universidad de chile facultad de ciencias físicas y matemáticas

UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS
DETERMINACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑO DE BURBUJAS VÍA
ANÁLISIS DE IMÁGENES: ANÁLISIS Y ALTERNATIVAS
MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERA CIVIL DE MINAS
CONSTANZA IVONNE PAREDES BUJES
PROFESOR GUÍA:
WILLY KRACHT GAJARDO
MIEMBROS DE LA COMISIÓN
XAVIER EMERY
JULIÁN ORTIZ CABRERA
SANTIAGO DE CHILE
MARZO 2012
RESUMEN
La distribución de tamaño de burbujas (DTB), entre otras propiedades de dispersión de
aire, es un parámetro clave en el desempeño del proceso de flotación, por lo que es esencial
disponer de técnicas confiables para su estimación.
La técnica actual de muestreo y análisis de imágenes para determinar la DTB consiste en
muestrear burbujas desde una celda de flotación, para fotografiarlas en un visor inclinado a una
frecuencia de 1 imagen/segundo. Las imágenes son procesadas mediante un software que
generalmente no incluye un algoritmo de procesamiento de clusters (conglomerados de
burbujas), de modo que éstos no son considerados en el cálculo de la DTB.
Este trabajo presenta un estudio de las limitaciones y sesgos de la técnica de muestreo y
análisis de imágenes utilizada para estimar la DTB en celdas de flotación y valida una nueva
técnica, llamada modelo booleano, capaz de reducir algunos de los sesgos identificados.
Las principales limitaciones de la técnica de muestreo y análisis de imágenes detectadas
son:
•
•
•
Segregación espacial de las burbujas en el visor: la zona central de las imágenes presenta
una mayor densidad de burbujas.
Sesgo por muestreo temporal: debido a la diferencia de velocidades entre burbujas de
distinto tamaño, las burbujas de mayor tamaño son submuestreadas.
Sesgo por eliminación de clusters (análisis tradicional): la eliminación de los clusters
genera una subestimación del tamaño de burbujas. Este efecto depende fuertemente de la
densidad de burbujas en la imagen y de la DTB.
El sesgo por muestreo temporal puede ser reducido si se consigue un perfil homogéneo de
velocidades de burbujas. Para esto, se propone y se prueba satisfactoriamente el uso de un visor
vertical donde las burbujas están confinadas a un espacio horizontal de 3.6 cm. Esta técnica
requiere el uso de un método de análisis de imágenes capaz de procesar los clusters pues en este
tipo de régimen su efecto es importante. Para esto se utiliza el modelo booleano, el cual es capaz
de analizar las burbujas superpuestas. El método permite determinar con precisión el diámetro de
Sauter, parámetro de dispersión de aire clave para determinar el área superficial disponible en la
celda de flotación, esto a pesar de no cumplirse a cabalidad los supuestos sobre los que se
construye.
ABSTRACT
The Bubble Size Distribution (BSD), among other gas dispersion properties, is closely
related to the flotation performance; therefore, it is important to have reliable techniques for
measuring it.
Currently, the most accepted technique to measure BSD is based on image analysis. It
consists of a viewing chamber where bubbles sampled from the flotation cell are photographed
with a frequency of 1 frame per second and then processed. Most of the times, the processing
software does not account for clusters of bubbles and bubbles truncated by the image borders,
which are removed from the BSD estimation.
The main purposes of this work are to achieve a characterization of the limitations and
biases of this ‘sampling – imaging – image analysis’ measurement process and to validate a new
technique which is able to reduce some of the biases: the Boolean model.
Several viewing chambers were developed in order to obtain images and high speed
videos, which were processed by hand in order to acquire a golden standard to evaluate the
performance of the Boolean model and to study the limitations and biases of the current
technique.
The main limitations of the current technique found in this work are:
Spatial segregation at the chamber: bubble number density is higher at the center of the
images
Time sampling bias: given the differences in velocities by size, larger bubbles tend to be
under represented in the estimated BSD.
Cluster removal bias: by removing the clusters, the current technique tends to
underestimate the mean bubble size. This bias depends heavily on the number density of
bubbles in the image and on the BSD.
Time sampling bias may be reduced by forcing the bubbles to move at similar speeds. For
this purpose, a vertical viewer with horizontal movement restriction for bubbles is proposed and
successfully tested. The use if this viewer requires an image-analysis technique capable of
processing the large number of clusters generated. In order to satisfy those requirements, the
Boolean model is proposed and tested. It shows efficient calculations of the Sauter mean diameter
of the BSD, a key parameter for the surface area flux in flotation devices.
AGRADECIMIENTOS
El presente trabajo fue financiado por la Comisión Nacional de Investigación Científica y
Tecnológica (Conicyt) a través del proyecto basal FB0809, otorgado al Centro Avanzado de
Tecnología para la Minería (AMTC) y realizado en el laboratorio avanzado de supercómputo
estadístico (ALGES) de la Universidad de Chile.
Es muy importante para mí agradecer a mi profesor guía, Sr. Willy Kracht, no sólo por su
gran paciencia y dedicación en lo académico, sino también por su calidad humana, comprensión
y especialmente por su buen humor. También a mi profesor co-guía, Sr. Xavier Emery, quien
realizó grandes aportes intelectuales a mi memoria y siempre estuvo disponible para colaborar en
este trabajo.
Mis agradecimientos al profesor Claudio Acuña, de la Universidad Católica del Norte, por
su colaboración con los videos de alta velocidad.
A Paula Cabrera, de la Unidad de Calidad de Vida, quien me ayudó a encontrar nuevas
perspectivas en momentos difíciles, quiero agradecerle por su apoyo y su cariño, porque es una
excelente profesional y porque sinceramente creo que su trabajo es esencial para las carreras de
muchos estudiantes: espero que su trabajo en esta facultad perdure y que siga ayudando a muchos
más estudiantes atribulados.
Quiero agradecer a algunos de los compañeros que de una u otra forma me ayudaron
durante la carrera: a Agustín Panes por su amistad, a Cristián Pérez por su paciencia, a Ignacio
Gálvez por su afabilidad y sus apuntes maravillosos y salvadores y a Montserrat Pineda, Miguel
Ángel Fuenzalida y Luis Felipe Orellana por siempre tener un espacio para compartir y reír.
No puedo dejar de mencionar a mi padre, Fernando, gracias por tu cariño y apoyo
incondicional, por siempre tener un abrazo cálido y un consejo sabio cuando los necesité. Creo
que todos estos años de ser amigos me han hecho ser una mujer independiente y feliz. También a
mi hermano, Gabriel, porque todo el afecto que me entrega, porque siempre ha confiado en mí y
me ha hecho sentir capaz de lograr mis metas. Me alegra mucho que ambos puedan
acompañarme en el momento de cerrar este ciclo.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
RESUMEN
ABSTRACT
AGRADECIMIENTOS
ÍNDICE DE CONTENIDOS ......................................................................................................... i
ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................... iii
ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................................................. v
1. INTRODUCCIÓN................................................................................................................. 1
1.1. Motivación del trabajo ................................................................................................... 1
1.2. Objetivos ........................................................................................................................ 4
1.2.1. Objetivo General..................................................................................................... 4
1.2.2. Objetivos Específicos ............................................................................................. 4
1.3. Alcances ......................................................................................................................... 5
2. ANTECEDENTES ................................................................................................................ 6
2.1. Parámetros de dispersión de aire en Flotación ............................................................... 6
2.1.1. Velocidad superficial de gas ................................................................................... 6
2.1.2. Hold-up de gas ........................................................................................................ 6
2.1.3. Distribución de tamaño de burbujas ....................................................................... 7
2.1.4. Flujo de área superficial de burbujas ...................................................................... 8
2.2. Velocidad de burbujas en medio acuoso ........................................................................ 9
2.3. Muestreo y Análisis de Imágenes Tradicional ............................................................... 9
2.4. Modelo Booleano ......................................................................................................... 15
3. METODOLOGÍA ............................................................................................................... 20
3.1. Diseño Experimental.................................................................................................... 20
3.2. Captura de imágenes .................................................................................................... 23
3.3. Técnica de Análisis de Imágenes Manual .................................................................... 24
3.4. Análisis de Imágenes Modelo Booleano...................................................................... 25
4. LIMITACIONES DE LA TÉCNICA DE MUESTREO Y ANÁLISIS DE IMÁGENES
PARA DETERMINAR DTB .............................................................................................. 26
4.1. Datos ............................................................................................................................ 26
4.1.1. Imágenes análisis preliminar ............................................................................... 26
4.1.2. Imágenes McGill Bubble Size Analyser .............................................................. 28
4.1.3. Videos e imágenes asociadas ................................................................................ 29
4.2. Muestreo espacial ........................................................................................................ 33
4.3. Muestreo temporal ....................................................................................................... 35
4.3.1. Sesgo por muestreo temporal ............................................................................... 35
4.3.2. Sesgo teórico para dos regímenes de movimiento................................................ 36
4.3.3. Variabilidad temporal de la DTB y sesgo de muestreo temporal para distintos
visores….. ........................................................................................................................... 38
4.4. Análisis de imágenes ................................................................................................... 40
4.4.1. Sesgos en etapa de binarización ........................................................................... 40
4.4.2. Sesgos por burbujas en clusters y burbujas en bordes .......................................... 41
4.4.3. Relación clusters y sesgo ...................................................................................... 45
4.5. Sesgo global ................................................................................................................. 48
5. MODELO BOOLEANO ..................................................................................................... 50
i
5.1. Datos ............................................................................................................................ 50
5.2. Pruebas de aleatoriedad ............................................................................................... 50
5.2.1. Distribución espacial de burbujas ......................................................................... 51
5.2.2. Probabilidad de observar burbujas aisladas .......................................................... 53
5.3. Estudio del sesgo de análisis tradicional...................................................................... 57
5.4. Resultados modelo booleano ....................................................................................... 61
6. DISCUSIÓN ........................................................................................................................ 62
7. CONCLUSIONES............................................................................................................... 66
8. REFERENCIAS .................................................................................................................. 68
ANEXO A: CALIBRACIÓN ..................................................................................................... 70
ANEXO B: DISTRIBUCIÓN GAMMA ................................................................................... 71
ii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1-1: Desempeño del análisis tradicional con watershed. ................................................. 3
Figura 2-1: Ejemplo de DTB y correspondiente función de distribución acumulada .................. 7
Figura 2-2: Velocidad de burbujas según régimen ....................................................................... 9
Figura 2-3: Fotografía de burbujas de aire en medio acuoso ..................................................... 10
Figura 2-4: Esquema de funcionamiento del MBSA.................................................................. 11
Figura 2-5: Esquema del algoritmo de watershed para separación de burbujas vecinas y
burbujas en contacto ................................................................................................................... 13
Figura 2-6: Ejemplo de watershed aplicado a una imagen real de burbujas .............................. 14
Figura 2-7: Esquema de covariograma geométrico para un disco.............................................. 16
Figura 2-8: Covariograma geométrico para un círculo de diámetro unitario ............................. 16
Figura 2-9: Covariograma geométrico para dos poblaciones de círculo .................................... 17
Figura 2-10: Ejemplo de DTB para imágenes obtenidas computacionalmente y analizadas con
el modelo booleano y con el análisis tradicional. ....................................................................... 19
Figura 3-1: Visor vertical 1 para imágenes de burbujas.. ........................................................... 20
Figura 3-2: Visor 1. Fotografía frontal del visor con el separador incluido y Vista lateral ....... 21
Figura 3-3: Visor vertical de burbujas en máquina de flotación Labtech-ESSA ....................... 22
Figura 3-4: Calibración flujo de aire celda neumática ............................................................... 23
Figura 3-5: Montaje de elementos para fotografía ..................................................................... 23
Figura 3-6: Montaje de elementos para videos de alta velocidad............................................... 24
Figura 3-7: Procesamiento manual de imágenes ........................................................................ 25
Figura 4-1: Esquema del proceso para estimar la DTB .............................................................. 26
Figura 4-2: Ejemplos de imágenes del set I y set II.................................................................... 27
Figura 4-3: Imagen en visor vertical sobre celda mecánica. Set III y set IV.............................. 28
Figura 4-4: Imágenes MBSA...................................................................................................... 29
Figura 4-5: Sub-imagen MBSA.................................................................................................. 29
Figura 4-6: Imagen de burbujas en visor vertical 1 .................................................................... 33
Figura 4-7: Trayectoria de burbujas en visor 1........................................................................... 34
Figura 4-8: Relación entre la posición horizontal y el tamaño de burbujas para muestreos de
video. .......................................................................................................................................... 35
Figura 4-9: Comparación DTB video y muestreos ..................................................................... 36
Figura 4-10: Comparación muestreo real y simulación para régimen de swarm y burbujas
aisladas ....................................................................................................................................... 37
Figura 4-11: Evolución del diámetro medio de la DTB para visor vertical y DTB final ........... 39
Figura 4-12: Evolución del diámetro medio de la DTB para visor vertical con restricción y
DTB final .................................................................................................................................... 39
Figura 4-13: Evolución del diámetro medio de la DTB para visor inclinado y DTB final ........ 40
Figura 4-14: Análisis de imágenes y thresholding ..................................................................... 41
Figura 4-15: Distribución de tamaños set I ................................................................................ 42
Figura 4-16: Distribución de tamaños set II ............................................................................... 42
Figura 4-17: Distribución de tamaños imagen MBSA I ............................................................. 43
Figura 4-18: Distribución de tamaños imagen MBSA II ........................................................... 43
Figura 4-19: Distribución de tamaños imagen set III ................................................................. 44
Figura 4-20: Distribución de tamaños imagen set IV ................................................................. 44
Figura 4-21: Esquema de muestreo temporal para video I ......................................................... 46
Figura 4-22: Esquema de superposición de imágenes. ............................................................... 46
iii
Figura 4-23: Sesgo versus % de burbujas en clusters para la DTB de muestreos video I ......... 47
Figura 4-24: Desviaciones respecto de la DTB real según muestreo temporal y análisis .......... 48
Figura 5-1: Esquema de tests de aleatoriedad en tres configuraciones distintas ........................ 51
Figura 5-2: Distribución espacial de burbujas imágenes set III ................................................. 52
Figura 5-3: Probabilidad de burbujas aisladas y sin contacto con el borde de la imagen para el
set III ........................................................................................................................................... 56
Figura 5-4: Error de análisis para D10 y D32 en función de la desviación estándar para distintos
valores de θ ................................................................................................................................ 59
Figura 5-5: Error de análisis para D10 y D32 en función de del diámetro medio para distintos
valores de θ ................................................................................................................................ 60
Figura 5-6: Resultados modelo booleano para diámetro de Sauter set III.................................. 61
Figura 6-1: Ejemplo de sesgo teórico por muestreo temporal, imágenes MBSA ...................... 64
Figura 6-2: Densidad relativa de burbujas para muestreos de video V ...................................... 65
Figura B-1: DTB simuladas para diámetro medio 1.0 mm y desviación estándar σ variable.....72
Figura B-2: DTB simuladas para desviación estándar 0.5 y diámetro medio µ variable ........... 72
iv
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 4-1: Condiciones de flotación imágenes visor vertical..................................................... 26
Tabla 4-2: Estadísticas básicas imágenes visor vertical ............................................................. 27
Tabla 4-3: Condiciones de flotación sets III y IV ...................................................................... 28
Tabla 4-4: Estadísticas básicas sets III y IV ............................................................................... 28
Tabla 4-5: Estadísticas básicas imágenes MBSA ....................................................................... 29
Tabla 4-6: Estadísticas básicas videos alta velocidad ................................................................ 30
Tabla 4-7: Estadísticas básicas muestreos temporales. .............................................................. 31
Tabla 4-8: Estadísticas básicas videos alta velocidad ................................................................ 31
Tabla 4-9 Estadísticas básicas muestreos temporales................................................................. 32
Tabla 4-10: Resumen sets de imágenes y videos de alta velocidad ........................................... 32
Tabla 4-11: Comparación muestreos simulados y real ............................................................... 38
Tabla 4-12: Sesgo de muestreo temporal para distintos visores................................................. 40
Tabla 4-13: Resumen sesgo de análisis para distintos sets de imágenes .................................... 45
Tabla 4-14: Muestreos video I y combinaciones. ....................................................................... 47
Tabla 4-15: Error global en cálculo del diámetro medio para video de alta velocidad. ............. 49
Tabla 5-1: Probabilidad de burbujas aisladas imágenes visor vertical ....................................... 55
Tabla 5-2: Probabilidad de burbujas aisladas imágenes MBSA................................................. 55
Tabla A-1: Calibración flujo de aire celda Labtech-Essa ........................................................... 70
v
1. INTRODUCCIÓN
1.1.
Motivación del trabajo
El proceso de producción de cobre consta de un gran número de etapas que permiten
obtener cátodos desde un yacimiento mineral. Luego de ser extraído desde una mina, el mineral
pasa por etapas sucesivas de conminución. En el caso de minerales oxidados de cobre, las
siguientes etapas de procesamiento corresponden a hidrometalurgia y electrometalurgia. Para
minerales sulfurados, luego de la conminución el procesamiento requiere etapas de concentración
por flotación y pirometalurgia. Los minerales sulfurados de cobre representan la gran mayoría de
los minerales que actualmente se procesan en nuestro país y constituyen la mayor parte de las
reservas mineras en Chile [1].
