Factorización y fracciones algebraicas

CAPÍTULO 4
Factorización
y fracciones algebraicas
4. FACTORIZACIÓN
Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Objetivos
Estructura del capítulo
k
Al terminar este capítulo, el lector podrá:
✓ Ejecutar productos usuales en operaciones
algebraicas.
✓ Establecer el método adecuado para factorizar
una expresión.
✓ Conocer el método para la búsqueda de raíces
de un polinomio.
Introducción
4.1. Factorización de polinomios.
4.2. Productos notables.
4.3. Factorización con factor común, productos
notables y combinación de ambos.
4.4. Factorización por agrupamiento.
4.5. Factorización de una ecuación cuadrática.
4.6. Descomposición factorial de polinomios.
4.7. Fracciones algebraicas.
4.8. Simplificación mediante factorización.
4.9. Multiplicación y división de fracciones
algebraicas.
✓ Descomponer distintos tipos de polinomios de
grado n.
✓ Simplificar fracciones algebraicas.
✓ Realizar operaciones con fracciones
algebraicas.
4.10. Suma y resta de fracciones algebraicas.
4.11. Aplicaciones.
4.12. Productos notables y factorización con
Mathematica.
Solución a los ejercicios propuestos.
INTRODUCCIÓN
ESTE CAPÍTULO se refiere a distintas formas de descomponer un polinomio
integrado por una suma de factores; éste es el proceso de factorización,
útil cuando se requiere simplificar. Además se ampliarán las operaciones
de suma, resta, multiplicación y división con fracciones aritméticas ya estudiadas
en capítulos anteriores , a operaciones con fracciones algebraicas.
Se tratarán también formas de resolver ecuaciones que contengan expresiones con
variables en el denominador. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones confracciones y son empleadas frecuentemente en el campo de la economía y la administración.
Para desarrollar la práctica necesaria a fin de resolver este tipo de ecuaciones
con fracciones , como también ecuaciones polinomiales no lineales , el lector debe
realizar un esfuerzo para manejar con agilidad la forma de factorizar , simplificar
expresiones algebraicas y resolver operaciones con fracciones algebraicas. El resultado de todo este esfuerzo se reflejará al final de este capítulo (tema 4 .11) y en
el siguiente.
169
Álgebra básica
170
4.1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Se ha dicho que cuando se multiplican dos números reales ay b , éstos se denominan factores del producto (a)(b). Es decir, si se tiene el producto de (3)(8) = 24,
entonces 3 y 8 son factores de 24.
Si un polinomio es el producto de otros polinomios, entonces a cada uno de los
polinomios anteriores se le denomina factores del polinomio original.
Como:
(x-8)(x+8)=x2-64
se deduce que los polinomios x- 8 y x+ 8 son factores del polinomio x2 - 64.
El proceso de hallar los factores de un polinomio se conoce como factorización o descomposición del polinomio.
La factorización es importante cuando se trabaja con fracciones y se resuelven
ecuaciones. También se puede decir que:
La descomposición de un polinomiop(x) consiste en expresarlo como producto de otros polinomios, de igual o menor grado que el mismo.
Antes de comenzar con factorización de polinomios, es necesario especificar el
sistema del que se han de elegir los coeficientes de los factores. Generalmente es
válida la regla de que si se da un polinomio con coeficientes enteros, entonces los
factores deberán ser polinomios con coeficientes enteros.
Asimismo, si se comienza con un polinomio que contiene coeficientes racionales, la regla es que los factores también deben tener coeficientes racionales.
Ejemplos
x2 +x- 6= (x+ 3)(x- 2) u
= (3 + x)(-2 + x)
4x2 - 9/16= (2x-3/4)(2,r+3/4) Q
= (-3/4 + 2x)(3/4 + 2x)
En general, no es fácil descomponer polinomios con grados altos. Hay diversas
técnicas que se pueden utilizar, según sea la forma de la expresión por factorizar:
por factor común, utilizando productos notables, por agrupamiento, por el método
de ensayo y error, completando cuadrados y mediante la obtención de raíces por
divisiones sucesivas, entre otras técnicas usuales.
4. Factorización yfracciones algebraicas
171
4.2. PRODUCTOS NOTABLES
Los siguientes productos de polinomios son muy usuales en álgebra, normalmente
identificables y ayudan en el proceso de factorización de polinomios. Por tal razón
se denominan productos notables.
Sean dos monomios cualesquiera denominados A y Y, sumándolos y restándolos se obtienen los binomios : A + B y A -.9
Primero: binomio al cuadrado
(A+B)(,4+8)=(A+ 8)1
El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más
el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
(A+B)(A+B)=(A)(,4)+(A)(B)+(B)(A)+(B)(B)=A'+(214)(B)+B2
Segundo: binomio al cuadrado
(A-B)(,4-B)=(,4-B)2
El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero
menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
(, -B)(, -B )=(A)(A)-(A)(B)-(B)(A)+(B)(B )=A2-(2A)(B)+B2
Tanto en el primero como en el segundo caso, el producto de un binomio por sí
mismo da como resultado un binomio al cuadrado.
Tercero: binomio conjugado
(A+B)(A-B)=(A)(A)-(A)(B)+( B)(A)-(B)(B )=A 2-B2
El producto de la suma de dos monomios por la diferencia de los mismos es
igual al cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del segundo.
A este producto también se le conoce como producto de binomios conjugados y
a su resultado como diferencia de dos cuadrados.
172 Álgebra básica
Los binomios conjugados difieren del binomio al cuadrado sólo en el signo
de uno de los binomios.
Aplicando estas reglas se pueden escribir directamente los resultados de las
siguientes operaciones:
(4x + 3)2 = 16x2 + 24x+ 9 = 9 + 24x+ 16x2
(2x- 5)2 = 4x2 - 20x+ 25 = 25 - 20x+ 4x2
(2x+ 1)(2x- 1) = 4x2 - 1 = -1 + 4x2
Cuarto: binomio al cubo
1. (A+B)(,4+8)(,4+8)= (A+8)3
_ (,4 2 + 2AB + g2)(,4 + B)
=,43 + 2,42E+.4B2 +A28+ 2,4B2 + B3
=,43 + 3429+3,4, 2 +B3
2. (4-B)(4-B)(A-B)=(,^-B)3
=A3- 3,42E+34B2-B3
Quinto: suma y diferencia de dos cubos
1. (,4+8)(,42 -A,9+ 92) =A3 +B3
2. (,4-B)(,42+,4B+B2) =A3 -B3
Sexto: binomio con término común
1. (Ax+B)(Cx+D)=~4Cx2+(4D+BC)x+BD
2. (,4x + By)(Cx + Dy) = ACx2 + (AD + BC)xy + BDy2
3. (x+A)(x+B) =x2+ (A+B)x+,4B
Las letras A, B, C D pueden ser números reales o expresiones algebraicas.
4. Factorización yfracciones algebraicas
173
Ejemplos de 4.2
1. (2a+ 5b)2 9
Solución:
Mediante la aplicación del producto notable del caso primero, donde A es 2a, B
es 5b, se tiene:
(2a+ 5b)2 = (2a)2 + 2(2a)(5b) + (5b)2
= 4a2 + 20ab + 25b2
2. (t2+7)( 12-2) 9
Solución:
Mediante la aplicación 3 del caso sexto de productos notables, donde x es t2.
(t2 + 7)(t2 - 2) = (12)2 +(7 -2)12 +7(-2)
=t4+5t2-14
=-14+512+t4
3. (3u3+4v2)(3u3-4v2) p,
Solución:
Mediante la aplicación del producto notable del caso tercero, donde A es 3 u3 y
Bes 4v2.
(3u3+ 4v2)(3
-4 V2) = (3u3)2 - (4v2)2
= 9u6- 16v4
4. (5x2- 2y)(3x2+ 6y)
Solución:
Mediante la aplicación del producto notable 2 del binomio con término común,
donde x es x2, y es y, A es 5, Bes -2 , Ces 3 y Des 6.
(5x2- 2y)(3x2+ 6y) = (5)(3)(x2)2+ [(5)(6) + (- 2)3]x2y+ (- 2)6y2
= 15x4 + 24x2y - 12y2
174 Álgebra básica
Ejercicios de 4.2
Utilizar las reglas mencionadas para encontrar los siguientes productos:
1. (x- 7)(x+ 4 )
5. (2x- 3y)2
2. (2x+ 4y)( 6x- 7y)
6. + y)2
3.
