Profesor: Juan Sanmartín Matemáticas – Curso 2012/2013 4º E.S.O. INECUACIONES Ecuaciones de Primer Grado Ecuaciones de Segundo Grado. Ecuaciones de Grado Mayor que dos Primer Grado La forma de una ecuación de primer grado puede ser de la siguiente: ax b 0 ax b 0 ax b 0 ax b 0 La solución de una inecuación no va a ser un número concreto, sino un intervalo, es por lo que, debemos tener en cuenta el primer tema de este curso. Ejemplo 01 Al igual que en una ecuación, pasamos las x para un lado y lo que no tiene x para el otro 2x 9 3x 5 2x 3x 5 9 x 4 ¡¡¡ATENCIÓN!!! . Al tener que despejar la x y multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad invierte su sentido. 4 x 4 x x4 1 Podemos comprobarlo pasando la x para el otro lado y el número para el sitio donde está la x En ambos casos tiene que dar el mismo resultado x 4 4 x x 4 Solución de la inecuación ,4 1 2 3 4 5 Ejemplo 02 2x 4 3 x 1 2x 5 3 3 12 2x 4 3 x 1 2x 5 4 2x 4 4 3 x 1 2x 5 3 3 12 12 12 12 8 x 16 12x 4 2x 5 12 12 12 8x 16 12x 4 2x 5 Solución de la inecuación 7 , 18 8x 12x 2x 16 5 4 18x 7 7 x 18 -3 -2 -1 0 7 1 18 Ejemplo 03 1 x 2x 7 x 2x 2 4 Resolvemos… 1 x 2x 7 4 x 2 2x 8 x 2x 7 x 2x 2 4 4 4 ¡¡¡ATENCIÓN!!! .El signo negativo delante de la fracción, cambia el signo del numerador de la misma. 4 x 2 2 x 8 x 2x 7 4 x 8 x 2 x 2x 7 2 Solución de la inecuación 9 4x 9 x 4 Cambiamos el sentido de la desigualdad 9 , 4 -3 -2 -94 -1 0 1 Ejemplo 04 x 2 3x 10 0 Segundo Grado Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada x 2 3x 10 0 x 2 3x 10 0 a 1 2 3 3 4 1 10 3 9 40 b3 x 2 1 2 c 10 Importante, hay que tener en cuenta el signo 3 49 x 2 3 7 4 x1 2 x1 2 2 2 3 7 10 x2 5 x 2 5 2 2 x1 2 x 2 5 Representamos los puntos en la recta real. Tramo I 6 x 2 3x 10 0 Tramo II -5 Tramo III 2 0 3 Tomamos puntos representativos de cada tramo x 6 6 3 6 10 36 18 10 8 0 2 Se cumple En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación x 0 0 30 10 10 0 2 No se cumple En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto no es solución de la inecuación x 3 3 33 10 9 9 10 8 0 2 Se cumple En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación SOLUCIÓN: ,5 2, Ejemplo 05 4x 4x 1 0 2 Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada 4x 4x 1 0 4x 4x 1 0 2 a4 b 4 c 1 x 2 4 4 4 0 4 x 2 2 2 2 24 4 4 1 4 16 16 8 Importante, hay que tener en cuenta el signo Obtenemos una única solución al ser la raíz cero x2 Representamos el punto en la recta real. Tramo I Tramo II 2 0 3 4x 2 4x 1 0 Tomamos puntos representativos de cada tramo x 0 40 40 1 1 0 Se cumple 2 En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación x 0 43 43 1 36 12 1 25 0 2 Se cumple En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación SOLUCIÓN: 2 La inecuación se cumple en toda la recta real menos en 2, ya que en ese punto vale 0 Ejemplo 06 4x 2 9 0 Resolvemos… 4x 2 9 0 4x 2 9 9 3 x1 4 2 9 9 x x 4 4 2 9 3 x2 4 2 La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador (propiedades de los radicales) 3 x1 2 3 x2 2 Representamos los puntos en la recta real. Tramo I 2 4x 9 0 2 Tramo II 3 -2 0 Tramo III 3 2 2 Tomamos puntos representativos de cada tramo x 2 4 2 9 7 0 2 Se cumple En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación x 0 40 9 9 0 2 No se cumple En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación x 2 4 2 9 7 0 2 Se cumple En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación SOLUCIÓN: 3 3 , , 2 2 Ejemplo 07 Donde… 3 x 2x 1 0 2 3 x 2 2x 1 0 a 3 2 b 2 x c 1 2 8 x 6 22 4 3 1 23 2 4 12 6 La ecuación no tiene solución ya que la raíz negativa no existe. Como no tenemos punto de inflexión, comprobamos si la desigualdad se cumple o no en toda la recta real. x 0 3x 2 2x 1 1 0 La inecuación no tiene solución Ejemplo 08 x 2 2x 5 x 2 3 x x 2 4 x 15 2 4 6 Calculamos el m.c.m. para obtener denominador común 6 x 2 12x 30 3 x 2 9 x 2x 2 8 x 30 12 12 12 El signo negativo cambia la fracción 6x 2 12x 30 3x 2 9x 2x 2 8x 30 6x 2 3x 2 2x 2 12x 8x 9x 30 30 0 x 2 13x 0 x 0 x1 0 Planteamos ahora la ecuación x 2 13x 0 x x 13 0 x 13 0 x2 13 Representamos los puntos en la recta real. x1 0 x 2 13 Tramo I Tramo II 0 13 1 x 2 13x 0 Tramo III 2 14 Tomamos puntos representativos de cada tramo x 1 1 13 1 1 13 14 0 2 No se cumple En el Tramo I NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación x 2 2 132 4 26 22 0 2 Se cumple En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación x 14 14 1314 196 182 15 0 2 No se cumple En el Tramo III NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación SOLUCIÓN: 0,13 Ecuaciones de grado mayor que 2 x 4 x 3 13x 2 x 12 0 Descomponemos la ecuación en factores. x 4 x 3 13x 2 x 12 0 1 Aplicamos RUFFINI para factorizar la ecuación 1 13 1 12 1 1 2 11 12 1 2 11 12 0 1 1 1 12 1 1 12 0 3 3 12 1 4 0 x 4 x 3 13x 2 x 12 x 1x 1x 3x 4 0 x 4 x 3 13x 2 x 12 x 1x 1x 3x 4 0 Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero.. x 1 0 x 1 0 x 1x 1x 3x 4 0 x 3 0 x 4 0 Solución x 1 0 x1 1 x 1 0 x 2 1 x 3 0 x 3 3 x 4 0 x 4 4 x 1 1 Tramo I Tramo II Tramo III Tramo IV Tramo V x 2 1 x 3 3 -3 4 x 4 4 2 -1 +1 0 2 +4 Tomamos puntos representativos de cada tramo x 4 4 4 13 4 4 12 124 0 4 3 2 En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación x 2 2 2 13 2 2 12 18 0 4 3 2 En el Tramo II NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación x 0 0 0 130 0 12 12 0 4 3 2 En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación 5 x 2 2 2 13 2 2 12 30 0 4 3 2 En el Tramo IV NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación x 5 5 5 13 5 5 12 192 0 4 3 2 En el Tramo V se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación SOLUCIÓN: ,3 1,1 1, FIN DE TEMA Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net