El proceso de flotación, como parte de la cadena productiva de minerales sulfurados de
cobre, permite separar selectivamente partículas de mineral de interés y partículas de ganga no
metálica. Esto se logra aprovechando las diferencias de hidrofobicidad de ambas especies: se
deposita el material conminuido en reactores (celdas de flotación) formando una pulpa con agua
y reactivos. Mediante la inyección de burbujas de aire, se logra recuperar las partículas de
mineral que se adhieren a las burbujas de aire y flotan hacia una fase espuma que se genera en la
parte superior de la celda. A diferencia de los minerales sulfurados, las partículas de ganga no
metálica no son hidrofóbicas por lo que no son colectadas por las burbujas de aire. Se debe notar
que de todas formas la flotación recupera mineral de ganga que se encuentra en partículas mixtas,
es decir, partículas en las que hay mineral y ganga. Desde la fase de espuma las partículas ricas
en sulfuros son separadas de la ganga no metálica, la cual es retirada como parte de la pulpa en la
parte inferior de las celdas. El proceso se regula mediante el uso de reactivos: cal para regular el
pH de la operación, colectores que favorecen la estabilidad de la unión burbuja-partícula y
espumantes que favorecen la formación de burbujas de aire más pequeñas y eficientes en la
colección de partículas de mineral.
Existen dos tipos principales de celdas de flotación en la industria: las de agitación
mecánica y las columnares. Las primeras son destinadas a flotación primaria y de barrido, debido
a su alta recuperación, en tanto que las celdas columnares son usadas como celdas de limpieza del
concentrado de las otras etapas, ya que permiten obtener una alta ley en el concentrado final.
Entre las celdas mecánicas, existen celdas autoaspiradas, en las cuales el aire ingresa debido a la
succión que el impeler ejerce al agitar la pulpa, y las celdas con inyección de aire. En las
primeras el aire es una variable no controlada, sin embargo en las segundas el flujo de aire puede
ser controlado mediante la presión en el sistema de aire comprimido que alimenta las celdas [2].
1
Los parámetros de dispersión de aire en las celdas de flotación permiten evaluar la forma
en que el flujo de aire se dispersa en el volumen de la celda. Entre estos parámetros de dispersión
de aire, se encuentra la Distribución de Tamaño de Burbujas (DTB), que caracteriza el tamaño de
las burbujas presentes en una celda de flotación. Este parámetro se utiliza para evaluar cuán
eficientemente opera la flotación, pues la colección de partículas hidrofóbicas depende
específicamente del área superficial de aire disponible en la celda. Para un mismo flujo
volumétrico de aire, una DTB con burbujas muy pequeñas presentará un área superficial mayor
que la de una DTB con burbujas más grandes, por tanto para burbujas más pequeñas el proceso
de flotación es más eficiente. Por supuesto, existe un límite inferior para el tamaño de burbujas ya
que es necesario que el empuje sobre las burbujas de aire sea capaz de hacer flotar partículas de
mineral de un cierto tamaño.
Con el objetivo de medir la distribución de tamaño de burbujas in situ en las plantas de
flotación se han desarrollado equipos que estiman la DTB con el siguiente procedimiento:
muestreo de burbujas desde la celda de flotación, fotografía de las burbujas con iluminación
desde atrás y análisis de imágenes de las burbujas muestreadas [3][4].
El muestreo de las burbujas en la celda de flotación se realiza usualmente mediante un
tubo de media pulgada de diámetro, inmerso en la pulpa. Las burbujas muestreadas con el tubo
viajan por éste hasta un visor en el cual las burbujas son fotografiadas. Se supone,
tradicionalmente, que la DTB que ingresa al visor es equivalente a la DTB real en la celda de
flotación y no se conoce con certeza la efectividad de este método de muestreo pues no existe un
estándar con el cual comparar la DTB que ingresa al visor [3].
La toma de imágenes se debe realizar con un intervalo que evite el remuestreo, es decir,
que evite que algunas burbujas aparezcan en más de una imagen. Típicamente se toman imágenes
cada un segundo. Se desconoce si este muestreo temporal de burbujas induce algún sesgo en el
cálculo final de la DTB.
La resolución de las imágenes usualmente es del orden de 45-60 pixeles/mm, lo que se
logra con fotografías de un ancho típico de unos 4-5 cm. Por tanto, la imagen es tomada en una
pequeña porción del área del visor. No existe certeza de que la distribución espacial de las
burbujas sea homogénea, de modo que tampoco se conoce el efecto que el muestreo espacial
pueda tener en el cálculo final de la DTB.
El análisis de imágenes actualmente se realiza mediante un programa que binariza las
imágenes tomadas, filtra el “ruido” de la imagen (puntos o manchas pequeñas), identifica objetos
individuales y los caracteriza. El problema con este procedimiento es que el análisis elimina
burbujas que sean poco esféricas, burbujas que queden cortadas por el borde de la fotografía,
burbujas que queden detrás de otras burbujas en la imagen, o burbujas que queden agrupadas en
conglomerados.
2
Una de las hipótesis centrales de este trabajo es que las burbujas grandes y medianas
tienen mayor probabilidad de ser eliminadas del análisis por las razones ya mencionadas, y esto
generaría un sesgo contra las burbujas de mayor tamaño
tamaño,, sin embargo no existen estudios a la
fecha que muestren
ren este hipotético sesgo
sesgo.
Existe un algoritmo adicional que se puede incluir en el análisis tradicional, llamado
algoritmo de watershed [5], el cual es capaz de separar conglomerados de burbujas mediante una
línea de separación de aguas, representando las burbujas como cuencas con profundidad
proporcional a su radio. En la práctica, este algoritmo es útil para separar objetos que sólo se
tocan, pero no es capaz de procesar objetos superpuestos. Utilizando watershed
ershed, se pueden incluir
parte de los conglomerados, sin embargo este algoritmo es computacionalmente muy caro en
tiempo y en la práctica no se utiliza
utiliza.
Un ejemplo de las limitaciones del análisis tradicional se presenta en la Figura 1-1, en la
cual se muestran burbujas eliminadas por estar cortadas por el borde, por estar en conglomerados
que no son posibles de analizar mediante watershed o por no ser suficientemente esféricas.
Figura 1-1: Desempeño del análisis tradicional con watershed. Izquierda: Imagen real de medición en planta.
Derecha: el mejor análisis disponible usando combinación de algoritmo de burbujas individuales y separación
de conglomerados de burbujas usando watershed,, presentando sólo las burbujas medidas.
medidas Se recupera el 72%
del área de burbujas, Se destacan burbujas de gran tamaño eliminadas del análisis.
sis. Fuente: Acuña (2007) [5]
Considerando las limitaciones de la actual técnica de muestreo y análisis de imágenes para
determinar la DTB, los académicos Xavier Emery y Willy Kracht del Departamento
epartamento de Ingeniería
de Minas de la Universidad de Chile han propuesto un nuevo enfoque para este problema:
analizar
alizar las imágenes utilizando herramientas estadísticas, en particular, suponiendo que las
posiciones de las burbujas en cada foto se pueden modelar como un proceso de Poisson, se
obtiene un modelo booleano de generación de burbujas en la imagen [6].. El modelo booleano
supone que las burbujas ocurren
ren en la fotografía en una ubicación aleatoria,, según un proceso de
Poisson cuya tasa es la frecuencia de burbujas por unidad de área en la fotografía.
fotografía Bajo esos
3
supuestos, aplicando análisis variográfico a la imagen, se puede determinar la distribución de
tamaño de las burbujas. Parte de este trabajo consiste en construir una base de datos de imágenes
reales para validar este modelo.
El análisis estadístico presenta, en teoría, ventajas sobre el análisis tradicional: es capaz de
representar burbujas superpuestas (en conglomerados o burbujas escondidas por otras) y no
requiere eliminar todas las burbujas cortadas por el borde de la fotografía, por tanto se presume
que elimina parte del sesgo que el análisis tradicional presenta contra burbujas que cumplen esas
condiciones. El método booleano es capaz de capturar burbujas que cortan el borde de la
fotografía en tanto el centro de la burbuja se encuentre dentro de la imagen. Burbujas con centro
fuera de la imagen no son contempladas.
Para poder aplicar el modelo booleano, se requiere una validación experimental que
corrobore los supuestos realizados, es decir, que determine cuan preciso es el método y que
cuantifique su desempeño en comparación con el análisis tradicional de imágenes, además de
verificar la sensibilidad de los resultados frente a variaciones en los parámetros experimentales de
medición tales como flujo de aire, resolución de la imagen, etc.
Los temas centrales del trabajo de título presentado en este informe son el estudio de las
limitaciones y sesgos del muestreo y análisis de imágenes utilizado actualmente para determinar
la DTB, y la validación del modelo booleano como técnica en la determinación de la DTB.
1.2.
Objetivos
1.2.1. Objetivo General
Estudiar las limitaciones del análisis de imágenes en la determinación de la distribución
de tamaño de burbuja en celdas de flotación.
1.2.2. Objetivos Específicos
Estudiar las fuentes de error asociadas al análisis de imágenes para determinar DTB.
Validar el modelo booleano aplicado al análisis de imágenes para determinar la DTB.
Determinar condiciones de muestreo para aplicar el modelo booleano
Determinar la exactitud del modelo comparando los resultados de éste contra resultados
obtenidos al procesar las imágenes manualmente.
4
1.3.
Alcances
Este trabajo da cuenta de los sesgos de la técnica de determinación de DTB mediante
análisis de imágenes y los sesgos de muestreo de imágenes, para todo el proceso que ocurre desde
que el aire ingresa al visor hasta que se determina la DTB computacionalmente. Se toma como
referencia la DTB que ingresa al visor y se analizan sesgos espaciales y temporales del muestreo
(toma de fotografías) y sesgos en el análisis computacional. Se entiende que la medición en
planta tiene asociados errores de muestreo de burbujas mediante tubo en la celda, ya sea por
algún tipo de segregación o por cambio en las condiciones termodinámicas y químicas entre la
celda de flotación y el visor. Es posible que la geometría del mismo equipo de muestreo pueda
alterar la distribución de tamaño de burbujas real [7][8]. El estudio de ese tipo de errores queda
fuera del alcance de este trabajo.
Se pretende validar el modelo booleano para analizar imágenes de burbujas en medio
acuoso, para reducir el error asociado al procesamiento de las imágenes y al muestreo temporal y
espacial de burbujas dentro del visor, es decir, la forma y tiempo en que se toman las fotografías.
La validación del modelo booleano se realizará específicamente para burbujas en medio
acuoso, dentro del régimen de movimiento de burbujas utilizado en flotación de minerales
sulfurados. No se pretende validar el modelo booleano para otro régimen de movimiento u otro
medio.
5
2. ANTECEDENTES
2.1.
Parámetros de dispersión de aire en Flotación
Con el objeto de evaluar el funcionamiento de la flotación en plantas concentradoras de
minerales sulfurados de cobre, se establecen parámetros que caracterizan la dispersión del aire
dentro de una celda. Los parámetros tradicionales que se utilizan tanto en evaluación de
condiciones operacionales como en modelación son [3]: velocidad superficial de gas (Jg),
contenido (hold-up) de gas (εg), distribución de tamaño de burbujas (DTB) y flujo de área
superficial Sb. Estos parámetros, además de su importancia en el desempeño de las celdas en
operación, han sido relevantes para comprender y modelar el proceso de flotación [4].
2.1.1. Velocidad superficial de gas
La velocidad superficial de gas Jg corresponde al flujo volumétrico de gas normalizado
por área transversal en la celda de flotación, que se expresa según la siguiente ecuación [2]:
=
En donde:
(1)
= velocidad superficial de gas [cm/s]
= flujo de gas de alimentación a la celda [cm3/s]
= área de la sección transversal efectiva de la celda [cm2]
2.1.2. Hold-up de gas
La pulpa dentro de una celda de flotación se conforma de tres fases: la fase líquida
compuesta de agua con reactivos, la fase sólida que es el mineral y la fase gaseosa conformada
por las burbujas de aire en el interior de la celda. El hold-up de gas εg corresponde a la proporción
volumétrica del gas en la pulpa [4], es decir, el volumen de aire sobre el volumen total de pulpa
aireada en la celda:
% = 6
∙ (2)
En (2) , y corresponden a los volúmenes de gas, líquido y sólido dentro de la
celda respectivamente. El hold-up de pulpa o proporción volumétrica de las fases líquida y sólida
en conjunto puede escribirse como (1- εg) [2]
2.1.3. Distribución de tamaño de burbujas
La distribución de tamaño de burbujas es una función de distribución () que a cada
diámetro le asigna una densidad de probabilidad. En la práctica, la DTB es un conjunto de
valores discretos que representa el porcentaje del total de burbujas que se encuentra entre los
diámetro ! y . Se define también la función de distribución acumulada "() como la
proporción de burbujas que tiene un diámetro menor o igual a . La relación entre () y "()
para el caso continuo y para el caso discreto es:
#($) = % &(')$'
$
#( = ∑( &*
(3)
(4)
Figura 2-1: Ejemplo de DTB (izquierda) y correspondiente función de distribución acumulada (derecha)
La DTB se puede representar por dos tamaños característicos [10], d1,0 y d3,2, conocidos
como el diámetro medio en número y el diámetro de Sauter, definidos de la siguiente manera:
$, =
∑+
(, $(
(5)
$-,. =
∑+
(, $(
(6)
+
.
∑+
(, $(
7
En donde:
/ = número de burbujas
= diámetro de la burbuja i-ésima
El diámetro de Sauter es de especial importancia ya que presenta la misma razón volumen
versus área que la población completa de burbujas, por lo que puede usarse para describir el flujo
de área de burbujas. Para distribuciones de tamaño estrechas (con poca varianza) el diámetro de
Sauter es similar al diámetro medio, por el contrario si la distribución tiene mucha varianza o
gran asimetría, el diámetro de Sauter es muy distinto al diámetro medio.
Una medida utilizada comúnmente en estadística para caracterizar poblaciones son los
momentos de una distribución. Se define el momento de orden k (µk) de una distribución de
tamaño de burbujas como el valor esperado de la potencia enésima del diámetro de burbujas,
tanto para el caso continuo como para el caso discreto:
0* = % '* &(')$'
1
0* = ∑+(2 '( * &(
(7)
(8)
Se utilizarán en este documento esencialmente los momentos de orden 1 y 2 de la DTB. El
momento de orden 1 corresponde a la media de la distribución, en tanto que el momento de orden
2 corresponde a la suma de la varianza y el cuadrado del promedio de la DTB.
2.1.4. Flujo de área superficial de burbujas
La eficiencia en el proceso de flotación depende fuertemente del área superficial de
burbujas disponible en la celda [9][10], por lo que se define una nueva variable que corresponde
al flujo de área superficial Sb, definido como el área de burbujas por área de sección transversal
por unidad de tiempo [10]. Si se suponen burbujas esféricas, se puede deducir que la expresión
para Sb está dada por (9) [2]
34 = 5 $
En donde:
-,.
67 = flujo de área superficial [cm2 de burbujas/s]/[ cm2 celda]
8
(9)
2.2.
Velocidad de burbujas en medio acuoso
La velocidad de ascenso de burbujas en medio acuoso está determinada por las fuerzas
que actúan sobre las burbujas, las dos más importantes son el empuje del líquido y el roce. El
balance entre estas dos fuerzas indica que, en general, las burbujas más grandes se mueven con
mayor rapidez que las más pequeñas [11]. En este trabajo se consideran dos regímenes de
movimiento de burbujas en medio acuoso: burbujas aisladas sin interacción entre ellas, y régimen
de enjambre o swarm, en que las burbujas no se mueven con velocidad independiente pues las
más pequeñas se ven afectadas por efecto de la estela de las burbujas más grandes, de modo que
las velocidades son más homogéneas que en el caso en que las burbujas se mueven
independientemente.
30
Velocidad [cm/s]
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
Diámetro burbujas [mm]
Swarm (Acuña & Finch, 2010)
Burbujas aisladas (Clift)
Figura 2-2: Velocidad de burbujas según régimen
La Figura 2-2 muestra las velocidades según tamaño de burbuja para un enjambre en
condiciones similares a las utilizadas en este trabajo, calculadas por Acuña & Finch, 2010 [12].
Se presenta también el perfil de velocidades por tamaño que tendrían las burbujas si se
encontraran aisladas [11].
2.3.
Muestreo y Análisis de Imágenes Tradicional
El análisis de imágenes se aplica en el proceso de flotación para determinar la distribución
de tamaño de burbujas en las celdas de flotación. El proceso se inicia con la toma de fotografías
de alta resolución (usualmente del orden de 50 pixeles/mm). Desde la celda de flotación existe un
muestreo mediante un tubo vertical de ½’’ de diámetro que conduce el agua con burbujas hacia
9
un visor, el cual se ilumina desde atrás de modo que la luz atraviesa el visor (y las burbujas) antes
de llegar a la cámara. La imagen capturada se toma en escala de grises que va desde 0
(correspondiente al color negro) a 255 (correspondiente al color blanco), los colores desde 1 a
254 representan distintos tonos de grises desde el más oscuro al más claro. Las burbujas aparecen
en la fotografía asociadas a colores más oscuros, como se ve en la Figura 2-3, ya que evitan el
paso de una porción de la luz emitida por la iluminación llegue al lente de la cámara.
Figura 2-3: Fotografía de burbujas de aire en medio acuoso
Las burbujas en la imagen pueden aparecer como objetos circulares, elípticos o de forma
oblonga cuando se encuentran como objetos individuales, sin embargo en la imagen pueden
aparecer burbujas superpuestas entre sí o en contacto. Se define un cluster o conglomerado de
burbujas como un conjunto de dos o más burbujas cuyas imágenes en la fotografía se intersectan.
