Peligrosamente cerca

Peligrosamente cerca
Supongamos que dos rutas aéreas –una hacia el este y la otra hacia el norte– se cruzan a
una altitud de 35.000 pies en la intersección J (Figura 1). En ausencia de control de
tráfico aéreo, los tiempos en que los aviones en dirección este llegarían a la intersección
reflejarían un proceso Poisson con parámetro λE (por minuto). Del mismo modo, los
aviones en dirección norte llegarían conforme a un proceso independiente Poisson con
parámetro λN. Todos los aviones se desplazan a una velocidad de 600 millas por hora en
sus rutas.
Figura 1: las rutas aéreas con dirección norte y este se cruzan en J
El organismo gubernamental estadounidense Federal Aviation Administration (FAA)
considera peligroso que dos aviones que vuelan a la misma altitud se aproximen a una
distancia de 5 millas (en cuyo caso se dice que están en conflicto). La idea es que, si
surge un conflicto, los aviones se desplazan tan deprisa que podrían colisionar si uno de
ellos se desvía de su curso normal. Teniendo en cuenta las normas de la FAA, vamos a
calcular las posibilidades de tres circunstancias interesantes:
E: la posibilidad de que un avión en dirección este que acaba de llegar a J esté en
conflicto en ese momento con un avión en dirección norte
N: la posibilidad de que un avión en dirección norte que acaba de llegar a J esté en
conflicto en ese momento con un avión en dirección este
EE: la posibilidad de que un avión dado en dirección este que pase por J esté en
cualquier momento en conflicto con un avión en dirección norte que pase por J.
P(E)
Para hallar P(E), observamos que el conflicto ocurre si, en el momento en que el avión con
dirección este llega a J, existe un avión en dirección norte a cinco millas de distancia de
J. Si E* es el complemento de E, entonces E* requiere que no exista un avión en
dirección norte a cinco millas de distancia de la intersección. Es más fácil hallar P(E*)
que P(E), así que haremos eso y a continuación invocaremos la regla P(E) = 1 – P(E*).
No se nos dice nada de los aviones que no están en la intersección, ¿cómo podemos
entonces determinar si un aparato se encuentra dentro de una distancia de 5 millas de J?
Podemos investigar la pista de que el avión se desplaza a 600 millas por hora (lo que
equivale a diez millas por minuto o una milla cada seis segundos). Supongamos que un
avión está al norte de J y a menos de 5 millas de la intersección. En ese caso, debe
haber pasado por J en los últimos treinta segundos. Igualmente, si un avión con
dirección norte se encuentra todavía al sur de J pero a menos de cinco millas, llegará a J
en los próximos treinta segundos.
Así, si un avión en dirección este llega a J en el momento t, habrá un conflicto si un
avión con dirección norte pasa por J entre t-0,5 (en minutos) y t + 0,5. Y no existirá
conflicto si ningún avión con dirección norte llega a t con un intervalo mayor (t-0,5 / t
+ 0,5).
Por lo tanto podemos decir:
P(E*) = P(sin llegadas dirección norte a J por encima de (t-0,5 / t + 0,5)) = exp(-λN)
y por lo tanto:
P(E) = 1 – exp(-λN)
P(N)
El razonamiento es el mismo que para P(E), por lo que podemos decir:
P(N) = 1 – exp(-λN)
Podría parecer sorprendente que P(E) y P(N) fuesen diferentes, dado que cada conflicto
que consideramos contiene un avión en dirección este y otro en dirección norte. Si, sin
embargo, λN. > λE (por ejemplo), ocurre que hay más aviones en dirección norte por
hora que llegan a J que aviones en dirección este. Por lo tanto, si el mismo número de
aviones en dirección norte y este están en conflicto, el porcentaje de conflictos es menor
para los aviones con dirección norte que pasan por J que para los que tienen dirección
este. Y tanto P(E) como P(N) reflejan esos porcentajes.
P(EE):
Seguramente el lector se pregunte: ¿cuál es la diferencia entre P(EE) y P(E)? La
definición de las circunstancias difiere ligeramente: P(E) requiere que exista un
conflicto cuando un avión en dirección este llega a J; P(EE) requiere algún conflicto
este/norte, pero permite la posibilidad de que el conflicto haya terminado (o bien no
haya empezado aún) cuando el avión en dirección este pasa por J. Pero aun así, ¿es
importante esta distinción?
Pues sí que lo es. Supongamos que, cuando un avión en dirección este llega a J, hay un
avión en dirección norte a seis millas al norte de J. En este caso los aviones no están en
conflicto. Pero consideremos la situación doce segundos antes, cuando el avión en
dirección norte estaba a cuatro millas al norte de J y el avión en dirección este a dos
millas al oeste. El teorema de Pitágoras nos recuerda que los dos aviones estaban en ese
momento a √20 = 4,5 millas de distancia (esto es, que estaban en conflicto, aunque ya
no lo estén).
A través de una combinación de geometría y cálculo, se puede llegar a una sólida
conclusión: EE se da si, en el momento que el avión en dirección este llega a J, hay un
avión en dirección norte a 10/√2 ≈ 7,1 millas de la intersección en cualquiera de las dos
direcciones. (Si el avión se encuentra entre 5 y 7,1 millas de distancia, el conflicto ya ha
terminado o no ha empezado aún). Como los aviones viajan a diez millas por minuto,
7,1 millas corresponden a 0,71 minutos de vuelo. Por lo tanto, el aparato con dirección
este que llega a J en el momento t entrará en conflicto si un avión en dirección norte
pasa por J con un intervalo mayor (t-0,71 / t + 0,71). En consecuencia
P(EE) = 1 - P(EE*) = 1 - exp(-1,42λE)
En este ejercicio se ha supuesto la ausencia de control de tráfico aéreo y llegadas
aleatorias a J de conformidad con un proceso Poisson. En realidad, los tiempos de
llegada de los aparatos a intersecciones nunca se dejan al azar exclusivamente. Estos
cálculos sugieren la frecuencia en la que se presentarían situaciones potencialmente
peligrosas sobre la base de los niveles de actividad en el sistema de tráfico aéreo (y por
tanto, la magnitud de la tarea a la que se enfrentan los controladores). Existe una
estadística reveladora de la excelencia con la que los controladores realizan esta tarea:
durante la década de los noventa, 5 mil millones de pasajeros viajaron en vuelos a
reacción comerciales en Estados Unidos. El número de víctimas mortales en colisiones
en pleno vuelo fue cero.