Sucesiones (II) Sucesiones mon ótonas Sucesiones acotadas

Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
1
Monotonı́a y acotación
2
Sucesiones divergentes
3
Criterio de Stolz
4
Fórmula de Stirling
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Sucesiones (II)
Sesión teórica 6 (págs. 38-43)
4 de septiembre de 2010
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Sucesiones monótonas
Definicion
Sea {an } una sucesión de numeros reales. Diremos que:
1
2
3
4
{an } es monótona creciente si an ≤ an+1 para todo
n ∈ N.
{an } es monótona decreciente si an ≥ an+1 para todo
n ∈ N.
{an } es estrictamente creciente si an < an+1 para todo
n ∈ N.
{an } es estrictamente decreciente si an > an+1 para todo
n ∈ N.
Una sucesión se dice que es monótona si cumple cualquiera
de las propiedades anteriores.
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Sucesiones acotadas
Definicion
Sea {an } una sucesión de números reales. Se dice que:
1
2
3
{an } está acotada superiormente si existe M ∈ R tal que
an ≤ M para todo n ∈ N, es decir, si el conjunto de
números reales {an : n ∈ N} está acotado superiormente.
{an } está acotada inferiormente si existe N ∈ R tal que
an ≥ N para todo n ∈ N, es decir, si el conjunto de
números reales {an : n ∈ N} está acotado inferiormente.
{an } está acotada si existe M ∈ R tal que |an | ≤ M para
todo n ∈ N, es decir, si el conjunto {an : n ∈ N}
está acotado superior e inferiormente.
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Monotonı́a, acotación y convergencia
Teorema
Toda sucesión convergente está acotada.
El recı́proco no es cierto. Ejemplo: {0, 1, 0, 1, . . .}.
Ejemplo:
√ Demuestra
√ que la sucesión definida por la recurrencia
x1 = 2 , xn+1 = 2 + xn es convergente aplicando el
Teorema de la Convergencia Monótona y calcula su lı́mite.
Teorema de la Convergencia Monótona
Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
(es importante aquı́ el uso del Principio de Inducción)
En la práctica se utiliza esta consecuencia:
1
Toda sucesión monótona creciente y acotada
superiormente es convergente.
2
Toda sucesión monótona decreciente y acotada
inferiormente es convergente.
Ejemplo: Prueba que xn =
Monotonı́a y acotación
1·3·5···(2n−1)
2·4·6···(2n)
Sucesiones divergentes
1
Monotonı́a y acotación
2
Sucesiones divergentes
3
Criterio de Stolz
4
Fórmula de Stirling
converge.
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Definición
Sea {an } una sucesión de números reales. Diremos que:
1
2
3
4
es divergente si no es convergente.
diverge a +∞ si para todo M ∈ R existe nM ∈ N tal que
an ≥ M para todo n ≥ nM ;
diverge a −∞ si para todo M ∈ R existe nM ∈ N tal que
an ≤ M para todo n ≥ nM ;
diverge a ∞ si la sucesión {|an |} diverge a +∞.
Recta real ampliada: R∗ ≡ Conjunto formado por la recta real R
y los sı́mbolos +∞ y −∞, es decir, R∗ = R ∪ {+∞, −∞}.
Sabemos el significado de lı́m xn = α ∈ R∗ .
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Operaciones con sucesiones divergentes
1
Si
2
Si
3
Si
4
Si
5
Si
6
Si
7
Si
8
Si
9
Si
lı́m an = +∞ y
n→+∞
lı́m an = +∞ y
n→+∞
lı́m an = −∞ y
n→+∞
lı́m an = −∞ y
n→+∞
lı́m an = +∞ y
n→+∞
lı́m an = +∞ y
n→+∞
lı́m an = +∞ y
n→+∞
lı́m an = +∞ y
n→+∞
lı́m an = −∞ y
n→+∞
Monotonı́a y acotación
lı́m bn = +∞ entonces
n→+∞
lı́m (an + bn ) = +∞.
n→+∞
lı́m bn = −∞ entonces
lı́m bn = b ∈ R entonces
lı́m bn = b > 0 entonces
lı́m bn = b < 0 entonces
n→+∞
lı́m bn = +∞ entonces
lı́m bn = −∞ entonces
n→+∞
lı́m bn = −∞ entonces
n→+∞
Sucesiones divergentes
10
Si
11
Si
n→+∞
12
Si
lı́m (an + bn ) = −∞.
