Examen 2 - Olimpiada Hondureña de Matemática

EXAMEN DEPARTAMENTAL
DE OLIMPIADAS DE MATEMATICAS
NIVEL I
NOMBRE:____________________________________________
1. Gabriel está en la fila para entrar en una fiesta. Los guardias dejan pasar a la
gente, en grupos, de la siguiente manera: el primer grupo tiene una persona,
el segundo dos, el tercer grupo tres personas y así sucesivamente. Si Gabriel
está en el lugar 245. ¿Cuántas personas tendrá el grupo de Gabriel?
2. Mónica tiene un cupón del 20% de descuento, sobre el total de su compra, en
la tienda, la taza que desea comprar Mónica tiene un descuento de 30%. Si
utiliza su cupón, ¿Cuál será el descuento total que obtendrá?
3. De los siguientes números 346 , 920 , 8112, 2714, 2437 . Ordénelos de mayor a
menor.
4. Un virus atacó el disco duro de una computadora, el primer día destruyó dos
terceras partes, el segundo día, de lo que quedó destruyó una cuarta parte,
finalmente el tercer día destruyó la quinta parte de lo que quedaba. ¿ Qué
fracción del disco duro quedo sin dañar?
5. En la figura, las distancias son AC = 10 cm, BD = 15 cm. Y AD = 22 cm.
Encuentre la distancia BC:
SOLUCION:
1. La gente entra de la siguiente manera:
Grupo 1 : 1 persona
Grupo 2 : 2 personas total 3
Grupo 3 : 3 personas total 6
Grupo 4 : 4 personas total 10
Y así sucesivamente hasta llegar a 231 que es el grupo con 21 personas, luego el grupo
siguiente con 22 personas está Gabriel.
2. La taza tiene un descuento de 30%, esto es el precio de la taza es de 0.7 ( precio de la
taza), esto es:
Precio de la taza – 0.3 precio de la taza = 0.7 precio de la taza.
Ahora, con el descuento del 20% sobre el precio descontado de la taza. se obtiene:
0.7 precio de la taza – 0.2 ( 0.7 precio de la taza) = 0.7 precio de la taza – 0.14 precio de la
taza = 0. 56 precio de la taza, esto es que hubo un descuento de 44%.
3. Descomponiendo los números se tiene:
920 = ( 32)20 = 340 , 2714 = ( 33 )14 = 342 , 2437 = ( 35 )7 = 335 , 8112 = ( 34)12 = 348
Luego, ordenados quedan : 2437 , 920 , 2714 , 346 , 8112
1
1
4. El primer día destruyó dos terceras partes, es decir quedo 3 bueno, luego destruyo 4 del
3
1
3
1
disco sobrante , esto es que quedo bueno 4 de lo que quedo, esto es: 3 𝑥 4 = 4
1
1
4
Luego de 4 se destruyó 5de lo que quedaba, esto es quedo 5 buenos de lo que quedo,
1
4
luego: 4 𝑥 5 =
1
5
, luego quedo un quinto bueno del disco duro.
5. Note que CD = AD – AC = 22 cm – 10 cm = 12 cm,
Luego BC = BD – CD = 15 cm – 12 cm = 3 cm.
EXAMEN DEPARTAMENTAL
DE OLIMPIADAS DE MATEMATICAS
NIVEL II
NOMBRE:____________________________________________
1. El punto P de la diagonal AC del cuadrado ABCD, de la figura, tiene la propiedad de que
< ABP= 30º . ¿ Cuánto mide < QPD ?
2. Si m y n son enteros y m < n, definamos m⨁ n como la suma de todos los enteros entre m
y n, incluyendo a m y n. ¿ A que es igual ( 1 ⨁18) – ( 2 ⨁ 17 ) + (3⨁ 16) - … + ( 9 ⨁ 10 )?
3. Se vendieron 500 boletos para una obra de teatro de la escuela. Los boletos para adultos
se vendieron a L. 2.50 y para niños a L. 2.00 cada uno. Los organizadores recibieron un
total de L. 1187.50 . ¿Cuántos boletos de niños vendieron?
𝑥+𝑦
4. Si x2 + y2 = 6xy con x ≠ y. ¿ A que es igual 𝑥−𝑦?
𝑎
5. Si 𝑏 =
𝑏+𝑐
𝑎
𝑐
¿ Cuál es el valor de 𝑏?
1, Solución.
a.
b.
c.
d.
El ángulo < ADP = < ABP = 30º
< AQB = 180º - < ABQ - < BAQ = 180º - 30º - 90º = 60º
< AQB es exterior del triángulo <PDQ, luego 60º = < QPD + < QDP = < QPD + 30º.
< QPD = 30º
2. Evaluemos lo siguiente:
( 1 ⨁ 18 ) − ( 2 ⨁ 17 ) = 1 + 2 + 3 … + 18 − ( 2 + 3 + 4 … + 17 ) = 1 + 18 = 19
( 3 ⨁ 16 ) – ( 4 ⨁ 15 ) = 3 + 16 = 19
( 5 ⨁ 14 ) – ( 6 ⨁ 13 ) = 5 + 14 = 19
( 7 ⨁ 12 ) – ( 8 ⨁ 11 ) = 7 + 12
( 9 ⨁ 10 ) = 19
Luego: ( 1 ⨁18) – ( 2 ⨁ 17 ) + (3⨁ 16) - … + ( 9 ⨁ 10 ) = 19 + 19 + 19 + 19 + 19 = 95.
