EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 EJERCICIOS: CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS 1. De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente: Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5 a) Determinar la desviación estándar del proceso R con d2 = 2.326 d2 b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias – 3*sigma c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones Zi = (LIE – Media) / Sigma P(Zi) = Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma P(-Zs) = Ptotal = P(Zi) + P(-Zs) d) Determinar el Cp Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma e) Determinar el Cpk Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 = f) Determinar el Cpm T es el centro de las especificaciones C pm Cp 1V 2 LSE LIE 6 2 ( T ) 2 g) Determinar el Cpkm C pkm Cpk T 1 2 h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores Página 1 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 2. Determinar los índices de capacidad y de desempeño del proceso siguiente: FlashRecov 4.49 4.89 4.69 5.14 4.80 4.12 3.70 4.00 3.80 3.99 5.68 5.88 5.73 5.83 5.95 4.81 4.56 4.78 4.97 4.85 6.59 6.07 6.36 6.40 6.42 4.94 5.11 5.17 5.07 5.31 6.88 6.69 7.01 7.08 7.16 5.34 5.46 5.61 5.36 5.30 Los límites de especificación son LSE = 8 , LIE = 3.5 Hacer una carta de control I – MR a) Determinar la desviación estándar del proceso (Within) R con d2 = 1.128 d2 b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias – 3*sigma c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones Zi = (LIE – Media) / Sigma P(Zi) = Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma P(-Zs) = Ptotal = P(Zi) + P(-Zs) d) Determinar el Cp Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma Página 2 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB e) Determinar el Cpk Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 = f) Determinar el Cpm T es el centro de las especificaciones Cp C pm 1V 2 LSE LIE 6 2 ( T ) 2 g) Determinar el Cpkm Cpk C pkm T 1 2 h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores (ref. 1.33) i. Determinar el valor de la desviación estándar de largo plazo (Overall) n S (X i 1 i X )2 n 1 C4 4( n 1) 4n 3 LT S C4 j. Determinar el índice de desempeño potencial Pp LSE LIE 6 LT k. Determinar la fracción defectiva equivalente Zs ZI LSE X LT LIE X LT Página 3 de 27 P. Reyes / Abril 2009 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P(Zi) = P. Reyes / Abril 2009 P(-Zs) = Ptotal = P(Zi) + P(-Zs) l. Determinar el índice de desempeño potencial Pp LSE LIE 6 LT m. determinar el índice de desempeño real Ppk m enorZ I , Z S 3 n. Establecer conclusiones (ref. 1.33) CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS EN MINITAB 3. Realizar un estudio: a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con 1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estándar deviation 32.02 OK Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330 b. Prueba de normalidad 1. Stat > Basic statistics > Normality Test 2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK c. Prueba de normalidad con intervalo de confianza 1. Graph > Probability plot > Normal 2. Graph Variable C1 3. Distribution Normal OK d. Capacidad y desempeño del proceso 1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal 2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330 Página 4 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 3. Estimate R-bar OK e. Opción Six Pack 1. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal 2. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330 3. Estimate R-bar OK 4. Un panadero cree que existe una gran variabilidad en el peso de sus productos: Hay dos operadores A y B que usan las máquinas 1 y 2 no en forma simultánea. Durante 20 días se tomaron muestras de 4 piezas de pan de cada máquina con los siguientes resultados: Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Operari Máq1_p Máq_p Máq1_p Máq1_p Máq2_p Máq2_p Máq2_p Máq2_p o 1 2 3 4 1 2 3 4 A 209.2 209.5 210.2 212 214.3 221.8 214.6 214.4 B 208.5 208.7 206.2 207.8 215.3 216.7 212.3 212 B 204.2 210.2 210.5 205.9 215.7 213.8 215.2 202.7 B 204 203.3 198.2 199.9 212.5 210.2 