Pandeo - Ingeniería Estructural Inestabilidad elástica

Ingeniería Estructural
Inestabilidad elástica
1
Pandeo de piezas rectas
•
•
Imaginemos una hoja de sierra
– σy = 520 MPa
– Sección transversal 12mm x 0.5mm
– La hoja de sierra resistiría una carga de compresión de 3120 N
Sin embargo, esta pieza puede perder su estabilidad a una carga mucho menor
La hoja de sierra perdería su estabilidad estructural para
una carga que podríamos calcular:
Supongamos:
I = bh3/12 (sección rectangular) = 1,25 x 10-13 m4
E = 200 GPa y L = 300mm
La carga que produciría el pandeo sería: P = 2,74N
ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
Equilibrio estable
Equilibrio inestable
Equilibrio indiferente
P
P
P
x
P
P
kx
k
P
kx
k
Ll
.
.
.
.
a)
b)
c)
d)
Si: 2(kx)L>Px (lo que implica P<2kL) el equilibrio es estable.
Si: 2(kx)L<Px (lo que implica P>2kL) el equilibrio es inestable.
Concepto de
de inestabilidad
inestabilidad estructural
estructural
Concepto
Para cargas bajas
y
A
B
z
P
wB = wA +
wB = −
A
B
P
B
N
∫ E ⋅ A dz
A
P⋅L
E⋅A
Para una cierta Pcrítica se
producen grandes
desplazamientos
transversales
wB
A
B
Pcrítica
Aparecen fenómenos no
lineales
Pandeo
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Concepto de
de inestabilidad
inestabilidad estructural
estructural
Concepto
El pandeo aparece en barras esbeltas para cargas menores que
las que producen la plastificación del material
A
P < Pcritica
B
P
P < σcomp
⋅A
e
Puede ser la condición de
diseño crítica
7
Teoría de
de primer
primer orden
orden
Teoría
Problema de Euler
Hipótesis:
y
A
B
-
Viga esbelta de sección
constante
-
Ejes principales de inercia
-
Sólo existen esfuerzos de
compresión
-
Comportamiento lineal
elástico
-
Pequeños
desplazamientos de
flexión
-
Deformaciones pequeñas
-
No existen tensiones
residuales
P
z
y
A
B
P
z
8
Teoría de
de primer
primer orden
orden
Teoría
y
Aplicando la ecuación de la
elástica
v(z )
A
P
B
z
d 2v
M
=−
2
dz
E⋅I
z
M = P ⋅ v(z )
y
v(z )
A
P
d 2v
2
+
⋅v = 0
λ
2
dz
⎛ P ⎞
λ2 = ⎜
⎟
⎝ E⋅I ⎠
v (z ) = A ⋅ cos λ z + B ⋅ senλ z
z
Con
las
contorno:
z
z=0
z=L
condiciones
de
v=0
v=0
9
Teoría de
de primer
primer orden
orden
Teoría
y
v(z )
A
B
P
v (z ) = A ⋅ cos λz + B ⋅ senλz
z
A=0
B ⋅ sen( λ ⋅ L) = 0
z
⎛ n⋅π ⎞
v (z ) = B ⋅ sen⎜
⋅z⎟
⎠
⎝ L
n2 ⋅ π 2
P=
⋅E⋅I
2
L
λ⋅L = n⋅π
Pcritica
π2
= 2 ⋅E⋅I
L
Carga crítica de Euler
(1744)
10
Influencia de
de las
las condiciones
condiciones de
de apoyo
apoyo
Influencia
P
A
Viga en voladizo
B
P
B
Viga biempotrada con
deslizadera horizontal
P
Viga biempotrada con
deslizadera vertical
P
Viga empotrada-apoyada con
deslizadera vertical
11
Influencia de
de las
las condiciones
condiciones de
de apoyo
apoyo
Influencia
Viga en voladizo
y
A
B
P
z
B
P
B
P
La carga de pandeo
coincide con la de una
viga biapoyada de
longitud doble
Pcritica
π2
=
⋅E⋅I
2
(2 ⋅ L)
Pcritica
PEuler
=
4
P
A
B
12
Influencia de
de las
las condiciones
condiciones de
de apoyo
apoyo
Influencia
Viga bi-empotrada con desplazamiento longitudinal en un extremo
A
B
La carga de pandeo
coincide con la de una
viga biapoyada de
longitud mitad
P
z
Pcritica
P
π2
=
⋅E⋅I
2
L
2
( )
Pcritica = 4 ⋅ PEuler
P
13
Influencia de
de las
las condiciones
condiciones de
de apoyo
apoyo
Influencia
Viga bi-empotrada con desplazamiento transversal en un extremo
P
La carga de pandeo
coincide con la de una
viga biempotrada de
longitud doble
P
Pcritica
4 ⋅ π2
=
⋅E⋅I
2
(2 ⋅ L)
P
Pcritica = PEuler
P
14
Influencia de
de las
las condiciones
condiciones de
de apoyo
apoyo
Influencia
Viga empotrada-apoyada con desplazamiento transversal en un
extremo
y
A
B
P
B
P
La carga de pandeo
coincide con la de una
viga biempotrada de
longitud doble
z
Pcritica
B
π2
=
⋅E⋅I
2
(2 ⋅ L)
P
Pcritica =
B
P
PEuler
4
15
Influencia de
de las
las condiciones
condiciones de
de apoyo
apoyo
Influencia
Viga empotrada-apoyada con desplazamiento longitudinal en un
extremo
A
B
P
No es posible aplicar
simetrías
d 2v
2
λ2
+
λ
⋅
v
=
0
dz 2
+
⎛ P ⎞
=⎜
⎟
E
⋅
I
⎝
⎠
condiciones de contorno
A
B
P
Pcritica
π2
=
⋅E⋅I
2
(0 ,7 ⋅ L)
16
Influencia de
de las
las condiciones
condiciones de
de apoyo
apoyo
Influencia
En general:
A
B
?