3x+2y
7. (2-Tx+4y2)(21x-4y2)
2x-3y
J
8. (a + b + c)(a + b - c)
4. (a2 +4)(a2-3)
4.3. FACTORIZACIÓN CON FACTOR COMÚN,
PRODUCTOS NOTABLES Y COMBINACIÓN DE AMBOS
4.3. I. Factorización con factor común
Esta forma de descomposición de un polinomio es una de las más útiles, ya que
permite factorizar casi todas las expresiones. Como su nombre lo indica, se factoriza
la expresión dada, buscando un factor común a todos los términos o, en su defecto,
se obtiene el máximo común divisor.
Los pasos por seguir son los siguientes:
De acuerdo con la expresión abx+ cdr+ efx
• Buscar un factor que aparezca en todos los términos. En este caso el factor
común es x.
• Al encontrar el factor común se debe multiplicar por los factores no comunes:
x(ab+cd+ef)
Ejemplos de 4.3. 7
1. Observar la factorización de los polinomios en los que se han obtenido los
factores comunes 5x2, 6x2 y 6x3, respectivamente.
Solución:
25x4 -
30x3
+ 5x2 =
5x2(5x2
- 6x+ 1)
4. Factorización yfracciones algebraicas
175
12x3 - 6x2 = 6x2(2x- 1) Q
30x6 - 18x3 = 6x3(5x3 - 3) Q
2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios. En el inciso b), n es un entero
positivo.
a) - lOr3s2t4- 20r3S2 11+
5 rIS 414
-P b) x2n+ xn+2 q
Solución:
a) -1Or3S2t4- 20r 3S2 t3+ 5r2S4t4 = -5r2S2t3
b)
x2n+ xn+2 = xn(x.n +
(2rt+ 4 r-
S2 t)
x2)
4.3.2. Factorización con productos notables
Con la aplicación de los productos notables, pero en sentido contrario, se pueden
descomponer algunos polinomios en producto de otros dos más simples.
Se puede aplicar el cuadrado de una suma o de una diferencia, un binomio al
cuadrado , como es el ejemplo del siguiente trinomio dado p(x):
p(x) = x4 + 10x2+25
Considerando que x4 es el cuadrado de x2
25 es el cuadrado de 5
10x2 es el doble del producto de x2 por 5
entonces :
p(x) = (x2 + 5)2
Si se factoriza aplicando suma por diferencia, es decir, un binomio conjugado
de la forma 25x4 - 64, su resultado es:
25x4 - 64 = (5x2 + 8)(5x2 - 8)
Ejemplos de 4.3.2
1. Factorizar los siguientes polinomios, reconociendo productos notables.
x2+6x+9=(x+3)2 PJ
176
Álgebra básica
x2-8x+16=(x-4)2 Q
9x2 - 6x+ 1 = (3x- 1)' =(3x-1)(3x-1) 9
2. El polinomio 8x6 - 27y9 se reconoce como la diferencia de dos cubos , el caso
quinto de productos notables.
Solución:
8x6 - 27y9 = (2x2)3 - (3y3)3 p
= (2x2 - 3y3)(4x4 + 6x2y3 + 9y6)
3. El polinomio 16x4 - (y - 2z )2 se resuelve al observar que es una diferencia de
dos cuadrados , resultado de un binomio conjugado.
Solución:
16x4 - (y - 2z)2= (4x2)2 - (y - 2z)2
= (4x2) + (y - 2z)] (4x2) - (y - 2z)]
= (4x2 + y - 2z)(4x2 - y + 2z)
4. El trinomio x2 + 3x- 28 es de la forma del segundo miembro en la aplicación 3
del binomio con término común . Éste puede factorizarse en el producto de dos
binomios x + a y x + b si hay dos enteros a y b tales que ab = -28 y a + b = 3.
Los enteros -4 y 7 satisfacen estas condiciones , y de este modo se tiene:
x2 + 3x - 28 = (x - 4)(x + 7) = (-4 + x)(7 + x)
El trinomio también puede factorizarse aplicando la ley distributiva, es decir:
x2+3x-28 =x2+(-4)x+7x+(-4)(7)
=x(x-4)+7(x-4)
_ (x- 4)(x+ 7)
_ (-4 + x)(7 + x)
5. Algunos polinomios de tres términos se resuelven mediante la aplicación 2 del
caso sexto para productos notables, de una manera sencilla y rápida, factorizando
por un método de ensayo y error que requiere memorizar una pequeña regla:
A * C= coeficiente del primer término del trinomio.
B * D= coeficiente del tercer término del trinomio.
fl * D+ B * C= coeficiente del segundo término del trinomio.
4. Factorízacíón yfraccíones algebraicas 177
Para factorizar el trinomio 15x2 + 7xy- 2y2 como un producto de dos binomios
(Ax+By)(Cx+Dy), como el indicado en el punto 2 del caso sexto de productos notables , se determinan dos números ,4 y Ccuyo producto sea 15 y dos números
B y .D cuyo producto sea -2 , tal que AD + BC sea igual a 7. Si A y C van a ser
positivos, las posibilidades deA y Cson 1 y 15, o bien, 3 y 5. Las posibilidades de
B y D son 1 y -2 y -1 y 2. Mediante aproximaciones sucesivas se obtiene el término medio requerido 7xy si se escribe:
15x+ 7xy - 2y2 = (3x+ 2y)(5x - y)
4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos
1. En el polinomio p(x) = x3 + 2x2 + x se observa un factor común x, por tanto se
escribe x(x2 + 2x + 1), y este nuevo trinomio es el resultado de un binomio
al cuadrado . De esta forma, combinando los dos métodos se descompone el
polinomio , expresándolo como una serie de productos:
p(x)=x3+2x2+x=x(x2+ 2x+ 1)=x(x+ 1)2=x(x+ l)(x+ 1)
2. En el trinomio 2st4 - 8s12 - 90s hay un factor común monomial 2s. De aquí el
trinomio pueda escribirse como 2s(t4 - 41,2- 45). Este nuevo trinomio puede
factorizarse y expresarlo como el producto de dos binomios, uno de los cuales
es la diferencia de dos cuadrados:
2s14- 8st2-90s=2s(t4-412-45)
= 2s(t2 + 5)(t2 - 9)
= 2s(t2 + 5)(t+ 3)(t- 3)
Ejercicios de 4 3.3
1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa los factores de (x + 1)2(x- 1)2?
aj x2 +2x- 1
b' 2x2+x- 1
c) x4-x2+ 1
dj x4-2x2+1
178
Álgebra básica
2. ¿Cuál es el resultado de factorizar 9x3 - 729xy2?
a) 3x(x- 9y2)(x+ 9y2)
b) 9x2(x- 9y)(x+ 9y)
c) 9X(x- 9y)(x+ 9y)
d) Ninguno de los anteriores
3. ¿Cuál es el resultado de factorizar x3 + 125?
a) (x+ 5 )(x2 - 5x+ 25)
b) (x- 5)(x2 + 5x-f- 25)
c) (x+ 5)(x2 - 5x-- 25)
d) (x- 5)(x2 - 5x+ 25)
4. ¿Cuál es el resultado de factorizar 78x2y+ 117xy3 hasta el último término?
a) x(78xy + 117y3)
b) xy(78x+ 117y°!)
c) Todos los anteriores
d) Ninguno de los anteriores
5. ¿Cuál es el resultado de factorizar x6 -y9?
a) (x2 + y3)(x4 + .r2y3 - y6)
b) (x2 +y3)(x4 - 2x2y2 + y6)
c) (x2 - y3)(x4 + x2y3 +y6)
d) (x2 - y3)(x4 - 2x2y3 + y6)
6. ¿Cuál es el resultado de factorizar 2xy5 - 32xy?
a) xy(y+4)2(y -4)2
b) xy(y2+4)(y'--4)
c^ 2xy(y2 + 4)(y2 -4)
d) 2xy(y2+4)(y+2)(y-2)
7. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
a) (x + y)3 = x3 - 3x2y+ 3xy2 + y3
b) (x + y)5 = x5 - 5x4y - 1 Ox3y2 + 1 Ox2y3 + 5xy4 + y5
4. Factorización yfracciones algebraicas
179
e) (x - y)3 = x3 - y3
d) Ninguna de las anteriores
8. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
a) 5002 -4002 = (9)(103)
b) 120002 - (-13000)2 = (-2.5)(106)
c) 882 -87 2 = 175
d) 196(25)2 169(25)2 = 675
4.4. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO
Es otra técnica muy sencilla, que consiste en buscar los posibles factores comunes
en la expresión y agrupar los términos de acuerdo con ellos, para que después se
factorice por factor común. En esta técnica de factorízación se encuentran factores
que no son comunes a todos los términos, pero que son comunes a algunos.