211.3 210.4 A 209.6 203.7 213.2 209.6 208.4 214.9 212.8 214.8 A 208.1 207.9 211 206.2 212.3 216.2 208.4 210.8 A 205.2 204.8 198.7 205.8 208.1 211.9 212.9 209 B 199 197.7 202 213.1 207.5 209.9 210.6 212.3 B 197.2 210.6 199.5 215.3 206.9 207.1 213.6 212.2 A 199.1 207.2 200.8 201.2 209.6 209.5 206.8 214.2 B 204.6 207 200.8 204.6 212.2 209.8 207.6 212.6 B 214.7 207.5 205.8 200.9 211.4 211.2 214.4 212.6 B 204.1 196.6 204.6 199.4 209.6 209.2 206.1 207.1 A 200.2 205.5 208 202.7 203.5 206.9 210.6 212.3 A 201.1 209.2 205.5 200 209.1 206.3 209.8 211.4 B 201.3 203.1 196.3 205.5 208 207.9 205.3 203.6 B 202.2 204.4 202.1 206.6 210 209.4 209.1 207 A 194.1 211 208.4 202.6 215.6 211.8 205.4 209 A 204.8 201.3 208.4 212.3 214.5 207.5 212.9 204.3 A 200.6 202.3 204.3 201.4 209.1 205.8 212 204.2 a) Apilar todas las columnas Data > Stack > Columns Stack the following columns todas Column of current worksheet seleccionar una vacía Total b) Hacer un histograma con la columna total Graph > Histogram: Simple Página 5 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 c) Agrupar las columnas de la máquina 1 Data > Stack > Columns C3-C6 Máquina1 d) Agrupar las columnas de la máquina 2 Data > Stack > Columns C7-C10 Máquina2 e) Hacer histogramas similares al realizado con la columna de total f) Comparar y sacar conclusiones g) ¿qué se puede concluir si se acepta como normal un peso de 210 +- 10 gramos? Stat > Quality tools > Capability analysis (normal) Variable Total Sample size 1 LSL 200 USL 220 OK 5. Se representa la humedad de 20 paquetes de un producto tomado durante varios días a la semana: lunes 8.2 8.36 8.37 8.52 8.05 8.76 8.51 8.18 8.52 8.64 8.83 8.35 8.48 8.34 8.51 8.08 8.15 8.15 8.68 8.79 martes 8.61 9.14 8.52 9.2 9.3 9.58 8.81 8.68 8.59 8.66 8.7 9.08 8.32 8.33 8.41 9.07 9.08 9.13 8.69 8.46 mierc 9.43 8.85 8.66 8.89 9.28 9.14 9.41 9.34 9.59 9.15 9.75 9.18 8.86 9.28 8.5 9.19 9.19 9.12 9.2 8.8 jueves 8.97 9.02 9.61 9.15 9.21 9.53 9.28 9.28 8.86 8.75 9.64 9.05 8.76 9.21 8.76 9.4 9.55 9.5 9.48 9.58 viernes 8.46 8 8.32 8.91 8.17 8.6 8.48 8.65 8.97 8.2 8.33 8.26 8.64 8.81 8.73 8.73 8.4 8.6 8.47 8.1 Página 6 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 a) Apilar todas las columnas agregando una columna de índices Data > Stack > Columns Stack the following columns lunes-viernes Column of current worksheet semana Store subscripts in Dia seleccionar Use variable names in subscript column OK b) Hacer un diagrama de datos de la semana ver si el proceso es estable Graph > Time Series Plot: Simple Series semana OK c) Distinguir el día de la semana en que ocurrieron los resultados Graph > Time Series plot: With Groups Series Semana Categorical variables for grouping Dia OK ¿Qué conclusiones se obtienen? 6. Obtener las estadísticas básicas de Peso (Weight) para dos máquinas de llenado: Weight 905 Llenadora 2 930 865 895 905 885 890 930 915 910 1 2 1 1 2 1 2 2 1 Página 7 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB 920 915 925 860 905 925 925 905 915 930 890 940 860 875 985 970 940 975 1000 1035 1020 985 960 945 965 940 900 920 980 950 955 970 970 1035 P. Reyes / Abril 2009 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a. Estadísticas básicas Mediana Moda Media Desviación estándar Varianza Coeficiente de variación Rango Primer cuartil Tercer cuartil Rango intercuartílico Página 8 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 Esquematiza el diagrama de caja b) Hacer una prueba de normalidad en los datos. Con los datos completos y considerando cada llenadora: c) Obtener un histograma para la llenadora 2 d) Obtener un diagrama de caja para la llenadora 2 e) Obtener un diagrama de tallo y hojas para ambas Con los datos completos f) Encontrar la proporción de pesos que se encuentran entre 900 y 1000 grs. g) Encontrar la proporción de pesos menores a 850 grs. h) Encontrar la proporción de pesos mayores a 1,050 grs. i) Encontrar la proporción de pesos menores a 880 grs. Y mayores a 1020 grs. j) Con Excel, si los límites de especificación son LIE = 850 y LSE = 1,050 determinar la capacidad del proceso total y para cada una de las máquinas: determinar la fracción defectiva, Cp y Cpk utilizando la desviación