Tema IV Torsión en barras prismáticas Mecánica de materiales – Torsión Torsión La torsión pura se presenta en toda barra recta cuando las fuerzas solicitantes actúan sólo en las bases extremas, y equivalen mecánicamente a dos pares de sentido opuesto, cuyo eje coincide con el eje de la pieza. Siendo la barra de sección constante, todas las secciones transversales están solicitadas en idéntica forma. En cuanto a la deformación presenta como característica mas acentuada, un giro elemental de cada sección, con respecto a la inmediata, alrededor del eje de la pieza. Mecánica de materiales – Torsión Ilustración de la deformación por torsión Mecánica de materiales – Torsión Secciones Macizas Sección circular. Sección elíptica. Sección triangular equilátera e isósceles. Sección rectangular y rectangular estrecha. Sección segmento circular y sector circular. Sección diamante y diamante truncado Sección trapezoidal. Sección paralelogramo. Otras. Mecánica de materiales – Torsión Barra recta de sección circular Consideremos un barra recta de sección circular empotrada en uno de sus dos lados, sobre la cual actúa un momento torsor; se toma el plano XY como el plano de la base, y el eje OZ coincide con la directriz de la barra como se indica en la siguiente figura. Mecánica de materiales – Torsión Barra recta de sección circular Mecánica de materiales – Torsión Distribución de esfuerzos en la sección Y max X max max Mecánica de materiales – Torsión Desplazamientos De la figura, notamos que los desplazamientos son: u r cos r cos v r sin r sin Con las identidades trigonométricas y tomando en cuenta que para ángulos muy pequeños de giro Cos() =1 y Sen() = tendríamos: u y v x Mecánica de materiales – Torsión desplazamientos Hay que tomar en cuenta que cada sección transversal sufre un giro diferente proporcional a la distancia Z que hay hasta la base fija: u yz v xz w0 Donde θ es el ángulo de torsión por unidad de longitud a lo largo de la dirección Z Mecánica de materiales – Torsión Tensor de esfuerzo para torsión pura ij 0 0 xz 0 0 yz zx zy 0 Donde: zx G zx w u GY G x z zy G zy w v G GX y z Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte y ángulo de giro max Donde: TR J0 T GJ 0 J0 R 4 2 El esfuerzo máximo se produce en el contorno (x=±R, y=0) y (x=0 , y=±R) entonces el esfuerzo de corte máximo sería: T zy x J0 T zx y J0 Mecánica de materiales – Torsión Desplazamientos en función del momento torsor T u GJ 0 T v GJ xz w 0 0 yz Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión Es la relación que existe entre el momento torsor y el ángulo de giro. R D 2 T 4 G J oG Mecánica de materiales – Torsión Torsión en barras de sección elíptica Y (0,b) (-a,0) max (a,0) max max (0,-b) X Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión 4G 4 4 b Iy a Ix D 2 2 x y donde I y a b 3 ; Ix ab 3 4 4 sustituyendo y simplificando se tiene DG a 3b 3 a b 2 2 Mecánica de materiales – Torsión Ángulo de giro El ángulo de giro experimentado por la sección por unidad de longitud esta dado por: T D Sustituyendo el valor de D se tiene: 2 2 T a b 3 3 G a b Mecánica de materiales – Torsión Alabeo de una sección elíptica b a>b a Mecánica de materiales – Torsión Función de alabeo Φ(x,y) y función conjugada Ψ(x,y) b a xy x, y 2 2 b a 2 2 b a 2 2 x, y y x 2 2 2b a 2 2 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo 2 zx 2 zy 2T x 2 y 2 4 4 ab a b El esfuerzo de corte máximo ocurre en los extremos del eje menor de la elipse de contorno, es decir, en x=0 e y=±b sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se tiene: max 2T 2 ab Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo Y (0,b) (-a,0) max (a,0) (0,-b) X Mecánica de materiales – Torsión Alabeo de la sección T a2 b2 u x, y, z yz 3 3 G a b 2 2 T a b v x, y, z xz 3 3 G a b 2 2 T b a xy w x, y, z 3 3 G a b Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección triangular equilátera Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión y ángulo de giro 3 4 D Ga 80 T T 80 4 D G 3a Mecánica de materiales – Torsión Alabeo de una sección triangular Mecánica de materiales – Torsión Función de alabeo y función conjugada 2 2 3 y axy x ( x, y ) 3a 2 x 2 x a 3a 2 3 6 3 2 2 ( x, y ) y 2 y 3a 6axy x 6 y 3a 6a Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo y ángulo de giro 80T 5 a 2a y 2 x a y y xa x 3 2 2 2 El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el centro de cada lado del triángulo, por ejemplo para el lado AC el esfuerzo máximo está en x=a/2 e y=0 max 20T 3 a Mecánica de materiales – Torsión Alabeo de la sección 80T u ( x, y , z ) yz 3 3Ga 80T v ( x, y , z ) xz 3 3Ga 2 2 80T y axy x 3a 2 x w( x, y, z ) 5 2 x a Ga 2 3 6 Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección rectangular Y a/2 (0,b/2) b/2 T (-a/2,0) x zx dy zy (0,-b/2) (a/2,0) Para verificar que la sección rectangular no sea estrecha se debe cumplir que b/a ≤5 Mecánica de materiales – Torsión Alabeo de una sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión Función de alabeo y función conjugada 1 senhn y senhn x ( x, y) xy 3 n 0 nb 3 2n 1 cosh 8a 2 n 2 2 1 senhn y senhn x nb 3 n 0 2n 1 cosh 2 a 1 2 2 8a ( x, y) y x 3 4 2 n 2 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzos cortantes 1 senhn y cosh n x zx Ga 2 n 0 n b 2 2n 1 cosh 8 n 2 x 4 zy 2Ga 2 a n 1 cosh n y senhn x n b 2 n 0 2n 1 cosh 2 Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión n b tanh 1 192a 2 3 D Gba 1 5 5 3 b n 0 2n 1 D Gba 3 K1 Mecánica de materiales – Torsión Ángulo de giro T 3 K1Ga b donde : tanh b n 1 192a 2 K1 1 5 5 3 b n 0 2n 1 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max T 2 K 2a b donde : K1 K2 K 4 1 K 2 1 3 2 n 0 2n 1 cosh n b 2 Mecánica de materiales – Torsión Constantes de torsión para una barra de sección rectangular b/a K K1 K2 1,00 0,675 0,1406 0,208 1,20 0,759 0,166 0,219 1,50 0,848 0,196 0,231 2,00 0,930 0,229 0,246 2,50 0,968 0,249 0,258 3,00 0,985 0,263 0,267 4,00 0,997 0,281 0,282 5,00 0,999 0,291 0,291 10,00 1,000 0,312 0,312 ∞ 1,000 1/3 1/3 Mecánica de materiales – Torsión Sección triangular isósceles c a b Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max T Q para 90 Q 0,0554 c 3 para 60 Q 0,0500 c 3 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario 3 3 T ab donde K 2 2 15a 20b KG para 90º , K 0,0261c 4 para 60º , K 0,0216 c Rigidez de torsión: D = KG 4 Mecánica de materiales – Torsión Sección segmento circular R Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max T Q Q CR donde 3 0º 30º 60º 80º 90º C π/2 1,25 0,8 0,49 0,35 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario T KG K CR donde 3 0º 30º 60º 80º 90º C π/2 1,47 0,91 0,48 0,296 Rigidez de torsión: 3 D = KG=CR G Mecánica de materiales – Torsión Sección diamante y diamante truncado B A Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max Tc K C depende de y de h’/h Valores de c punto h’/h 90º 80º 70º 60º 50º 40º 30º B 1,000 0,675 0,656 0,637 0,585 0,536 0,448 0,356 A 0,750 0,589 0,527 0,452 0,378 0,288 0,138 --- B 0,750 0,651 0,646 0,635 0,596 0,555 0,485 0,382 A 0,500 0,699 0,608 0,541 0,467 0,417 0,368 0,292 B 0,500 0,511 0,547 0,551 0,548 0,616 0,475 0,437 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario y rigidez de torsión T D = KG KG Cuando = 70º y h’ > 0,75h el valor de K sería: 2 0 , 5 sin 0 , 25 sin 4 K a 1 3cos Cuando > 70º y h’ > 0,75h ó h’ < 0,75h el valor de K sería: 4 A K 40 I P A area de sección transversal I P Momento polar de inercia Mecánica de materiales – Torsión Sección Trapezoidal b h Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max T Q Q cb donde 3 Valores de c h/b 0,577 1 2 3 4 90º --- 0,208 0,493 0,801 1,150 60º 0,077 0,184 0,474 0,781 