3. Las ecuaciones son las siguientes:
X + y = 500
2.50 x + 2.00 y = 1187.50
Donde x son la cantidad de boletos para adultos y Y la cantidad de boletos para niños.
Al resolver nos queda x = 375 y Y = 125.
4. Como ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2 = 6xy + 2xy = 8xy
( x – y )2 = x2 - 2xy + y2 = 4xy
Luego
(𝑥+𝑦)2
(𝑥−𝑦)2
Entonces
𝑥+𝑦
8𝑥𝑦
= 4𝑥𝑦 = 2
(𝑥+𝑦)2
(𝑥−𝑦)2
Luego 𝑥−𝑦 = √2
𝑥+𝑦
= (𝑥−𝑦)2 = 2
5. Como
𝑎
𝑏
=
𝑏+𝑐
𝑎
, luego despejando para c se tiene:
𝑎2
− 𝑏=𝑐
𝑏
𝑎2 − 𝑏 2
=𝑐
𝑏
Dividiendo entre b se tiene:
𝑎2 − 𝑏 2 𝑐
=
𝑏2
𝑏
EXAMEN DEPARTAMENTAL
DE OLIMPIADAS DE MATEMATICAS
NIVEL III
NOMBRE:____________________________________________
1. En la siguiente figura ABC es un triángulo equilátero tal que sus lados tienen longitud 3
y PA es paralela a BC. Si PQ = QR = RS, la longitud de CS es:
2. Sean a1 , a2 , … , b1, b2 , … progresiones aritméticas tales que a1 = 25 y b1 = 75 y
A100 + b100 = 100. Encuentre la suma de los primeros 100 términos.
3. Encuentre las soluciones enteras del siguiente sistema:
X+y+z=2
X2 – y2 – z2 = 2
X – 3y2 + z = 0
4. Si p, q y r son las soluciones de la ecuación x3 – 7x2 + 3x + 1 = 0, encuentre el valor de
1 1 1
+ +
𝑝 𝑞 𝑟
5. Sean M , N , P y Q los puntos medios de los lados del rectángulo ABCD. Si el área del
triángulo sombreado es 1. ¿ Cuál es el área del rectángulo ABCD?
solución nivel III
1. Note que el triángulo CSR es semejante al triángulo APR, ya que el < RAP = < RCS por
ser ángulos alternos internos, y el < PARA = < SRC por ser opuestos por el vértice.
Obtenemos la siguiente relación:
𝐶𝑆
𝑃𝐴
=
𝑆𝑅
𝑅𝑃
=
𝑆𝑅
2𝑆𝑅
=
1
2
Analogamente el trángulo BQS es semejante con el triángulo AQP,
De aquí se obtiene:
𝐵𝑆
𝑆𝑄
2𝑄𝑃
=
=
=2
𝑃𝐴
𝑄𝑃
𝑄𝑃
Con lo cual BC + CS = 2 PA = 2 x s CS. Entonces CS =
𝐵𝐶
3
= 1.
2. Si a1 , a2 . … y b1 , b2, … son progresiones aritméticas con diferencias d1 y d2 ,
respectivamente, entonces la sucesión, a1 + b1 , a2 + b2 es una sucesión aritmética con
diferencia d1 + d2.
Como a1 + b1 = a100 + b100 = 100, la diferencia entre dos elementos es 0.
Luego la suma de los 100 términos es 100 ( a1 + b1 ) = 100 ( 100 ) = 10000.
3. Despejando la primera ecuación se tiene: x + z = 2 – y. Sustituyendo en la tercera se tiene:
2
3y2 + y – 2 = 0, resolviendo la ecuación se tiene y = - 1 y y = 3 ( se descarta )
Si y = -1, sustituyendo en la primera y segunda ecuación se tiene:
X=3–z
X2 = 3 + z2
Sustituyendo la primera en la segunda se tiene:
( 3 – z)2 = 3 + z2
9 – 6z + z2 = 3 + z2
- 6z = -6
- Z = 1, por lo tanto x = 2, luego la solución es ( 2,-1,1 )
4. Observemos que
1 1 1
𝑞𝑟 + 𝑝𝑟 + 𝑝𝑞
+ + =
𝑝 𝑞 𝑟
𝑝𝑞𝑟
Como p, q y r son raíces del polinomio se tiene:
( x – p ) ( x – q ) ( x – r ) = x3 – 7x2 + 3x + 1, multiplicando se tiene
X3 – ( p + q + r ) x2 + ( qr + pr + pq ) x – pqr = x3 – 7x2 + 3x + 1
Luego, qr + pr + pq = 3 , pqr = -1, entonces :
1 1 1
𝑞𝑟 + 𝑝𝑟 + 𝑝𝑞
3
+ + =
=
= −3
𝑝 𝑞 𝑟
𝑝𝑞𝑟
−1
5. Sea O el centro del rectángulo y T la intersección de DP con OQ
Como DP es diagonal del rectángulo MPCD, T es punto medio de OQ. Luego , los
triángulos DOT y DTQ tienen la misma área . Es decir, el triangulo DOQ tiene área 2.
Como el área del rectángulo ABCD es 8 veces el área de DOQ . Luego el área del
rectángulo ABCD es 16.