Actividad: Sólidos de Revolución

Matemáticas II
Actividad: Sólidos de Revolución
Competencia
Comprender y aplicar el concepto de integral definida de funciones reales, para modelar y dar solución a problemas
en diferentes contextos.
Objetivo
Encontrar el volumen de un sólido de revolución empleando los métodos de discos, y anillos
Ejercicio inicial
2
Encuentre el volumen del sólido generado cuando la zona delimitada por la curva y  x , el eje x y la recta x = 2 se
hace girar sobre el eje "x". Usando el método de los cilindros y el de los discos
En WolframAlpha puedes calcular la aproximación del volumen; es importante distinguir los objetos de la sumatoria;
por otra parte puedes calcular el valor exacto;
Lección:
¿Cómo encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al hacer girar la región limitada por la gráfica de
una función en torno a uno de los ejes mediante integrales definidas ?
En matemáticas e ingeniería , un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene al hacer girar una curva
plana en torno a una línea recta, llamada eje de revolución, que se encuentra en el mismo plano.
Algunos ejemplos son ejes, embudos, píldoras, botellas y pistones.
El volumen de un sólido de revolución puede ser encontrado por los siguientes procedimientos:
Método de los discos
Si una región en el plano gira alrededor de una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y la recta se llama
eje de revolución.
Fórmula
conocida
Elem ento
representativo
Volum en del disco
V  R w
2
V   Rxi  x
2
Nueva fórm ula
de int egración
b
V    Rx  dx
2
a
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar una de las formulas
siguientes.
Eje de revolución horizontal
Eje de revolución vertical
b
b
Volum en V    R x  dx
Volum en V    R y  dy
2
2
a
a
El método de los anillos
El método de los discos puede extenderse para cubrir sólidos de revolución huecos reemplazando el disco con una
arandela o anillo
Eje de revoluciónhorizontal
 Rx  rx dx
Eje de revoluciónvertical
b
V 
2
a
2
 R y  r y dy
b
V 
2
a
2
Ejemplos
1. Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por las gráficas
y x
a)
b)
c)
d)
y0 x4
alrededor del eje x
alrededor del eje y
alrededor de x  4
alrededor de x  6
Alrededor del eje x
Alrededor del eje y
alrededor de x=4
Alrededor de x=6
2. Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por las gráficas
f x   x
y g x  x 2 alrededor del eje x. Usa WolframAlpha
Actividad para el estudiante
Para los siguientes ejercicios utiliza el método de los discos y usa WolframAlpha para revisar tus respuestas
1. Encuentre el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje indicado la región plana limitada por
las curvas dadas.
a. y  x 2 , x  y 2 , alrededor de la línea x=3
b.
y  e x , y  2, x  1; alrededor de la línea y=-1
2. La región R que se muestra en la figura está limitada por las parábolas y 2  2x  3 y y 2  x . Encuentre el
volumen del sólido generado al rotar al rotar R alrededor del eje x.
3. Encuentre el volumen del elipsoide generado al rotar al rotar alrededor del eje x la región limitada por la
2
2
 x  y
elipse con ecuación       1
a b
Aplicación
Cierre
Un barril de vino tiene un radio en la tapa de 30 cm y un radio en el centro de 40 cm. La altura del barril es 1m. ¿Cuál
es el volumen del barril (en L), si se asume que la forma de los lados es parabólica?
Demostraciones



Solid of Revolution
"Volumes Using the Disc Method" from the Wolfram Demonstrations Project
"The Disk Method" from the Wolfram Demonstrations Project