Sise requiere factorizar una expresión
-=^
ax+ by+ ay+ bx
Pasos por seguir:
1. Identificar los términos con posibles factores comunes.
Es posible darse cuenta de que no existe un factor común a todos los términos,
pero sí hay dos factores comunes a términos diferentes: x es factor común de
ax, bx,; y es factor común de ay, by.
2. Agrupar los factores de acuerdo con cada factor común.
ax+bx+ay+by
3. Factorizar por cada factor común.
x(a + b) + y(a + b)
4. Como se obtuvieron dos términos, se localiza nuevamente el factor común. El
factor común de ambos términos es (a+ b).
5. Factorizar nuevamente por cada factor común, multiplicando el término común
por los no comunes (x, y), obteniendo como resultado:
(a+ b)(x+y)
Álgebra básica
180
Ejemplos de 4.4
1. Factorizar el polinomio
3x2 + 7x - 6xy - 14y 9
Solución:
Se agrupan los dos primeros y los dos últimos términos, y se tiene:
(3x2 + 7x) + (-6xy - 14y)
Los dos primeros términos tienen un factor común igual a x y los dos últimos
tienen un factor común -2y. Por lo tanto, el polinomio puede expresarse como:
x(3x+ 7) - 2y(3x+ 7)
Se observa que hay un factor común 3x+ 7 en cada término . De aquí se tiene que:
(3x + 7)(x - 2y) _ (7 + 3x)(x - 2y)
2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:
a) 5xz-5yz-x+y Q b) 42-6u3-7v2+u3 v2
Solución:
a) 5xz-5yz- x+y=5z(x-y)-l(x-y)
= (x-y)(5z- 1)
= (-x+y)(1 - 5z)
b, 42-6u3-7v2 + u3 v2=6 (7- u3)- v2(7 -u3)
= (7 - u3)(6 - v2)
= (-7 + u3)(-6 + v2)
3. Factorizar 3x3 + 2x2 - 12x- 8
Solución:
3x3 + 2x2 - 12x -- 8 = x2 (3x + 2) - 4(3x + 2)
_ (3x+ 2) (x2 - 4)
_ (3x+ 2) (x+ 2) (x- 2)
4. Factorización yfracciones algebraicas
181
4.5. FACTORIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Un binomio al cuadrado tiene como resultado un trinomio cuadrado perfecto:
(a+ b)2=a2 +2ab+b2
Se le llama trinomio cuadrado perfecto porque los términos que están en los extremos tienen raíz cuadrada exacta. Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto debe
expresarse como el producto de un binomio al cuadrado, pero antes hay que determinar si ese trinomio realmente es cuadrado perfecto.
Se requiere factorizar el siguiente polinomio
p(x): 4a2 + 16ab + 16b2
Pasos por seguir:
1. Reconocer si es un trinomio cuadrado perfecto.
2. Calcular la raíz cuadrada del primer y tercer términos.
=2a 16b =4b
3. El doble producto 2(2a)(4b) = l6ab, por lo tanto es un trinomio cuadrado
perfecto.
4. Sustituir en la fórmula del binomio al cuadrado.
(2a + 4b)2
5. Para comprobarlo , resolver el binomio al cuadrado.
(2a + 4b)2 = (2 a)2 + 2(2a)(4b) + (4b)2 = 4a2 + 16ab + b2
Ejemplos de 4 5
1. El trinomio 16a2 + 40a + 25 tiene dos términos cuadrados perfectos, es decir,
16a2 que es (4a)2, y 25 que es 52; además, el otro término es 40a, el cual es
2(4a)(5). Por tanto, es un trinomio cuadrado perfecto y se aplica la fórmula del
binomio al cuadrado. En consecuencia:
16a2 + 40a + 25 = (4a + 5)2 = (5 + 4a)2 P
Álgebra básica
182
2. Factorizar 4x2 - 12xy+ 9y2 9
Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto . Como la raíz cuadrada de 4x2
es 2x y la raíz cuadrada de 9y2 es 3y, se tiene que:
4x2 - 12xy + 9y2 = (2x - 3y)' = (-2x + 3y)2
4.5.1. FFactorización de un trinomio de segundo grado
El polinomio por factorizar es de la forma:W
14x2+Bx+C
Se plantea la siguiente expresión algebraica:
6x2 +5x-6 9
Pasos por seguir:
1. Determinar los coeficientes numéricos.
A=6
B=5
C= -6
2. Encontrar dos números cuyo producto sea igual a -36(A * C) y cuya suma sea
igual a 5(B).
Para agilizar la búsqueda de esos dos números, es necesario descomponer el
número -36 en factores como:
-36 = (9)(-4) -36 = (-9)(4) -36 = (6)(-6)
3. Cuando se tengan los factores deben sumarse y así se encontrarán dos números
que cumplan las condiciones que se piden.
9+(-4)=5 -9+4=-5 6+(-6)=0
Los números que satisfacen las condiciones son: 9 y -4.
(') Esta expresión es un trinomio de segundo grado, pero no es un trinomio cuadrado perfecto.
4. Factorización yfracciones algebraicas
183
4. Tomar el término que se encuentra al centro del polinomio . En este caso 5x.
6x2+5x-6
5. Luego factorizar este término como la suma de los dos números encontrados.
5x = 9x- 4x
6. Sustituir en la fórmula original.
6x2+9x-4x-6
7. Factorizar por agrupamiento.
La factorización por agrupamiento implica factorización por factor común.
6x2 + 9x= 3x(2x+ 3)
-4x- 6 = -2(2x+ 3)
de donde: 3x(2x+ 3) - 2(2x+ 3)
Se obtuvieron dos términos con un factor común , que es: (2x + 3).
8. Factorizar multiplicando el término común por los no comunes.
(2x+ 3)(3x- 2)
(3 + 2x)(-2 + 3x)
Ejemplo de 4 51
Factorizar : 6x2 + 19x + 10 9
Solución:
ac=60 b= 19
(15)(4) = 60 15 +4= 19
Si 19x= 15x+4x
Reemplazando en el trinomio
6x2+ 15x+4x+ 10
Álgebra básica
184
se obtiene factor común:
6x2 + 15x= 3x(2x+ 5)
4x+ 10 = 2(2x+ 5)
El resultado es
6x2 + 19x+ 10 =: (3x+ 2)(2x+ 5) = (2 + 3x)(5 + 2x)
Ejercicios de 4.5..1
1. Factorizar los siguientes polinomios:
a) 9x2 + 24xy+ 16y2
b) 9x2 - 24xy+ 16y2
C) 9x2 + 25xy+ 16y2
d' 9x2 - 145xy+ 16y2
e) 9x2 - 16y2
f) 9x2 + l6y2
4.6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS
Cuando se tienen polinomios con grado n de la forma
p(.x)=anxn+a_1xn-'+an_2xn-2+...+al x+a0
considerando que ao, a,, ..., a son números reales con an ^ 0 y n es un número
entero no negativo, es posible descomponerlo de la siguiente manera:
p(x) = (x- rl)(x- r2)(x- r3) ... (x- rr) C(x)
donde r1, r2, r3, ..., rn son raíces del polinomio p(x), que se encuentran por divisiones sucesivas , y C(x) es el último cociente.
A continuación se hace un recorrido para recordar estos temas: raíces de un
polinomio, teorema del residuo, división de polinomios aplicando la Regla de Ruffini
y descomposición factorial de todo polinomio de grado n.
4.6 1. Raíces de polinomios
Un número r se dice que es una raíz del polinomio p (x) si el valor numérico
del polinomio para x = r es cero, es decir, si p (r) = 0
185
4. Factorización y fracciones algebraicas
El polinomio p(x) = x - 3 tiene por raíz x = 3, ya que p(3) = 0
El siguiente cuadro permite ver otros ejemplos.
Comprobación
12-1=0
Polinomio
x2-1
Raíz
1
x2-1
-1
(-1)2-1=0
2
3
22-5(2)+6=0
32 -5(3)+6=0
x2 -5x+6
X2-5x+6
El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio de grado
n tiene n raíces (para algunos números reales y otros complejos).
Para encontrar las raíces de un polinomio p(x) se resuelve la ecuación p(x) = 0;
en el caso de ecuaciones de segundo grado véase el capítulo 5.
Si no es posible resolver la ecuación p(x) = 0, recordar que las raíces enteras de
un polinomio son divisores del término independiente ayudará en la búsqueda de las
raíces enteras.
