Tema 2. El lenguaje de la lógica proposicional

Lenguaje Lógica Proposicional
María Manzano
Universidad de Salamanca
Curso 2009- 2010
María Manzano (Universidad de Salamanca)
LP
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1
Introducción
2
Gramática
3
Forma lógica
4
Formalización
5
El mundo de Tarski
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Introducción
Objetivos
I
adquisición de un lenguaje arti…cial
I
formalización enunciados del español
Características
1.
uso declarativo del lenguaje
2.
preciso, carente por completo de ambigüedad
3.
de conectores
4.
LP
lógica proposicional
fórmulas atómicas
sin cuanti…cadores
5.
5.
6.
conectores como funciones veritativas (booleanos)
falso signi…ca no verdadero
bivalente
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¿Cómo se construye un lenguaje formal?
Alfabeto
El alfabeto contiene
1.
conectores: :, _, ^, !, $
2.
letras proposicionales: p, q, r , s, ..., p1 , p2 , ...
3.
paréntesis.
Fórmulas: Se construyen mediante reglas
De…nition
FORM(L0 ) es el menor conjunto que se puede generar mediante
Paso Básico: F1. Las letras proposicionales son fórmulas.
Pasos Inductivos: F2. Si A y B son fórmulas, también lo son: :A,
(A ^ B ), (A _ B ), (A ! B ), (A $ B ).
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Example
¿Es una fórmula (((p ^ :p ) _ r ) ! r )?
VERDADERO
La demostración es como sigue:
1.
2
3.
4.
5.
6.
p 2 FORM
F1
r 2 FORM
F1
:p 2 FORM
F 2 en 1
F 2 en 1 y 3
(p ^ :p ) 2 FORM
F 2 en 2 y 4
((p ^ :p ) _ r ) 2 FORM
F 2 en 5 y 2
(((p ^ :p ) _ r ) ! r ) 2 FORM
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Forma lógica
Las fórmulas de nuestro lenguaje L0 que no son atómicas tienen cinco
formas lógicas posibles: negaciones, conjunciones, disyunciones,
condicionales y bicondicionales.
Forma lógica
:A
(A ^ B )
(A _ B )
(A ! B )
(A $ B )
Denominación
negación
conjunción
disyunción
condicional
bicondicional
En un condicional
(A ! B )
la fórmula A es el antecedente y B el consecuente.
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Ejemplos
¿Son fórmulas todas las sucesiones …nitas de signos del alfabeto?
Solution
Por supuesto que no, debe ser conforme a las reglas F1 y F2.
Example
Sin alterar el orden de los signos, transformad las sucesiones de signos
siguientes en fórmulas cuya forma lógica sea un condicional, utilizando
paréntesis cuando sea necesario.
1. p ! r $ q
2. p _ r ! q _ r
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(p ! (r $ q ))
((p _ r ) ! (q _ r ))
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Subfórmulas
Mediante árbol genealógico
Example
p
q
(p _ q )
r
p
j
:p
((p _ q ) ! r )
q
j
:q
(:p ^ :q )
(((p _ q ) ! r ) $ (:p ^ :q ))
El conjunto de las subfórmulas es
(((p _ q ) ! r ) $ (:p ^ :q )), ((p _ q ) ! r ),
(:p ^ :q ), (p _ q ), r , :p, :q, p, q
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Convenciones sobre notación
Abreviaturas
usaremos los signos ? y > para “lo falso” y “lo verdadero”:
? : = p ^ :p
> : = p _ :p
Reglas eliminación de paréntesis
1
2
3
4
paréntesis externos pueden suprimirse
conyuntor y disyuntor unen más que condicionador y bicondicionador
conjunción o disyunción iterada puede escribirse sin paréntesis
otros signos
:
^
&
_
g
!
$
=
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Condicional
Example
Cartas
LEY “Si hay una vocal por una cara, por la otra hay un número par”.
¿A cuántas cartas tengo que darle la vuelta para estar
completamente segura de que la ley se cumple?
2
1
A
B
Figura: Las cartas “sobre la mesa”
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Formalización I
Al formalizar pretendemos:
1
claves de formalización de enunciados atómicos: asignarles letras
p, q, r ,
2
fórmula del lenguaje formal cuya retrotraducción al castellano, usando
las mismas claves de formalización, sea verdadera en los mismos casos
que la original.
