Infinito

Infinito
Talento Matemático
Real Academia de Ciencias
JLF
Primavera de 2001
Infinito. JLF
Talento Matemático. Real Academia.
El Hotel de Hilbert
El Hotel de Hilbert tiene infinitas
habitaciones: una habitación por cada
uno de los números naturales. Hay una
habitación con el número 1, luego una
con el número 2, y ası́ sucesivamente.
Todas las habitaciones son individuales.
i) El Hotel de Hilbert está lleno:
todas las habitaciones están
ocupadas.
Llega un nuevo
D. Hilbert
cliente, pide una habitación, y el
recepcionista le dice que no hay
problema. Les pide a todos los
clientes que . . . , y ası́ logra que quede una habitación vacı́a.
ii) Con el hotel lleno, ¿cómo se acomoda un autobús de Hilbert
lleno? (Sı́, un autobús de Hilbert tiene infinitos asientos,
numerados con los números naturales.)
iii) Con el hotel lleno, ¿cómo acomodarı́as un tren de Hilbert? (En
efecto, un tren de Hilbert tiene infinitos vagones numerados,
1, 2, . . . , y cada vagón tiene infinitos asientos numerados 1,
2, . . .
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Talento Matemático. Real Academia.
Número innombrables
Hacer una lista es ordenar: decir quien es el primero, el segundo, el
tercero, etc., hasta incluirlos todos.
Se pide hacer una lista con los números entre 0 y 1 que tienen a lo
sumo dos decimales.
¿Podemos hacer una lista similar con los número entre 0 y 1 que
tienen a lo sumo 7 decimales?
¿Podemos hacer una lista similar de todos los números entre 0 y 1
que tienen una cantidad finita de decimales?
Intentar hacer una lista con todos los números entre 0 y 1. ¿Es
posible?
Un número (entre 0 y 1) se dice nombrable si se puede describir (de
manera inequı́voca con una frase).
¿Hay número innombrables?
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Talento Matemático. Real Academia.
Infinitas bolas de ping-pong
Se trata de un proceso de una hora en el que se usan infinitas bolas
de ping-pong. Disponemos de dos inmensos toneles A y B que
inicialmente están vacı́os.
• Durante la primer media hora se realiza la siguiente operación:
se ponen dos bolas en el tonel A y después se coge una de de
esas dos bolas y se pasa al tonel B . Tras este primer paso,
tanto en A como en B hay una bola.
• Durante los 15 minutos siguientes se toman otras dos bolas y
se ponen en el tonel A. De las tres bolas que ahora hay en A
se toma 1 y se pasa a B . Tras este segundo paso en A y en B
hay dos bolas.
• Cada paso sucesivo se realiza en la mitad de tiempo que el
anterior, pero siempre se ponen dos bolas nuevas en A y
después se pasa una (de las que están en A) a B
Al final de la hora, ¿cuántas bolas hay en A?
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