Cuando se tienen polinomios de grado superior a 2 es factible aplicar el método
de ir calculando el valor numérico del polinomio para los distintos divisores del
término independiente.
Los pasos para hallar las raíces del polinomio x4 + 3x3 - x2 - 3x son:
1. Se obtiene factor común x
x(x3+3x2-x-3)
de donde se deduce que x = 0 es una raíz.
2. Se observa que los divisores del término independiente del polinomio que queda dentro del paréntesis x3 + 3x2 - x- 3 son 1 , -1, 3 y -3 . Entre ellos estarán las
raíces enteras.
3. Se comprueba cuáles son raíces enteras:
Polinomio
x3+3x2-x-3
x' +3x2-x-3
Posible raíz
1
-1
Comprobación
¿Es raíz?
(1)'+3(1)2-1-3=0
(-1)'+3(-1)2-(-1)-3=0
Sí
Sí
x3+3x2-x-3
3
(3)'+3(3)2-3-3=48
No
x3+3x2-x-3
-3
(-3)'+3(-3)2-(-3)-3=0
Sí
4. Luego de comprobarlo, las raíces encontradas son cuatro: 0, 1, -1, -3, cuyo
número coincide con el grado del polinomio propuesto.
Álgebra básica
186
4.6.2. Teorema del residuo
Sea R el residuo de la división de un polinomio p(x) entre x - r el teorema del
residuo dice que el valor numérico de p(x) para x = r coincide con R.
Si p(x) es un polinomio y r es un número real, entonces si p(x) se divide
entre x- r, el residuo es p (r).
Este teorema permite determinar el residuo de la división de un polinomio por
x - r sin necesidad de realizar la división.
Ejemplos de 4 6.2
1. Dividir el polinomio x4 + x3 - 5 entre x + 2 y luego encontrar el residuo por
medio del teorema del residuo.
Al realizar la división del polinomio por la forma ya vista en el capítulo anterior, se encuentra el valor 3 como residuo.
Mediante el teorema del residuo , si p(x) se divide entre x+ 2, el residuo R debe
serp(-2), porque x+ 2 = x- (-2).
Luego se comprueba quep(-2)= (-2)4 + (-2)3 - 5
=16-8-5=3
que coincide con el residuo de la división.
2. Si se divide x4 - 2x2 entre x+ 5 se halla un residuo de 575.
Con la utilización del teorema, como el divisor es x+ 5 = x- (-5), entonces el
número r = -5 y el valor numérico de p(x) para x = res:
p(-5) _ (-5)4 - 2(-5)2 = 575
4 6.3. División por Regla de Ruffini
Una consecuencia del teorema del residuo es el teorema del factor, del cual se
desprende que res raíz de p(x) si y sólo si el residuo de dividir p(x) entre x res cero.
4. Factorización yfracciones algebraicas
187
Por ejemplo, x3 - 8 es divisible por x - 2, ya que el 2 es raíz p(2) = 23 - 8 = 0
Teorema delfactor Si p(x) es un polinomio y res un número real, entonces
p(x) tiene x - r como un factor si y sólo si p(r) = 0.
Ejemplo del teorema delfactor
Probar que x - 4 es un factor de 2x3 - 6x2 - 5x - 12. P
Solución:
Si p(x) = 2x3 - 6x2 - 5x- 12, entonces
p(4) = 2(4)3 - 6(4)2 - 5(4) - 12
= 2(64) - 6(16) - 20 - 12
=128-96-32=0
Por lo tanto, del teorema del factor se deduce que x- 4 es un factor dep(x).
Regla de Ruffina: Un polinomio completo y ordenado en x, dividido por un binomio
de la forma x - r da por cociente un polinomio de grado menor
en una unidad que el dividendo , cuyos coeficientes son:
• El primero es el primero del dividendo.
• El segundo es igual al producto del primer coeficiente por r
cambiando de signo, más el segundo del dividendo; en la misma forma se obtienen los restantes.
Ejemplos de 4 663
1. Dividir 3x5 + 10x4 - 15x2 + 5 entre x+ 2
Solución:
Primero hay que completar el dividendo : 3x5 + 1 Ox4 + Ox3 - 15x2 + Ox+ 5.
Como el dividendo es de quinto grado, el cociente es de cuarto grado y su
primer coeficiente es el primer coeficiente del dividendo, o sea, 3.
Como r= 2, cambiando de signo es r= -2; se multiplica 3(-2) _ -6, se agrega
al segundo coeficiente 10 del dividendo y se tiene -6 + 10 = 4, que es el segundo
coeficiente del cociente , y así se continúa.
Álgebra básica
188
Para entender mejor esta regla, conviene utilizar la siguiente distribución
práctica, con la colocación de los coeficientes numéricos:
3
-2
3
-15
0
10
0
5
3(-2) = -6
4(-2) = -8
(-8)(-2) = 16
1(-2) = -2
(-2)(-2) = 4
10-6=4
-8
-15+16=1
0-2=-2
5+4=9
Es decir que los coeficientes del cociente son: 3, 4, -8, 1, -2 y el residuo que
se obtiene con el mismo procedimiento es 9.
Luego:
3x5 + 10x4 - 15x2 + 5 entre x+ 2 tiene como cociente:
C(x) = 3x4 + 4x3 - 8x2 + x- 2 y como residuo R= 9
Una forma de comprobar si r es una raíz dep(x ) es dividirp(x) entre x - r
por la Regla de Ruffini y observar si el residuo es cero.
2. Dividirp (x)=x4-x3-4x2+ 2x+4entrex-2 Q
Solución:
Al dividir se obtiene un residuo R= 0, por lo tanto se comprueba la raíz r= 2 y
el cociente C(x-)= x3 + x2 - 2x- 2
=-2-2x+x2+x3
CUADRO 4.1
Para comprobar si r es una raíz de p(x), puede dividirse
p(x) entre x - r por Ruffini y observar si el residuo
es cero.
p(x) =
x4 -x3 -4x2 +2x +4
1
-1
2
2
1
1
-4
2
-2
2
-4
4
-4
-2
División de p(x) Residuo
entre x - 2
4 Factorización yfracciones algebraicas
189
4. ó 4. Descomposiciónfactorial de polinomios
La descomposición factorial de polinomios implica encontrar las raíces de un
polinomio por divisiones sucesivas, utilizando la regla de Ruffini.
Como p(x) _ (x - r) C (x), en lugar de buscar las raíces de p(x) se buscan las
raíces del cociente , ya que se tiene la ventaja de que el grado de C(x) es una
unidad menor.
Ejemplo de 4 6.4
1. Descomponer el polinomio x3 + x2 - 4x - 4
Solución:
Las posibles raíces son los divisores del término independiente : 1, -1, 2, -2, 4, -4.
En el cuadro 4.2 se indica el inicio de la división del polinomio por las posibles
raíces:
CUADRO 4.2
x3 +x2 -4x -4
r -2
1 1 -4 -4 -E-- p(x)
2 6 4
1
1
3 2 0 C(x)=x2+3x+2
1 4 6 Posibles raíces
1 4 6 6
1,-1,2,-2
1 no es raíz
Cuando se divide por la posible raíz 2 se obtiene un residuo 0, con ello se
confirma que r = 2 es raíz . El cociente C(x) = x2 + 3x + 2 tiene como posibles
raíces 1, -1, 2, -2, todos ellos divisores del término independiente 2. Al elegir el
valor 1 se observa que no es raíz al dar un residuo distinto de cero.
Se intenta con el valor de otra posible raíz , por ejemplo - 1, comprobando que r=
-1 es raíz al dar un residuo de cero . El nuevo cociente es C(x) = x+ 2 que tiene
Álgebra básica
190
también como posibles raíces: 1, -1, 2, -2. Con el valor de -2 se obtiene la última
raíz con un cociente de C'(x) = 1.
La operación completa se muestra en el cuadro 4.3:
CUADRO 4.3
1 1 -4 -4
2
1
2
6
4
3
2
0
-1 -2
c(x)=x+2
Posibles raíces
1,-1,2,-2
1 2 0
-2
-2
1 0
Las raíces obtenidas 2, -1, -2 determinan los factores x- r en donde r se cambia de signo:
2=¿ (x-2) -1=(x+1) -2=> (x+2)
El polinomio descompuesto es p (x) = (x - 2)(x + 1)(x + 2)(1).
4.7. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las fracciones, también llamadas expresiones algebraicas racionales, consisten en
un cociente de dos polinomios.
