José Antonio Pastor González CAP

Universidad
de Murcia
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA
EL ESTUDIO DEL MEDIO AMBIENTE
Dpto. Matemáticas
Profesor: José Antonio Pastor González
CAPÍTULO 1: FUNCIONES
Nota 1: Salvo que se especifique lo contrario, la coma decimal se expresará con un punto o
con una coma escrita como superı́ndice (como un acento).
Nota 2: Estos ejercicios también están incluidos en el guión correspondiente al capı́tulo 1
que el profesor facilitará a lo largo de esta semana.
1.1. La superficie de la tierra consta de un 71 % de agua y el resto de tierra. Dos quintas
partes de la tierra son desierto y hielos perpetuos, mientras que un tercio está formado
por pastos, bosques y montañas; el resto está cultivado. ¿Cuál es el porcentaje de tierra
cultivada con respecto al total de la superficie terrestre?
1.2. Cada mes del año 1980 la población mundial se incrementa en una cantidad de 5, 2
millones de personas. Si la población en el año 1980 es de 3800 millones de personas,
calcula la tasa de crecimiento en ese año.
1.3. Un isótopo del radio Ra228 pierde el 10 % de su intensidad I cada año. Si I0 denota la
intensidad inicial, ¿cuál es la intensidad después de 1 y 2 años? Encuentra una fórmula
válida para t años cualesquiera.
1.4. En una muestra de población adulta, algunos genetistas han encontrado 219 personas
con diabetes mellitus, 380 personas con una diabetes más suave y 3050 personas sin
diabetes. Encuentra los porcentajes de cada grupo.
1.5. Del total de una población, el 15 % se vio afectada por una epidemia. El 8 % de las personas afectadas fallecieron. Calcula el porcentaje de fallecidos en relación a la población
inicial total.
1.6. Gracias a la revolución verde, un granjero fue capaz de incrementar su cosecha de
trigo un 45 %. Posteriormente, perdió el 20 % por el ataque de una plaga inesperada.
¿Hubiera resultado igual si primero pierde el 20 % por la plaga y luego aumenta la
cosecha en un 45 %?
1.7. La diferencia entre el valor medido y el valor exacto de una cantidad se denomina error
absoluto. Si dividimos el error absoluto por el valor exacto se obtiene el error relativo,
que usualmente se escribe como un porcentaje. Encuentra los errores relativos en estas
medidas y justifica cuál de ellas es más precisa:
1. Valor medido: 0.00034m Valor exacto: 0.000315m
2. Valor medido: 0.00213cm Valor exacto: 0.00222cm
3. Valor medido: 3.4km Valor exacto: 3.40001km
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1.8. Sea A el conjunto dado por A = {0, 1, 2, 3, 4}. La desigualdad x + y ≥ 3 define una
relación en el conjunto producto A×A. Representa gráficamente esta relación. ¿Cuántos
elementos tiene el conjunto A × A? ¿Y la relación? ¿Es ésta una función? Justifica tu
respuesta.
1.9. En un ecosistema marino el fitoplancton es comido por el zooplacton, por los omnı́voros, o desaparece. A su vez, el zooplancton es comido por omnı́voros, por carnı́voros o
desaparece. Finalmente, los omnı́voros y carnı́voros se comen entre ellos o desaparecen.
Con este esquema en mente, define una relación en el conjunto S ×S donde S es el conjunto formado por {fitoplancton, zooplancton, omnı́voros, carnı́voros} y represéntala
gráficamente.
1.10. La tierra tiene una circunferencia aproximada de 40000 kilómetros. Supongamos que
un alambre se encuentra alrededor del ecuador a nivel del suelo. Si le añadimos 10 metros al alambre podrı́amos colocarlo a una cierta altura con respecto al suelo. ¿Será capaz un ratón de saltarlo?
1.11. Una función lineal q = q(t) toma los valores q(14) = 880 3 y q(39) = 890 6. Encuentra
una expresión para dicha función.
1.12. El dióxido de carbono tiene una concentración de 313 ppm en una cierta capa de la
atmósfera tal y como se midió en el año 1990. En el año 2000 esta concentración pasó a
ser 321 ppm. Se supone que la relación entre el tiempo y la concentración es lineal.
¿Podrı́as estimar la concentración en los años 2010, 2020 y 2030?
1.13. Averigua si los puntos (10 5, −2), (40 5, 20 5) y (12, 130 75) están alineados.
1.14. Encuentra los puntos que verifican las siguientes condiciones:
Los puntos (x, y) que cumplen x + y < 5
Los puntos (x, y) que cumplen x − y < 5
Los que cumplen ambas condiciones
1.15. Una parcela que no supera las 10 hectáreas puede ser plantada con trigo y patatas.
La ley evita hacer un monocultivo y requiere que, a lo más, el 70 % del área se reserve
a una de las dos especies. Si x representa el número de hectáreas plantadas de trigo e
y el de patatas, encuentra gráficamente todas las posibles combinaciones de (x, y). Si
por cada kilo de patatas nos dan el doble que de trigo, ¿en qué punto nos situarı́amos
para obtener el máximo beneficio respetando las normas?
1.16. Una persona adulta necesita, al menos, 300 gramos de carbohidratos en su dieta diaria.
¿Qué posibilidades tiene si quiere estar bien nutrido a base de patatas y semillas de
soja? (datos: 100 gramos de patatas contienen 19 gramos de carbohidratos mientras
que 100 gramos de soja contienen 35). Representa gráficamente la respuesta.