Un conglomerado puede consistir en burbujas que se superponen en la fotografía pero que en
realidad están en distintos planos y no se encuentran en contacto, o puede consistir en burbujas en
el mismo plano que están en contacto. Un caso particular de conglomerado que no puede ser
detectado por el análisis es la existencia de burbujas superpuestas ocultas detrás de burbujas más
grandes. Este tipo de superposición sí podría ser estimada por el modelo booleano.
El procesamiento clásico de las imágenes sigue una secuencia de pasos que, entre otras
limitaciones, eliminan total o parcialmente los clusters de burbujas (dependiendo si se
implementa o no el algoritmo de watershed), los objetos con poca esfericidad (por ejemplo,
burbujas cortadas por el borde de la fotografía) y no cuantifican el efecto de burbujas que quedan
detrás de otras (superposición) al momento de tomar la fotografía. Este tipo de análisis de
imágenes se denomina Análisis de Imágenes Tradicional, en contraposición al Análisis
Estocástico de Imágenes [6], el cual es un método nuevo que procesa las imágenes binarias
utilizando un modelo booleano y permite, en teoría, eliminar varios de los errores o sesgos
asociados al método tradicional.
10
El instrumento o visor utilizado para el análisis de imágenes tradicional, desarrollado por
la Universidad de McGill (denominado Bubble Viewer) consiste en un visor inclinado en 15º
iluminado desde atrás (Figura 2-4). La inclinación del visor tiene por objetivo obtener una capa
única de burbujas, es decir, la inclinación del vidrio del visor evita la superposición de burbujas.
Es importante comprender que la inclinación del visor fue introducida en respuesta a una
limitación de la técnica de análisis de las imágenes, ya que el algoritmo convencional no es capaz
de procesar burbujas en clusters, pues la implementación del algoritmo tradicional en la práctica
no incluye watershed debido a su alto costo en tiempo computacional. Los visores verticales
generan imágenes con burbujas en conglomerados naturalmente, sin embargo el Bubble Viewer
está diseñado para minimizar el número de burbujas que se intersectan entre sí. El sistema
completo de visor y la técnica de análisis que se describirá a continuación es conocido como
McGill Bubble Size Analyser o MBSA.
Figura 2-4: Esquema de funcionamiento del MBSA, adaptado de Gomez & Finch. (2007) [3]
La cámara fotografía el flujo de burbujas a una tasa de 1 imagen por segundo. Con esta
tasa de imágenes/segundo se evita remuestreo pues la velocidad de las burbujas permite que en
un segundo una burbuja salga del campo de la fotografía. El tiempo de exposición es de 0.5 o 1
milisegundo, dependiendo de la iluminación [13]. Una vez tomada la fotografía se procede al
procesamiento, que se divide en las siguientes etapas:
Conversión de la imagen a escala de grises (en caso de que la imagen original sea en
colores).
Thresholding o Definición de umbral: Para poder determinar qué objetos son burbujas, el
primer paso es binarizar la imagen, es decir, transformar cada pixel en blanco o negro. Para
esto, ya que la imagen está en escala de grises, se debe definir un umbral de separación que
11
depende de la iluminación basal. El software de la universidad de McGill contempla un
algoritmo para definir el umbral automáticamente en función del histograma de intensidad de
luz de cada fotografía. Un tratamiento más sofisticado del proceso de Thresholding puede
realizarse definiendo umbrales locales. También se puede evitar errores asociados a una
iluminación dispareja (por ejemplo, una ampolleta corriente emite luz circular, dejando por
lo tanto los bordes de la fotografía con menor intensidad) realizando una corrección por este
efecto basada en una fotografía inicial sin burbujas. El algoritmo de Calzado-Acuña [5], por
ejemplo, utiliza la intensidad media de la luz en una fotografía más una función de error e
itera para conseguir un óptimo en el número de burbujas detectadas según el umbral. Una
vez escogido el umbral, se binariza la imagen, la cual puede ser convertida en una matriz de
valores 0 y 1. Este proceso permite, además, disminuir el espacio en disco que ocupan las
imágenes.
Segmentación: Se define un objeto como un conjunto de pixeles negros contiguos. La
imagen binaria contiene, entre otros, objetos denominados blobs por sus siglas en inglés:
Binary Large OBjectS. En primera instancia se eliminan objetos muy pequeños que
corresponden a ruido de la imagen, luego se seleccionan secciones negras de la imagen
binaria que están conectadas en alguna de 8 direcciones seleccionadas (Norte, Sur, Este,
Oeste, Noreste, Noroeste, Sureste, Suroeste). Estas secciones se denominan blobs. Los blobs
pueden presentar agujeros o zonas más claras en su interior, los cuales son rellenados por el
software y se puede proceder a medir sus características [5][8].
Medición de propiedades de objetos binarios o blobs: Para determinar cuáles de los objetos
en la matriz de la fotografía binarizada corresponden a burbujas, se realizan mediciones de
las características geométricas de los blobs, tales como: área total, eje mayor, eje menor,
factor de forma, perímetro, número de “agujeros” internos, dimensiones de un rectángulo
circunscrito, etc. Cabe destacar que estas propiedades dependen fuertemente de la relación
entre la resolución y el tamaño de los objetos medidos, serán muy imprecisas si la resolución
(pixeles/mm) es baja, por ejemplo si se tienen 2 pixeles por mm y se desea medir un objeto
de 2 milímetros de diámetro, el objeto quedará representado por 8 pixeles, y su esfericidad
calculada será menor que si se tiene una resolución mayor en la fotografía.
Clasificación de blobs: Los objetos medidos deben ser clasificados para realizar un filtro que
elimine aquellos objetos que no son burbujas. La primera clasificación que se realiza
selecciona aquellas burbujas individuales. Esto se puede realizar con distintos algoritmos, el
más tradicional es el que las clasifica según el factor de forma. Esta técnica analiza la razón
entre el factor de forma del objeto y el factor de forma de una esfera perfecta. Si esta razón
está sobre 0.9, el objeto corresponde a una burbuja individual. La desventaja es que este
método puede incluir conglomerados de varias burbujas o rechazar burbujas individuales en
casos particulares. Otros métodos de filtrado de burbujas individuales se han propuesto, por
ejemplo, contar el número de agujeros dentro de un objeto (sólo para fluidos con dos fases,
12
es decir, burbujas y agua, no acepta partículas sólidas en el visor), o utilizar un factor de
forma corregido para objetos elipsoidales. Después de este proceso se tiene una población de
burbujas individuales y una población de burbujas en aglomerados o clusters.[5]
Separación de clusters de burbujas: Inicialmente los conglomerados de burbujas eran
excluidos del análisis pues el procesamiento posterior requiere burbujas individuales. Sin
embargo, se desarrolló un algoritmo conocido como watershed para separar las burbujas
agrupadas. Este algoritmo consiste en representar cada punto de un conglomerado como una
altura topográfica que es proporcional a la escala de gris del pixel correspondiente [5], de
modo que se genera una configuración semejante a una topografía (ver Figura 2-5). Las
burbujas se separan según la línea que seguiría un flujo de agua que cayera por esa
topografía (de ahí el nombre del algoritmo). Un ejemplo de la aplicación de este algoritmo se
presenta en la Figura 2-6. Las burbujas separadas son entonces sumadas al análisis de la
distribución de tamaño de burbujas.
Burbujas
en contacto
Burbujas
“vecinas”
Figura 2-5: Esquema del algoritmo de watershed para separación de burbujas vecinas y burbujas en contacto
aplicado en Matlab, realizado por Acuña [5]
13
Figura 2-6: Ejemplo de watershed aplicado a una imagen real de burbujas
Es importante notar algunas de las deficiencias y/o limitaciones del análisis de imágenes
tradicional que no han podido ser corregidas a la fecha:
Burbujas superpuestas: El método no da cuenta de las burbujas que pueden quedar
escondidas tras otras. De hecho, funciona mejor con una mono-capa de burbujas, que se
logra mediante un visor inclinado.
Burbujas cortadas por el borde de la fotografía: Cualquier burbuja que esté cortada por el
borde de la fotografía es retirada del análisis.
Burbujas en clusters: En la práctica, por razones de tiempo computacional, no se utiliza el
algoritmo de watershed, por lo que se eliminan las burbujas en conglomerados.
Alto tiempo de procesamiento computacional para cada imagen.
Además existen limitaciones en la técnica de muestreo y toma de imágenes (fuera del
alcance de esta memoria), por ejemplo:
Método de muestreo: El muestreo en el tubo desde la celda podría provocar cambios en la
distribución de tamaño por quiebre, además podría existir segregación espacial dentro de la
celda lo que se vería reflejado en una medición de DTB distinta a la real. En particular, el
diámetro del tubo de muestreo genera un cambio en la DTB: se han medido casos en que un
tubo de muestreo más pequeño induce una DTB con diámetro medio menor [8].
14
2.4.
Modelo Booleano
Recientemente se ha propuesto utilizar un modelo estocástico llamado modelo booleano
para analizar las fotografías de burbujas de flotación y determinar la distribución de tamaño de
burbujas (DTB), descrito por Kracht, Emery y Egaña (2011) [6].
Un modelo booleano en ℝ9 corresponde a un modelo matemático del tipo germen y
grano, formalmente definido como un conjunto aleatorio X cerrado de forma [14]:
1 ('
: = ⋃<2!
< + :< )
(10)
En la ecuación (6), el germen {'< } es un proceso puntual en ℝ9 y el grano {:< } es una
sucesión de compactos en ℝ9 . En particular, en el modelo booleano, el germen corresponde a un
proceso puntual de Poisson y el grano al objeto que se ubicará centrado en el germen. En la
aplicación para determinar la DTB de una fotografía de burbujas de flotación, el grano
corresponde a un círculo de radio definido.
El modelo aplicado al caso particular en estudio supone que las burbujas en una fotografía
ocurren con diámetro y ubicación aleatorios, y su ocurrencia se da según un proceso de Poisson
de tasa θ que corresponde al número promedio de burbujas por unidad de área (pixel), además se
supone que las burbujas son independientes entre sí, es decir, que no existe segregación espacial
de objetos. Si se cumplen estos supuestos, entonces la función covarianza de la imagen se puede
expresar como función de la DTB y de θ.
Sea { @(A), A ∈ C ⊆ ℝ9 } un proceso estocástico estacionario en ℝ9 , es decir, que
depende de la posición en el espacio, continuo en el dominio C. La covarianza no centrada del
proceso es una función que se define (para procesos en 2D) como [6]:
E(F) = GH@() ∙ @( + F)I ∀ , F ∈ C
(11)
Se define el covariograma geométrico K(h) de un objeto (o grano) como el área de
intersección entre ese objeto y una copia de sí mismo desplazado en un vector h (ver Figura 2-7),
para cualquier valor de h. Por tanto, para desplazamientos h mayores al tamaño del objeto en una
determinada dirección, el covariograma vale cero, y para desplazamientos pequeños el
covariograma es máximo. Para h=0, el covariograma es igual al área del objeto. Por simplicidad,
en adelante se trabajará con distancias (h) en vez de desplazamientos (h) ya que para el propósito
de este documento sólo es relevante el módulo del desplazamiento, pues se trabaja en un
escenario isótropo.
15
h
Figura 2-7: Esquema de covariograma geométrico para un disco (región sombreada)[6]
Para un objeto circular de diámetro , el covariograma geométrico toma la forma de un
covariograma circular (que corresponde a la versión en 2D de un covariograma esférico), el cual
queda definido por:
∀ ℎ ≥ 0, NOPNQ =
^
^
^ 9
UQV
a
Warccos
]
_
−
1
−
]
_ c, ℎ ≤ S9
Q
Q
Q
T
S
R
0
, ℎ>
f
(12)
Gráficamente, el covariograma circular para un círculo de diámetro unitario se observa en
la Figura 2-8
Figura 2-8: Covariograma geométrico para un círculo de diámetro unitario
Si en vez de tener un único disco de diámetro , tenemos una distribución discreta
bimodal de dos posibles diámetros ! y 9 , con probabilidad g! y g9 respectivamente, entonces
el covariograma (K) del objeto típico corresponde a:
∀ ℎ ≥ 0, h(ℎ) = NOPNQi ∙ g! + NOPNQV ∙ g9
16
(13)
Figura 2-9: Covariograma geométrico para dos poblaciones de círculo de diámetro 1 y 0.5, para distintos
valores de p1 (proporción en número de círculos de diámetro 1)
En la Figura 2-9 se observa el comportamiento de la ecuación (13) para distintos valores
de g!. Se infiere de (13) que para una distribución continua de diámetros aleatorios δ con función
de distribución de probabilidades (fdp) (j) el covariograma combinado resulta ser:
∀ ℎ ≥ 0, h(ℎ) = %l (j)NOPNk j
∞
(14)
Se observa, por lo tanto, que existe una relación entre la fdp de los diámetros de los
objetos (es decir, entre la DTB de las burbujas en una foto) y el covariograma.
Por otra parte, existe una relación entre la función covarianza descrita en (11) y el
covariograma del objeto típico [6]. Para esto, la función covarianza se modifica, computándose
para el fondo de la fotografía, empíricamente calculada como la probabilidad de que dos puntos a
una distancia h se encuentren al mismo tiempo en el fondo de la imagen (i.e. que no pertenezcan
a ninguna burbuja). Las ecuaciones que relacionan la covarianza del fondo de la imagen, E(ℎ),
con el covariograma, m(ℎ), son:
∀ ℎ > 0, n/E(ℎ) = oh(ℎ) − 2oh(0)
∀ ℎ > 0, n/E(ℎ)qq = om qq (ℎ)
(15a)
(15b)
La función covarianza del fondo de la imagen puede ser calculada numéricamente desde
la imagen binaria, de modo que es posible obtener el covariograma en base a ella a través de la
ecuación (15b), si se conoce el parámetro o. Una vez calculado el covariograma, se puede
calcular la DTB. La ecuación que correlaciona la DTB con el covariograma resulta de invertir
(14) [6]:
17
∀ j > 0,
1 − "(j) = %k
r
9
1 stt (^)Q^
√^V k V
(16)
En (16) F(δ) corresponde a la distribución acumulada para un tamaño δ, y K corresponde
al covariograma del objeto típico en la fotografía.
En la práctica el proceso que se realiza para obtener la DTB es el siguiente:
Estimar la función covarianza experimental del fondo de la imagen C(h) para pasos h
múltiplos de la distancia real entre pixeles. La función C(h) se calcula como la proporción
empírica de pares de puntos que están a una distancia h y ambos están en el fondo de la
imagen.
Tomar el logaritmo de la función calculada y estimar su segunda derivada usando diferencias
finitas, de modo que se pueda conocer el valor de θ K ′′(h) usando la ecuación (15b).
Aplicar la ecuación (16) usando integración numérica, de modo que se obtiene un estimador
para oH1 − "(j)I.
El parámetro θ puede ser calculado por distintos algoritmos, ya sea como la meseta de la
función oH1 − "(j)I. calculada en el paso anterior, o como función de la intensidad
luminosa de la fotografía [15]. En el contexto de esta memoria, el valor de θ se calcula
mediante el primer método mencionado. Cuando el valor de j en la ecuación (16) tiende a
cero (es decir, cuando el diámetro de la burbuja tiende a cero), la función de distribución
acumulada "(j) tiende a cero, y el valor de la integral en el lado derecho de la ecuación
converge a o. En la práctica el valor de o se calcula haciendo una regresión entre los puntos
donde j converge a cero ya que no es posible evaluar en cero la integral porque existe un
diámetro mínimo limitado por la resolución de la imagen (la distancia mínima está acotada
por la distancia correspondiente a un pixel).
Algunas de las ventajas de este método por sobre el tradicional son:
Manejo de clusters y burbujas cortadas por el borde: El covariograma del fondo de la imagen
puede ser calculado con la imagen completa, no se eliminan burbujas cortadas, lo mismo con
los conglomerados de burbujas, de modo que la distribución de tamaño da cuenta de esas
burbujas. Por lo mismo no se necesita utilizar un visor inclinado como el MBSA.
Una comparación del desempeño del modelo booleano versus el desempeño del análisis de
imágenes tradicional se observa en la Figura 2-10. Para realizar la comparación se realizó una
simulación computacional para generar 100 imágenes de burbujas en base a una DTB teórica, con
posiciones aleatorias [6]. En el panel izquierdo se muestra el desempeño del análisis tradicional,
sin utilizar watershed (curva segmentada con triángulos) versus la DTB teórica (línea continua),
se aprecia claramente el sesgo contra los tamaños mayores, pues la curva segmentada está
18
desplazada hacia la izquierda con respecto a la curva continua. Por otra parte, en el panel derecho
se presenta la curva empírica del modelo booleano (curva segmentada con círculos) para el
mismo caso, tomando en cuenta que el modelo booleano no elimina burbujas. Se observa que se
respeta la forma de la curva teórica, con pequeños errores locales, pero no se observa el sesgo que
tiene el análisis tradicional.
Figura 2-10: Ejemplo de DTB para imágenes obtenidas computacionalmente y analizadas con el modelo
booleano y con el análisis tradicional. Fuente: Kracht, Emery & Egaña (2010) [6]
19
3. METODOLOGÍA
3.1.