13
Si
14
Si
n→+∞
lı́m (an · bn ) = +∞.
n→+∞
15
lı́m (an · bn ) = −∞.
n→+∞
lı́m (an · bn ) = +∞.
Si
16
Si
17
Si
n→+∞
lı́m
n→+∞
lı́m (an · bn ) = +∞.
lı́m an = +∞ entonces
lı́m an = −∞ entonces
n→+∞
Fórmula de Stirling
Lı́mite
lı́m an + bn
Se produce indeterminación cuando
a = +∞ y b = −∞
Tipo
∞−∞
lı́m an bn
a = ±∞ y b = 0
∞·0
a = b = ±∞
a=∞yb=0
∞
∞
0
0
∞0
lı́m anbn
a=b=0
00
lı́m anbn
a=1yb=∞
1∞
n→+∞
n→+∞
lı́m 1
n→+∞ an
= +∞.
lı́m ean = +∞.
n→+∞
lı́m ean = 0.
n→+∞
lı́m an = +∞ y an > 0 para todo n ∈ N entonces
n→+∞
lı́m an = 0 y an > 0 para todo n ∈ N entonces
n→+∞
lı́m an = a > 1, an > 0 para todo n ∈ N y
Si
n→+∞
lı́m log(an ) = +∞.
n→+∞
lı́m log(an ) = −∞.
n→+∞
lı́m bn = +∞ entonces
n→+∞
lı́m an = a >, 0 < a < 1, an > 0 para todo n ∈ N y
n→+∞
Monotonı́a y acotación
lı́m bn = +∞
n→+∞
lı́m anbn = 0.
n→+∞
Sucesiones divergentes
n→+∞
a=b=0
= 0, an = 0 ∀n ∈ N.
= −∞.
n→+∞
entonces
1
Monotonı́a y acotación
2
Sucesiones divergentes
3
Criterio de Stolz
4
Fórmula de Stirling
n→+∞
lı́m an
n→+∞ bn
lı́m an
n→+∞ bn
lı́m anbn
n→+∞
lı́m an = 0 y existe n0 ∈ N tal que an < 0 para todo n ≥ n0 entonces
Sean dos sucesiones {an } y {bn } tales que lı́m an = a y
n→+∞
1
an
lı́m an = 0 y ∃n0 ∈ N tal que an > 0 ∀n ≥ n0 entonces
n→+∞
Indeterminaciones
n→+∞
Fórmula de Stirling
lı́m anbn = +∞.
18
n→+∞
lı́m bn = b.
Criterio de Stolz
n→+∞
lı́m (an · bn ) = −∞.
n→+∞
Criterio de Stolz
lı́m an = ±∞ entonces
n→+∞
n→+∞
lı́m 1
n→+∞ an
lı́m (an + bn ) = −∞.
n→+∞
n→+∞
lı́m (an + bn ) = +∞.
n→+∞
n→+∞
Sucesiones divergentes
Más propiedades
n→+∞
lı́m bn = b ∈ R entonces
n→+∞
Monotonı́a y acotación
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Criterio de Stolz
Criterio de Stolz
Sean {an } y {bn } dos sucesiones tales que
(a) {bn } monótona creciente y divergente a +∞
a
−an
(b) lı́m bn+1
= λ ∈ R ∪ {−∞, +∞}
n+1 −bn
n→∞
Entonces
Monotonı́a y acotación
an
= λ.
lı́m
n→∞ bn
Sucesiones divergentes
Criterio de Stolz
Fórmula de Stirling
Fórmula de Stirling
Teorema (Stirling)
lı́m √
n→∞
CONSECUENCIA
n! ≈
n!
2πn nn e−n
√
=1
2πn nn e−n
Es decir, n! es equivalente a esa expresión. Eso significa que
para calcular un lı́mite en el que n! es un factor del numerador
o del denominador de la sucesión podemos sustituirlo por ella.
√
Ejemplos: { n n!}, { 1·3·5···(2n−1)
2·4·6···(2n) }
1
Monotonı́a y acotación
2
Sucesiones divergentes
3
Criterio de Stolz
4
Fórmula de Stirling
Monotonı́a y acotación
Sucesiones divergentes