estándar estimada de corto plazo (Within) cuando no hay cambios y el proceso en control. st Within R d2 Z LSE LSE X st (Z LIE ) ( Z LSE ) Página 9 de 27 Z LIE LIE X st EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 Fracción defectiva = C pk Menor LSE LIE Cp 6 st C pm 1 CR Cp Z LIE , Z LSE 3 LSE LIE ST ( X M ) 2 INDICES DE DESEMPEÑO k) Determinar la fracción defectiva, Pp y Ppk utilizando la fórmula de la desviación estándar de largo plazo (Overall) siguiente para datos históricos, cuando ya ocurrieron todos los cambios, no importa que el proceso no esté en control: lt Overall Z LIE S C4 LIE X lt Fracción defectiva = Pp S Z LSE ( Xi X ) 2 n 1 C4 4 ( n 1) 4n 3 LSE X lt ( Z LIE ) ( Z LSE ) LSE LIE 6 LT Ppk Menor Z LIE , Z LSE 3 Fracción defectiva = CAPACIDAD DE PROCESOS NO NORMALES 7. Realizar el estudio: a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con 1. Calc > Random data > Weibull 2. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2 Scale parameter 1 Threshold parameter 0 OK Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5 b. Determinar la capacidad con: Página 10 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 1. Stat > Quality tools > Capability análisis > NonNormal 2. Single column C1 Distribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5 3. OK c. Establecer conclusiones 8. Transformación de Box Cox para normalizar los datos Por ejemplo para el archivo Tiles.mtw: 1. File > Open worksheet Tiles.mtw 2. Stat > Control Charts > Box Cox transformation 3. Data are arranged as Single column Torcedura (Warping) Subgroup size 1 4. Store transformed data in: TorceduraTransf 5. Options: P value to select best fit 0.10 OK Anotar el Ppk obtenido: 9. Transformación de Johnson para normalizar los datos 1. File > Open worksheet Tiles.mtw 2. Stat > Quality Tools > Johnson Transformation 3. All observations in a column Torcedura (Warping) Subgroup size 1 4. Options: Store transformed data in: TorceduraTransf 5. OK 10. Ajuste con otras distribuciones de probabilidad Otra opción es identificar una función a la que se ajusten los datos, para que con esta se determine la capacidad del proceso: 1. File > Open worksheet Tiles.mtw 2. Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification 3. Data are arranged as single column Warping 4. Subgroup size 1 Seleccionar Use all distributions 5. OK 11. Capacidad de proceso utilizando otras distribuciones de probabilidad Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification 3. Data are arranged as single column Warping 4. Subgroup size 1 Página 11 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS 12. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta: Usando la distribución binomial y la distribución de Poisson a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres? 13. Se tienen 60 ejecutivos de cuenta en un call center, están ocupados en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes llaman ¿la probabilidad de que estén ocupadas es mayor al 50%? Usar Poisson o binomial 14. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad hipergeométrica de que: a) Los 5 estén calificados b) 4 estén calificados c) Por lo menos 3 estén calificados DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS 15. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene una distribución exponencial con media = 10, calcular: a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas. b) P(X<=15) c) P(8<=X<=14) 16. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, con desviación estándar de 3,000 horas ¿cuál es la probabilidad de que a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas? b) A lo sumo 30,000 horas? c) Entre 20,000 y 30,000 horas? 17. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la distribución exponencial (X en años): F(x) =1- exp(-0.125*x) a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía? b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de la garantía por reemplazo sobre la ganancia en 100 equipos? Página 12 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 SERIES DE TIEMPO 18. Se colectan datos de empleo en un sector de negocios durante 60 meses y se desea predecir la tasa de empleo para los siguientes 12 meses, EMPLOY.MTW. Las instrucciones de Minitab son las siguientes: Modelos de tendencias lineal y cuadrático a) Para un modelo lineal: 1 Open Worksheet EMPLOY.MTW. 2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis. 3 En Variable, poner Trade. 