Se pueden simplificar fracciones que involucren exponentes y variables de la
misma manera como se hace con fracciones aritméticas. Aquí es importante recordar la propiedad fundamental de las fracciones:
a,x - a donde b:#- 0, x:# 0
bx b
4. Factorización yfracciones algebraicas
191
Al proceso de pasar de ax/bx a a/b se le denomina simplificación y se realiza
eliminando factores idénticos del numerador y el denominador. Si a y b no tienen
ningún factor común, excepto 1, entonces se dice que a/b está en los términos más
simples, es irreducible.
El procedimiento de factorizar ayuda a simplificar fracciones algebraicas.
4.7.1. Propiedades de las fracciones
1. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero:
-a_ a
-8=8=-4
2 -2
b -b
2. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero:
-2020-4
-5 5
-b b
3. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero:
10-5 5 -5
5-10 -5 5
a-b=-1
b-a
4. Propiedad de suma de fracciones
Si a, b y c son números reales, donde b es diferente de cero:
a ca+c
4 5 4+5 9
bb
22
b
2
2
Si a, b, c y d son números reales, donde b y dson diferentes de cero:
a c ad bc ad + bc
6 2 24 16 24 +16 40
b d bd bd bd
8 4 32 32 32 32
5. Propiedad de multiplicación de fracciones
Si a, b, c y dson números reales, donde b y dson diferentes de cero:
(6)(x)6x-6.k6
(aJ c J - (a)(c) ac
(5)(x)
b d (b)(d) bd
(a)(d) _ (a)(d) - a
(b)(d) (b)(fl) b
C
5x 5.t 5
5^ ^^7g _3 5xy
192
Álgebra básica
6. Propiedad de división defracciones
Si a, b, c y d son números reales, donde b, c y d son diferentes de cero:
ac(a)(d)ad
b d (b)(c) bc
Ejemplo de 4.7 1
Resolver utilizando las propiedades de multiplicación y división.
12 (2)(6) 2
18 (3)(6) 3
4.8. SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE FACTORIZACIÓN
La simplificación de un número o cualquier expresión algebraica implica reducirla.
Ejemplos de expresiones algebraicas racionales
6x4-8 4x2+20x+25 8x
50y x4+5 4y. 8z
El primer ej emplo se Llama expresión racional entera en x yy,, pues cada uno de
los polinomios en el cociente es un polinomio en xy un polinomio eny. La segunda
expresión es una expresión racional en x, ya que cada uno de los polinomios en el
cociente es un polinomio en x. Por razones similares , la tercera expresión es racional en x, y y z. Las propiedades de las fracciones pueden ser útiles para simplificar
expresiones como las anteriores.
Ejemplos de 4.8
1. Factorizar y eliminar términos semejantes.
6x'2 + 5x - 4 _ (3x + 4)(2x -1) _ 3x+4
4x2-4x+1 (2x-1)(2x-1) 2x-1
Frecuentemente, al simplificar una expresión algebraica se factoriza primero la expresión y después se utilizan las propiedades de las fracciones
para reducirla.
4. Factorización y fracciones algebraicas
193
2. Factorizar y eliminar términos semejantes.
2-9y+4 y2 4y2 - 9y+2(4y-1)(y-2)_
9
4-y2 22-y2 (2-y)(2+y)
Se puede considerar que: (2 - y) _ -(y - 2)
(4y-1)(y-2) 4y-1
(y-2)(2+y) 2+y
3. Factorizar y eliminar términos semejantes.
25-x2
(5-x)(5+x)
2 = Recuérdese que 5 - x= -(x- 5)
X -3x-10 ( x-5)(x+2)
Asíque (5-x)/(x-5)=1
--(x-5)(5+x)5+x
(x-5)(x+2) x+2
Ejercicios de 4.8
Simplificar las siguientes expresiones racionales:
3x2-5x_2
x2-4
2 2-x-3x2
6x-x-2
3 3x2 _X _ 10 4 6x2y -2y
x2+5x+6 4xy
4.9. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Como se ha indicado previamente, el cálculo con fracciones algebraicas se facilita
al simplificar expresiones algebraicas, y son menores los esfuerzos al resolver
ecuaciones con fracciones.
49.1. Multiplicación defracciones
Recordemos la forma como multiplicamos la-, fracciones numéricas.
Multiplicar 2/5 por 6/7.
194 Álgebra básica
Solución:
(2 6 (2)(6) _ 12
5 A7^ (5)(7) 35
Para multiplicar dos fracciones se obtiene el producto de los numeradores y el
producto de los denominadores.
La aritmética con fracciones numéricas proporciona un modelo para la aritmética con fracciones algebraicas. Se multiplican las fracciones algebraicas exactamente en la misma forma.
Definición de producto de fracciones
Dadas dos fracciones algebraicas a/b y c/d, se define su producto
como:
bd
donde b#- 0, 0
Para multiplicar expresiones racionales algebraicas se utiliza la propiedad 5 de
las fracciones.
Cuando se multiplican dos expresiones racionales, los numeradores y denominadores deben factorizarse completamente antes de aplicar la propiedad de la definición de producto de fracciones; esto facilita la reducción al mínimo de la expresión racional que representa el producto.
Ejemplos de 4.9.1
1. Multiplicar y simplificar tanto como sea posible.
x l 3x+5 1
b) (- +1 I ^ x_1
l
( 'xyj 6x3
a) 4wz
J
(5w'y)
c)
91
(x+3)(x2x
Soluciones:
2
a)
4 wz
3
56 wZ y
2
3
)65 y)
(4 wz ) (
2) Definición de multiplicación
4. Factorización y fracciones algebraicas
= 18x4y2
195
Propiedades de los exponentes
20w3yz
La multiplicación está efectuada , pero tal vez la fracción resultante tenga una
forma equivalente más simple . De hecho la tiene , ya que:
18x4y2 (2)(9)x4yy
20w3yz (2)(10)w3yz
Propiedad fundamental de las fracciones
9x4y
Respuesta en la forma más simple
lOw3Z
J(3x+5 ) - x(3x+5)
b) x
(x+l)(x-1)
x+1 x-1
Definición de multiplicación
2 5x
= 3x'+
Respuesta en la forma más simple
x -1
También es correcto dejar la respuesta de este problema en forma factorizada:
x(3x+5)
(x + 1)(x -1)
Si se quiere escribir la respuesta en la forma más simple, se pregunta: ¿hay
factores comunes en el numerador y el denominador?
x3 x2-9
_(x3)(x2-9)
cJ x + 3 x (x + 3)(x)
Definición de multiplicación
Factorícese tanto como sea posible:
x 3(X2_9) x 3 (x + 3)(x - 3)
(x + 3)x
(x + 3)x
Se simplifican las xy los términos (x+ 3), quedando:
= x2(x - 3) o bien x3 - 3x2
Respuesta en la forma más simple
Este ejemplo sugiere que debería factorizarse tanto como sea posible antes de
multiplicar los numeradores y denominadores. De esta manera, es posible descubrir una forma simple de la respuesta.
Álgebra básica
196
4-9.2. División de fracciones
Recordemos que para dividir una fracción numérica entre otra, digamos 3/5 - 8/7,
cambiamos el problema de división a un problema de multiplicación (invertir el
divisor y multiplicar), de este modo 3/5 - 8/7 se transforma en 3/5 * 7/8 = 21/40.
La división de fracciones algebraicas se hace exactamente de la misma manera,
aplicando la propiedad 6 de las fracciones.
