Ejemplo Sist. Ec. Diferenciales

Ejemplo Sist. Ec. Diferenciales: el Modelo de
Crecimiento Neoclásico
Economía Matemática
(.)
Ej. Ec. Dif.
1/2
El Modelo Neoclásico del Crecimiento
.
.
Equilibrio de estado estacionario: c y k/c = k = 0.
Entonces imponemos esta condición de equlibrio sobre la ecuaciones
anteriores:
.
c = (αk α 1 ρ δ)c = 0
(16)
.
k = kα
c
δk = 0
(17)
Dejando de lado los equilibrios que surgen cuando c = 0,
tenemos que el equilibrio es (a partir de αk α
k α c δk = 0):
k = [α/(ρ + δ)]1/(1
c =k
Diego Aboal (FCEA, UdelaR)
α
TCOIn…nito
δk
1
α)
ρ
δ=0y
(18)
(19)
8 / 23
El Modelo Neoclásico del Crecimiento
.
El grá…co de (16) es, c/c = (αk α
Diego Aboal (FCEA, UdelaR)
1
TCOIn…nito
ρ
δ ):
9 / 23
El Modelo Neoclásico del Crecimiento
.
El grá…co de (17) es, k = k α
Diego Aboal (FCEA, UdelaR)
c
TCOIn…nito
δk:
10 / 23
El Modelo Neoclásico del Crecimiento
.
El grá…co de (16) y (17) es, c/c = (αk α
.
k = k α c δk:
Diego Aboal (FCEA, UdelaR)
TCOIn…nito
1
ρ
δ );
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El Modelo Neoclásico del Crecimiento
El grá…co de (16) y (17) es:
Diego Aboal (FCEA, UdelaR)
TCOIn…nito
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Solución analítica del Modelo Neoclásico del Crecimiento
Nuestro modelo esta resumido en el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales:
.
k = k α c δk
(24)
.
c = (αk α
1
δ )c
ρ
(25)
Si conocemos el valor de los distintos parametros podríamos
encontrar una solución analítica.
Supongamos que α = 0, 3, δ = 0, y ρ = 0, 06. Entonces tenemos,
.
k = k 0,3
.
c = (0, 3k
0,7
c
(26)
0, 06)c
(27)
Es fácil ver que en equilibrio, c = 2 y k = 10.
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TCOIn…nito
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Linealizando el sistema
Nuestro modelo esta resumido en el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales:
.
k = 0, 3k 0.7 (k k ) (c c )
(28)
.
c=
0, 021c k
Notar que (0, 3k
queda como:
1,7
0,7
(k
k ) + (0, 3k
0, 06)(c
c )
(29)
0, 06) = 0 en equilibrio, entonces el sistema
.
k = 0, 06k
.
c=
Diego Aboal (FCEA, UdelaR)
0,7
c + 1, 4
(30)
0, 008k + 0, 08
(31)
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Solución sistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ec. diferenciales en notación matricial:
. !
1 0
0.06 1
k
k
+
=
.
0 1
0.008 0
c
c
o
1, 4
0, 08
.
I y + My = C
Donde I
1 0
0 1
,M
0.06 1
0.008 0
.
.
,y
k
.
c
!
(32)
(33)
,
k
1, 4
yC
.
c
0, 08
Solución particular. El equilibrio que encontramos antes, c = 2 y
k = 10, no es otra cosa que la solución particular del sistema
(veri…carlo).
y
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Solución sistema de ecuaciones diferenciales
Solución Homogenea.
.
I y + My = 0
Pruebo con y
m
n
m
n
.
e rt , y
(34)
re rt .
Entonces tendre:
(rI + M )
Diego Aboal (FCEA, UdelaR)
m
n
TCOIn…nito
e rt = 0
(35)
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Solución sistema de ecuaciones diferenciales
Para una solución no trivial, impongo
jrI + M j =
r
0.06 1
0.008
r
=0
(36)
Entonces
r1 , r2 =
0, 06
p
0, 062 + 4 0.008
) r1 = 0, 125, r2 =
2
Es fácil veri…car que el vector
m1
0, 065m1
m
n
0, 065
(37)
asociado con r1 = 0, 125 es
(mostrarlo como ejercicio).
Mientras que el asociado con r2 =
0, 065 es
m2
0, 125m2
(mostrarlo como ejercicio).
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Solución sistema de ecuaciones diferenciales
Por tanto la solución homogenea es:
k
c
=
m1
0, 065m1
e 0,125t +
m2
0, 125m2
e
0,065t
(38)
Por tanto la solución general es:
k
c
=
m1
0, 065m1
e 0,125t +
m2
0, 125m2
e
0,065t
+
10
2
(39)
Al ser r1 > 0 y r2 < 0, estamos ante un punto de silla, esto signi…ca
que con excepción de si estamos en el camino de ensilladura (o brazo
estable), en los demás puntos tendemos a diverger del equilibrio.
Sobre el camino de ensilladura el sistema tiende a converger.
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Solución sistema de ecuaciones diferenciales
El camino de ensilladura podemos encontrarlo haciendo m1 =0 y
suponiendo m2 6=0. En ese caso tendremos:
k
c
=
m2
0, 125m2
e
0,065t
+
10
2
(40)
y por tanto (encontrando la relación implicita entre k y c, a partir del
sistema de ecuaciones anteriores), el camino de ensilladura es:
c = 0.125k + 0.75
(41)
Notar que en general el camino de ensilladura no es lineal, pero en un
entorno del equilibrio podemos aproximarlo por la ecuación lineal
anterior.
Por supuesto que nada nos garantiza a priori que estaremos en una
situación donde m1 =0. Esto podra suceder si tenemos condiciones
iniciales (o terminales) adecuadas que nos lleven a concluir eso. En
general en los modelos económicos hacemos supuestos (razonables)
que nos permitan partir de un punto sobre el camino de ensilladura.
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Solución sistema de ecuaciones diferenciales
El camino de ensilladura (como se puede ver no esta dibujado como
lineal, pero se puede aproximar por función lineal cerca del equilibrio):
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El porque del nombre camino de ensilladura
Unicamente si una bolilla cae sobre la parabola que está dibujada con
linea negra, tendera al equilibrio que esta en el centro de la silla de
montar.
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