Diseño Experimental
Para observar el comportamiento de burbujas en un visor y caracterizar los posibles
errores de muestreo y análisis de imágenes, se construyeron varios diseños experimentales. El
primero consiste en un recipiente recto donde las burbujas son generadas dentro del visor, en
tanto que los siguientes son visualizadores que se ubican directamente sobre una celda de
laboratorio agitada mecánicamente, de modo que las burbujas son muestreadas desde un sistema
con agitación mecánica e inyección de aire, ambos ajenos al visor. El primer visor (visor 1) se
utilizó para caracterizar cualitativamente el movimiento y distribución espacial de las burbujas, el
resto fue utilizado para tomar los datos definitivos que se utilizan como input para probar el
modelo booleano y para tomar imágenes que permitan comparar distintos regímenes de
movimiento de burbujas.
En los visores se tomaron imágenes de burbujas en un sistema de dos fases (agua y aire),
sin presencia de mineral. Se utilizaron concentraciones de 5 y 10 ppm de MIBC (Metil Isobutil
Carbonil, comercializado bajo el nombre de AEROFROTH® 70) como espumante para obtener
burbujas similares a las obtenidas en flotación.
El visor 1 consiste en un recipiente de acrílico transparente de 1 cm de grosor. Las
dimensiones internas del recipiente son 15 cm de largo, 30 cm de alto y 5 cm de ancho, como se
observa en la Figura 3-1. Las burbujas fueron generadas mediante un aspersor de aire cilíndrico
del tipo usado en los acuarios, con conexión vía manguera plástica a una bomba de aire con
velocidad de inyección de aire variable. El aspersor se ubica dentro de un tubo de acrílico de
media pulgada de diámetro que emula el ingreso de aire tal como ocurre en el MBSA.
Figura 3-1: Visor vertical 1 para imágenes de burbujas. Dimensiones en mm.
20
La bomba de inyección de aire de flujo variable fue calibrada por medio del método de la
probeta invertida y se reguló para dos flujos de aire distintos: 0.3 l/min y 0.07 l/min. Esto
equivale a un Jg igual a 1 cm/s en un tubo de muestreo de 1 y ½ pulgadas respectivamente. El
visor fue dotado de un separador vertical de acrílico, con extremo inferior inclinado, que captura
las burbujas emitidas por el aspersor y las confina a una zona de 1 cm de profundidad,
manteniendo el área transversal, como se ve en la Figura 3-2. Esto permite obtener fotografías
con burbujas más dispersas en la horizontal y con una profundidad de campo menor.
Figura 3-2: Visor 1. Izquierda: Fotografía frontal del visor con el separador incluido. Derecha: Vista lateral
Los otros visores de acrílico son tres estructuras de 3 cm de profundidad, 20 cm de alto y
8 cm de ancho como se aprecia en la Figura 3-3. En su parte superior se dispone de un tapón con
hilo y en su parte inferior se incluye un tubo de PVC de ½ pulgada de diámetro y 45 cm de largo.
El extremo inferior del tubo de PVC se sumerge en una celda mecánica de 4,9 litros de capacidad
con flujo de aire y agitación variable proporcionados por una máquina de flotación batch. Estos
tres visores corresponden a:
Un visor vertical
Un visor vertical con restricción que confina el movimiento de las burbujas a un ancho
de 3.6 cm en el centro del visor.
Un visor inclinado en 15° con respecto a la vertical, emulando la configuración del
McGill Bubble Size Analyser
21
Foco
Visor
Pantalla
Difusora
Control
Flujo de aire
Control
Agitación
Tubo de
muestreo
Impeler
Celda
Figura 3-3:: Visor vertical de burbujas en máquina de flotación Labtech-ESSA
Labtech
La máquina de flotación utilizada corres
corresponde a una celda de flotación batch LabtechESSA, dotada de un rotámetro para control de flujo de aire, graduado entre 5 y 25 l/min, y de un
sensor digital para medir la velocidad de agitación, con capacidad entre 0 y 1200 rpm. La celda
utilizada tiene unaa capacidad de 4.9 litros de volumen útil y un área de celda de 397 cm2. El
impeler correspondiente a esta celda tiene un diámetro de 10.7 cm y un alto de 2.7 cm [2]
El flujo de aire entregado por la máquina de flotación fue calibrado mediante el método de
la probeta invertida. La relación entre el flujo nominal indicado por el control de aire de la celda
y el flujo real se observa la Figura 3-4. La celda se opera a dos flujos nominales:
nominal 20 litros por
minuto y 13 litros por minuto,, esto corresponde a Jg=0.7 y 0.5 cm/s dentro de la celda. Los datos
de la calibración se presentan en el Anexo A.
22
Flujo real [l/min]
20.0
18.0
16.0
14.0
12.0
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
y= 0.95x - 2.41
R² = 0.987
0
5
10
15
Flujo nominal [l/min]
20
25
Figura 3-4: Calibración flujo de aire celda LabTech-Essa
3.2.
Captura de imágenes
Las imágenes de burbujas fueron capturadas con una cámara digital Nikon modelo D90,
utilizando un lente AF-S Micro Nikkor de 60 mm y razón focal mínima 2.8. Las imágenes son
capturadas a distancia focal fija (dependiendo del visor), con un intervalo de tiempo entre
imágenes de 1 segundo, para garantizar que las imágenes no contengan burbujas remuestreadas.
La resolución máxima permite obtener imágenes de 4288x2848 pixeles. La iluminación de las
burbujas o backlighting para imágenes se realiza con un foco y una pantalla difusora que permite
una iluminación más homogénea, como se observa en la Figura 3-5.
Foco
Cámara
Pantalla
difusora
Visor
Trípode
Figura 3-5: Montaje de elementos para fotografía
23
Se dispuso también de una cámara modelo TroubleSooter HR1 para toma de videos de alta
velocidad de las burbujas en los visores ya mencionados. La resolución máxima permite obtener
imágenes de 1280x1024 pixeles a 250 cuadros por segundo. La iluminación de las burbujas se
realiza con un foco de 1000 Watts, cada visor es equipado de una pantalla de papel vegetal
adherida en la parte trasera que permite obtener iluminación más homogénea.
Pantalla
Cámara
Foco
Visor
Tubo de
muestreo
Trípode
Celda
Figura 3-6: Montaje de elementos para videos de alta velocidad
3.3.
Técnica de Análisis de Imágenes Manual
El análisis de imágenes manual se realizó utilizando el software Autocad. La metodología
fue la siguiente:
•
•
•
•
1
Importar imagen a color en Autocad.
Ajustar la escala de Autocad para que coincida con la escala real en pixeles de la imagen.
Ajustar manualmente un objeto circular a cada burbuja. Para burbujas no circulares, se
utilizaron elipses.
Extraer como hoja de cálculo las coordenadas de los centros de cada burbuja y sus
dimensiones (para burbujas circulares, el radio; para burbujas elípticas, el semieje mayor
y el semieje menor, el radio equivalente será calculado posteriormente como el promedio
geométrico de los semiejes).
Cámara perteneciente a Claudio Acuña de la Universidad Católica del Norte.
24
•
Exportar una imagen en blanco y negro en formato .png con los objetos creados, sin
incluir la imagen inicial. Las dimensiones de esta imagen son ajustadas para que se
mantengan los pixeles contenidos en la imagen inicial2.
La Figura 3-7 muestra el resultado de procesar manualmente una imagen utilizando el
método previamente descrito.
Figura 3-7: Procesamiento manual de imágenes
3.4.
Análisis de Imágenes Modelo Booleano
El análisis de imágenes con el modelo booleano fue realizado en base a las imágenes
blanco y negro obtenidas con el procesamiento manual. La técnica computacional de análisis de
imágenes escapa a los alcances de esta memoria, las imágenes fueron analizadas por Felipe
Garrido, memorista de Ingeniería Civil en Computación.
2
Esto se realiza para exportar imágenes en blanco y negro que posteriormente serán procesadas mediante el método
booleano.
25
4. LIMITACIONES DE LA TÉCNICA DE MUESTREO Y ANÁLISIS DE
IMÁGENES PARA DETERMINAR DTB
En este capítulo se abordan los efectos que el procedimiento de muestreo y análisis de
imágenes tiene en el cálculo de la DTB, con el objetivo de comprender la diferencia entre la DTB
dentro del visor, es decir, aquella que ingresa al mismo, y la DTB que se mide en el análisis de
imágenes tradicional. En la Figura 4-1 se presentan las distintas etapas en la medición de la DTB.
El foco de este capítulo está en la segunda y tercera etapas de procesamiento, en las cuales se
pasa de una DTB real en el visor a una DTB analizada.
DTB celda
Etapa 1:
Tubo
muestreo
DTB visor
Etapa 2:
Muestreo
Temporal y
espacial
DTB
imágenes
DTB
análisis
Figura 4-1: Esquema del proceso para estimar la DTB
4.1.
Datos
4.1.1. Imágenes análisis preliminar
Para realizar un análisis preliminar, se estudiaron dos conjuntos o sets de 10 imágenes
cada uno, ambos obtenidos con anterioridad a la realización de este trabajo con un visor vertical
conectado a la celda Labtech-ESSA. Las condiciones de flotación de ambos sets de imágenes se
presentan en la Tabla 4-1. La resolución de las imágenes es de 2592x1944 pixeles. La Figura 4-2
muestra ejemplos de las imágenes para ambos sets.
Tabla 4-1: Condiciones de flotación imágenes visor vertical
Mineral
Jg [cm/s]
Agitación [rpm]
Xantanto [ppm]
MIBC [ppm]
Set I
Cuarzo
0.42
440
20
10
26
Set II
Cuarzo + Calcopirita
0.42
440
0
5
Figura 4-2: Ejemplos de imágenes del set I (izquierda) y set II (derecha)
Se presenta a continuación las características básicas de cada set de datos en la Tabla 4-2.
Se incluye la razón entre el área media de una burbuja y el área total de la imagen como indicador
del tamaño relativo de las imágenes con respecto a las burbujas.
Tabla 4-2: Estadísticas básicas imágenes visor vertical
Burbujas por imagen
Θ [Burbujas/pix2]
Diámetro medio [pix]
Diámetro de Sauter [pix]
Área burbuja/Área imagen
Set I
147.0
3.0x10-5
74.8
98.7
8.7x10-4
Set II
45.6
9.1x10-6
113.4
137.7
3.0x10-3
Además, se dispone de imágenes tomadas en el visor 1 (con burbujas generadas por un
aspersor dentro del visor), que permiten observar cualitativamente los sesgos espaciales en las
fotografías de burbujas, y de imágenes tomadas sistemáticamente en el visor vertical sobre la
celda Labtech-ESSA, con las condiciones de flotación indicadas en la Tabla 4-3. Un ejemplo de
las imágenes obtenidas se presenta en la Figura 4-3. La resolución de las imágenes es de
1500x1000 pixeles, a una escala de 53.6 pix/mm. Las estadísticas básicas de los sets tomados con
este visor se presentan en la Tabla 4-4. Para efectos de notación, estos set de imágenes se
denominarán set III y IV.
27
Tabla 4-3: Condiciones de flotación sets III y IV
Mineral
Jg [cm/s]
Agitación [rpm]
MIBC [ppm]
Set III
Sin mineral
0.7
450
5
Set IV
Sin mineral
0.7
450
10
Figura 4-3: Imagen en visor vertical sobre celda mecánica. Izquierda: set III, derecha: set IV.
Tabla 4-4: Estadísticas básicas sets III y IV
Set III
45.0
2.0x10-5
0.94
64.2
1.2
1.4x10-3
Burbujas por imagen
Θ [Burbujas/pix2]
Diámetro medio [mm]
Diámetro de Sauter [pix]
Diámetro de Sauter [mm]
Área burbuja/Área imagen
Set IV
284.8
1.1x10-4
0.66
53.2
0.95
0.7x10-3
4.1.2. Imágenes McGill Bubble Size Analyser
Se analizaron dos imágenes tomadas con el MBSA (Figura 4-4). La resolución de estas
imágenes es de 3456x2304 pixeles. Estas imágenes fueron divididas en 12 sub-imágenes de
860x635 pixeles, para obtener imágenes como la Figura 4-5. Esta escala de reducción de tamaño
fue elegida para que la razón entre el tamaño de burbujas y el tamaño de la fotografía (en cuanto
a área) sea similar a la que tienen las imágenes del visor vertical (Sets I y II).
28
Figura 4-4: Imágenes MBSA
Figura 4-5: Sub-imagen MBSA
Las estadísticas básicas de las imágenes del MBSA se presentan en la Tabla 4-5.
Tabla 4-5: Estadísticas básicas imágenes MBSA
Burbujas por imagen
Burbujas por sub-imagen
Θ [Burbujas/pix2]
Diámetro medio [pix]
Diámetro de Sauter [pix]
Área burbuja/Área sub-imagen
Imagen I MBSA
1234
89.6
1.6x10-4
30.14
33.7
1.3x10-3
Imagen II MBSA
1892
128.1
2.4x10-4
29.2
31.5
1.5x10-3
4.1.3. Videos e imágenes asociadas
Utilizando el visor vertical 1, se tomó un video con la cámara digital Nikon D90 para
caracterizar el movimiento de las burbujas, con velocidad de 24 cuadros/segundo. El video fue
analizado caracterizando tres tipos de trayectoria: para burbujas grandes, medianas y pequeñas.
Se define una burbuja grande como aquélla cuyo diámetro es al menos dos veces mayor al
diámetro promedio de las burbujas, una burbuja mediana como aquélla con tamaño similar al
29
promedio, y una burbuja pequeña como aquélla cuyo diámetro es inferior a la mitad del diámetro
promedio.
En una segunda instancia, se tomaron tres videos de alta velocidad3 que permiten una
caracterización más precisa de la trayectoria de las burbujas. Los tres videos son repeticiones del
mismo experimento y son tomados en las mismas condiciones, uno después de otro. Utilizando la
misma técnica descrita para analizar las imágenes, en conjunto con el programa ImageJ para
seguir la trayectoria de las burbujas y medirlas una a una, fue posible determinar la distribución
de tamaño de burbujas para los videos. Por lo tanto, se tiene la DTB de todas las burbujas que
atraviesan el campo visual del video en un periodo de tiempo, y al mismo tiempo se analizan sets
de imágenes tomadas cada cierto intervalo de tiempo durante el mismo periodo total para obtener
la DTB correspondiente a ese muestreo temporal.
La Tabla 4-6 presenta las características de los tres videos.
Tabla 4-6: Estadísticas básicas videos alta velocidad
Cuadros totales
Velocidad [cuadros/segundo]
Duración video [segundos]
Burbujas Procesadas totales
Burbujas/segundo
Diámetro Medio [pix]
Diámetro de Sauter [pix]
Tamaño imagen [pix2]
Escala [pix/mm]
Diámetro Medio [mm]
Diámetro de Sauter [mm]
Video I
2146
500
4.29
707
164.73
33.09
52.93
1280x512
19.76
1.67
2.67
Video II
1249
250
5.00
801
160.32
32.91
50.29
1280x512
19.70
1.67
2.53
Video III
1007
250
4.03
474
117.68
33.66
52.23
1280x512
19.95
1.70
2.64
La fila rotulada como “Burbujas Procesadas totales” representa el número total de
burbujas que cruzan el campo visual de la cámara en el tiempo medido, por ejemplo, para el
video I los 2146 cuadros totales corresponden a un intervalo de tiempo de 4.3 segundos, durante
los cuales 707 burbujas atravesaron el campo visual de la cámara.
Para comparar la DTB del video con la DTB de imágenes, se determinó visualmente el
mínimo tiempo de muestreo de imágenes para evitar remuestreo de burbujas pequeñas. Para esto
se observaron todas las burbujas pequeñas y se midió el tiempo que demoran en atravesar el
3
Videos tomados por Claudio Acuña en la Universidad Católica del Norte con la cámara de alta velocidad descrita
en 3.2
30
campo visual de la cámara. El tiempo que demora la burbuja más lenta indica la máxima
frecuencia de muestreo posible. La frecuencia de muestreo máxima obtenida fue 2.5 imágenes
por segundo. Con el fin de obtener un conjunto significativo de muestreos, se obtuvieron 7
muestreos distintos, a frecuencia 2.5 imágenes por segundo, cada muestreo iniciando en un
tiempo distinto. Los muestreos M1 a M3 corresponden al video 1, M4 y M5 al video 2, M6 y M7
al video 3.
Los resultados de cada set de imágenes se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 4-7: Estadísticas básicas muestreos temporales.
Número de imágenes
Frecuencia [imágenes/segundo]
Burbujas totales
Burbujas/imagen
Diámetro Medio [mm]
Diámetro de Sauter [mm]
M1
11
2.5
218
19.82
1.51
2.30
M2
11
2.5
242
22.00
1.61
2.84
M3
11
2.5
212
19.27
1.45
2.04
M4
13
2.5
251
19.31
1.57
2.51
M5
13
2.5
255
19.62
1.66
2.57
M6
11
2.5
149
13.55
1.63
2.44
M7
10
2.5
162
16.20
1.53
2.73
Finalmente, utilizando los tres visores ubicados sobre la celda Labtech-Essa, se dispone
de tres videos obtenidos para un flujo de aire de 12 l/min (equivalente a un Jg en celda de 0.45
cm/s), con 10 ppm de MIBC y agitación 450 rpm en la celda.