4 En Model Type, seleccionar Linear 5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts. 6 Seleccionar Storage . 7 Seleccionar Fits (Trend Line), Residuals (detrended data), y Forecasts. Seleccionar OK en cada diálogo. b) Para un modelo cuadrático 1 Open Worksheet EMPLOY.MTW. 2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis. 3 En Variable, poner Trade. 4 En Model Type, seleccionar Quadratic. 5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts. 6 Seleccionar Storage . 7 Seleccionar Fits (Trend Line) , Residuals (detrended data), y Forecasts. Seleccionar OK en cada diálogo. Interpretar los resultados (ver página 11 de series de tiempo) Predecir con un modelo de media móvil 19. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con los datos de los últimos 60 meses. Se usa el método de promedio móvil si no se tienen patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos. 1 2 3 4 5 File > Open worksheet EMPLOY.MTW. Seleccionar Stat > Time Series > Moving Average. En Variable, seleccionar Metals. En MA length, poner 3. Seleccionar Center the moving averages. Seleccionar Generate forecasts, y poner 6 en Number of forecasts. Click OK. Interpretar los resultados Página 13 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL Suavizamiento exponencial simple 20. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con los datos de los últimos 60 meses. Se usa el método de promedio móvil si no se tienen patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos. 1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW. 2 Seleccionar Stat > Time Series > Single Exp Smoothing. 3 En Variable, poner Metals. 4 Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK. Interpretar los resultados: Suavizamiento exponencial doble 21. El suavizamiento exponencial doble emplea un componente de nivel y un componente de tendencia en cada uno de los periodos. Usa dos pesos, o parámetros de suavización, actualiza los componentes cada periodo. 1 2 3 4 File > Open worksheet EMPLOY.MTW. Seleccionar Stat > Time Series > Double Exp Smoothing. En Variable, poner Metals. Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK. Interpretar los resultados : Promedio móvil 0.2553 Es mejor Exponencial simple 0.4296 Exponencial doble 0.4679 Método de Winters 22. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis meses en la industria alimenticia usando datos colectados sobre los últimos 60 meses, usando el método de Winters con el modelo multiplicativo, dado que hay componente estacional y de tendencia aparente en los datos. Instrucciones de Minitab 1 Open Worksheet EMPLOY.MTW. 2 Ejecutar Stat > Time Series > Winters' Method. 3 En Variable, poner Food. In Seasonal length, 12 . 4 En Model Type, seleccionar Multiplicative. 5 Seleccionar Generate forecasts poner 6 en Number of forecasts. Seleccionar OK. Página 14 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 Probar con opción método aditivo: Interpretar los resultados Método de ARIMA Prueba de autocorrelación de los datos 23. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis meses en la industria alimenticia usando datos colectados sobre los últimos 60 meses, se utiliza el modelo de autocorrelación para identificar el modelo ARIMA adecuado. 1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW. 2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences. 3 En Series, poner Food. 4 En Store differences in, poner Food2. 5 En Lag, poner 12 . OK. 6 Ejecutar Stat > Time Series > Autocorrelation. 7 En Series, poner Food2. OK. 24. Se obtiene una función de autocorrelación parcial (PACF) de los datos de empleo anteriores, después de tomar una diferencia del valor anterior 12 para determinar el modelo ARIMA más adecuado. Las instrucciones de Minitab son las siguientes: 1 Worksheet EMPLOY.MTW 2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences. 3 En Series, poner Food. 4 En Store differences in, poner Food2. 