Definición de cociente de fracciones
Dadas dos fracciones algebraicas
byd
donde c:# 0
su cociente es igual a
a c (a)(dl
b d b c
donde b, d :Pl- 0
Ejemplos de 4-9.2
1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible.
a)
6x2y3 6w3z'
- 4wz2 lOxaya
25x2-16y2
x2+7x+10
2xy-6y2
3x3+6x2y
x2-4
x2 3x-10
4xy -12y2
x+2y
Soluciones:
6x2y3 2w3z3
a - -4wz2 10x4y4
Se cambia el problema de división a un
problema de multiplicación, de acuerdo
con la definición anterior
4. Factorización y fracciones algebraicas
197
6xzy3)iOxay4
U4
)
2w3Z3
(6x2y3)(10x4y4) 60x6y'
(4wz2)(2w3z3) 8w4z5
(4)(15x6y') -15x6y7
Propiedades de los exponentes y definición de multiplicación
Respuesta en la forma más simple
(4)(2w4z5) 2w4z5
25x2-16y2 x2-4
b
+3x-10
i x2+7x+10
x2
C
25x z -16 yz
Cambio a un problema de multiplicación
x z +3x-10
x2+7x+10 x2-4
(25x2 -16y2)(x2 + 3x -10)
(x2 + 7x + 10)(x2 -4)
(5x - 4y)(5x + 4y)(x + 5)(x - 2)
Factorizar completamente
Respuesta de la forma más simple
(x + 5)(x + 2)(x - 2)(x + 2)
_ (5x - 4y)(5x + 4y)
No se necesita multiplicar
(x+2)(x+2)
c 2xy-6y2 4xy-12y2
% 3x3+6x2y
x+2y
2 xy - 6 y z
x + 2y
3x3 +6x2y 4xy -12y2
(2xy - 6y2)(x + 2y)
(3x3 + 6x2y)(4xy -12y2)
Utilizar la propiedad de la definición
Buscar factores comunes
2y(x - 3y)(x + 2y)
3x2 ((x + 2y))(4y)(x - 3y)
6x2 La respuesta hasta la forma más simple
posible
Álgebra básica
198
Observar el ejemplo le nuevamente . ¿Cómo puede ayudar la división de fracciones algebraicas ? Suponiendo que estas fracciones provienen de la aplicación de
un problema real, y también suponiendo que x= 1.5 yy= 2, se tiene la elección
de: a) poner los valores (le x y y en el primer renglón del ejemplo 1 e y obtener:
2(1.5)(2) - 6(2)2 4(1.5)(2)-12(2)'
3(1.5)3 +6(1.5)2 (2) 1.5+2(2)
(lo cual implica más cálculos), o b) se puede hacer el álgebra primero (como en el
ejemplo le) y luego sustituir en el resultado obtenido los valores de x y y.1 _ 1 _ 1 -- _= 1 = 0.074 con una exactitud de tres decimales
6x2 6(1.5)2 6(2.25) 13.5
Es más probable que la aritmética resulte más fácil en el segundo caso, y de
esto es lo que trata la simplificación de fracciones algebraicas , de hacer los cálculos más fáciles.
Ejercicios de 4—9.2
Multiplicar, dividir y simplificar tanto como sea posible.
1.
C C
3y1 310 2J
+91
1
x-5 (4x2 +12x
4x2-9)2x2-11x+`i
2.
3.
2
C
x2 -6x+91(2x-21
4.
45a-'b -75a4b
28c4d3 8c2d4
5.
4x2 -9y2 6x2 -xy -12y2
xy+y2
xy+x2
6.
x2-i //II x-3
x+2 x2 -4
2x-3 2x2 -3x
4.10. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La suma y la diferencia de expresiones racionales se determinan aplicando la propiedad 4 de las fracciones:
a b a+b a b a-b
d
d
d
d
d
d
4. Factorización y fracciones algebraicas
199
Para ello es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Si se
desea sumar o restar fracciones que no tengan el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes que tengan mínimo común denominador.
El mínimo común denominador (MCDn) de expresiones racionales dadas es el
polinomio de grado mínimo que es múltiplo de cada uno de los denominadores.
Para determinar este polinomio, primero se obtiene la forma completamente
factorizada de los denominadores. El MCDn es el producto de los diferentes factores primos que hay en alguno de los denominadores, donde la potencia de cada
factor es la potencia más elevada que aparece. Por ejemplo:
Desarrollar las operaciones indicadas.
3 7
a) g + g
Soluciones:
a) Considérese 3/8 + 7/8. Los denominadores ya están en unidades comunes.
Por lo tanto, se puede simplemente sumar los numeradores:
3 7 3+7 10_5
8+g= 8 = 8 4
Respuesta en la forma más simple
b) Considérese 7/12 - 9/20. En este caso, los denominadores no son los mismos. Si se quiere volver a definir cada fracción de tal forma que los denominadores estén en unidades comunes, ¿cómo debe encontrarse el MCDn de
12 y 20? Tanto 12 como 20 deben dividir a este MCDn exactamente. Por lo
tanto, todo factor de 12 y 20 debe dividir también al MCDn. Se factoriza 12
y 20 para ver cómo se obtiene el MCDn.
12 = 4(3) = (2)(2)(3)
20 = 4(5) = ( 2)(2)(5) Factorizado en factores primos
El MCDn necesitará dos factores iguales a 2, un factor igual a 3 y un factor
igual a 5. De este modo, el MCDn es (2)(2)(3)(5) = 60. Luego:
7 9 35 27 8 2
12 20 60 60 60 15
Respuesta en la forma más simple
En este caso, el denominador 12 necesitaba un factor 5 para alcanzar el
MCDn. El denominador 20 necesitaba un factor 3 para alcanzar el MCDn.
Álgebra básica
200
Cuando se determina el MCDn, es útil considerar el procedimiento de
redefinición de una fracción como una multiplicación por 1 en una manera conveniente. Por ejemplo:
2 20 ^^ (() Multiplicar por 1 no cambia nada
7)(5)
(9)(3)
l12)L5) L20)l3
35 27 8 2
60 60 60 15
Se ha vuelto a escribir el 1 de manera conveniente, utilizando lo que hacía falta
para el MCDn. Esto implica la propiedad fundamental de las fracciones:
7 _ 7 (5)_ (7) (5) 35 9 =( 9 _ (9) (3) 27
12 - ^12 5
(12) (5) 60 20 20)(3)
3(20) (3) 60
Esto es, se multiplica cada fracción por 1 en la forma de:
factores del MCDn que faltan en el numerador
factores del MCDn faltantes en el denominador
Escribir fracciones con el MCDn implica el inverso de la propiedad fundamental de las fracciones:
a-a 1 _-(a)(c) ac
b b ()
(b)(c) bc
Se suman (o se restan) fracciones algebraicas, como lo efectuado en el modelo
aritmético en el ejemplo 1.
Ejemplo de 4.10
1. Desarrollar las operaciones indicadas.
a)5y+7z
b)3x
3x 3x
x2 2y
4. Factorización yfracciones algebraicas
201
Soluciones:
a)
sy + 7z_5y+7z
3x
3x
Los denominadores son los mismos , así
que se suman los numeradores
3x
Respuesta en la forma más simple
b)
3
x2
x
2y
Primero encontrar el MCDn:
x 2 = x(x)
2y=2(y)
MCDn = 2x2y
33 2y!
x2 2y x2 2y)
x x2
x2
2y
Se multiplica por 1 en una forma conveniente para redefinir las fracciones
6y x3
2x2y 2x2y
Ahora las fracciones tienen el mismo
denominador
6y-x3 -x3+6y
2x2y 2x2y
Se restan los numeradores y se obtiene
la respuesta
Los pasos seguidos son exactamente los mismos utilizados cuando se suman
fracciones numéricas.
4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones
Caso 1: Si las fracciones ya tienen el mismo denominador, sumar (restar) los numeradores y escribir la suma (diferencia) sobre el denominador. Luego
reducir la respuesta a la forma más simple:
a c a+c
b+b=
b
-,b^ 0
Caso 2: Si las fracciones no tienen el mismo denominador, entonces:
a) Hallar el mínimo común denominador (MCDn)
1. Factorizando cada denominador completamente y
2. Formando el MCDn.
202 Álgebra básica
b) Redefinir cada fracción con el MCDn como denominador, multiplicando
por 1 en una forma conveniente.
ej Los denominadores ahora son los mismos , así que debe procederse como en
el caso 1.
a c _ a d c b _ ad cb _ ad + cb
b+d-(b)(d +1d b bd+bd bd bq d0
Ejemplos de 410.1
1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible.
aj 5x + 2
Y z xz
z
b)
3 5
x+7 x
Estos denominadores son monomios
Algunos de estos denominadores tienen
más de un término
a b
a-b a+b
Solución:
Hallar el MCDn:
5x 2y 5x (xJ+ 2y y2
a) z+ 2 2 - = z z
y z(y)(.y)(z)
yzx
y z xz
xz y xz2 = (x)(z)(z)
MCDn = xy2z2
Se multiplica por 1
5xZz 2y3
2 2+ 2 2
Los denominadores son iguales
xy z xy z
5xZz+2y3
2 2
Respuesta
xy z
Solución:
Hallar el MCDn:
El único factor x+ 7 es x+ 7 y de x
es x, luego el MCDn es x(x + 7)
4. Factorización yfracciones algebraicas
3
x+7(x) x^x+7^
3x
5(x + 7)
x(x+7) x(x+7)
203
Se multiplica por 1 en forma
conveniente
Se tienen los mismos denominadores
3x-5(x+ 7)
x(x + 7)
3x-5x-35
x(x+7)
-2x - 35 -35 - 2x
x(x + 7) x(7 + x)
Puede simplificarse el numerador
Se llega a la respuesta
Solución:
c
a b
+
a-b a+b
= a a+b
b a-b
+
a-b a+b a+b a-b
a(a+b) + b(a-b)
(a-b)(a+b) (a+b)(a-b)
a(a + b) + b(a - b)
(a- b)(a+ b)
a2+ab+ab-b2
(a-b)(a+b)
a2 + 2ab- b2
a2 - b2
MCDn = (a- b)(a+ b)
Multiplicar por 1 para redefinir
Se tienen fracciones con los mismos
denominadores
Se multiplica y se suman los
numeradores
Simplificar el numerador hasta donde
sea posible
Respuesta
204 Álgebra básica
4.11. APLICACIONES
En ciencias sociales, especialmente en administración y economía, frecuentemente se encuentran funciones como: costo de producción en función de las unidades
que se fabrican, cantidades demandadas por el mercado con base en los precios,
ingresos obtenidos en función de las unidades vendidas , entre otros ejemplos. En
ocasiones, estas funciones pueden parecer, a simple vista, complicadas para su
graficación; sin embargo , esta situación se resuelve mediante la factorización y el
uso de productos notables.