En algunos casos se quiere también:
3
Re‡ejar, en lo posible, la estructura del enunciado que se formaliza.
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Formalización II
1
Negación
La negación de un enunciado verdadero será falsa y la de uno falso
será verdadera.
2
“no”
“no es cierto que”
“jamás”
Conjunción
“no es verdad que”
“nunca”
La conjunción de dos enunciados es verdadera si y sólo si ambos lo
son.
3
“y”
“pero”
Disyunción
“aunque”
“sin embargo”
La disyunción que recoge nuestra conectiva es la llamada incluyente
(o no excluyente)
La disyunción de dos enunciados es verdadera si al menos uno de ellos
lo es
“o”
“a menos que”
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“a no ser que”
LP
“y/o”
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Formalización III
1
2
Condicional
Formalizamos (A ! B ) para indicar un enunciado condicional. En
castellano usamos normalmente la expresión “si A entonces B”. Se
usan también “si A, B”, “B, si A”, “A es condición su…ciente para
B”, “B es condición necesaria para A”, “sólo si B, A”. La
interpretación que le daremos será la siguiente:
Un enunciado condicional es falso cuando el antecedente es verdadero
y el consecuente falso, en el resto de los casos es verdadero.
Bicondicional
Un enunciado bicondicional es verdadero cuando y sólo cuando sus
dos miembros son simultáneamente verdaderos o falsos.
3
“A es condición su…ciente para B” y que “B es condición necesaria
para A”
Formalizaciones complejas.
Se trata de combinar varios conectores.
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Tabla de verdad conectores
Conectores binarios
C
0
0
1
1
D
0
1
0
1
(C ^ D )
0
0
0
1
(C _ D )
0
1
1
1
(C ! D )
1
1
0
1
(C $ D )
1
0
0
1
Los conectores binarios se interpretan como funciones binarias sobre el
conjunto de los valores de verdad f1, 0g
Conector monario
C
0
1
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:C
1
0
LP
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Tabla de verdad fórmulas cualesquiera
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
(p ! (q ! r )) ! ((p ^ q ) ! r )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
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(p _ r ) ! :q
1
1
1
0
1
1
0
0
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Example
Elegid la formalización adecuada (y/o sus equivalentes, si las
hubiera).
1
Piensa mal (p ) y acertarás (q ).
2
Maui es un perro (p ), no un peluche (q ).
3
El SIDA es menos contagioso que la gripe (p ), pero mucho más
peligroso (q ).
4
Sólo si tienen las alas en buen estado (p ) pueden las mariposas
volar (q ).
5
Julia canta con Alba (p ), sólo si tiene un público entusiasta (q )
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Example
1
Te regalaré el cuadro que te gusta (r ) y viajaremos juntos a
Ithamaracá (q ) cuando me toque la lotería (s ), o dejaré de
llamarme Ernesto (p ).
2
Yo trabajo (p ) y me desvelo (q ), por parecer que tengo de poeta
(r ) la gracia que no quiso darme el cielo (s ).
3
Si eres tan listo como dices (p ), sabrás traducir correctamente
al lenguaje formal esta frase (q ), pues te resultará sencillo (r ) y
disfrutarás haciéndolo (s ).
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Example
Dada la fórmula
((p ^ q ) ! r )
y las claves de formalización siguientes:
p := Noemí estudia piano
q := Daniel toca el trombón
r := su madre sale de compras
elegid su (o sus) adecuada expresión en castellano.
1.
Sólo si sale su madre de compras toca Noemí el piano y Daniel el
trombón.
2.
Es su…ciente que Noemí estudie piano y Daniel toque el trombón
para que su madre salga de compras.
3.
Siempre que Noemí estudia piano y Daniel toca el trombón, su
madre sale de compras.
4.
Noemí toca el piano y Daniel el trombón sólo si su madre sale de
compras.
5.
Es necesario que Noemí estudie piano y Daniel toque el trombón
para que su madre salga de compras.
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El mundo de Tarski
Cuando se aprende una segunda lengua se pueden seguir dos métodos muy
diferentes:
Utilizar la lengua propia y hacer traducciones directas e inversas hacia
la nueva.
Aprender a usarla sin mediación de la lengua natural.
Estas consideraciones llevaron a los autores de El mundo de Tarski,
Barwise y Etchemendy, a concebir el mencionado programa, en el que el
aprendizaje del lenguaje formal es “directo”.
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