1,102 45º --- 0,160 0,446 0,746 1,066 30º ---- --- 0,402 0,697 1,014 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario T KG donde K cb 4 Valores de c h/b 0,577 1 2 3 4 h/b>4 90º --- 0,141 0,457 0,790 1,123 --- 60º 0,038 0,125 0,436 0,768 1,101 h/3b-0,232 45º --- 0,104 0,398 0,729 1,061 h/3b-0,271 30º --- --- 0,345 0,674 1,007 h/b-0,326 Mecánica de materiales – Torsión Sección Paralelogramo 2a 2b Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo T max donde Q cab 3 Q Valores de c b/a 15º 30º 45º 60º 75º 1,00 1,618 1,207 0,7442 0,3468 0,08859 1,20 1,350 1,008 0,6231 0,2909 0,07434 1,50 1,084 0,8151 0,5071 0,2384 0,06121 2,00 0,8200 0,6237 0,3930 0,1871 0,04847 2,50 0,6605 0,5076 0,3232 0,1554 0,04055 3,00 0,5533 0,4256 0,275 0,1332 0,03493 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario T KG K cab donde 3 Valores de c b/a 15º 30º 45º 60º 75º 1,00 2,038 1,502 0,8448 0,3092 0,04405 1,20 1,670 1,230 0,6909 0,2525 0,03594 1,50 1,253 0,9203 0,5148 0,1873 0,02656 2,00 0,8129 0,5943 0,3300 0,1192 0,01679 2,50 0,5599 0,4078 0,2253 0,0808 0,01134 3,00 0,4055 0,2946 0,1621 0,0579 0,00811 Mecánica de materiales – Torsión Sección de un Sector Circular R Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max T Q Q CR donde 3 Valores de C para calcular Q 60º 120º 180º C 0,0712 0,227 0,35 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario T KG K CR donde 4 Valores de C para calcular K 45º 60º 90º 120º 180º 270º 300º 360º C 0,018 0,035 0,082 0,148 0,296 0,528 0,686 0,878 Rigidez de torsión 4 D=KG=CR G Mecánica de materiales – Torsión Sección circular con lados opuestos achatados R W Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max T Q donde Q CR 3 Valores de C para calcular Q W/R 7/8 3/4 5/8 ½ C 1,155 0,912 0,638 0,471 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario T KG donde K CR 4 Valores de C para calcular K W/R 7/8 3/4 5/8 ½ C 1,357 1,076 0,733 0,438 Rigidez de torsión 4 D=KG=CR G Mecánica de materiales – Torsión Sección circular hueca excéntrica d D e Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max 16TDF D4 d 4 donde 4n 2 32n 2 F 1 2 2 4 1 n 1 n 1 n 2 64n 2 12n 19n 28n 18n 14n 1 n 1 n 1 n 1 n 4 2 4 2 e siendo d 6 4 48n 2 1 2n 2 3n 4 2n 6 3 2 4 6 1 n 1 n 1 n 8 6 d y n D 10 8 3n12 4 Mecánica de materiales – Torsión Angulo de giro unitario T KG K donde D 4 d 4 32Q 4 n 16n 2 384 2 siendo Q 1 2 4 2 2 1 n 1 n 1 n 1 n4 rigidez de torsión D KG D 4 d 4 G 32Q 4 Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección cuadrada Y max X max min=0 Mecánica de materiales – Torsión Ángulo de giro T 3 K1Ga b Como a = b entonces: y para b/a = 1 K1=0,1406 T T 7,1124 4 3 0,1406Ga a Ga Rigidez de torsión 4 D = 0,1406Ga Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max Como a = b entonces: max T 2 K 2a b y para b/a=1 K2=0,208 T T 4,8077 3 2 0,208a a a Mecánica de materiales – Torsión Torsión en piezas de sección rectangular estrecha Y c X d Para verificar que la sección rectangular sea estrecha se debe cumplir que c/d > 10 Mecánica de materiales – Torsión Ángulo de giro T 3 K1Ga b a=c; b=d y para b/a >10 K1=1/3 3T 3 1 3 Gc d Gc d 3 T Rigidez de torsión 3 D = 1/3(a bG) Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo max a=c; b=d max T 2 K 2a b y para b/a >10 3T 2 1 2 c d c d 3 T K2=1/3 Mecánica de materiales – Torsión Analogía de la membrana (resolución experimental del problema de torsión) Consideremos una membrana homogénea, flexible y elástica, inicialmente plana tensada uniformemente en su contorno por un esfuerzo unitario (S) y solicitada por una presión vertical constante (P). Supóngase que el contorno es precisamente el de la sección transversal de la pieza solicitada por torsión. Esta membrana se deforma y sus puntos experimentan desplazamientos verticales Z en función de X e Y. Las ecuaciones de los diferentes