejemplo: Cnb (ψ, θ, ϕ) = CSb0 (ϕ)CSS (θ)CnS (ψ). 18 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Ángulos de Euler II Como ya vimos, para el caso (ψ, θ, ϕ): 2 cθcψ b Cn = 4 −cϕsψ + sϕsθcψ sϕsψ + cϕsθcψ cθsψ cϕcψ + sϕsθsψ −sϕcψ + cϕsθsψ 3 −sθ sϕcθ 5 cϕcθ Obsérvese que (180o + ψ, 180o − θ, 180o + ϕ) es la misma actitud que (ψ, θ, ϕ). Por ello se suelen limitar los ángulos, tı́picamente θ ∈ [−90o , 90o ]. ψ θ z yS 0 ϕ BFS n −→ S −→ S −→ n 0 xS Para obtener los ángulos de la DCM: 1 2 3 θ = − arc sen c13 . Con cos ψ = c11 / cos θ, sen ψ = c12 / cos θ, obtener ψ. Con sen ϕ = c23 / cos θ, cos ϕ = c33 / cos θ, obtener ϕ. 19 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Ángulos de Euler III Su mayor ventaja es su significado fı́sico. No obstante, hay que tener cuidado a la hora de componer dos actitudes. Supongamos que la actitud de S2 respecto a S1 viene dada por (ψ1 , θ1 , ϕ1 ) y que la actitud de S3 respecto a S2 viene dada por (ψ2 , θ2 , ϕ2 ). Denotemos como (ψ3 , θ3 , ϕ3 ) la actitud de S3 respecto a S1 . En general: ψ3 6= ψ1 + ψ2 , θ3 6= θ1 + θ2 , ϕ3 6= ϕ1 + ϕ2 . Para obtener (ψ3 , θ3 , ϕ3 ) hay que calcular los ángulos de Euler a partir de CSS13 = CSS12 (ψ1 , θ1 , ϕ1 )CSS23 (ψ2 , θ2 , ϕ2 ). Por tanto es complicado operar con ángulos de Euler. 20 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Ángulo y eje de Euler I Teorema de Euler: “el movimiento más general posible de un sólido con un punto fijo es una rotación alrededor de un único eje”. Nota: De momento consideramos la actitud en un instante de tiempo concreto, es decir, no estudiamos cuando hay una rotación que cambia con el tiempo. Denominemos a un vector unitario en la dirección de dicho eje (Eje de Euler) como e S/S 0 y a la magnitud de la rotación (Ángulo de Euler) como θ. 0 S Por tanto ke S/S 0 k = 1 y si escribimos e S/S 0 = [ex ey ez ]T , se tiene que ex2 + ey2 + ez2 = 1. Dado un vector v = [vx vy vz ]T definimos el operador v × como: 2 0 × v = 4 vz −vy −vz 0 vx 3 vy −vx 5 0 21 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Ángulo y eje de Euler II El operador v × sirve para escribir fácilmente el producto escalar v × w , para cualquier vector w , en un sistema de × S S S referencia dado S: (v × w ) = v w . Por tanto la actitud con el ángulo y eje de Euler queda 0 representada con los parámetros (e SS/S 0 , θ). ¿Cómo se puede pasar de estos parámetros a la DCM y viceversa? Se tiene que 0 CSS = cos θId + (1 − 0 0 cos θ)e SS/S 0 (e SS/S 0 )T − sen θ 0 e SS/S 0 × . Ésta es la llamada fórmula de Euler-Rodrigues. 0 Por otro lado, dada CSS , se tiene que: cos θ = 0 × e SS/S 0 = 0 S Tr(CS ) −1 2 1 S0 T 0 (CS ) − CSS 2 sen θ 22 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Ángulo y eje de Euler III Por tanto se representa la actitud con cuatro parámetros: tres componentes de un vector unitario y un ángulo. Estos parámetros tienen un claro significado fı́sico. 0 S Obsérvese que la actitud dada por (e S/S 0 , θ) y por 0 S (−e S/S 0 , 360o − θ) es exactamente la misma. Para evitar ésta ambigüedad, se restringe θ al intervalo [0, 180o ]. La actitud inversa (la de S respecto a S 0 ) vendrá dada por 0 S S S (−e S 0 /S , θ). Nota: Obsérvese que eS 0 /S = eS/S 0 . Finalmente si la actitud de S2 respecto a S1 viene dada por (e SS21 /S2 , θ1 ) y que la actitud de S3 respecto a S2 viene dada por (e SS32 /S3 , θ2 ), si denotamos como (e SS31 /S3 , θ3 ) la actitud de S3 respecto a S1 , viene dada por: cos θ3 S eS 3/S 1 3 = = − cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2 (e S /S · e S /S ) 1 2 2 3 “ ” 1 sen θ1 cos θ2 e S /S + cos θ1 sen θ2 e S /S + sen θ1 sen θ2 (e S /S × e S /S ) 1 2 2 3 1 2 2 3 sen θ3 23 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Cuaterniones Los cuaterniones son una creación de Hamilton (siglo XIX), que los consideraba su mayor invento; pensó serı́an como el “lenguaje universal” de la fı́sica. Pero fueron sustituidos pronto por los vectores (Gibbs) y las matrices (Cayley). Recordemos que un número complejo z es como un “vector 2-D”, que se puede escribir como z = x + iy . Los números complejos de módulo unidad se pueden usar para representar una rotación 2-D, ya que en el caso de que |z| = 1, se puede escribir z = eiθ , y en tal caso representa una rotación 2-D de ángulo θ. Los cuaterniones son una extensión de los números complejos a “4 dimensiones”. Escribimos un cuaternión q como: q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 . En ocasiones q0 se denomina la “parte escalar” de q y se define q = [q1 q2 q3 ]T como la “parte vectorial” de q. Algunos autores escriben q4 en vez de q0 . 