Producto de matrices

Lo primero que voy a hacer es pintar la molécula y mirar a qué grupo pertenece:
Vista alzado: Vista planta:
NHH
HHN
H
H
La clasificamos:
• ¿Es lineal? No
• ¿Tiene simetría especial? No
• ¿Tiene un eje de orden máximo? Si, un C3 que pasa por el átomo de Nitrógeno.
• ¿Contiene un eje impropio S2n , sólo o con i? No
• ¿Contiene n ejes C2 perpendiculares a Cn? No
• ¿Contiene plano horizontal? No
• ¿Contiene n planos verticales? Si, tres.
Por lo que podemos decir que la molécula de Amoniaco (NH3), pertenece al grupo C3v.
Genera las siguientes operaciones:
• La identidad. (E)
• C3.
• C3 dos veces.
• Plano que pasa por H1.
• Plano que pasa por H2.
• Plano que pasa por H3.
Hacemos las matrices asociadas a esas operaciones de simetría y las nombramos para simplificar la tabla.
100001010
E = 0 1 0 C3 = 1 0 0 C3 dos veces = 0 0 1
001010100
100001010
Plano 1 = 0 0 1 Plano 2 = 0 1 0 Plano 3 = 1 0 0
010100001
Esta es la colección de matrices del grupo C3v, en este caso en particular las del amoniaco referidas a los H
1
del NH3.
Y las nombramos, por este orden, E = E ; C3 = A ; C3 dos veces = B ; Plano que pasa por H1 = C ; Plano que
pasa por H2 = D ; Plano que pasa por H3 = F.
Hacemos una tabla de Cayley poniendo las matrices es la parte superior y lateral de dicha tabla, así:
E
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
F
Ahora hacemos todas las multiplicaciones:
• Todas las matrices multiplicadas por la identidad, se quedan igual, luego...
•
E
A
B
C
D
F
E
E
A
B
C
D
F
A
A
B
B
C
C
D
D
F
F
• Hacemos AxA, AxB, AxC, AxD y AxF
001001010
1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1 Y así sucesivamente.
010010100
• Haciendo todas las multiplicaciones de matrices asociadas a las operaciones de simetría queda una tabla
como esta:
Nota: adjunto hoja con las matrices hechas.
E
A
B
C
D
F
E
E
A
B
C
D
F
A
A
B
E
F
C
D
B
B
E
A
D
F
C
C
C
D
F
E
A
B
D
D
F
C
B
E
A
F
F
C
D
A
B
E
001001010
2
AxA=B 1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1
010010100
001010100
AxB=E 1 0 0 x 0 0 1 = 0 1 0
010100100
001100010
AxC=F 1 0 0 x 0 0 1 = 1 0 0
010010001
001001100
AxD=C 1 0 0 x 0 1 0 = 0 0 1
010100010
AxF=D No hace falta hacerla porque como no se pueden repetir en una misma columna dos matrices iguales,
deducimos que ha de ser D.
010001100
BxA=E 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0
100010001
010010001
BxB=A 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0
100100010
010100001
BxC=D 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0
100010100
010001010
BxD=F 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0
100100001
BxF=C Deducimos que tiene que ser C, no hay otra posibilidad.
100001001
3
CxA=D 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0
010010100
100010010
CxB=F 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0
010100001
100100100
CxC=E 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0
010010001
100001001
CxD=A 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0
010100010
CxF=B Deducimos que es B.
001001010
DxA=F 0 1 0 x 1 0 0 = 1 0 0
100010001
001010100
DxB=C 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1
100100010
001100010
DxC=B 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1
100010100
001001100
DxD=E 0 1 0 x 0 1 0 = 0 1 0
100100001
DxF=A Deducimos que es A.
FxA=C La deducimos porque en la fila de la matriz A, es la única que falta por darse y si se diese otra, estaría
repetida y hemos dicho que no puede ser.
4
De esta forma deducimos todos los demás productos de matrices:
FxB=D
FxC=A
FxD=B
FxF=E
5