Los siguientes ejemplo s se refieren a dos funciones , donde Ces el costo de
producción y Q las unidades que se fabrican.
8Q -8Q
1 . C(Q)=Q 2-36 _ (Q+6)(Q-6)
Q+7 Q+7 1
Q'-49 (Q+7)(Q-7) Q-7
Las siguientes funciones representan al ingreso (R) en función de las cantidades vendidas (Q).
16Q _ 16Q
3. R(Q)=Q (Q+3)(Q+5)
Q+6 Q+6
Q2 +2Q-24 (Q+6)(Q-4) Q-4
Los ejemplos planteados se comprenden mejor cuando se trata de encontrar la
continuidad de la gráfica o de la función.
4.12. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN CON MATHEMATICA
Mathematica ofrece fundamentalmente dos instrucciones que apoyan estas operaciones.
Para efectuar un producto de polinomios o expresiones , aun no algebraicas, se
utiliza la instrucción Expand/operación deseadaj. En lo que respecta a la
factorización, la instrucción Factor[expresiónj realiza la factorización completa y
FactorTermslexpresiónj genera los factores comunes. Como ejemplos, véanse imágenes 4.1 y 4.2.
4. Factorización y fracciones algebraicas
IMAGEN 4.1
F ,dudes notables y iactori2aci6n con Matheinatica.nb
in [401 := Expand[ ( 3x^2-5xy^22]
0ut [4O7 = 9x4 - 30 x9 ys + 25 xs y4
In[47]= Expansl[(5y + 4+3x) (5y+4-3x)1
0ut[477= 16 - 9 x= + 40 y + 25 yt
In[483 := Expant( (- 2x^3y^2+5t) (2x ^ 37''2+5t)]
out 1493 = 25 tE - 4x6y4
In[49]:= Expand[ ( 3x^2 -Sgrt[21) (3x ^ 2+Sgrt[2])]
out[4e3= -2 + 9x4
tn[507:= Expand [(1f2x^2- 3f5Y)^37
0ut
x6 9x''y 27 xz y, 27 y,
[5O1= - + -
8
20
50
125
In [577:= Expanst [( 2x+3y+4 ) ( 2x+Sy-8)]
0ut[513
-32-8x+4x=4y16xy15 yt
tn (53]:- Expand [ ( 3 x ^ 3 - 54 y ^ 2) ^ 4 ]
out [531 = 81 x^2 - 5832 x9 ys + 157464x6 y4 - 1889568 x3 y6 + 8503056
IMAGEN 4.2
Ptothctos nWeWes p tar,(otizaciQ+t con Mathema(ica.t'
In1547: Fat:torienv [ 1 xSgrt [ y] . 14x ^ 2 Sgrt [ y] -215grt[y]
u(541= 7 (-3 '/ +x , 2xt
I-.95]:= Factor[ %]
Ou95(= 7 (-1+x) (3+2x) íY
n(567 Factor [ 9 y^4-O1x^2]
ou(6B7- -9 (3x -y`) (3x yt)
In(57(= FaCtOr I -4 y "2 - 144 y " 0 + 48 y" 5)
0497(. -4 yt (-l + 6 yt) t
(<. In96S) Factor 19 y ^ 2 - 30y . 253
5t[SS(- (-5.3y)`
In(591* Factor [ 6x"4y " 6-9x^2y"3-60]
.,Y ou[e9 (= 3 (-4+xtyt) (5 +2 xt yt)
In(60]:= Factor [ 0 x^3 - 125 y^ 3]
O 907= (2x-5y) (4xt.lo xy.25yt)
'? In[J 17:• Factor [x^2 _2 xy . Y"2 - z^2]
oupt)' (x -y-z) (x-Y+z)
205
206
Álgebra básica
Para simplificar expresiones algebraicas, el paquete brinda las instrucciones
siguientes:
SimpliMexpresiónj. Busca una forma simple de expresión, utilizando transformaciones algebraicas.
FulíSimplM
iexpresión_/ Encuentra la forma más simple de expresión , utilizando
incluso transformaciones no algebraicas.
Together jexpresiónj Coloca todos los términos sobre un común denominador.
^lpartfexpresiónj. Separa términos con denominadores simples (véanse imágenes 4 .3 y 4.4).
Cancelfexpresiónj Cancela factores comunes entre numeradores y denominadores.
IMAGEN 4.3
L Proúa s notabtes y laciatízacíím can MatF e*ie&, b'
In 8^= t= (x-1)^2(2x)1«1+x ) ( x-3)^2)
I{. aucmel°
1,1%)
Dame)-
(-l+x)t (2+x)
(-3+x)t (1+x)
Expand[í]
2
3x
x3
(-3+x)t (1+x) (-3+x)t (1+x) (-3+x )t (1+x)
mpu)= Expand)Il1[t]
2
1 Dap2j
3x
X3
9 + 3x-5xt+x3 9 + 3x-5xt .x3 +9+3x-5x2+x3
1-
I❑ [711:= Togetber[a]
oapil=
2-3x+x3
9+3x-5xt+x3
In[72):^ Ñpart[A1]
19
1 3a[r21- 1.
1
(-3+x)' 4 (-3+x) 4(1+x)
1-
In174)=Cancel[( 3x^2-Sx - 2)J(x12-4)]
1+3x
1
oapy= 2+x
In[5J:= Cancel[( 2-x -3x^ 2) 1 (6x ^ 2-x-2)]
'l
4. Factorización yfracciones algebraicas
207
IMAGEN 4.4
{ Oun57= 1x
.zx
I )761:• SieplifY [l óx^2Y ^ 4 (4sz^2 )(( ZV^3z^3l10x^9Y^41]
15
2tis'xiyz
mp7):' Siij1ify ((( 2xY-6Y " 2) J(3x^3-ix^2Y )) ((( 4xy - 12Y ^ 2) ((x+2Y)11
{3 x.2y
oap7)=
t 6x' (x-2y)
{
In (7$)= CaxCel [^]
^:, Ou (¡que
x+zy
In[70)= Together[(3/x^2)-(x/2Y)]
ou^e)= 6
x' Y
2xe
3 In(eq)+ Together [l5x/(y' 2 z1)+ (2Y /( xz^211]
ou^op
yf+Sx=z
X y'z7
Ejemplos resueltos con Mathematica
IMAGEN 4.5
m
Ejemplos de la sección 4.1
Factar[x ^ 2+x-6]
(-2 + x) (3 + x)
Facto=[4 x ^ 2-9116]
(-3 + 8 x) (3 + 6 x)
16
Eje~ los de la sección 4.2
Expand[ ( 2 a+5 b)^2]
4 a2 + 20 a b + 25 b2
Exgaand[ (t^2+7) (t^2-2)1
-14 + 5 t2
+ t
4
Expand[ (3u^3+4v^2) (3u^3-4v^2)]
9
- 16 4
v
u6
208
Álgebra básica
IMAGEN 4.6
- ir,
Ejemplos de la sección 4.3.1
Factor(25x ^4-30x^ 3+Sx^2]
5 (1 - 5 x) (1 - x) x2
Factor[12x^ 3-6x^2]
6 x2 (-1 + 2 x)
Factor[38x ^ 6-18x^3]
3
3
6 x (-3+5 x )
IMAGEN 4.7
Ejemplos sección 4.3.1
Factor [~ 10r^3u ^ 2t^4-20r ^ 3w^2t ^ 3-!Yjr^2z-4t^41
2
2
3
2
S r s t (-4 r- 2 r t+ s t)
Factor [x ^(2n.)+x^(2n+1)]
2 n
x (1
+
x)
4. Factorización yfracciones algebraicas
IMAGEN 4.8
Sección 4.3.2
Ejemplo. 1
Factor [x^ 2+6x+9]
2
(3 + x)
Factor[x ^ 2-8x+16]
2
(-4
+
x)
Factor[9n ' 2-6x+1]
2
Ejemplo 2
Factor [8x ^ 6-27y^9]
2
3
4
2
3
6
( 2 x - 3 y ) ( 4 x + 6 x y + 9 y)
IMAGEN 4.9
Ejemplos de la sección 4.4
Factor[3x^2+7x-6x y-14y]
(7 + 3 x) (x - 2 y)
Ejemplos 2
Factor [ 5x z-5y z-x+y]
(-x + y) (1 - 5 z)
Factor[42-6u^3-7v^2+u^3 v^2]
3
2
(-7 + u ) (-6 + v
209
Álgebra básica
210
IMAGEN 4.10
Sección 4.5
Ejemglo 1
Factor [16a ^ 2+4Oa+25]
2
(5 + 4 a)
Eje~lo
2
Factor[4x ^ 2-12x y+9y^2]
2
(-2 x + 3 y)
Factor [6x^2+5xc-6]
(3 + 2 x) (-2 + 3 x)
Factor[6x ^ 2+19x+1O]
(5 + 2 x) (2 + 3 x)
IMAGEN 4.11
Sección 4. 6
La división sólo se efectúa cuando el divisor es un
factor y se realiza a partir de la instruccón Sinfrlify[.]