5 En Lag, poner 12 . OK. 6 Ejecutar Stat > Time Series > Partial Autocorrelation . 7 En Series, poner Food2. OK. Ejemplo de ARIMA 25. Las gráficas de autocorrelación (ACF) y de autocorrelación parcial (PACF) sugieren un modelo de autoregresivo de orden 1 o AR(1), después de tomar una diferencia de 12. Ahora se corre el modelo, analizando las gráficas y la bondad de ajuste. Para tomar una diferencia estacional de orden 12, se especificó el periodo estacional de 12 y el orden de la diferencia 1, con esto se realiza el pronóstico. Instrucciones de Minitab 1 Worksheet EMPLOY.MTW. Página 15 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 2 Stat > Time Series > ARIMA. 3 En Series, poner Food. 4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference . 5 Seleccionar Graphs. Seleccionar ACF of residuals y PACF of residuals . 6 OK en cada cuadro de diálogo. Corrida de pronósticos Correr el modelo ARIMA sin gráficas de ACF y PACF de los residuos Instrucciones de Minitab 1 Worksheet EMPLOY.MTW. 2 Stat > Time Series > ARIMA. 3 En Series, poner Food. 4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference . 5 Graphs. Seleccionar Time series plot. OK. 6 Seleccionar Forecast. en Lead, poner 12 . OK en cada cuadro de diálogo. CONFIABILIDAD Distribución de Weibull (toma diferentes formas variando sus parámetros como el de forma) – vista en Minitab Graph > Probability distribution plot > Vary parameters Seleccionar Weibull Scale 100 (media) Shapes 0.2 1 3 OK 26. Se registran 20 equipos en prueba de funcionamiento y las horas (x1,000) transcurridas hasta la falla fueron las siguientes: Unidad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Horas 3.70 3.75 12.18 28.55 29.37 31.61 36.78 51.14 108.71 125.21 125.35 Página 16 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P. Reyes / Abril 2009 131.76 158.61 172.96 177.12 185.37 212.98 280.40 351.28 441.79 Si las horas de falla siguen la distribución exponencial, estimar las funciones de densidad de probabilidad, función de distribución acumulada, función de confiabilidad y función de riesgo. La función de densidad es: 1 t 1 f (t ) e 133.43 133.43 La función de distribución acumulada es la siguiente: F (t ) 1 e 1 t 133.43 La probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20 (x1,000) horas es: F(20) = 0.139 La función de confiabilidad es la siguiente: R(t ) e 1 t 133.43 Y la función de riesgo es: h(t ) 1 133 .43 27. Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales presentaron fallas como sigue: Tiempo de falla (Hrs.) t Orden de fallas, i Página 17 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB 16 34 53 75 93 120 P. Reyes / Abril 2009 1 2 3 4 5 6 Utilizando Minitab con las siguientes instrucciones: 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis 2. Variables t; Assumed distribution Weibull 3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot, hazard plot Estimate: estimate probabilities for this times 15 seleccionar Survival probabilities OK a) Comprobar el ajuste de la distribución de Weibull b) Determinar el MTBF c) Determinar las funciones de sobrevivencia, de falla y de tasa de riesgo d) Determinar la probabilidad de supervivencia a las 15 horas Caso de unidades censuradas (Método de Kaplan Meier) 28. Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales presentaron fallas con algunas unidades censuradas como sigue como sigue: Tiempo de (Hrs.) t falla Censurado 16 34 40 40 53 75 85 90 93 120 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis 2. Variables Tiempo; Assumed distribution Weibull Página 18 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 1 4. Estimate: Seleccionar Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this time 15 5. Graphs: Seleccionar Prob. Plot, Survival Plot, Cumulative failure plot, Hazard plot, Confidence intervals for above plots Show in separate panels on the same graph OK Análisis no paramétrico 29. Cuando no se conoce la forma de la distribución que ajusta los datos de vida de los equipos o componentes, se pueden utilizar pruebas no paramétricas como sigue: 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Nonparametric distribution