?
P
Pcritica
L
π2
=
⋅E⋅I
2
(β ⋅ L)
Viene fijado en la
normativa
y
A
B
P
Longitud de pandeo:
z
Lp
Pcritica
π2
π2
=
⋅E⋅I = 2 ⋅E⋅I
2
Lp
(β ⋅ L)
17
Concepto de
de esbeltez
esbeltez mecánica
mecánica
Concepto
Pcritica
y
π2
=
⋅ E ⋅ Iξ
2
(β ⋅ L)
y
ξ
x
x
π
z
π
Plano de pandeo
σ critica =
iξ =
Iξ
A
Radio de giro de la
sección respecto al eje ξ
π2 ⋅ E
⎛β⋅L⎞
⎟
⎜
⎜ i ⎟
⎝ ξ ⎠
2
λξ: Esbeltez mecánica
18
Concepto de
de esbeltez
esbeltez mecánica
mecánica
Concepto
σ
πE
=
λ
2
critica
y
2
ξ
y
ξ
x
x
π
⎛β⋅ L⎞
⎟
λ = ⎜⎜
⎟
i
⎝
⎠
ξ
z
π
La viga pandea en el plano
perpendicular al eje de
mayor esbeltez mecánica
ξ
19
Concepto de
de esbeltez
esbeltez mecánica
mecánica
Concepto
Ejemplo:
Para una viga biapoyada sobre rótulas esféricas, determine la
configuración más estable frente a pandeo
y
y
I x = 2140 ⋅104 mm 4
I x = 117 ⋅104 mm 4
I y = 117 ⋅104 mm 4
I y = 2140 ⋅104 mm 4
x
x
IPN-200
IPN-200
Configuración I
Configuración II
20
Concepto de
de esbeltez
esbeltez mecánica
mecánica
Concepto
Ejemplo
z
z
x
z
y
y
x
Rótula
esférica
⎛L⎞
λ x = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ix ⎠
⎛L⎞
λy = ⎜ ⎟
⎜ iy ⎟
⎝ ⎠
21
Concepto de
de esbeltez
esbeltez mecánica
mecánica
Concepto
Ejemplo
Configuración I
Configuración II
⎛ Lyz
⎞
L
p
⎟=
λx = ⎜
= 12,5 ⋅ L
2
−
⎜ i x ⎟ 0,8 ⋅10
⎝
⎠
⎛ Lyz
⎞
L
p
⎜
⎟
λx =
=
= 53,47 ⋅ L
⎜ i x ⎟ 1,87 ⋅10−2
⎝
⎠
⎛ Lxz
⎞
L
p ⎟
⎜
λy =
=
= 53,47 ⋅ L
⎜ i y ⎟ 1,87 ⋅10−2
⎝
⎠
⎛ Lxz
⎞
L
p ⎟
⎜
λy =
=
= 12,5 ⋅ L
⎜ i y ⎟ 0,8 ⋅10−2
⎝
⎠
Pandea respecto al eje x
Pandea respecto al eje y
Ambas configuraciones tienen la misma carga crítica
22
Concepto de
de esbeltez
esbeltez mecánica
mecánica
Concepto
Ejemplo: Repetir los cálculos si las rótulas son cilíndricas
z
z
x
z
y
y
⎛L⎞
λ x = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ix ⎠
x
⎛ 0,5 ⋅ L ⎞
⎟
λy = ⎜
⎜ iy ⎟
⎝
⎠
23
Concepto de
de esbeltez
esbeltez mecánica
mecánica
Concepto
Ejemplo
Configuración I
Configuración II
⎛ Lyz
⎞
L
p
⎟=
λx = ⎜
= 12,5 ⋅ L
2
−
⎜ i x ⎟ 0,8 ⋅10
⎝
⎠
⎛ Lyz
⎞
L
p
⎜
⎟
λx =
=
= 53,47 ⋅ L
⎜ i x ⎟ 1,87 ⋅10−2
⎝
⎠
⎛ Lxz
⎞
0,5 ⋅ L
p ⎟
⎜
λy =
=
= 26,7 ⋅ L
⎜ i y ⎟ 1,87 ⋅10−2
⎝
⎠
⎛ Lxz
⎞
0,5 ⋅ L
p ⎟
⎜
λy =
=
= 6,25 ⋅ L
⎜ i y ⎟ 0,8 ⋅10−2
⎝
⎠
Pandea sobre el plano xz
Pandea sobre el plano yz
La configuración II es más inestable
24
Material de
de apoyo
apoyo
Material
REFERENCIAS COMPLEMENTARIAS
1. Celigüeta, J.T. “Curso de Análsis Estructural”
EUNSA. 1998
Cap 14. Introducción a la estabilidad estructural
2. Garrido, J.A. Y Foces, A. “Resistencia de Materiales”.
Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. 1994
Cap.15 La torsión en los problemas de pandeo
Cap.16 Pandeo global de pórticos planos
3. Marti Montrull, P. “Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matricial
Horacio Escarabajal Editores. 2003
Parte 6. Pandeo global de estructuras
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