Ejemplos
Sinsalify[( 2x^3-6x ^2-5x-12 )/(x-4)]
2
34-2x-+-2x
5i.mplify[( x^4-x^3-4x^2+2x +4)/(x-2)]
2-
2
x+
x
2
+
3
x
Factor[x ^ 3+x^2-4x-4]
(-2 + x) (1 + x) (2 + x)
4 Factorización y fracciones algebraicas
211
IMAGEN 4.12
n
Sección 4.8
Simpl1 ty[( 6x^2+5x- 4) /(4x^2 -4x+1)]
4 + 3 x
1 + 2 x
Si1t 1ity [( 2-9y+4y ^ 2)/(4-y^2)]
1 - 4 y
2 + y
Siii iity[ ( 25-x^2 ) / ( x^2-3x-1O) ]
5 + x
2 + x^
Sección 4.9
Cancel[ (( 3x y^2 ) f{4w z)) {6x ^ 3/(5 r'2 y))]
4
9 x y
10
3
w z
IMAGEN 4.13
Di,
Ejemplos sección 4.9.2
Cancel[ (( 6x^2 y ^ 3)/(4w z^2 ))/(( 2w^3 z^3 )/( lOx^4 y^4))]
6 7
15 x y
4 5
2 w z
Cancel[(( 2x y-6y ^ 2)/(3x^3+6x ^2 y))/((4x y-12y^2)/( x+2y))]
1
2
6 x
11
Álgebra básica
212
IMAGEN 4.14
Sección 4.10
Para sacar el camón denominador se usa la instrucción
together [.]
Together [( 5y)/(21x) + (7z )/( 3x)]
5 y + 7 z
3 x
Together[3/x^2-x/(2y)]
3
x + 6 y
2
2x y
Together [ 5x/(y^2z )+ 2y/(x z^2)]
3 2
2 y + S x z
2 2
x y z
Together [ 3/(x-.7)-5/x]
-35 - 2 x
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Tema 4.2
1. x1-3x-28
2. 12x2 - 28y2
3. 6x2 - (1/6)y2
4. a4+a2- 12
5. 4x2-12xy+9y2
6. x+2(Íx)(: )+Y
7. 2x- 16y4
4. Factorización yfracciones algebraicas
213
8. a2+2ab+b2-c2
Tema 43
1. d)x4-2x2+1
2. c) 9x(x- 9y)(-r+ 9y)
3. a)(x+5 )(x2-5x+25)
4. d) Ninguno de los anteriores
5. e) (x2 - -Y 3)(X4 + x2 y3 + y6)
6. d) 2xy(y2 + 4)(y + 2)(y - 2)
7. d) Ninguna de las anteriores
8. c)882 -872=175
Tema 4.5
1. a) El primer y tercer términos del trinomio son cuadrados perfectos , es decir,
(3x)2 y (4y)2, y 24xy es 2(3x)(4y).
De aquí que se aplique el caso primero del binomio al cuadrado y se obtenga:
9x2 + 24xy + 16y2 = (3x + 4y)2
b) El primer y tercer términos son los mismos que los del inciso a), pero
debido a que el término medio del trinomio es -24xy, se considera a 16y
como (-4y). Del caso primero del binomio al cuadrado:
9x+ 25xy+ 16y= (3x- 4y)
Álgebra básica
214
c) Se tiene un polinomio de segundo grado del tipo que se indica en el punto 2
del caso sexto del binomio con término común. Mediante aproximaciones sucesivas se obtiene:
9x2 + 25xy+ 16y2 = (9x+ 16y)(x+y)
d) Una vez más se tiene un trinomio de segundo grado del tipo que se indica en
el punto 2 del caso sexto , y nuevamente por aproximaciones sucesivas queda:
9x' - 145xy + 16y2 = (9x - y)(x - l6y)
e) Se tiene un binomio que es la diferencia de dos cuadrados , por lo que se
aplica el caso tercero y resulta:
9x2 - l 6y2 = (3x + 4y)(3x - 4y)
f) Este binomio es la suma de dos cuadrados.
Tema 4.8
1.
2.
3x2-5x-2
(3x+1)(x-2)
3x+1
x2-4
(x-2)(x+2)
x+2
2-x-3x2
6x2-x-2
(1+x)(2-3x)
(2x+1)(3x-2)
-(1+x)
2x+1
donde se utiliza el hecho de que (2 - 3x) = -(3x - 2). Esto explica el signo
menos en la respuesta final.
3 3x2-x-10 (x+2)(3x-5)3x-5
x2 +5x+6
(x+2)(x+3) x+3
6x`y -2y _ 2y(3x2 -1) - 3x2 -1
4. = = - Factorizar y luego utilizar la propiedad
4xy 2y( 2x) 2x fundamental de las fracciones
4 Faciorización y fracciones algebraicas
215
Tema 4.9
La multiplicación y división se manejan usando las reglas para cocientes de números reales y después se simplifica:
1.
C
4x 3x2y2 _ (22x)(3x2y2)
10 (3y)(2 * 5)
(3y
2x3y((2)(3y))
5((2)(3y))
2x3y
5
2.
x-5 4x2+12x+9 x-5
4x2-9 2x2-1lx+5 (2x+3)(2x-3)
(2x+3)2
(2x-1)(x-5)
(2x + 3)[(2x + 3)(x - 5)]
(2x - 3)(2x - 1)[(2x + 3)(x - 5)]
_ 2x+3
-----------(2x
- 3)(2x -1)
x2-6x+9 2x-2 _ (x-3)2(2(x-1)) 2(x-3)
3. í
x2-1 x-3)1 ((x-1)(x+l))(x-3) x+1
4.
4x2 -9y2
6x2-xy -12y2
xy+y2 xy+x2
((2x- 3y)(2x+3y»( x(y+x)
y(x+y) )^(2x-3y)(3y+4y))
x(2x - 3y)(2x + 3y)(y + x)
y(x + y)(2x - 3y)(3x + 4y)
x(2x + 3y)[(x+ y)(2x - 3y)]
y(3x + 4y)[(x + y)(2x - 3y)]
x(2x + 3y)
y(3x+4y)
2x2 +2xy
4y2 + 3xy
216
5.
Álgebra básica
28C4 d' 8c d4b -((22)(7a4d3)
(3)52a4b)
(2)(32)(5á3b2c2d4)
(-1.2)(3)(52)(7a4bC4d3)
_ (2)(3bd(22 * 3 * 5a3bc2d3))
-----------------(-5)(7ac2(22 * 3 * 5a3bc2d3))
6bd
35ac2
6.
x+2 x2-4 (.x+2
2x-3 2x2-3x 2x-3
2 -3x) (x + 2)(x(2x - 3)) x
x2 -4 ) (2x - 3)(x + 2)(x - 2) x-2
BIBLIOGRAFÍA
Lovaglia, Florence M., el al, Álgebra, Harla, México, 1994.
Swokowski, Earl W., Álgebra universitaria Compañía Editorial Continental,
México, 1971.