analysis 2. Variables Tiempo; 3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 1 4. Estimate: Seleccionar Estimation Method Kaplan Meier 15 5. Graphs: Seleccionar Survival Plot, Cumulative failure plot, OK Varios tipos de falla 30. Los datos de la tabla siguiente son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de cable, con un extremo sujeto sobre un borne y el otro al poste Terminal. Cada falla consiste en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) o de la sujeción (modo de falla 2 = S). En este caso el esfuerzo hace las veces de tiempo de falla: Esfuerzo Modo de falla 550 S 750 A 950 S 950 A 1150 A 1150 S 1150 S 1150 A 1150 A 1250 S 1250 S 1350 A 1450 S 1450 S 1450 A Página 19 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 1550 S 1550 A 1550 A 1850 A 2050 S Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando que se requiere que menos del 1% debe tener un esfuerzo menor a 500 g. O sea que al menos el 99% de las conexiones resista un esfuerzo de mayor a 500 g. Se desea estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los modos de falla. a) Primero se hace un análisis sin distinguir los modos de falla, identificando la distribución que ajuste a los datos: Con Minitab: 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Distribution ID Plot 2. En Variables Esfuerzo Use all distributions (Weibull, Lognormal, Exponential, Normal) 3. Options > Estimation Maximum likelihood 4. OK b) Determinación de la confiabilidad Haciendo un análisis de confiabilidad considerando los dos tipos de falla se tiene: Instrucciones de Minitab:; 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric Distribution Analysis 2. En Variables Esfuerzo Assumed distribution - Weibull 3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this values 500 4. Graphs: Probability plot y Survival plot OK c) Obteniendo el análisis separado por modo de falla se tiene: Instrucciones de Minitab: 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric Distribution Analysis 2. En Variables Esfuerzo By Variable Modo de falla Assumed distribution - Weibull 3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this values 500 4. Graphs: Probability plot y Survival plot Página 20 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 OK Confiabilidad de sistemas 31. Un equipo tiene 40 componentes en serie. La confiabilidad de cada uno es de 0.999, por tanto la confiabilidad del equipo completo es de: ( X ) min{X 1 ,...,X n }, n Xi. i 1 Si el producto se rediseñara para tener solo 20 componentes, la confiabilidad sería de Rs = A B C Z Sistema con componentes en serie 32. Considere 4 componentes A, B, C y D de un producto conectados en paralelo, con confiabilidades de 0.93, 0.88, 0.88 y 0.92 respectivamente, la confiabilidad total es: Página 21 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 A ( X ) max{X 1 ,...,X n }, n 1 (1 X i ). B i 1 C D Sistema con 4 componentes en paralelo 33. Se tienen los siguientes 7 componentes conectados en serie y en paralelo, sus confiabilidades son: RA=0.96; RB=0.92; RC=0.94; RD=0.89; RE=0.95; RF=0.88; RG=0.90. A G C D F E B Sistema con 7 componentes en serie y en paralelo Mantenabilidad 34. ¿Cuál es la probabilidad de completar una acción en las siguientes 5 horas si el MTTR es de 7 horas? 1 MTTR ( Mean Tim e to Re pair) Página 22 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 35. El número de fallas que no pueden ser reparadas dentro del tiempo permitido es: 𝑇𝑒 −𝑡/𝑀𝑇𝑇𝑅 Por ejemplo: a) Hay 7 unidades que requieren reparación. La tasa de falla actual es de 0.03 / hora, el tiempo disponible es de 10 horas, con un MTTR de 18 horas. El tiempo de misión es de 200 horas. ¿Cuántas fallas no pueden ser reparadas dentro de las 200 horas? b) Al contrario el número de fallas que pueden ser reparadas dentro de un espacio de tiempo son: 𝑇(1 − 𝑒 −𝑡/𝑀𝑇𝑇𝑅 ) 36. El MTTR de un sistema se determina con la ecuación: 𝑀𝑇𝑇𝑅 = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 𝑡𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑖 Donde: n = Número de subsistemas i = Tasa de falla del subsistema i Ti = Tiempo para reparar el subsistema i Por ejemplo: En un equipo con 4 secciones de