Tabla 4-8: Estadísticas básicas videos alta velocidad
Video IV
(visor vertical)
Cuadros analizados
Velocidad [cuadros/segundo]
Duración video [segundos]
Burbujas Procesadas totales
Burbujas/segundo
Diámetro Medio [pix]
Diámetro de Sauter [pix]
Tamaño imagen [pix2]
Escala [pix/mm]
Diámetro Medio [mm]
Diámetro de Sauter [mm]
318
250
1.27
954
750
33.58
59.18
1280x512
33.10
1.11
1.79
31
Video V
(visor vertical con
restricción)
270
250
1.08
783
725
35.12
55.68
1280x512
32.79
1.07
1.69
Video VI
(visor inclinado)
180
250
0.72
505
701
39.82
69.73
1280x512
34.67
1.16
2.01
Tabla 4-9 Estadísticas básicas muestreos temporales.
Número de imágenes
Burbujas totales
Burbujas/imagen
Diámetro Medio [mm]
Diámetro de Sauter [mm]
Muestreo
Video IV
10
533
53
0.96
1.52
Muestreo
Video V
10
436
44
1.03
1.80
Muestreo
Video VI
10
477
48
1.09
2.09
La siguiente tabla presenta un resumen de todos los datos especificados en esta sección:
Tabla 4-10: Resumen sets de imágenes y videos de alta velocidad
Cámara
Set I
-Set II
-Set III
Nikkon D90
Set IV
Nikkon D90
Imagen
-MBSA I
Imagen
-MBSA II
Videos I, II TroubleSooter
y III
HR
Muestreos TroubleSooter
M1 a M7
HR
TroubleSooter
Video IV
HR
Muestreo TroubleSooter
Video IV
HR
Resolución
[pix]
2592x1944
2592x1944
1500x1000
1500x1000
Vertical
Vertical
Vertical
Vertical
3456x2304
MBSA
--
--
1234
3456x2304
MBSA
--
--
1892
1280x512
Vertical
1.0
--
1982
1280x512
Vertical
1.0
--
1489
1280x512
Vertical
0.5
10
954
1280x512
Vertical
0.5
10
783
0.5
10
505
0.5
10
533
Video V
TroubleSooter
HR
1280x512
Muestreo
Video V
TroubleSooter
HR
1280x512
Video VI
Muestreo
Video VI
TroubleSooter
HR
TroubleSooter
HR
Visor
Vertical
con
restricción
Vertical
con
restricción
Jg
MIBC
[cm/s] [ppm]
0.4
10
0.4
5
0.7
5
0.7
10
Burbujas
Procesadas
1470
456
450
2848
1280x512
Inclinado
0.5
10
436
1280x512
Inclinado
0.5
10
477
32
4.2.
Muestreo espacial
Para caracterizar cualitativamente los efectos del muestreo espacial en la DTB final
calculada mediante análisis de imágenes, se tomaron fotografías en el primer visor vertical
construido. La Figura 4-6 presenta una sección de imagen tomada para el visor utilizando el
separador (ver Figura 3-2). Se aprecia claramente que las burbujas están agrupadas al centro de la
fotografía, este efecto responde al hecho de que el ingreso de las burbujas ocurre en el centro del
visor. El cono que forman las burbujas al ascender no cubre completamente el ancho del visor. La
observación de imágenes en este visor permitió determinar que para las condiciones de la Figura
4-6, el ancho típico que alcanza el cono es de 8 cm, dependiendo de la altura a la que se tome la
foto con respecto a la base del visor.
Figura 4-6: Imagen de burbujas en visor vertical 1, para condiciones en visor de 10 ppm de MIBC, con
separador dentro del visor (profundidad de campo de 1 cm) y flujo de aire 0.07 l/min
Para un flujo de aire asociado a Jg=1 cm/s (equivalente a 0.3 l/min en el visor vertical),
existe una población de burbujas pequeñas que no pertenecen al cono de ascenso principal del
flujo de aire. Estas burbujas no tienen un movimiento ascendente, si no que (como se observa en
grabaciones del movimiento de burbujas en este visor) corresponden a burbujas en descenso que
son arrastradas por flujos de agua generados por efecto sifón.
El efecto sifón se induce porque existe un gradiente de presión en la zona inferior del
visor. Este gradiente se produce debido a que en la zona de inyección de aire la presión es menor
que en su vecindad, de modo que existe una fuerza que empuja al agua desde los bordes hacia el
centro del visor. Para compensar este movimiento, existe un movimiento vertical descendente en
las áreas laterales del visor, que es capaz de arrastrar burbujas pequeñas que hayan alcanzado la
zona superior.
Se utiliza el programa ImageJ para graficar las trayectorias de burbujas en el visor,
mediante el plugin MTrackJ4 [16], que permite seguir una burbuja particular en una secuencia de
imágenes, para observar la trayectoria de burbujas.
4
© Erik Meijering. Plugin de distribución gratuita para usos educacionales y de investigación.
33
Figura 4-7: Trayectoria de burbujas en visor 1 para 10 ppm MIBC, flujo de aire 0.3 l/min. Rojo: Burbujas
grandes, Amarillo: Burbujas medianas, Azul: Burbujas pequeñas.
La Figura 4-7 permite apreciar el movimiento para distintos tamaños de burbujas. Cada
círculo en una trayectoria representa la posición de la burbuja para una imagen. Se debe notar que
el intervalo de tiempo entre dos posiciones consecutivas es el mismo para todas las trayectorias,
de modo que mientras más larga es la distancia entre dos círculos, mayor es la velocidad de la
burbuja, lo que muestra que las burbujas más grandes viajan más rápido. Esta imagen, además de
permitir apreciar la trayectoria descendente de burbujas pequeñas por efecto sifón en los sectores
laterales, sugiere un eventual sesgo por muestreo temporal, asociado a la diferencia de
velocidades según tamaño, que se analizará en la siguiente sección.
Como conclusión del análisis espacial en el visor vertical 1, se presentan dos sectores
diferenciados en las imágenes: el cono central de ascenso que contiene burbujas de todos los
tamaños, y los sectores laterales que presentan principalmente burbujas pequeñas en descenso.
Para tomar imágenes representativas del flujo ascendente y evitar remuestreo de burbujas
pequeñas se debe confinar la fotografía al sector central del visor, específicamente a una distancia
horizontal correspondiente a un tercio del ancho total del visor.
En general, en todos los sets de imágenes se observa que existe un flujo ascendente que
concentra la mayor parte de las burbujas y en los bordes de la imagen hay menor presencia de
burbujas. En particular, para el conjunto de muestreos asociados al video de alta velocidad, se
observa en la Figura 4-8 que además las burbujas de mayor tamaño sólo se presentan en el centro
de la imagen, en tanto que las pequeñas y medianas se dispersan a lo ancho del visor.
34
Figura 4-8: Relación entre la posición horizontal y el tamaño de burbujas para muestreos de video.
4.3.
Muestreo temporal
4.3.1. Sesgo por muestreo temporal
El procedimiento de muestreo de imágenes (1 cada segundo en el visor vertical) garantiza
evitar el remuestreo ya que con la velocidad que alcanzan las burbujas en el visor permite que en
un segundo recorran una distancia mayor al alto de la fotografía. Este muestreo temporal, sin
embargo, no garantiza que las burbujas fotografiadas sean representativas de la distribución total
de tamaños de las burbujas, ya que si existen burbujas que viajan más rápido que otras (como
sucede, en teoría, con burbujas más grandes), entonces serán fotografiadas con menor frecuencia
que burbujas que viajen más lento, de modo que se produce un sesgo contra burbujas que viajan
más lento.
Para comprobar el supuesto de que la diferencia de velocidades por tamaño afecta la DTB
medida, se trabaja con tres videos de alta velocidad (Videos I, II y III, descritos en Tabla 4-7) y
las imágenes muestreadas de éstos (muestreos M1 a M7, descritos en Tabla 4-8). La DTB medida
de ambas maneras (video y muestreo de imágenes) se compara, para poder concluir respecto del
sesgo producido por el muestreo temporal. Dado que los tres videos son repeticiones de un
mismo experimento en condiciones iguales, se calcula una única DTB para el video y se trabaja
con los 7 muestreos como un conjunto de mediciones. La distribución real dentro del visor
corresponde a la DTB del video.
35
Figura 4-9: Comparación DTB video y muestreos
De la Figura 4-9, se desprende que la diferencia más importante entre las distribuciones
muestreadas (imágenes) y la distribución real (video) es que las burbujas pequeñas (de diámetro
menor a 1.5 mm) en este caso aparecen sobrerrepresentadas en las imágenes, mientras que las
burbujas grandes (de diámetro mayor a 1.5 mm) se ven subrepresentadas.
4.3.2. Sesgo teórico para dos regímenes de movimiento
Es posible caracterizar teóricamente el sesgo promedio que tendría el muestreo a una
frecuencia dada, bajo ciertos supuestos, conociendo la DTB real y la velocidad de las burbujas.
Supongamos que se muestrea cada v segundos. Si se supone que las burbujas ingresan al visor
siguiendo un proceso de Poisson de tasa λ burbujas por segundo, y su distribución de tamaño está
caracterizada por , entonces la tasa de generación de burbujas del tamaño i-ésimo es:
w = w ∙ (17)
Con esto se tiene una estimación del número promedio de burbujas del tamaño i-ésimo
que ingresaron en el intervalo que va desde v segundos antes de tomar la fotografía y el instante
de la toma de la imagen, x . Si además se conoce la velocidad característica de burbujas del
tamaño i-ésimo (en función de su diámetro ), es posible determinar la proporción de esas
burbujas que salen del campo visual y cuantas (en promedio) se mantienen en el campo visual al
36
momento de la toma de la fotografía. Con esto se puede construir la distribución de tamaño que
un muestreo teórico debiese tener si las burbujas tuvieran una velocidad determinada, y
compararlo con el obtenido empíricamente. Además, es posible modificar el perfil de velocidad
versus radio para adaptarlo a cualquier régimen de movimiento, en particular se exploran los
casos de burbujas aisladas, sin efectos de arrastre por otras burbujas, y burbujas en swarm o
enjambre, descritos en los antecedentes teóricos.
Dado que los datos para velocidades en régimen de swarm no cubren completamente el
rango de tamaños de burbujas que presentan los videos (Figura 2-2), fue necesario extrapolar los
datos de Acuña & Finch, 2010 [12]. Se optó por ajustar un polinomio de grado 3 para los
tamaños hasta 3 mm, y por mantener una velocidad constante para tamaños superiores a 3 mm.
Figura 4-10: Comparación muestreo real y simulación para régimen de swarm y burbujas aisladas
La Figura 4-10 es el resultado de un muestreo simulado en régimen de enjambre y en
régimen de burbujas aisladas. La simulación del muestreo se realiza tomando como base la DTB
del video para conseguir 2 muestreos teóricos distintos según el régimen simulado. El valor real
de la distribución es el mismo presentado en la Figura 4-9. Se puede concluir que: el muestreo
teórico en régimen de burbujas aisladas tiene un error mayor al muestreo teórico si se supone
régimen de enjambre, este último se parece mucho más al muestreo real que el primero. También
es notorio que el muestreo teórico en ambos casos subestima el porcentaje de burbujas de
tamaños mayores a 1.5 mm y sobreestima el porcentaje de burbujas pequeñas, es decir, sigue el
comportamiento del muestreo real, sin embargo estos errores son mayores al real en el caso de
régimen de burbujas aisladas. La Tabla 4-11 muestra los resultados en promedio para los
muestreos.
37
Tabla 4-11: Comparación muestreos simulados y real
Diámetro medio real [mm]
Diámetro medio simulación burbujas aisladas [mm]
Diámetro medio simulación swarm [mm]
Diámetro medio muestreo real [mm]
Error muestreo burbujas aisladas[%]
Error muestreo swarm [%]
Error muestreo real [%]
1.68
1.47
1.58
1.57
12.55
6.30
6.92
Se deduce de los resultados y de la observación del movimiento de las burbujas en el visor
que el régimen en el visor es similar al de enjambre, sin embargo en los bordes del visor se
distinguen burbujas aisladas, de modo que el resultado esperado es un resultado intermedio entre
ambos regímenes. En la práctica, el resultado del muestreo real cumple esta premisa, pero se
encuentra mucho más cerca del régimen de enjambre.
4.3.3. Variabilidad temporal de la DTB y sesgo de muestreo temporal para distintos visores
Contemplando lo expuesto en la sección anterior, se decidió observar el comportamiento
de la DTB para tres visores distintos sobre la celda LabTech-Essa: un visor vertical, un visor
vertical con restricción y un visor inclinado. El objetivo es comparar el sesgo por muestreo
temporal para dos regímenes distintos: considerando que en el segundo visor las burbujas están
confinadas a un espacio horizontal de 3.6 cm, se espera que su movimiento sea similar a un
régimen de swarm, en tanto que las burbujas en el primer visor pueden ubicarse en todo el
espacio horizontal del visor (8 cm), por tanto se espera que su movimiento sea más cercano al
régimen de burbujas aisladas. Finalmente, se desea referenciar el comportamiento de estas DTB y
asociarlo al observado en un tercer visor, inclinado.
Los videos de alta velocidad fueron muestreados para obtener imágenes con una
frecuencia de 2 imágenes por segundo. Estos videos fueron analizados en un intervalo de tiempo
que asegura una DTB estable, es decir, al final del intervalo utilizado, el diámetro medio y el
diámetro de Sauter de la DTB se mantuvieron constantes dentro de un 1% de variación. Esto
significó tomar para los videos un intervalo cercano a 1 segundo, asociado a cerca de 300
burbujas. Por otra parte, se requirieron 10 imágenes para estabilizar la DTB del muestreo
temporal, correspondientes a un intervalo de tiempo de 4.5 segundos. Por lo mismo, a diferencia
de la sección previa, el muestreo de imágenes no corresponde exactamente al intervalo de tiempo
en que se midió la DTB del video, sino al intervalo de tiempo necesario para obtener
distribuciones de tamaño de burbujas con un promedio estable en el tiempo.
38
Se obtuvieron los siguientes resultados para el diámetro medio y la DTB en cada visor, en
función del número de burbujas analizadas:
Figura 4-11: Evolución del diámetro medio de la DTB para visor vertical (izquierda) y DTB final (derecha)
Figura 4-12: Evolución del diámetro medio de la DTB para visor vertical con restricción (izquierda) y DTB
final (derecha)
39
Figura 4-13: Evolución del diámetro medio de la DTB para visor inclinado (izquierda) y DTB final (derecha)
Tabla 4-12: Sesgo de muestreo temporal para distintos visores
Visor Vertical
Visor Vertical con restricción
Visor Inclinado
Diámetro medio
video [mm]
1.11
1.07
1.16
Diámetro medio
imágenes [mm]
1.00
1.03
1.09
Error muestreo
temporal [%]
9.34
3.70
6.05
La evolución del diámetro medio de la DTB en función del número de burbujas
analizadas muestra que para un muestreo de 2 imágenes por segundo existe un sesgo que se
mantiene en el tiempo, este sesgo es menor en el caso de utilizar un visor con restricción de
movimiento en la horizontal.
4.4.
Análisis de imágenes
El análisis de imágenes tradicional entrega una distribución de tamaño de burbujas en
base a las imágenes muestreadas. Sin embargo en el procesamiento de las imágenes se cometen
sesgos, en particular, en la etapa de binarización y en la etapa de separación de conglomerados y
de burbujas cortadas por el borde que son rechazadas por no ser circulares.
4.4.1. Sesgos en etapa de binarización
En el proceso de binarización en el análisis de imágenes tradicional es necesario
determinar un umbral o threshold, para convertir las imágenes en escala de grises a binarias. El
umbral corresponde a un tono de gris que sirve como criterio para diferenciar entre pixeles negros
y blancos. Este umbral debe permitir que se filtren ruidos de la imagen producto de
40
irregularidades en la iluminación. La definición de este umbral puede reducir el tamaño de las
secciones circulares, como se observa en la
Figura 4-14, donde se ha superpuesto la imagen real con una binarización con un
threshold de 200 (en una escala de 0 a 255, todo color bajo 200 es considerado negro).
Dependiendo del threshold elegido, el diámetro de las burbujas analizadas puede ser levemente
menor a las burbujas reales.
Figura 4-14: Análisis de imágenes y thresholding
4.4.2. Sesgos por burbujas en clusters y burbujas en bordes
Como se ha mencionado con anterioridad, usualmente el procesamiento de las imágenes
considera sólo las burbujas aisladas (en particular, en el sistema MBSA no se procesan las
imágenes cortadas por el borde ni en clusters), lo que podría tener un efecto en la DTB medida.
Con los datos de radio y posición de todas las burbujas tabulados para cada imagen es
posible separar las burbujas en dos poblaciones: aquellas que se encuentran aisladas y aquellas
que se encuentran en clusters o cortadas por el borde de la imagen. El primer grupo representa el
resultado que, teóricamente, debería obtenerse del análisis tradicional (MBSA), el segundo grupo
es eliminado por el procesamiento utilizando MBSA. Se puede determinar si eliminar dicha
población de burbujas tiene un efecto estadísticamente significativo en el cálculo de la DTB final,
mediante un test de Student de comparación de medias [17].
Se observa que, para las imágenes en visor vertical, el análisis de imágenes tradicional
presenta un error asociado a eliminar los conglomerados de burbujas, el cual para estos sets es
pequeño. En las Figura 4-15 y en la Figura 4-16, se presentan las distribuciones de tamaño
combinadas de las imágenes de cada set, para las imágenes completas y para las imágenes sin
clusters.
