1. Ejercicios (Tema 1, σ

TEORIA DE LA MEDIDA, Curso 2007-2008
1. Ejercicios (Tema 1, σ-álgebras y medidas)
1. Si Ω es un conjunto, ¿es la unión de dos σ-álgebras en Ω una σ-álgebra?
2. Sea R un anillo, S(R) el σ-anillo generado por R y F : S(R) −→ R una función que verifica
F (∅) = 0 y las dos propiedades siguientes:
a) Si {En } es una sucesión creciente de elementos de S(R), entonces {F (En )} → F (∪n En ) y
b) Si {En } es una sucesión decreciente de elementos de S(R), entonces {F (En )} → F (∩n En ).
Pruébese que si F ≥ 0 en R, entonces F ≥ 0 en S(R).
3. Sea µ una medida en (Ω, A), y sea {An } una sucesión de conjuntos medibles tal que Σµ(An ) < +∞.
Pruébese que el conjunto de puntos de Ω que pertenencen a infinitos conjuntos de la sucesión {An }
es medible y tiene medida cero (para¡ µ).
¢
∞
Indicación: Usese el conjunto ∩∞
n=1 ∪k=n Ak .
4. (Ω, A) es un espacio medible si Ω es un conjunto y A una σ-álgebra en Ω. Sean µ y ν dos medidas
en el espacio medible (Ω, A) tales que µ ≤ ν. Demostrar que
a) Existe una medida λ con µ + λ = ν.
b) Si µ es σ-finita, entonces λ es única.
Una medida µ es σ-finita si existe una sucesión de conjuntos {An } en A tal que
Ω = ∪n A n ,
y
µ(An ) < +∞, ∀n ∈ N .
5. Sea A un álgebra, S la σ-álgebra generada por A y µ, ν : S −→ [0, +∞] medidas cuyas restricciones
a A son σ-finitas. Probar que, para cada E ∈ S con µ(E) < +∞, ν(E) < +∞, y, para cada ε > 0
puede encontrarse A ∈ A tal que µ(E4A) < ε y ν(E4A) < ε. (A4B := A\B ∪ B\A).
6. Sea µ una medida en una σ-álgebra A y µ su completación. Demostrar que si A, B ∈ A, y se tiene
A ⊂ E ⊂ B y µ(B\A) = 0, entonces E ∈ A y µ(E) = µ(A) = µ(B).
7. ¿Existe alguna σ-álgebra infinita y numerable?
8. Dado un espacio de medida (Ω, A, µ), definimos
ρ(A, B) := µ(A4B),
(A, B ∈ A)
donde A4B := A\B ∪ B\A (diferencia simétrica de A y B).
Probar que ρ es una semidistancia en el espacio X := {A ∈ A : µ(A) < +∞}, que es, además
completa.
(Una semidistancia es una función no negativa, simétrica, que verifica la desigualdad triangular.
Es decir, verifica las mismas propiedades de una distancia, salvo la no degeneración).
9. Sea λ es la medida de Lebesgue en RN , c, d números reales, y T : RN −→ RN la aplicación dada
por
T (x) = cx + d (x ∈ RN ).
Probar que si E ⊂ RN es un conjunto Lebesgue-medible en RN , T (E) es Lebesgue-medible en RN
y además λ(T (E)) = |c|N λ(D) .
10. Dado 0 < ε < 1, construir un abierto E ⊂ [0, 1] tal que E sea denso en [0, 1] y λ(E) = ε
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