calentamiento reparables con las siguientes tasas de falla. Determinar el MTTR del sistema: Sección de calor Tasa de falla / horas i Tiempo de reparación en horas ti ti 1 0.06 4 0.24 2 0.04 8 0.32 3 0.12 12 1.44 4 0.18 20 3.6 Suma = 0.40 Suma = 5.60 MTTR = horas 37. Considerar la probabilidad de restauración si el tiempo de reparación del sistema sigue una distribución exponencial con una tasa de reparación Mu y MTTR = 1/ Mu. Página 23 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 Si se tienen t = 10 horas para reparar el sistema: M(t) = 1 – exp(-t/MTTR) = 38. Abajo se listan los datos de la bitácora de reparación de cierta máquina. Determinar si se apegan a una distribución lognormal: Rep 1.2 3.2 1.7 1.5 0.5 6 0.3 1.1 0.4 1.6 1.7 1.8 7.2 10.2 0.2 0.8 3.1 3.6 2.5 1.3 En Minitab: 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution Analysis (Right sensoring)> Distribution ID Plot 2. Variables Rep 3. Seleccionar Use All distributions 4. Options seleccionar Maximum Likelihood 5. OK ANALISIS DE CONFIABILIDAD 1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis 2. Variables Rep; Assumed distribution Lognormal 3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot, hazard plot Estimate: Estimation Method seleccionar Maximum Likelihood Página 24 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 Estimate probabilities for this times 10 seleccionar Cumulative Failure probabilities OK CONCLUSIÓN: La mantenabilidad (F(t)) para 10 horas es de 96.67%, es la probabilidad de que el equipo se restaure En 10 horas El MTTR = 2.61 (indicado como MTTF en el listado) es el tiempo medio para restablecer el equipo Calcular la probabilidad de restablecerlo en 4 horas -- 82% O 1. Graph > Probability Plot > Single 2. Graph variable Rep 3. Distribution seleccionar Lognormal 4. OK En la gráfica como el P value es a 0.05 El histograma de los MTTR es: Con Minitab: 1. Graph > Histogram > Simple 2. Variable Rep 3. OK DISPONIBILIDAD INHERENTE 39. Esto es muy similar a la función de la confiabilidad en que da una probabilidad que un sistema funcione en el tiempo dado, t. es la disponibilidad en estado estático. 𝐴𝐼 = 𝜇 𝑀𝑇𝐵𝐹 = 𝜇 + 𝑀𝑇𝐵𝐹 + 𝑀𝑇𝑇𝑅 1/MTBF = Tasa de falla 1/MTTR = Tasa de reparación Ejemplo: Página 25 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009 Un sistema tiene un MTBF de 2080 horas y un MTTR de 10 horas. ¿Cuál es la disponibilidad inherente del sistema? 40. La disponibilidad lograble promedio es la proporción de tiempo durante una misión o un período de tiempo en que el sistema está disponible para el uso. Es más realista ya que toma en cuenta el mantenimiento preventivo y correctivo. Como en la anterior considera que la reparación inicia inmediatamente después de ocurrir la falla sin tiempos de espera. 𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴 𝐴𝐴 = 𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴 + 𝑀𝑀𝑇 Donde: MTBMA es el tiempo promedio entre acciones de mantenimiento ya sean preventivos o correctivos MMT es el tiempo promedio de acción de mantenimiento, compuesto por los efectos del mantenimiento preventivo y correctivo. 𝑀𝑀𝑇 = 𝐹𝑐𝑀𝑐𝑡 + 𝐹𝑝𝑀𝑝𝑡 𝐹𝑐 + 𝐹𝑝 Donde: Fc es el número de acciones de mantenimiento correctivo por cada 1000 horas Fp es el número de acciones de mantenimiento preventivo por cada 1000 horas Mct es el tiempo activo promedio para mantenimiento correctivo (MTTR) Mpt es el tiempo activo promedio para mantenimiento preventivo Por ejemplo: Un sistema tiene un MTBMA de 110 horas, Fc de 0.5, Fp de 1, Mct de 2 horas y Mpt de 1 hora. ¿Cuál es el valor de Aa? 41. La disponibilidad operacional es una medida de la disponibilidad media durante el tiempo e incluye todas las fuentes experimentadas del tiempo muerto, tales como tiempo muerto administrativo, tiempo muerto logístico, etc. 𝐴𝑂 = 𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴 𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴 + 𝑀𝐷𝑇 Donde: MDT es el tiempo muerto promedio Ejemplo: Un sistema tiene un MTBMA de 168 horas y un MDT de 4 horas. ¿Cuál es la Ao? Página 26 de 27 EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB 42.Mediciones para Seis Sigma Página 27 de 27 P. Reyes / Abril 2009