1.17. Supongamos que todas las dimensiones lineales de un animal se incrementan en un
12 %. El animal tendrá entonces la misma forma pero, ¿cómo cambian (porcentualmente) la superficie de su piel y su volumen? (dato: el área o superficie es proporcional
al cuadrado longitud, mientras que el volumen es proporcional al cubo de la longitud).
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1.18. Supongamos que todas las dimensiones lineales de un animal han crecido de forma
que su volumen se ha incrementado en un 60 %. ¿Cómo ha cambiado su superficie?
1.19. En un tramo de l kilómetros, y como consecuencia de unas obras, una carretera sólo
tiene un carril para que pasen los vehı́culos. Si los coches van a 100 km/h, entonces
deben observar una distancia de seguridad de 70 m, mientras que si van a 50 km/h,
deben separarse 25 m. ¿Cuál es la mejor elección para que pase un mayor número de
coches?
1.20. Sea x un número natural e y el resto de dividir x por 5(p.ej. si x = 14, entonces
y = 4). Comprueba que y es una función periódica de x. ¿Cuál es su perı́odo?
1.21. Expresa los ángulos 30, 45, 60, 120, 135 y 270 (que están escritos en grados) en
radianes.
1.22. ¿Cuál es el perı́odo de la función sen(x − π)? ¿Y el de cos(πx − π/2)?
1.23. Un organismo está infectado con una población de N0 bacterias. El medio es muy
favorable y se dividen cada 2 horas. ¿Cuántas bacterias habrán en el medio tras 24
horas? ¿Cuánto tiempo tardan en incrementar la población inicial en un 50 %?
1.24. La vida media de un isótopo del potasio es de 12.5 horas. Si N0 es la cantidad original
de átomos, ¿cuántos quedarán después de dos dı́as y dos horas? ¿Cuántas horas pasarán
hasta que queden (1/1024)N0 átomos?
1.25. Una polilla hembra (Tinea pellionella) pone aproximadamente 150 huevos. En un año
llegan a vivir cinco generaciones. Cada larva come 20 mg de lana. Supongamos que 2/3
de los huevos no tienen éxito y que el 50 % de las polillas restantes son hembras. Estima
la cantidad de lana que puede ser destruida por los descendientes de una hembra a lo
largo de un año.
1.26. Encuentra las funciones inversas de las siguientes funciones: a) y = −2x + 3; b)
y = x2 + 2 con x positivo; c) y = x2 + 2 con x negativo; d) y = 1/x2 con x positivo; e)
y = 1 + (1/x) con x positivo.
1.27. La población mundial se estimaba en 1970 que era 30 7 × 109 personas. La tasa de
crecimiento anual es aproximadamente del 2 %. ¿Qué población se esperaba para el
año 2000?
1.28. En un cierto estado de EE.UU. la población se incrementó desde 291000 personas en
1960 hasta 480000 en 1970. Si suponemos que el crecimiento ha sido exponencial, ¿cuál
es la tasa de crecimiento anual? ¿Cuándo se doblará la población?
1.29. Cuando un cuerpo es rodeado por un lı́quido congelante de temperatura constante T0 ,
la temperatura del cuerpo decrece de acuerdo con la fórmula
T = T0 + ae−kt
donde t es el tiempo y a, k son constantes positivas. Intenta dibujar la gráfica de esta
función. ¿Cuál piensas que será la temperatura final del cuerpo? ¿Sabrı́as despejar la
constante k?
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1.30. El agua en un lago contiene sedimentos cuya presencia reduce la transmisión de la luz
a través del agua. Los experimentos indican que la intensidad de la luz se reduce en
un 10 % al pasar a través de 20cm de agua. Supongamos que el lago es uniforme con
respecto a la cantidad de sedimento. Un instrumento de medición puede detectar luz
hasta de una intensidad del 0.17 % de la luz solar total. Este instrumento es sumergido
en el lago. ¿A qué profundidad dejará inicialmente de registrar la presencia de la luz?
1.31. Resuelve las siguientes ecuaciones:
log10 (4x + 1) = log10 (x + 2)
log10 x + log10 2 = 1
34x = 9x+1
43−x = 1/16
log10 x + log10 (10x) = 3
log3 x + 1 = log3 (x − 1) + 1
ln(logx 2) = −1
log2 x + log4 x = 3
1.32. El pensador griego Erastótenes de Cirene fue el primer hombre en demostrar que la
Tierra no era plana. Para ello, observó en primer lugar que en el solsticio de verano –
el dı́a más largo del año – los objetos no proyectaban sombra alguna en el lugar en que
vivı́a (Siena, Egipto) pero sı́ proporcionaban una sombra – muy exigua, eso sı́ – 600
km más al norte en Alejandrı́a. Tomó entonces un gnomon (un palo completamente
recto) y lo colocó en Siena el dı́a del solsticio; comprobó efectivamente que el gnomon
no proporcionaba sombra alguna. Esperó todo un año y unos dı́as antes del solsticio
se desplazó a Alejandrı́a. Allı́ volvió a repetir el experimento y observó que el gnomon
proporcionaba una leve sombra. Con esta sombra determinó el ángulo α y junto con la
distancia de 600 km, estimó que la circunferencia de la tierra debı́a tener unos 40000
km. ¿Sabrı́as decir qué ángulo midió Erastótenes en su experimento?
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