41
Figura 4-15: Distribución de tamaños set I
Figura 4-16: Distribución de tamaños set II
A pesar de que no se observan grandes diferencias en los gráficos, en ambos sets el
promedio de tamaño de burbujas para la distribución completa es mayor que el promedio para la
distribución de tamaño sin conglomerados, en un 2.7% y en un 1.5% para el set I y para el set II
respectivamente. Es importante notar que este sesgo en el radio se convierte en un error del 5% y
el 3% para el cálculo de área de burbujas. Ambos sets tienen porcentajes de clusters bajos, de
17% y 18% respectivamente.
Se realizaron tests de significancia de estadística para la diferencia de medias (test de
Student) entre el conjunto de burbujas que son analizadas por el método tradicional (burbujas
aisladas y fuera de los bordes) y el conjunto total, el resultado obtenido indica que la diferencia
42
de medias para el set II no tiene significancia estadística, en tanto que para el set I la diferencia
entre la DTB de burbujas aisladas y la DTB total sí tiene significancia estadística.
La misma técnica de análisis fue aplicada a las imágenes MBSA (ver Figura 4-4 y Tabla
4-5), obteniendo distribuciones casi idénticas al retirar los clusters (ver Figura 4-17 y Figura
4-18). En este caso el error en el cálculo del radio promedio es del 0.06% y 0.2% para cada
imagen, y no existe diferencia significativa entre la DTB con clusters y la DTB sin clusters. El
porcentaje de burbujas en clusters y cortadas por el borde en ambas imágenes es del orden del
2%. Se debe observar que en ambos casos la DTB es angosta, por lo que es lógico esperar que no
exista diferencia (ver sección 5.3 de este documento).
Figura 4-17: Distribución de tamaños imagen MBSA I
Figura 4-18: Distribución de tamaños imagen MBSA II
43
Considerando que los resultados obtenidos para las imágenes de prueba en visor vertical
no son concluyentes (uno de los sets indica que al remover los clusters se obtiene una DTB
significativamente distinta y para el otro la remoción de clusters no modificaba la DTB), se
reiteró el procedimiento para los sets III y IV, cuyos porcentajes de burbujas en clusters (27% y
57% respectivamente) son mayores a los de los sets I y II.
Figura 4-19: Distribución de tamaños imagen set III
Figura 4-20: Distribución de tamaños imagen set IV
El mismo estudio se realizó para todos los sets de imágenes de muestreos de los videos de
alta velocidad (videos I, II y III), obteniendo en promedio un error del 5.7% en el cálculo del
diámetro medio después del análisis. Un resumen de los datos mencionados en esta sección se
presenta en la siguiente tabla:
44
Tabla 4-13: Resumen sesgo de análisis para distintos sets de imágenes
Número de imágenes
Burbujas totales
Θ [burbujas/pix2]
Burbujas en clusters o bordes [%]
D10 imágenes [mm]
D10 análisis convencional [mm]
Resultado Test de Student
Error análisis convencional [%]
Set I
10
437
8.67E-06
17.40
1.17
1.16
0.00
1.12
Set II
10
1492
2.96E-05
18.30
0.76
0.74
1.00
2.56
Set III
50
2249
3.00E-05
27.43
0.95
0.92
1.00
2.77
Set IV
10
2848
1.20E-04
51.70
0.65
0.56
1.00
13.65
Set muestreos
80
1489
2.83E-05
18.30
1.57
1.48
1.00
5.73
4.4.3. Relación clusters y sesgo
Analizando diferentes sets de imágenes con distintas condiciones, se encuentran imágenes
con distintos porcentajes de burbujas en clusters, y diferentes sesgos sobre la DTB real, en
particular, el error sobre el diámetro medio que se produce al eliminar los clusters debería variar
con el porcentaje de clusters, en el caso extremo en que no hay burbujas en contacto con otras, el
error es cero.
Considerando que el cambio en las condiciones de flotación afecta otras características de
las imágenes y de la DTB, tales como esfericidad de las burbujas, régimen de movimiento de
burbujas, distribución espacial de las burbujas, etc., no es posible relacionar directamente el sesgo
del análisis tradicional con el porcentaje de burbujas en clusters presentes en una imagen pues no
se pueden mantener las otras condiciones constantes.
Una manera de asegurar un cambio en el porcentaje de clusters sólo cambiando la
densidad de burbujas por imagen, sin cambiar la DTB, es combinar imágenes para aumentar el
parámetro θ. Se procedió a muestrear un mismo video tres veces, iniciando cada vez en un tiempo
distinto (ver Figura 4-21), obteniendo 11 imágenes para cada muestreo, los cuales corresponden a
los muestreos M1, M2 y M3 del video I. Las imágenes de esos sets se combinaron de a dos en
dos, obteniendo tres “muestreos” ficticios de 11 imágenes con porcentaje de clusters mayor al de
las imágenes iniciales, y finalmente se combinaron las imágenes de los 3 muestreos, obteniendo
un set de 11 imágenes con una cantidad aún mayor de burbujas por imagen. Con estos datos se
puede relacionar el porcentaje de clusters con el sesgo del análisis tradicional, para una DTB fija.
La teoría indica que la combinación de estos muestreos puede tener una DTB distinta a la
DTB original, contemplando que puede haber remuestreo de burbujas pequeñas entre M1, M2 y
M3, que están espaciados 0.1 segundos entre sí. Sin embargo, un examen exhaustivo del video 1
indica que muy pocas (alrededor de 15 de un total de 707) burbujas demoran más de 0.1
45
segundos en atravesar la imagen en la vertical. La distancia vertical asociada a las imágenes
corresponde a 512 pixeles, equi
equivalente a 0.94 cm.. Comparando esta distancia con las velocidades
de burbujas presentadas en la Figura 2-2 se observa que para un régimen de swarm ninguna
burbuja de diámetro mayor o igual a 0.5 mm seráá remuestreada, en tanto que en un régimen de
burbujas aisladas sólo
ólo aquéllas de diámetro menor a 0.5 mm podrían ser remuestreadas. En la
práctica el remuestreo es casi nulo y no cambia la DTB. Un test de Student
tudent de diferencia de
medias se realizó para confirmar
firmar este supuesto, el resultado es que no existe diferencia
significativa entre las medias de las poblaciones de burbujas de M1, M2, M3 y sus respectivas
combinaciones. Por tanto, es válido realizar estas superposiciones de imágenes que entregan una
variación en el porcentaje de clusters como se observa en la Tabla 4-14.
Inicio
M1
Inicio
M2
0.1 s
Inicio
M3
Imagen 2
M1
0.1 s
Imagen 2
M2
0.1 s
Imagen 2
M3
0.1 s
tiempo
0.4 s
Figura 4-21: Esquema de muestreo temporal para video I
Figura 4-22: Esquema de superposición de imágenes.
Arriba: dos imágenes originales de M1 y M2. Abajo: Imagen combinada de las dos imágenes superiores.
46
Tabla 4-14: Muestreos video I y combinaciones.
Número de imágenes
Burbujas totales
Θ [burbujas/pix2]
Burbujas en clusters o
bordes [%]
D10 imágenes [mm]
D10 análisis
convencional [mm]
Resultado Test de
Student
Error análisis
convencional [%]
M1
11
218
3.02E-05
M2
11
242
3.36E-05
M3
11
212
2.94E-05
M1∩M2
11
460
6.38E-05
M2∩M3
11
454
6.30E-05
M1∩M3
11
430
5.96E-05
M1∩M2∩M3
11
672
9.32E-05
16.97
23.97
19.81
34.78
33.04
31.40
42.41
1.52
1.61
1.45
1.56
1.54
1.48
1.53
1.45
1.47
1.39
1.40
1.38
1.37
1.34
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
4.29
8.83
4.26
10.37
9.92
7.87
12.31
14.00
R² = 0.87
12.00
Error D10 [%]
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
45.00
[%] Burbujas en clusters y bordes
Figura 4-23: Sesgo versus % de burbujas en clusters para la DTB de muestreos video I
En teoría, el sesgo depende tanto del parámetro θ como de la DTB, en particular de los
dos primeros momentos de la DTB. El porcentaje de burbujas en clusters está determinado por la
forma de la DTB y por la densidad espacial de burbujas, sin embargo aún cuando el porcentaje de
clusters sea altísimo debido a una gran densidad de burbujas por imagen, es posible que el sesgo
sea muy cercano a cero si la DTB tiene una varianza baja.
47
4.5.
Sesgo global
Habiendo analizado las dos fuentes de error que se pretenden comprender, se puede
apreciar el efecto conjunto de los dos procesos sobre una distribución, para los videos de alta
velocidad I, II y III.
Figura 4-24: Desviaciones respecto de la DTB real (video) según muestreo temporal y análisis
La Figura 4-24 muestra la DTB real (video) y las DTB obtenidas tras muestrear
temporalmente y analizar eliminando los clusters. El error de muestreo temporal y el error de
análisis presentan la misma tendencia para las condiciones específicas en que fueron tomados los
videos I, II y III.
Las burbujas con diámetros mayores a 1.5 mm aparecen subrepresentadas en el análisis,
en tanto que las burbujas de diámetros menores a 1.5 están sobrerrepresentadas. Se debe notar
que para todos los tamaños excepto 1.5 mm, el análisis aumenta (agrava) el error de muestreo
temporal.
El diámetro promedio real (video) es de 1.68 mm, el muestreo temporal reduce ese valor a
1.57 mm y sobre ese valor, la eliminación de los clusters lleva a una DTB de media 1.48 mm.
Considerando esos datos se obtienen los siguientes resultados para el sesgo de muestreo, el de
análisis y el sesgo total (correspondiente a la comparación del análisis con la DTB real del
video):
48
Tabla 4-15: Error global en cálculo del diámetro medio para video de alta velocidad, se presenta el promedio
de todos los muestreos.
Error Diámetro [%]
6.55
5.73
11.90
Muestreo temporal
Análisis de imágenes
Global
49
5. MODELO BOOLEANO
Considerando las limitaciones de la técnica de muestreo y análisis de imágenes
presentadas en el capítulo anterior, se propone una forma de reducir el error producido al
muestrear imágenes desde un video, ésta es: generar en el visor un régimen de movimiento de
burbujas tipo swarm, de modo que el sesgo contra las burbujas mayores disminuya gracias a que
en ese régimen de movimiento las burbujas se mueven con velocidades menos dispares.
En este caso, es necesario desarrollar una técnica de análisis que sea capaz de procesar o
dar cuenta de los clusters en la distribución que se generan cuando el ascenso de las burbujas en
el visor sigue un régimen de swarm, considerando que al aumentar la presencia de clusters el
error de análisis con la técnica tradicional aumenta considerablemente (ver Figura 4-23). Para
esto se utilizará el modelo booleano, presentado en la sección 2.3, ya que corresponde a una
técnica de análisis de imágenes capaz de medir una DTB considerando los clusters.
En este capítulo se explora la factibilidad de aplicar el modelo booleano al análisis de
imágenes reales tomadas en un visor vertical, para lo cual se analiza si las imágenes cumplen los
principios básicos de aleatoriedad del modelo y se revisan los resultados al aplicar el modelo
booleano a un set de imágenes.
Además, se realiza un análisis teórico con el fin de comprender cómo la presencia de
clusters afecta el cálculo de la DTB con la técnica tradicional, para distintas condiciones de
operación en términos de la DTB inicial y la densidad de burbujas por imagen, directamente
relacionada con Jg.
5.1.
Datos
Se utilizarán los datos de los sets I y II descritos en el capítulo anterior, para las pruebas
de aleatoriedad. Para corroborar el modelo booleano se utilizará el set III.
5.2.
Pruebas de aleatoriedad
Con la finalidad de verificar si los supuestos del modelo booleano se cumplen en
imágenes de burbujas en visores inclinados y en visores verticales, se diseñaron las pruebas de
aleatoriedad que se describen a continuación.
50
5.2.1. Distribución espacial de burbujas
Uno de los supuestos del modelo booleano es que la posición de los centros de las
burbujas es aleatoria y la ocurrencia de una burbuja en el espacio sigue un proceso de Poisson de
tasa θ burbujas/pixel. Para un número alto de fotografías, el número de burbujas por cada imagen
debe, en promedio, converger a o ∙ , donde A es el área de la fotografía en pixeles. Del mismo
modo, si cada imagen es dividida en n secciones de igual área, el número de burbujas por
sección, en promedio, converge a o ∙ ⁄/. Además, según el modelo booleano, el número de
burbujas por sección sigue una distribución de Poisson de tasa w = o ∙ ⁄/. Usando esta
distribución, es posible encontrar el número máximo de burbujas por sección para un intervalo de
confianza del 95%.
El método utilizado para probar si las imágenes cumplen con la aleatoriedad en la
posición de las burbujas es dividir la fotografía en 20 secciones de igual área, contar el número de
burbujas en cada sección y luego contar el número de secciones que contienen una cantidad
“normal” de burbujas, es decir, dentro del intervalo de 95% de confianza de la distribución. Si
existen más cuadros con números anormales de burbujas que los determinados por el intervalo de
confianza del 95% se podrá concluir que las imágenes no son aleatorias. En estricto rigor, el
intervalo 95% de una distribución de Poisson no se puede calcular, ya que es una distribución
discreta, de modo que se calcula el número N que corresponde a la fracción acumulada más
cercana al 95% como límite para secciones “normales”.
Con el fin de estudiar si existe algún tipo de segregación espacial de burbujas que sea
significativo se realizará el test con tres tipos de segmentación de la fotografía: 20 cuadros
horizontales, 20 cuadros verticales y 20 cuadros distribuidos en 4 filas y 5 columnas, como se
observa en la Figura 5-1.
Figura 5-1: Esquema de tests de aleatoriedad en tres configuraciones distintas
Para la configuración de 4 filas y 5 columnas (panel izquierdo Figura 5-1) se obtuvieron
20 cuadros de 300x250 píxeles. Cada cuadro debiera tener, siguiendo el modelo booleano, un
promedio de 2.25 burbujas.
51
La Figura 5-2 muestra la distribución espacial de burbujas en las imágenes (en términos
de número burbujas/cuadro) real para el set III, y la distribución teórica para una distribución de
Poisson con un promedio 2.25 burbujas por cuadro.
Figura 5-2: Distribución espacial de burbujas imágenes set III
Para un proceso de Poisson con 2.25 burbujas/cuadro, el número de burbujas debe ser
(con un 95% de confianza) como máximo 5.5 burbujas por cuadro. Se debe notar que en estricto
rigor una distribución de Poisson no tiene ese intervalo de confianza ya que es discreta, por tanto
el 95% de confianza se encontró en base a la distribución acumulada para 5 burbujas/cuadro
(92,2%) y para 6 burbujas cuadro (97,3%).
Si se toma como máximo posible 5 burbujas por sección, se encuentra que un 10% de los
cuadros analizados sobrepasa este valor, en tanto que si se usa 6 como límite superior, un 5% de
los cuadros en estudio son “anormales”. Contemplando este resultado, el test indica que no se
puede descartar que las imágenes sean aleatorias en la ubicación de las burbujas. Se obtuvieron
resultados similares para las otras configuraciones del test indicadas en la Figura 5-1.
Es importante aclarar que se utilizó el formato de test usando el máximo de burbujas
posibles ya que se espera que la distribución de Poisson con una media de 2.25 burbujas por
cuadro tenga un 10% de los cuadros con 0 burbujas (ver Figura 5-2). Esto hace que sea imposible
definir un intervalo del 95% simétrico con respecto a la media, por tanto se debe recurrir a un test
asimétrico. Se debe notar que en la realidad, un 25% de los cuadros presenta cero burbujas.
52
5.2.2. Probabilidad de observar burbujas aisladas
Un análisis teórico permite calcular la probabilidad de que una burbuja cualquiera sea
“analizable” con el método tradicional, o sea, que esté aislada (que no sea parte de un cluster) y
que no corte los bordes de la foto. El evento de que una burbuja esté aislada y no corte los bordes
se puede descomponer en 3 eventos disjuntos [18]:
Evento 1: La burbuja no toca los bordes de la foto. La probabilidad de este evento es:
z1() =
En donde:
({ Q)(| Q)
(18)
= Ancho de la fotografía en milímetros.
} = Alto de la fotografía en milímetros.
z1() = Probabilidad de que una burbuja de diámetro d no sea
intersectada por los bordes de la imagen.
Evento 2: La burbuja no es intersectada por otra burbuja que haya sido “sembrada” en el
área exterior a ella, es decir, que no se intersecte con otra burbuja cuyo centro está fuera
del área de la burbuja original. La probabilidad de este evento depende de los momentos
de la función de distribución de probabilidades del diámetro de burbujas, la cual puede ser
calculada para una imagen procesada manualmente. La probabilidad de este evento es:
z2() = ~
En donde:
{|
€
r] Vi Q_
V
(19)
o = Tasa del proceso de Poisson [burbujas/mm2]
‚! , ‚9 = Momentos de orden 1 y dos de la distribución de tamaño,
corresponden al diámetro medio y al diámetro cuadrático medio, en
unidades de milímetros y milímetros cuadrados
z2() = Probabilidad de que una burbuja de diámetro d no sea
intersectada por ninguna burbuja con centro externo a ésta.
