Teorema de Taylor

Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Teorema de Taylor
Fórmula de Taylor (2 variables)
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
1
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
2
Fórmula de Taylor (1 variable)
3
Fórmula de Taylor (2 variables)
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
OBJETIVO: Aproximar f (x) por polinomios en un entorno de a = 0.
Polinomios de grado 1: P(x) = m + nx
P(0) = f (0) = 1 ⇒ m = 1
P 0 (0) = f 0 (0) = 1 ⇒ n = 1
P1 (x) = 1 + x.
Polinomios de grado 2: P(x) = m + nx + qx 2
P(0) = f (0) = 1 ⇒ m = 1
P 0 (0) = f 0 (0) = 1 ⇒ n = 1
P 00 (0) = f 00 (0) = 1 ⇒ q = 12
P2 (x) = 1 + x + 12 x 2 .
Polinomios de grado 3: P(x) = m + nx + qx 2 + rx 3
P(0) = f (0) = 1 ⇒ m = 1
P 0 (0) = f 0 (0) = 1 ⇒ n = 1
P 00 (0) = f 00 (0) = 1 ⇒ q = 12
1
P 000 (0) = f 000 (0) = 1 ⇒ r = 2·3
P3 (x) = 1 + x + 12 x 2 +
1 3
x .
3!
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
Siguiendo el procedimiento anterior podemos afirmar que:
el polinomio de grado n que mejor ajusta a la función
f (x) = exp(x) alrededor de a = 0 es
1 2
1 3
1 n
Pn (x) = 1 + x + 2!
x + 3!
x + · · · + n!
x ,
que este polinomio es el que satisface que f (i) (0) = P (i) (0)
para cada i = 0, 1, 2, . . . , n,
que el denominador de todos los coeficientes del
polinomio, i! proviene de derivar i veces el término x i
que el numerador de todos los coeficientes del polinomio
es 1 porque, para la función exponencial, se cumple que
f (i) (0) = 1 para todo i. Pero para una función f general,
este término será precisamente f (i) (0), para cada
i = 0, 1, 2, . . . , n.
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
1
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
2
Fórmula de Taylor (1 variable)
3
Fórmula de Taylor (2 variables)
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
El razonamiento anterior aplicado a una función f general nos
dice que el polinomio de grado n que mejor ajusta a una
función f (x) (n-veces diferenciable) alrededor de a = 0 es
Pn (x) = f (0) +
f 00 (0) 2 f 000 (0) 3
f (n) (0) n
f 0 (0)
x+
x +
x + ··· +
x ,
1!
2!
3!
n!
y puede verse que si en lugar de trabajar con el punto a = 0
trabajamos con un punto a ∈ R general, el polinomio de grado
n que mejor ajusta a una función f (x) (n-veces diferenciable)
alrededor de a ∈ R es
f (a) +
f 00 (a)
f 000 (a)
f (n) (a)
f 0 (a)
(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · · +
(x − a)n .
1!
2!
3!
n!
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
Teorema de Taylor
Sea f : X −→ R una función n-veces diferenciable en X
intervalo de R. Sean a, x puntos de X y sea p ∈ N cualquiera.
Entonces, existe un α entre a y x tal que
f (x) = f (a)+
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n−1) (a)
(x −a)+
(x −a)2 +· · ·+
(x −a)n−1
1!
2!
(n − 1)!
+
f (n) (α)
(x − α)n−p (x − a)p
p(n − 1)!
|
{z
}
Rn (x)
f (n) (α)
(x − a)n , α entre a y x.
n!
f (n) (α)
p = 1 (Cauchy)
(x − α)n−1 (x − a), α entre a y x.
(n − 1)!
p = n (Lagrange)
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
Notación de Landau
Sean f , g funciones definidas en un entorno de un punto a ∈ R.
Diremos que
f (x) = o g(x) , x → a
si existe una función E(x), con lı́m E(x) = 0, tal que
x→a
f (x) = g(x)E(x).
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
Teorema de Taylor-Young
Sea f : X −→ R una función n-veces diferenciable en X ⊂ R y
sea a punto interior de X . Entonces, f (x) =
= f (a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
f 0 (a)
(x −a) +
(x −a)2 + · · · +
(x −a)n
1!
2!
n!
+o (x −a)n , x → a
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
1
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
2
Fórmula de Taylor (1 variable)
3
Fórmula de Taylor (2 variables)
Ejemplo: aproximaciones polinómicas de f (x) = exp(x)
Fórmula de Taylor (1 variable)
Fórmula de Taylor (2 variables)
Fórmula de Taylor (2 variables)
Sea f : A ⊆ R2 −→ R una función con derivadas parciales
hasta segundo orden continuas en A. Sean (x0 , y0 ), (x, y )
puntos de A. Entonces, existe un α entre x0 y x y un β entre y0
e y tales que
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + D1 f (x0 , y0 )(x − x0 ) + D2 f (x0 , y0 )(y − y0 )+
+
1
D11 f (α, β)(x − x0 )2 + 2D12 f (α, β)(x − x0 )(y − y0 )
2
+D22 f (α, β)(y − y0 )2