24 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Álgebra de cuaterniones I Para poder entender los cuaterniones es importante conocer su álgebra, es decir, como se opera con cuaterniones. Suma: la suma es componente a componente, es decir, dado q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 y q 0 = q00 + iq10 + jq20 + kq30 , se tiene que q 00 = q + q 0 = q000 + iq100 + jq200 + kq300 viene dado por las fórmulas: q000 = q0 + q00 , q100 = q1 + q10 , q200 = q2 + q20 , q300 = q3 + q30 . Producto: el producto es componente a componente, conociendo las siguientes reglas de multiplicación: i · i = −1, i · j = k, i · k = −j, j · i = −k, j · j = −1, j · k = i, k · i = j, k · j = −i, k · k = −1. Se tiene la fórmula de Hamilton: i · j · k = −1. Obsérvese que en general qq 0 6= q 0 q: La multiplicación no es conmutativa! 25 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Álgebra de cuaterniones II Forma matricial del producto: q 00 = q 0 q en forma matricial. 00 0 q0 −q10 q0 q 00 q 0 q 0 0 1 = 1 0 0 00 q q q 2 3 2 0 00 q3 −q20 q3 Es posible escribir el producto −q20 −q30 q00 q10 −q30 q20 −q10 q00 q0 q1 q2 q3 Forma “vectorial” del producto: q000 = q00 q0 − q 0T q, q 00 = q0 q 0 + q00 q + q 0 × q. Conjugado: Como para los números complejos, dado q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 se define el conjugado de q como q ∗ = q0 − iq1 − jq2 − kq3 . Módulo: Se define el módulo de q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 como |q|2 = qq ∗ = q02 + q12 + q22 + q32 División: Se define la división usando el conjugado: q 0 /q = q 0 /q · q ∗ /q ∗ = (q 0 q ∗ )/|q|2 . 26 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Representación de la actitud mediante cuaterniones I Dada la actitud representada mediante el eje y ángulo de Euler, e y θ, se “codifica” dicha actitud en forma de cuaterniones mediante: q0 = cos θ/2, q = sen θ/2e. Obsérvese que si un cuaternión q representa una actitud, entonces |q| = 1. Recordemos el operador q × : 2 0 × 4 q3 q = −q2 −q3 0 q1 3 q2 −q1 5 0 Para pasar de la√DCM C a cuaterniones, se utilizan las 1+Tr(C ) 1 × T fórmulas: q0 = y q = 4q0 C − C . 2 Para pasar de cuaterniones a DCM se utiliza la fórmula de Euler-Rodriguespara cuaterniones: C = q02 − q T q Id + 2qq T − 2q0 q × . 27 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Representación de la actitud mediante cuaterniones II Fórmula de Euler-Rodrigues en forma matricial: q02 + q12 − q22 − q32 C (q) = 4 2(q1 q2 − q0 q3 ) 2(q1 q3 + q0 q2 ) 2 2(q1 q2 + q0 q3 ) 2 q0 − q12 + q22 − q32 2(q2 q3 − q0 q1 ) 3 2(q1 q3 − q0 q2 ) 5 2(q2 q3 + q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 − q1 − q2 + q3 Los cuaterniones son una representación de la actitud que requiere 4 parámetros, con la relación |q| = 1. Tienen la desventaja de ser una representación matemática sin sentido fı́sico. Para pasar de la DCM a cuaterniones y viceversa no es necesario usar fórmulas trigonométricas. Si qS 0 S representa la actitud de S’ respecto a S y qS 00 S 0 representa la actitud de S” respecto a S’, entonces qS 00 S , la actitud de S” respecto a S, se calcula como qS 00 S = qS 0 S · qS 00 S 0 (al revés que la DCM). 28 / 29 Introducción histórica Navegación. Definición y tipos de navegación La actitud de la aeronave. Formas de representación Matriz de cosenos directores Ángulos de Euler Cuaterniones Cálculo de cuaterniones dados los ángulos de Euler Obsérvese que: A los ángulos de Euler (ψ, 0, 0) les corresponde el cuaternión qψ = cos ψ/2 + k sen ψ/2. A los ángulos de Euler (0, θ, 0) les corresponde el cuaternión qθ = cos θ/2 + j sen θ/2. A los ángulos de Euler (0, 0, ϕ) les corresponde el cuaternión qϕ = cos ϕ/2 + i sen ϕ/2. Por tanto, a los ángulos de Euler (ψ, θ, ϕ) les corresponderá el cuaternión q = qψ qθ qϕ . Realizando el producto, se obtiene: q = (cos ψ/2 cos θ/2 cos ϕ/2 + sen ψ/2 sen θ/2 sen ϕ/2) +i (cos ψ/2 cos θ/2 sen ϕ/2 − sen ψ/2 sen θ/2 cos ϕ/2) +j (cos ψ/2 sen θ/2 cos ϕ/2 + sen ψ/2 cos θ/2 sen ϕ/2) +k (sen ψ/2 cos θ/2 cos ϕ/2 − cos ψ/2 sen θ/2 sen ϕ/2) . 29 / 29