Evento 3: La burbuja no es intersectada por otra burbuja que haya sido “sembrada” en el
interior de ella, es decir, que no se intersecte con otra burbuja cuyo centro está dentro del
área de la burbuja original. Esta probabilidad no sólo depende de los momentos de la
función de distribución de probabilidades, también depende de la forma de dicha
distribución. La probabilidad de este evento es:
53
z3(P) = ~
En donde:
†
r %‡ (Q „)…(„)Q„
(20)
o = Tasa del proceso de Poisson [burbujas/pixel2]
ˆ(‰) = Función de distribución acumulada inversa, igual a 1 − "(‰),
donde "(‰) es la función de distribución acumulada de la DTB.
z3() = Probabilidad de que una burbuja de diámetro d pixeles no sea
intersectada por ninguna burbuja con centro interno a ésta.
En rigor, la probabilidad de que una burbuja de tamaño d se encuentre aislada de otras
burbujas y no tenga contacto con los bordes es el producto de P1, P2 y P3, sin embargo como se
explicará más adelante, la probabilidad P3 es muy alta en comparación a los otros términos y se
puede despreciar en el producto (ver Figura 5-3). De hecho, dado que la probabilidad P1 es
también alta, el valor de P2 es representativo del fenómeno que se pretende estudiar.
El procedimiento para verificar si las imágenes poseen un número normal de burbujas
aisladas es calcular la probabilidad de que una burbuja esté aislada de manera teórica con la
función de distribución de probabilidades obtenida del análisis manual, y luego calcular la
probabilidad empírica como el número de burbujas aisladas sobre el número total de burbujas,
para todo diámetro . Se evaluará, para un set de 20 imágenes, si existe un sesgo sistemático en
la probabilidad empírica o no, para imágenes con visor vertical y para imágenes con visor
inclinado.
Dadas las dimensiones del visor, las imágenes tomadas con el MBSA que se analizan en
este documento contienen miles de burbujas pequeñas, la relación entre el tamaño de burbuja y el
tamaño de la foto es distinta para el visor inclinado y para los visores verticales. Con la finalidad
de obtener resultados comparables, se utilizan 20 imágenes de prueba en visor vertical y 2
imágenes MBSA, subdivididas en 12 secciones cada una, de modo que cada sección de una
imagen del MBSA tiene la misma razón entre el tamaño de burbuja medio y el tamaño de la
imagen que las fotografías del visor vertical. De este modo, cada sub-imagen del MBSA es
comparable a una imagen del visor vertical, y se tiene un número comparable de imágenes en
cada tipo de visor. La relación entre el tamaño de la imagen y el tamaño de las burbujas es un
parámetro que afecta a la probabilidad de que las burbujas corten los bordes de la imagen (P1),
por esto es importante que sea comparable para ambos sets.
Utilizando la fórmula para calcular la probabilidad de que una burbuja sea intersectada
por burbujas externas según el modelo booleano, se determinó la probabilidad teórica P2 para
cada imagen en base a su DTB, para las imágenes de los set I y II, y para las sub-imágenes del
MBSA. Los resultados se presentan en la Tabla 5-1 y la Tabla 5-2. Estas tablas son los resultados
de las probabilidades en promedio para todas las burbujas de cada imagen.
54
Tabla 5-1: Probabilidad de burbujas aisladas imágenes visor vertical
Imagen
IMG8646
IMG8647
IMG8648
IMG8649
IMG8650
IMG8651
IMG8652
IMG8653
IMG8654
IMG8655
PROMEDIO
SET I
Prob.
Teórica
80.3
71.7
80.7
82.5
79.8
82.7
82.5
84.7
80.4
86.3
81.1
Prob.
Empírica
80.8
78.5
80.0
92.2
87.3
86.8
80.7
81.7
93.2
90.3
95.5
Delta
Imagen
0.5
6.8
-0.7
9.7
7.5
4,1
-1.8
-3.0
12.8
4.4
4.0
IMG8693
IMG8694
IMG8695
IMG8696
IMG8697
IMG8698
IMG8700
IMG8701
IMG8702
IMG8703
PROMEDIO
IMAGEN II
Prob.
Prob.
Teórica Empírica
88.6
100.0
87.3
93.9
82.7
84.0
83.1
83.3
83.7
75.0
87.8
78.6
89.0
79.4
89.1
76.2
89.6
87.9
87.9
74.4
86.9
83.3
Delta
11.4
6.6
1.3
0.2
-8.7
-9.2
-9.6
-12.9
-1.7
-13.5
-3.6
Tabla 5-2: Probabilidad de burbujas aisladas imágenes MBSA
Sub-Imagen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PROMEDIO
IMAGEN I
Prob.
Prob.
Teórica Empírica
91.6
100
93.6
100
93.1
94
76.8
92.2
74.9
91
76.8
93.7
80.2
93.8
71.3
90.7
79.4
94
86.3
94.1
78.7
85.5
87.4
90
82.5
93.3
Delta
Sub-Imagen
8.4
6.4
0.9
15.4
16.1
16.9
13.6
19.4
14.6
7.8
6.8
2.6
10.7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PROMEDIO
IMAGEN II
Prob.
Prob.
Teórica Empírica
91.5
100.0
70.8
85.4
70.8
93.8
79.5
83.0
89.1
97.1
70.6
86.5
76.7
94.5
73.6
85.3
87.4
97.4
77.1
91.7
75.3
93.7
80.1
77.2
78.5
90.5
Delta
8.5
14.6
23.0
3.5
8.0
15.9
17.8
11.7
10.1
14.6
18.4
-2.9
11.9
Las sub-imágenes del MBSA presentan, sistemáticamente, una población de burbujas
aisladas mayor a la estimada teóricamente, suponiendo aleatoriedad en la posición de las burbujas
en la imagen, y tan sólo una de las 24 muestra una tendencia contraria. Ambas imágenes MBSA
55
presentan cerca de un 11% más de burbujas aisladas que la predicción teórica. Este resultado es
esperable ya que la geometría del MBSA (visor inclinado en 15°) está diseñada para obtener una
población de burbujas con pocos clusters.
En comparación, las imágenes con un visor vertical no presentan un sesgo sistemático,
existen en cada set de imágenes, casos en que se sobrepasa la probabilidad teórica y casos en que
hay muy pocas burbujas aisladas. En promedio, el primer set de imágenes (que presenta mayor
cantidad de burbujas con tamaño menor) muestra mayor probabilidad de tener burbujas aisladas
que la predicción teórica, en tanto que el otro set (que tiene menor cantidad de burbujas pero de
mayor tamaño) muestra mayor tendencia a tener burbujas en contacto que lo indicado por el
modelo booleano. En ambos casos, el módulo del error del modelo es inferior al 5% en promedio.
Para el set de imágenes IV, se calculó la probabilidad de que las burbujas estén aisladas y
fuera del borde de la foto, es decir, que sean consideradas por el análisis tradicional, para cada
tamaño como la razón entre el número de burbujas en clusters y el número total de burbujas para
ese tamaño. Además, dado que se tiene el parámetro θ y los momentos de la DTB, se conoce de
las ecuaciones (18), (19) y (20) la probabilidad teórica de que una burbuja de determinado
tamaño se encuentre aislada. La comparación de ambas se muestra en la Figura 5-3. Es
importante notar que se conocen exactamente las probabilidades P1 y P2 ya que se conocen los
momentos de la DTB. Para calcular P3 fue necesario ajustar una función a la DTB del set IV,
para esto se recurrió a una interpolación spline de la función de distribución de tamaños que
permite calcular los términos de (20).
Figura 5-3: Probabilidad de burbujas aisladas y sin contacto con el borde de la imagen para el set III
56
Los resultados presentados en la Figura 5-3 permiten observar que la probabilidad de que
una burbuja sea removida por un análisis que excluye clusters y burbujas cortadas por los bordes
de la imagen aumenta con el diámetro de las burbujas tanto para el modelo como para las
burbujas en las imágenes reales, sin embargo la aproximación teórica sobreestima la proporción
de burbujas que serán eliminadas en promedio en un 10%. La probabilidad real de burbujas
aisladas muestra una buena correlación con el producto P1·P2 (el coeficiente de correlación entre
el valor real y el producto P1·P2 es de 0.93). Aunque el valor de P1·P2 en general subestima la
probabilidad de burbujas aisladas, puede ser un buen estimador teórico de ese valor.
5.3.
Estudio del sesgo de análisis tradicional
Es interesante observar que para una distribución de tamaño fija, las probabilidades
descritas en 5.1.2 permiten transformar la distribución inicial en una “distribución analizada”, ya
que actúan a modo de filtro de las burbujas por cada tamaño. Se observa que este filtro excluye
en mayor proporción a las burbujas más grandes. La teoría asociada al modelo booleano predice
que la DTB de un análisis tradicional se comportará de la siguiente manera:
„ = ∑Ž‹
Š ∙Œ!(Q‹ )∙Œ9(Q‹ )∙Œ(Q‹ )
‹,i Œ!(Q‹ )∙Œ9(Q‹ )∙Œ(Q‹ )
En donde:
≈ ∑Ž‹
Š ∙Œ!(Q‹ )∙Œ9(Q‹ )
‹,i Œ!(Q‹ )∙Œ9(Q‹ )
(21)
„ = fracción retenida entre los tamaños ! y para la DTB obtenida al
remover clusters y burbujas que intersectan el borde de la imagen.
= fracción retenida entre los tamaños ! y para la distribución real
En resumen, es posible obtener, en base a las probabilidades ya descritas, la DTB que
teóricamente tendría un análisis al remover las burbujas cortadas por el borde de la imagen o
pertenecientes de clusters. Es importante notar que la forma que tomará la DTB resultante del
análisis depende tanto de la forma de la distribución, el valor de los momentos de la DTB y de la
densidad de burbujas en el espacio (θ). Sin embargo, la única parte de la probabilidad de
exclusión que depende de la forma de la distribución es P3, la cual es cercana a 1, y varía muy
poco con el tamaño de la burbuja en comparación con el producto de P1·P2. Se debe notar que
una probabilidad de exclusión constante con respecto al radio genera un cambio nulo en la DTB
ya que se conservará la proporción de burbujas de cada tamaño con respecto al total, es decir, el
sesgo que genera la exclusión de burbujas no tiene que ver con que exista exclusión de clusters
del análisis sino con la variación de la cantidad de burbujas en clusters en función del tamaño de
burbujas. Como la dependencia de P3 con el diámetro de la burbuja es muy débil, su incidencia
en el cambio de la forma de la DTB será pequeña, en consecuencia, la forma de la DTB
resultante después del análisis depende en la práctica sólo de los dos primeros momentos de la
DTB y del parámetro θ, ya que se puede aproximar la ecuación (21) de la siguiente forma:
57
„ ≈ ∑Ž‹
Š ∙Œ!(Q‹ )∙Œ9(Q‹ )
‹,i Œ!(Q‹ )∙Œ9(Q‹ )
(22)
El supuesto de que la probabilidad P3 es poco relevante se comprueba para este caso
empírico, sin embargo existen razones teóricas para creer que la aproximación (22) es válida en
general: es poco probable que una burbuja tenga su centro dentro de otra burbuja ya que según
los supuestos del modelo booleano, las burbujas distribuyen sus centros aleatoriamente en el área
de la imagen, y para las condiciones normales en que se toman las imágenes para determinar la
DTB, el área que cubren las burbujas dentro de la imagen es pequeña, por ejemplo, para las
imágenes I y II tomadas en un MBSA, las burbujas ocupan el 11% de área total, en tanto que para
las imágenes en visor vertical, dependiendo del flujo de aire aplicado, este valor puede bajar al
5% del área total. Si se compara con la probabilidad de que el centro de una burbuja caiga en el
área blanca de la imagen (fuera de cualquier otra burbuja), se espera que la probabilidad P3 sea
alta en comparación con la probabilidad P2. De este modo se justifica la aproximación (22) para
otras condiciones de operación siempre que el área de la imagen cubierta por burbujas sea
pequeña (menor a 10%), lo cual se cumple en todos los sets de imágenes presentados en este
documento.
Considerando lo expuesto previamente, se procedió a caracterizar el error teórico de
análisis de imágenes con el siguiente procedimiento:
Suponiendo una distribución inicial con forma de Gamma (ver Anexo B), generar una
serie de distribuciones de tamaño de burbujas, con diámetro medio 1 mm, para distintos
valores de la desviación estándar (sigma) y para distintos valores de θ.
Usando cada una de las DTB generadas, calcular el producto de P1·P2 como función del
diámetro de burbuja usando (18) y (19). Se supuso un tamaño de imagen de 2.7x1.8 mm2,
emulando las condiciones en que se tomó el set III.
Calcular la DTB que un análisis tradicional obtendría utilizando (22).
Determinar el diámetro medio y el diámetro de Sauter de la DTB original y la DTB del
análisis para cada valor de θ y sigma.
Calcular el error porcentual en el cálculo del diámetro medio y en el cálculo del diámetro
de Sauter para cada valor de θ y sigma.
Repetir el procedimiento fijando sigma y variando el diámetro medio de la distribución
original.
El procedimiento descrito permite identificar cómo se relaciona el error de la técnica
tradicional con las condiciones de la DTB y número de burbujas en la imagen. Para analizar la
forma que toma el error, es necesario fijar una de las tres variables que determinan el error. La
Figura 5-4 muestra el comportamiento del error teórico descrito en función de la desviación
estándar y el parámetro θ para dos valores de µ1 fijos. La Figura 5-5 muestra el comportamiento
del error en función del diámetro medio de las burbujas y del parámetro θ.
58
Figura 5-4: Error de análisis para D10 y D32 en función de la desviación estándar de la DTB para una media
de 1 mm (arriba) y para una media de 2 mm (abajo) para distintos valores de θ (burbujas/imagen)
(
Las Figuras 5-4 y 5-5 muestran que, en general, el error en la estimación del diámetro
medio y del diámetro de Sauter de la DTB crece al aumentar la densidad de burbujas por imagen,
al aumentar el ancho de la DTB para un diámetro promedio fijo y al aumentar el diámetro medio
manteniendo la desviación estándar fija. La dependencia del error como función del diámetro
medio y de la desviación estándar es más fuerte a medida que se incrementa la densidad de
burbujas por imagen. Todos los errores presentados en estas Figuras corresponden a
subestimaciones del diámetro medio y del diámetro de Sauter.
59
Figura 5-5: Error de análisis para D10 y D32 en función de del diámetro medio de la DTB para una
desviación estándar de 0.2 mm (arriba) y para desviación estándar de 0.5 mm (abajo) para distintos valores de
θ (burbujas/imagen)
(
Para un caso límite en que una celda agitada tenga un aumento anormal en la velocidad
superficial de gas Jg, se espera un aumento simultáneo en la densidad espacial de burbujas θ , el
diámetro medio y la desviación estándar de la DTB. Estos tres parámetros controlan el sesgo de
análisis de la medición, de modo que en el caso límite descrito, se espera un aumento importante
en el error de la medición.
60
5.4.
Resultados modelo booleano
El set III fue utilizado para probar el modelo booleano. La programación del algoritmo fue
desarrollada por Felipe Garrido, memorista de Ingeniería Civil en Computación. Un ejemplo de
los resultados obtenidos se presenta en la siguiente Figura:
Figura 5-6: Resultados modelo booleano para diámetro de Sauter set III [19]
El modelo muestra una buena aproximación al cálculo del diámetro de Sauter, que es un
parámetro determinante en el cálculo del flujo de área superficial de gas.
61
6.
DISCUSIÓN
En el capítulo 4 se mostraron las principales limitantes de la técnica de medición de DTB,
desagregadas en dos fuentes de error: sesgo por muestreo temporal y sesgo de análisis. Ambas
fases de la técnica para determinar la DTB no son independientes entre sí, un cambio en la
técnica de muestreo de imágenes puede alterar las fotografías generadas de varias maneras, entre
ellas:
Un cambio en la forma y/o en los momentos de la DTB real.
Un aumento en la densidad espacial de burbujas (θ), generado por un incremento en la
velocidad superficial de gas Jg o un aumento en el diámetro del tubo de muestro.
Un cambio en la distribución espacial de burbujas en la imagen,
Los factores mencionados influyen en la cantidad de clusters en la imagen y afectan el
sesgo del análisis tradicional (MBSA).
Se observa una gran variabilidad en los distintos sets de imágenes analizados en cuanto al
número de clusters presentes, en la práctica la proporción de burbujas que forma clusters no
define directamente el sesgo que produce la remoción de éstos, ya que éste también depende de la
DTB. Para una DTB fija existe una relación directa entre Jg, θ y el porcentaje de burbujas en
clusters: a mayor flujo de aire, mayor cantidad de burbujas por unidad de área y más clusters. Se
obtuvo una correlación relativamente alta entre el error de análisis tradicional y el porcentaje de
clusters en las imágenes mediante la técnica de combinación de imágenes (Figura 4-23), se debe
recalcar que la DTB de los muestreos del video I utilizada para este efecto era suficientemente
ancha como para que la variación del error o sesgo de análisis con la cantidad de clusters fuera
apreciable.
Se puede analizar teóricamente el comportamiento del sesgo discutido en el párrafo
anterior, donde se confirma (Figura 5-4) que para distribuciones con poca desviación estándar,
aun cuando se incremente notoriamente el flujo de aire (equivalentemente, que se incremente θ)
el error de análisis no varía mucho. En cambio, para distribuciones amplias, con alta desviación
estándar, un incremento del parámetro θ implica un error de análisis mucho mayor. Es por esto
que las imágenes del MBSA analizadas en este documento presentan un bajo error al remover los
clusters, pues corresponden a una DTB bastante angosta (ver Figura 4-17 y Figura 4-18). Sin
embargo, la literatura indica que las DTB analizadas con MBSA para distintas condiciones de
operación reales pueden tener una varianza mayor a las imágenes MBSA estudiadas en el
Capítulo 4 [20].
