I. Selecciona la mejor contestación (15%)

Primer Examen Cálculo I
RUM-Ciencias Matemáticas
17 de febrero del 2016
Nombre y número de estudiante_______________________________________
Profesor y sección_______________________________________________
Instruccciones. Lea cuidadosamente cada pregunta. En la primera parte seleccione la mejor alternativa.
En la segunda parte, llene los blancos. En las preguntas abiertas presente todo su trabajo. No se permite el
uso de calculadora grá…ca.
I. Selecciona la mejor contestación (15%)
1. El límite de la función
no existe en
8 2
< x +1
0
f (x) =
:
1 2x
si x < 0
si x = 0
si x > 0
a. x = 0
b. x = 1
c. siempre existe
d. ninguna de las anteriores
2. La función
8 2
< x +1
0
f (x) =
:
1 2x
es discontinua en
a. x = 0
b. x = 1
c. es continua en todo su dominio
d. ninguna de las anteriores
3. limx!1
1
=
x
a. 2
b. 0
c. 1
d. ninguna de las anteriores
4. limx!0+
1
x
1
jxj
=
a. 1
b. 0
c. 1
d. ninguna de las anteriores
si x < 0
si x = 0
si x > 0
5. limh!0
p
2+h
h
p
2
=
a. no existe
b. 0
1
p
2 2
d. ninguna de las anteriores
c.
Contestaciones
1_C_ 2_A_
3_B_ 4_B_ 5_C_
II. Llene los blancos (15%)
6. Una función f es continua en x = a si limx!a f (x) = f (a)
7. Una función f es diferenciable en x = a si limx!a
f (x)
x
f (a + h)
f (a)
= limh!0
a
h
f (a)
existe
8. Si limx!a+ f (x) = 1; y limx!a f (x) = 0 decimos entonces que
limx!a f (x) no existe. Además, f es discontinua en x = a
9. Si f (x) =
2x2 + 1
; sus asíntotas verticales y horizontales son verticales: x =
3x2 + 2x 1
1
2
1; ; horizontales y = :
3
3
10. Un ejemplo de una función diferenciable que no es continua es no existe. Toda función diferenciable es continua
III. Conteste las siguientes preguntas (75%)
1
1
x2
2
11. (6%) Halle limh!0
(x + h)
h
= limh!0
x2
2
(x + h)
(x + h)
2
x2 h
= limh!0
x2
x2
2xh
2
(x + h)
h2
x2 h
2
x3
12. (20%) Dada la siguiente grá…ca, conteste lo siguiente:
y
20
15
10
5
-5
-4
a. limx!
1
f (x) = 0
b. limx!
1+
f (x) = 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
= limh!0
h(2x + h)
2
(x + h) x2 h
=
c. limx!
1
f (x) = 0
d. limx!1 f (x) = 2:5
e. limx!1+ f (x) = 0
f. limx!1 f (x) NO EXISTE
g. ¿Donde f NO es diferenciable? ¿Donde f NO es continua? Explique Hay discontinuidad de
salto en x = 1; No es difereniable en x = 1; 1. En x = 1 por cambio abrupto y en x = 1 por
discontinuidad.
13. (10%) Usando la de…nición de dervada, encuentre la ecuación de la tangente a f (x) = 4x
(2; 4) :
limx!2
4x
y + 4 = 8(x
y = 8x + 12
3x2 ( 4)
= limx!2
x 2
2)
(3x + 2)(x
x 2
2)
=
8
3x2 en
14. (20%) Determine los siguientes límites:
a. limx!2
x2
x
4
(x
= limx!2
2
1
x
b. limx!0+ arctan
c. limx!
= limx!
d. Si 2x
1
g(x)
1
p
x
4x2
q
x4
2) (x + 2)
= limx!2 (x + 2) = 4
x 2
= limy!1 arctan (y) =
+ 3x + 2x = limx!
3x
4+
=
3
x
2x
p
1
2
p
4x2 + 3x + 2x
4x2 + 3x
p
4x2 + 3x 2x
2x
=
3
4
x2 + 2; entonces limx!1 g(x)
Como limx!1 2x = limx!1 x4
x2 + 2 = 2; Por el "Squeezing Theorem", limx!1 g(x) = 2
15. (7%) Demuestre que una solución de la ecuación x4 + x = 3 se encuentra en el intervalo ( 2; 1) :
Justi…que su respuesta.
Sea f (x) = x4 +x 3:Entonces f es continua en el intervalo ( 2; 1) : Además, f ( 2) = 11; y f ( 1) =
Como 0 está en [ 3; 11] ; por el TVI existe c 2 ( 2; 1) con
3:
f (c) = 0:
Es decir, existe un c 2 ( 2; 1) con
c4 + c
3=0
16. (4%) El límite
lim
e
2+h
e
2
h
representa la derivada de una función f en un valor especí…co x = a: Halle f y el valor de a :
h!0
Como
e
2+h
e
h
2
=
o simplemente limh!0
e
2+h
+e
h
e 2+h e
h
2
; si f (x) =
e
x
; y a = 2 limh!0
2
= f 0 ( 2) si f (x) = ex y a =
e
2+h
h
e
2
= f 0 (2)
2:
1
17. (8%) Usando la de…nición de derivada, halla f 0 (x) si f (x) = p : Determine el dominio de f y de f 0 :
x
1
1
p
p
p
h
x
x+h
x
x+h
p
f 0 (x) = limh!0
= limh!0 p p
= limh!0 p p
=
p
h
h x x+h
h x x+h x+ x+h
El dominio de ambas f y f 0 es (0; 1) :
p
1
p
2x x