parámetros de las secciones transversales que se muestran a continuación fueron calculados usando la analogía de la membrana. Mecánica de materiales – Torsión Equilibrio de una membrana elástica Mecánica de materiales – Torsión Componentes verticales y fuerzas resultantes de una membrana elástica Mecánica de materiales – Torsión Sumando las fuerzas de la última columna e igualando a cero se obtiene la ecuación de equilibrio del elemento de la membrana. z z S 2 dxdy S 2 dxdy Pdxdy 0 x y 2 2 Mecánica de materiales – Torsión La membrana, en su deformación, adopta la forma de una superficie Z=Z(x,y) z z P 2 2 x y S 2 2 en Z x, y 0 sobre C A Mecánica de materiales – Torsión Los esfuerzos quedarían expresados de la siguiente manera S z zy 2G P x S z zy 2G P y Mecánica de materiales – Torsión Observando las ecuaciones anteriores se puede concluir lo siguiente La componente del esfuerzo zy según el eje Oy, es proprcional a la pendiente ∂z/∂x que la membrana presenta, según Ox. Correlativamente, la componente zy, según Ox, es proporcional a la pendiente ∂z/∂y Mecánica de materiales – Torsión Analogía de la membrana Mecánica de materiales – Torsión Para conocer en todo punto el esfuerzo , será preciso medir la máxima pendiente dz/dn, por ser ésta normal a la referida curva de nivel zx sin zy cos S dz 2G P dn Mecánica de materiales – Torsión El momento torsor se expresa como: 2S T D 2G z x, y dxdy A P 4GS T P A z x, y dxdy Mecánica de materiales – Torsión Observando la integral se comprueba que la ecuación de enlace entre T y θ puede expresarse en función del volumen (V), limitado por la membrana y el plano de contorno. S T 4G V P PT 4 SVG Rigidez de torsión T S D 4G V P Mecánica de materiales – Torsión Los esfuerzos en función del volumen serían T z zy 2V x T z zy 2V y T dz 2V dn Mecánica de materiales – Torsión En resumen tendríamos x, y z x, y z zy x z , zx y dz , dn T 2 z x, y dxdy 2V A T 2volumen encerrado en la membrana Mecánica de materiales – Torsión Secciones tubulares de pared gruesa cerrados Sección circular. Sección elíptica. Mecánica de materiales – Torsión Barra recta cilíndrica de sección anular Y max R ro r t X max max Para verificar que la sección sea de pared gruesa, se debe cumplir que: ro/ t < 10 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo máximo de corte y ángulo de giro max 2T 3 4 R 1 K T GJ 0 donde donde J0 r K R R 4 r 2 4 Mecánica de materiales – Torsión Secciones tubulares de pared gruesa cerrados am a ao bo x b t y Para verificar que la sección sea de pared gruesa se debe cumplir que am / t < 10 Mecánica de materiales – Torsión Diámetro anular Danular Dcilindro macizo Dnucleo int erior Danular a 3b 3 a03b03 G 2 2 2 2 a b a0 b0 Como K = ao/a y K = bo/b entonces: D anular T G a b 3 3 a b 2 2 1 K 4 Mecánica de materiales – Torsión Componentes del esfuerzo cortante No se puede mostrar la imagen en este momento. 2b 2 2T zy G 2 2 x 3 x 4 a b 1 K a b 2 2a 2T zy G 2 2 y y 3 4 ab 1 K a b Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 2T ab 2 1 K 4 D T a b 3 3 Ga b 2 2 1 4 1 K ab si a b G 3 3 a b 2 2 1 K 4 Mecánica de materiales – Torsión Secciones tubulares cerradas de pared delgada Sección rectangular. Sección elíptica. Sección circular. Mecánica de materiales – Torsión Ecuaciones de Bredt max T 2 Amt fS TS 2 2GAmt 4GAmt Estas ecuaciones fueron obtenidas mediante la analogía de la membrana, y es a partir de estas que se calcula el esfuerzo de corte máximo para las siguientes secciones tubulares de pared delgada. Mecánica de materiales – Torsión Sección rectangular d1 t d2 Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que d2 / t ≥ 0 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max T 2d1d 2t 2 1 2 2 2d d tG D d1 d 2 d1 d 2 T 2 1 2 2 2d d t G Mecánica de materiales – Torsión Sección Elíptica t b b a a Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max T 2 abt D 2 a b 2 2 4 a b t 2 2 T G 4a b tG 2 2 2 a b 2 2 Mecánica de materiales – Torsión Sección Circular t ro Para verificar que la sección sea de pared delgada, se debe cumplir ro / t ≥ 10 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro y rigidez de torsión max T 2 2 r t D 2r tG 3 0 T 3 2 r t G Mecánica de materiales – Torsión Productos tubulares de pared delgada abiertos ro t Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que ro / t ≥ 10 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 3T 2 2r0t 1 180 3T 3 2r0t G1 180 º 1 3 D 2r0t G1 3 180º Mecánica de materiales – Torsión Sección Elíptica t b b a a Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 3T 2 2t a b 3T 3 2t a b G 2 3 D t a b G 3 Mecánica de materiales – Torsión Sección rectangular d1 t d2 Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que d2 / t ≥ 0 Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 3T 2 2t a b 2 3 D t a b G 3 3T 3 2t a b G Mecánica de materiales – Torsión Secciones de perfiles laminados Sección en L. Sección en T. Sección en U. Sección en I. Mecánica de materiales – Torsión Perfil laminado en L a r c b Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 3T K 2 c a b c 3T 3 c a b c G 1 3 D c a b c G 3 c K 1,74 3 r Mecánica de materiales – Torsión Perfil laminado en T h r c b Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 3T K 2 c b h c 3T 3 c b h c G 1 3 D c b h c G 3 c K 1,74 3 r Mecánica de materiales – Torsión Perfil laminado en U c h c1 b Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 3T K 3 c1 3 c h 2c1 2c1 b 3T 3 3 c h 2c1 2c1 b G 1 3 3 D c h 2c1 2c1 b G 3 K 1,74 3 c1 c r Mecánica de materiales – Torsión Perfil laminado en I c1 h c b Mecánica de materiales – Torsión Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión max 3T c1 K 3 3 c h 2c1 2c1 b 3T 3 3 c h 2c1 2c1 b G 1 3 D c h 2c1 2c13b G 3 K 1,74 3 c1 c r Mecánica de materiales – Torsión Secciones con dependencia triple o múltiple Las secciones transversales que tengan dependencia triple o múltiple pueden descomponerse en forma doblemente conexas, que se denominan células; es posible asignar a cada célula un flujo tangencial constante fi, manteniendo para todas la células el mismo sentido de circulación (correspondiente al giro positivo alrededor del eje z). Llamando Ai el área encerrada por la línea media de la pared de la célula i. La participación de la célula i en el momento torsor T será igual a 2Aifi Mecánica de materiales – Torsión Secciones con dependencia triple o múltiple f2 f1 f1 f 14 f 15 f5 f 12 Celula 1 Celula 5 f5 f45 Celula 4 f4 f 34 Celula 2 f2 f23 Celula 3 f3 f3 Mecánica de materiales – Torsión Células descompuestas f1 f2 f 12 f1 f1 -f 12 Am1 Am2 f15 f5 Am5 f5 f 23 -f 15 -f15 f5 f2 f2 -f 45 f 45 -f 23 f4 Am4 f4 -f 34 f 34 f3 f3 Am3 f3 Mecánica de materiales – Torsión El momento torsor total transmitido por la barra sería N Ttotal T1 T2 ......TN 2 Ai f i i 1 El flujo tangencial que actúa en cada pared intermedia está formada por dos partes, que corresponden a las células situadas a ambos lados. Como consecuencia de la igualdad de sentido de circulación en todas las células, cada pared intermedia absorbe la diferencia de los flujos tangenciales de las células adyacentes f ij f i f j Mecánica de materiales – Torsión En las paredes que rodean a la célula i actúan los flujos fij en el sentido de circulación de la célula i, entonces se va a introducir la siguiente notación para cada una de las integrales de la ecuación del ángulo de giro ds ij ji ij t Mecánica de materiales – Torsión Entonces tendríamos ecuaciones ij las siguientes ds j ij i t i f ij 2GAm j f i ij f iij 2GAm j j i f i ij f j 2GAmi j para i 1,2,..., N Mecánica de materiales – Torsión El ángulo de giro quedaría expresado como: 1 2GAmi i f i ij f j i 1 n j