62
El tamaño típico de burbuja en celdas mecánicas para una imagen del MBSA es del orden
de 1 mm de diámetro. La literatura documenta que las distribuciones presentan un número
importante de burbujas entre 0.6 y 1.4 mm de tamaño [20] [21]. Según la Figura 2-2, en un
régimen de burbujas aisladas, esto significa un rango de velocidades entre 6 cm/s y 13 cm/s, por
lo que se espera que en la técnica tradicional, usando un visor inclinado, el error de muestreo
temporal sea importante debido a que las burbujas más grandes tendrán mucho menor
probabilidad de aparecer en las imágenes que las pequeñas.
Para el rango de tamaños mencionado, con un muestreo típico de 1 imagen por segundo,
las burbujas más grandes recorrerán más de 13 cm entre cada imagen y las más pequeñas menos
de 6. El alto de las imágenes en el sistema MBSA no puede ser mayor a 6 cm, de otro modo se
remuestrearía burbujas pequeñas. En la práctica se necesita tener una alta resolución (45-60
pix/mm) por lo que las imágenes típicamente son de tamaño 3 cm o menos [5][12]. Para una
distancia de 3 cm, si las burbujas ingresan aleatoriamente en el tiempo al visor, una imagen
capturará gran parte de las burbujas de tamaños muy pequeños (menores a 0.4 mm) con
velocidades menores a 3 cm/s. En promedio, capturará cerca de ¼ de las burbujas de radios
grandes con velocidades cercanas a 12 cm/s (todas las burbujas grandes que ingresan entre la
imagen anterior y 0.25 segundos antes de la toma de la nueva imagen habrán desaparecido de la
foto antes de que se tome la imagen). El ejercicio teórico de suponer que las burbujas ocurren en
la base del visor de manera aleatoria con una tasa constante en el tiempo es el mejor caso posible
en términos de homogeneidad temporal de la DTB.
Utilizando el método desarrollado en la sección 4.3.2, mediante el cual se puede estimar la
forma que tomará el sesgo teórico para un régimen de movimiento dado, con supuestos sencillos,
es posible revertir el cálculo, es decir, hacer una estimación de cómo sería la DTB real de un
video muestreado bajo ciertas condiciones (en particular, frecuencia de muestreo y tamaño de la
imagen), en base a la DTB muestreada y al perfil de velocidades de burbujas en el régimen de
movimiento. Como ejemplo, se utiliza una DTB tomada de Zhang et al. [20], correspondiente a
imágenes muestreadas con el sistema MBSA con Jg de 0.5 cm/s, utilizando como espumante
DF250 a 12.5 ppm de concentración en el visor. La media original de la DTB muestreada
corresponde a 0.97 mm. Dado que el paper no reporta el tamaño real de las imágenes utilizadas,
se supone que las imágenes tienen un alto de 3 cm. Las velocidades utilizadas son las asociadas al
régimen de movimiento de burbujas aisladas [11] ya que el sistema MBSA está diseñado para
que las burbujas se dispersen en el área de la imagen y se encuentren aisladas. Considerando que
las velocidades presentadas en el Capítulo 2 corresponden al movimiento de burbujas en la
dirección vertical, y que el visor del MBSA tiene un ángulo de 15° con respecto a la horizontal,
las velocidades fueron corregidas utilizando una proyección de la velocidad vertical en la
dirección paralela al visor, suponiendo en un primer orden de aproximación que no existe roce
entre el visor y las burbujas.
63
Figura 6-1: Ejemplo de sesgo teórico por muestreo temporal, imágenes MBSA
En este caso, se obtiene del sencillo ejercicio teórico que si los supuestos fuesen válidos,
la media de la DTB en el visor (estimada por la curva azul en Figura 6-1) podría ser 1.15 [mm],
es decir, un 18% mayor al estimado por las imágenes procesadas por el MBSA, sólo por efecto de
muestreo temporal. En general, esta subestimación para distintas imágenes en MBSA tomadas de
la literatura va desde un 2.5% a un 18%, dependiendo de la forma que tome la DTB de las
imágenes muestreadas. Este ejercicio teórico, sin embargo, tiene una limitación: si existiesen
tamaños mayores a 1.3 mm que resultaran completamente eliminados por el análisis tradicional,
estos no aparecerán en la estimación teórica de la DTB del video. En otras palabras, este cálculo
teórico del sesgo es una cota inferior ya que no puede dar cuenta de fracciones de tamaño
completamente eliminadas por el análisis tradicional.
En síntesis, se observa que la técnica de toma de imágenes utilizada en conjunto con el
modelo booleano permite evitar el error de análisis producto de la formación de clusters. Sin
embargo, el modelo no permite evitar el error de muestreo temporal ni existen referencias en la
literatura que den cuenta de este sesgo.
Por estas razones, y consecuentemente con lo presentado en la sección 4.3.1., se sugiere
una técnica que permita minimizar el error de muestreo temporal: utilizar un visor vertical con
restricción de movimiento en la horizontal que fuerce a las burbujas a moverse con velocidades
similares en un régimen de swarm. Se comprobó en esa sección que el uso de dicho visor puede
ser efectivo para reducir el error de muestreo temporal. Aun cuando los resultados obtenidos con
el visor con restricción tienen menos sesgo por muestreo temporal, existe segregación espacial
(ver Figura 6-2), el centro de las imágenes tiene aún una mayor densidad de burbujas, de modo
64
que un cambio en el ancho de la restricción (a una restricción de 2 cm, por ejemplo) podría
mejorar aún más los resultados.
Figura 6-2: Densidad relativa de burbujas para muestreos de video V
Las imágenes generadas con un visor vertical con restricciones siempre presentarán un
porcentaje alto de clusters debido a la forma en que se mueven las burbujas. Considerando que el
algoritmo de watershed es en la práctica difícil de implementar debido a los altos costos de
tiempo computacional, se sugiere el modelo booleano como técnica de medición de DTB para
considerar los clusters.
Se puede concluir del Capítulo V que las imágenes utilizadas para probar el modelo
booleano no cumplen completamente los supuestos requeridos por el modelo, ya que la
distribución espacial de burbujas no es completamente aleatoria debido a la segregación espacial
de burbujas por tamaño y a que la densidad espacial de centros de burbujas no es totalmente
homogénea. Por ejemplo, la densidad de burbujas del set III es mayor en el centro (las burbujas
no se distribuyen aleatoriamente en toda la foto) y las burbujas más grandes pasan sólo por el
centro de la foto.
No obstante lo expuesto en el párrafo anterior, el modelo booleano tiene un buen
desempeño en la estimación de la DTB, mejor que el desempeño del análisis tradicional. En
futuros trabajos, será necesario probar el modelo booleano para imágenes con mayor densidad de
burbujas. El set III tiene un θ promedio de 2x10-5 burbujas/pix2, que para un diámetro típico
cercano a 1 mm correspondiente a un 7.4% de la imagen cubierta por burbujas. La densidad
espacial de centros de burbujas de ese set es un orden de magnitud menor que las densidades de
burbujas en las imágenes en MBSA, que además tienen alrededor de un 15% de la imagen
cubierta por burbujas. En particular, se sugiere probar el modelo para imágenes con θ del orden
de 10-4 burbujas/pix2 para imágenes con una resolución de 60 pixeles/mm, tomadas en el visor
vertical con restricciones. En teoría, las burbujas debiesen estar mejor distribuidas y cumplirse los
supuestos del modelo booleano.
65
7. CONCLUSIONES
Con el fin de conseguir mediciones confiables y precisas de la DTB en flotación, es
necesario dar cuenta de los sesgos y limitaciones de la técnica de medición y de los errores en
que se incurre en cada etapa del proceso. Este trabajo proporciona un golden standard contra el
cual comparar el desempeño del modelo booleano y el método tradicional a través de la medición
manual de imágenes, además de realizar un estudio del efecto del muestreo espacial y temporal
de imágenes en el cálculo de la DTB. En este trabajo el golden standard corresponde a la DTB de
las burbujas que atraviesan el campo visual de la cámara, es decir, el video procesado
manualmente.
Las imágenes presentan una fuerte segregación espacial en la horizontal, tanto en número
de burbujas como en tamaño de burbujas. El centro de la imagen concentra las burbujas más
grandes, en tanto que las medianas y pequeñas se dispersan en la horizontal. En términos de
muestreo temporal, se comprobó teórica y empíricamente que el efecto de muestrear imágenes
cada 0.5 o 1 segundo genera una subestimación del diámetro medio de burbuja que puede
alcanzar un 10% en visores verticales.
La técnica tradicional de toma y análisis de imágenes (MBSA) busca evitar la formación
de clusters ya que no son analizables sin la implementación de watershed. Aun cuando la
utilización de un visor inclinado y de concentraciones apropiadas de espumante en el visor
generalmente produce una población de burbujas que no entran en contacto entre sí [3] [4], el
método no da cuenta de los errores de muestreo temporal.
Se observa empíricamente que un visor inclinado puede inducir un error del 6% en la
estimación del diámetro medio de burbujas producto del submuestreo de burbujas grandes. Un
simple análisis teórico del movimiento de las burbujas es consecuente con este resultado:
dependiendo de la forma de la DTB puede esperarse un error del orden del 10% para el muestreo
temporal, que tiene como resultado siempre una subestimación del tamaño de burbujas.
El muestreo temporal induce un sesgo que depende fuertemente de la forma de la DTB y
la distribución espacial de las burbujas en el visor. Es complejo desarrollar una técnica analítica
(numérica) de corrección para los resultados del análisis tradicional ya que la corrección que debe
realizarse no es conocida antes de conocer la DTB real. Por esto se sugiere que la mejor manera
de minimizar este error es consiguiendo un régimen de movimiento donde todas las burbujas se
muevan a velocidades parecidas (régimen de swarm), lo que reduce el error de muestreo
temporal. Se comprueba que un visor con restricción de movimiento es efectivo para modificar el
régimen de movimiento y disminuir el error de muestreo temporal.
Para poder analizar las imágenes generadas en un régimen de swarm, es necesario
procesar los clusters pues su efecto en este régimen para un visor vertical no es despreciable
66
(eliminar los clusters genera una DTB estadísticamente distinta de la real). Con este propósito, se
propone el modelo booleano como técnica de análisis de imágenes, el cual fue probado
comparando sus resultados contra el análisis manual.
A pesar de que no es posible comprobar con certeza el cumplimiento de los supuestos
asociados al modelo booleano, éste es capaz de determinar con precisión el diámetro de Sauter de
la DTB. Este resultado es especialmente importante ya que la medida del área superficial de gas
disponible en una celda de flotación para un flujo Jg fijo depende del diámetro de Sauter,
entonces el modelo resulta efectivo para calcular esta medida de dispersión de aire.
Además de proporcionar un instrumento para determinar la DTB, el desarrollo teórico
previo al modelo booleano proporciona herramientas para caracterizar la relación entre la DTB
real y las DTB obtenidas después del muestreo temporal y de la remoción de clusters.
67
8. REFERENCIAS
[1] Gajardo, M., Vivallo, W. Evolución de las reservas y recursos de cobre, molibdeno, oro,
plata, nitrato y yodo en Chile, 2001-2007. Informe del Servicio Nacional de Geología y
Minería, Gobierno de Chile. (2009)
[2] Kracht, W. Efecto de la dispersión de gas en la cinética de flotación batch para celdas
agitadas mecánicamente. Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería,
mención Metalurgia Extractiva. Tesis para optar al título de Ingeniero Civil Químico,
Universidad de Chile (2004)
[3] Gomez, C.O., Finch, J. A. Gas Dispersion Measurements in Flotation Cells. International
Journal of Mineral Processing 84, pp. 51-58 (2007)
[4] Nesset, J.E., Hernandez-Aguilar, J.R., Acuña, C., Gomez, C.O., Finch, J.A. Some gas
dispersion characteristics of mechanical flotation machines. Minerals Engineering 19, pp.
807-815. (2006)
[5] Acuña, C. Measurement Techniques to Characterize Bubble Size Distribution in Swarms.
PhD Thesis, McGill University (2007)
[6] Kracht, W., Emery, J. Egaña, A. A Stochastic Approach for Measuring Bubble Size
Distribution via Image Analysis. Proceedings of PROCEMIN 2010, VII International
Mineral Processing Seminar. Santiago, Chile (2010)
[7] Rodrigues, R.T., Rubio, J. New basis for measuring the size distribution of bubbles.
Minerals Engineering 16, pp. 757-765. (2003)
[8] Bailey, M. Analysis of Bubble Size Distributions Using the McGill Bubble Size Analyser.
MsE Thesis, McGill University (2004)
[9] Heiskanen, K. On the relationship between flotation rate and bubble surface area flux.
Minerals Engineering 13, pp. 141-149. (2000)
[10] Zhang, W. Water overflow rate and bubble surface area flux in flotation. MsE Thesis,
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[11] Clift, R., Grace, J.R., Webber, M.R. Bubbles, Drops and particles. Editorial Academic
Press, U.S.A. (1978).
68
[12] Acuña, C., Finch, J. Tracking velocity of multiple bubbles in a swarm International
Journal of Mineral Processing 94 pp. 147-158 (2010)
[13] Acharya, T., Ray, A. Image Processing, Principles and Applications. Wiley & Sons, New
Jersey (2005)
[14] Lantuéjoul, C. Geostatistical Simulation: Models and Algorithms. Springer, Berlin (2002)
[15] Lantuéjoul, C., Schmitt, M. Use of two new formulae to estimate the Poisson intensity of
a Boolean model. Comptes Rendus du Treizième Colloque GRETSI sur le Traitement du
Signal et ses Applications, Juan-Les-Pins, France, pp. 1045-1048 (1991)
[16] Meijering, E., Dzyubachyk, O., Smal, I. Methods for Cell and Particle Tracking.
Editorial Elsevier, in press (2012).
[17] Spiegel, M. Estadística. Segunda Edición. Editorial McGraw-Hill, España (1991).
[18] Emery, J. Comunicación escrita y oral directa, Universidad de Chile (2011)
[19] Garrido, F. Paralelización y comparación entre algoritmos para el cálculo de distribución
de tamaños de burbujas vía análisis de imágenes. Memoria para optar al título de Ingeniero
Civil Mención Computación. Universidad de Chile (2011)
[20] Zhang, W. Kolahdoozan, M. Nesset, J.E., Finch, J.A. Use of frother with sampling-forimaging bubble sizing technique. Minerals Engineering 22, pp. 513-515. (2009)
[21] Bailey, M., Gomez, C., Finch, J. A. Development and application of an image analysis
method for wide bubble size distributions. Minerals Engineering 18, pp. 1214-1221 (2005)
69
ANEXO A: CALIBRACIÓN FLUJO DE AIRE
La calibración del flujo de aire en la celda Labtech-Essa fue realizada mediante el método
de la probeta invertida, midiendo el tiempo que demora el aire en la celda en desplazar un
volumen de agua fijo de 566.7 cc dentro de la probeta, para distintos flujos nominales de aire.
Los datos se presentan en la Tabla A-1.
Tabla A-1: Calibración flujo de aire celda Labtech-Essa
Prueba
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Flujo nominal
l/min
5
5
10
10
15
15
20
20
20
Tiempo
Flujo cc/s
12.01
13.05
6.00
5.10
2.97
2.75
2.01
2.17
2.05
48
44
96
113
194
210
287
266
281
70
Flujo real
l/min
2.9
2.7
5.8
6.8
11.7
12.6
17.2
15.9
16.9
Jg real
cm/s
0.12
0.11
0.24
0.28
0.49
0.52
0.72
0.66
0.70
ANEXO B: DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma es una distribución de probabilidades continua, que toma la
siguiente forma:
() =
1
‘ „ Γ(‰)
„ !~
“”
7
 • 0, ∞)
Donde a y b son escalares positivos, correspondientes al parámetro de forma y al
parámetro de escala, respectivamente. Casos particulares de la distribución gamma son la
distribución exponencial y la distribución χ2.
Cualitativamente, la función gamma puede tomar una forma similar a una exponencial o
similar a una normal, dependiendo del parámetro de forma utilizado. Para los propósitos de este
documento, se utilizaron rangos de diámetro y desviación estándar plausibles dentro del contexto
de la DTB de burbujas en flotación:
Distribuciones gamma con media fija igual a 1 y 2 mm, haciendo variar la desviación
estándar entre 0 y 1 mm.
Distribuciones gamma con desviación estándar fija igual a 0.2 y 0.5 mm, haciendo variar
el diámetro entre 0.5 y 1.0 mm.
Con estos valores, se puede determinar los parámetros de la distribución gamma ya que la
media y la varianza de la distribución gamma se relacionan con los parámetros de forma y escala
de la siguiente manera:
‚ =‰∙‘
— 9 = ‰ ∙ ‘9
De modo que en función de la desviación estándar y la media los parámetros de la
distribución son:
‰ = ‚ 9 ⁄— 9
‘ = — 9 ⁄‚
Las DTB simuladas para un diámetro fijo de 1 mm son de la forma:
71
σ=0.1
σ=0.9
Figura B-1: DTB simuladas para diámetro medio 1.0 mm y desviación estándar σ variable
Para las simulaciones con desviación estándar fija de 0.5 mm y diámetro variable se
obtuvieron las siguientes distribuciones:
µ=0.6
µ=1.4
Figura B-2: DTB simuladas para desviación estándar 0.5 y diámetro medio µ variable
72