Junio 2006 B2

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Junio 2006
EJERCICIO B
PROBLEMA 2. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril,
respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2
barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1, 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos,
respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26.300 barriles de gasolina 95, 40.600 barriles de gasolina 98 y 29.500
barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de
producción con un coste mínimo y calcula éste.
Solución:
Los datos del problema podemos resumirlos en la siguiente tabla,
por cada barril
crudo
precio
95
98
gasoil nº barriles
ligero
70 €/barril
0´3
0´4
0´2
x
pesado
65 €/barril
0´1
0´2
0´5
y
mínimo de barriles
26300 40600 29500
Coste: 70 x + 65 y
Producción:
gasolina 95,
gasolina 98,
gasoil,
0´3 x + 0’1 y
0’4 x + 0’2 y
0’2 x + 0’5 y
El problema a resolver es,
minimizar z = 70 x + 65 y
s.a.
0´3 x + 0’1 y ≥ 26300
0’4 x + 0’2 y ≥ 40600
0’2 x + 0’5 y ≥ 29500
x,y € N
Efectuemos los cálculos necesarios para representar gráficamente las restricciones del problema
(1) 0'3x + 0'1y ≥ 26300
0'3x + 0'1y = 26300
(2) 0'4 x + 0'2 y ≥ 40600
0'4 x + 0'2 y = 40600
(3) 0'2 x + 0'5 y ≥ 29500
0'2 x + 0'5 y = 29500
x
y
0
263000
87666'6
0
x
y
0
203000
101500
0
x
y
0
59000
147500
0
(0,0) ¿ Cumple ? No
¿ 0'3 . 0 + 0'1 . 0 ≥ 26300 ?
¿ 0 ≥ 26300 ? No
(0,0) ¿ Cumple ? No
¿ 0'4 . 0 + 0'2 . 0 ≥ 40600 ?
¿ 0 ≥ 40600 ? No
(0,0) ¿ Cumple ? No
¿ 0'2 . 0 + 0'5 . 0 ≥ 29500 ?
¿ 0 ≥ 29500 ? No
La región factible
son los puntos
de coordenada
natural de la zona
sombreada
en la figura de
la derecha.
Calculemos los extremos de la región factible.
Debemos buscar los puntos de corte entre las rectas (1) y (2) y (1) y (3)
Corte entre (1) y (2)
* (−2) − 0'6 x − 0'2 y = −52600
0'3 x + 0'1 y = 26300
→


0'4 x + 0'2 y = 40600
 0'4 x + 0'2 y = 40600
Sumando ambas ecuaciones : − 0'2 x = −12000
− 12000
= 60000
x=
− 0'2
Sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación,
0’3 . 60000 + 0’1 y = 26300
18000 +0’1 y = 26300
0’1 y = 8300
y = 83000
el punto de corte es ( 60000 , 83000 )
Corte entre (2) y (3)
: (−2) − 0'2 x − 0'1 y = −20300
0'4 x + 0'2 y = 40600
→


0'2 x + 0'5 y = 29500
 0'2 x + 0'5 y = 29500
Sumando ambas ecuaciones : 0'4 y = 9200
y=
Sustituyendo el valor de y en la 1ª ecuación,
0’4 x + 0’2 . 23000 = 40600
0’4 x + 4600 = 40600
0’4 x = 36000
x = 90000
el punto de corte es ( 90000 , 23000 )
9200
= 23000
0'4
Estudiemos los valores de z en los extremos de la región factible,
(x,y)
( 0 , 26300 )
( 60000 , 83000 )
( 90000 , 23000 )
( 147500 , 0 )
z = 70 x + 65 y
70 . 0 + 65 . 26300 = 17 095 000
70 . 60000 + 65 . 83000 = 9 595 000
70 . 90000 + 65 .23000 = 7 795 000 Mínimo
70 . 147500 + 65 . 0 = 10 325 000
Solución: para que la refinería cubra sus necesidades de producción con un coste mínimo debe comprar 90000 barriles
de crudo ligero y 23000 barriles de crudo pesado; el coste de esta operación será de 7795000 €.