Inter. Confianzas - Germán Isaac Sosa Montenegro

UNIVERSIDAD POPULAR DELCESAR
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA
ESTADISTICA INFERENCIAL Y MUESTREO
NOTA
EJERCICIOS PARA ENTREGAR COMO TRABAJO: De los ejercicios de práctica favor desarrollar los
ejercicios 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13 para entregar en la próxima clase (o sea el próximo miércoles). Los
demás ejercicios son para la práctica, cualquier duda escriban en este mismo medio, en los
comentarios de la página.
EJERCICIOS RESUELTOS.
1. Se recibe un cargamento muy grande de 2.500 bultos de plátanos provenientes de una importación y se
desea estimar el peso promedio (μ) de dichos bultos, para lo cual se toma una muestra aleatoria de 100 de
bultos, que arrojan un peso promedio de 21.6 kilos. Se sabe por experiencias anteriores, que la desviación
estándar de dichos cargamentos es de 5.1 kilos. Se quiere un nivel de confianza en la estimación del 95%
(1-α=0.95).
Datos:
x  21.6 Kilos
  5.1 Kilos
n  100
Niv el de conf ianza  95%
IC  ?
Solución:
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de
0,475 es Z α  1.96 . Por tanto:
2

 

,x  zα 

2
2
n
n

5.1
5.1 

IC   21.6  1.96 
;21.6  1.96 

100
100 

IC   x  z α 
0.475
 21.6  0.9996;21.6  0.9996
 20.60;22.60 
NC=0.95
α/2=2.5%
α/2=2.5%
-Z=-1.96
Z=1.96
La expresión anterior, significa que el 95% de las medias muestrales de tamaño 100 del cargamento
estarán dentro del anterior intervalo, mientras que el 5% de dichas medias muestrales estarán por fuera de
dicho intervalo. En consecuencia, podemos interpretar la referida expresión, diciendo que con el 95% de
confianza la media del peso de todo el cargamento fluctúa entre 20.6 y 22.6 kilos.
2. Una compañía que fabrica pastelillo desea estimar la proporción de consumidores que prefieran su marca.
Los agentes de la compañía observan a 450 compradores, del número total observado 300 compraron los
pastelillos. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la venta de la proporción de compradores que
prefieren la marca de esta compañía.
Datos:
p  300/450  66.67%  0.6667
n  450
Niv el de conf ianza  95%
IC  ?
Solución:
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de
0,475 es Z α  1.96 . Por tanto:
2

IC   p  z α 


2
0.475

α/2=2.5%
α/2=2.5%
NC=0.95
-Z=-1.96
Z=1.96
p 1  p 
p 1  p  

,p  zα 

n
n

2
IC   0.6667  1.96 


0.6667  0.3333 

400

 0.6667  1.96  0.00049;0.6667  1.96  0.00049
 0.6667  0.044;0.6667  0.044
 0.6227;0.7107

Con un nivel de confianza del 95 % se puede concluir que la media proporcional desconocida se encuentra
dentro del intervalo 0.6227; 0.7107 , es decir la demanda del producto fluctúa dentro del intervalo 62.27 %
y 71.07 %.
3. La lectura de una muestra aleatoria mostraron una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9
cm. Determine un intervalo de confianza del 98% para la altura promedio de una muestra de 50 estudiantes.
Datos:
x  174.5 cm
  6.9 cm
n  50
Niv el de conf ianza  98%
IC  ?
Solución:
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de
0,49 es Z α  2.33 . Por tanto:
2

 

,x  zα 

2
2
n
n

6.9
6.9 

IC   174.5  2.33 
;174.5  2.33 

50
50 

IC   x  z α 
0.49
 174.5  2.27;174.5 2.27
 172.23;176.77
NC=0.98
α/2=1.0%
α/2=1.0%
-Z=-2.33
Z=2.33
Con un nivel de confianza del 98 % se puede concluir que la media poblacional desconocida se encuentra
dentro del intervalo 172.23;176.77
4. En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al cine. Entre que
valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de universitarios que acude todas
las semanas al cine.
Datos:
P  80%  0.8
n  300
Niv el de conf ianza  95%
IC  ?
Solución:
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de
0,475 es Z=1,96. Por tanto:

IC   p  z α 


2
0.475

p 1  p 
p 1  p  

,p  zα 

n
n

2
IC   0.8  1.96 

NC=0.95
α/2=2,5%
α/2=2,5%
-Z=-1,96
Z=1,96

0.8  0.2
0.8  0.2 

;0.8  1.96 
300
300 
 0.8  1.96  0.000533;0.8  1.96  0.000533
 0.8  0.045;0.8 0.045
 0.755;0.845 
Existe una probabilidad del 95 % de confianza de que la media proporcional desconocida se encuentra en el
intervalo de 0.755;0.845 , es decir entre 75.5 % y 84,5 %.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA MUESTRAL Y MEDIA PROPORCIONAL.

Media muestral IC   x  z α 

1.
2
σ
n
, x  zα 
2
σ 

n
Una universidad del Norte está realizando un estudio sobre el peso promedio de los ladrillos que forman las
aceras del plantel. Se envió a trabajadores a sacar y pesar una muestra de 421 ladrillos y el peso promedio
de cada uno de ellos en esta muestra fue de 14,2 libras. Se sabe que la desviación estándar del peso de
un ladrillo es 0.8 libras.

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
a. Calcule el error estándar de la media.
b. Cuál es el intervalo alrededor de la media muestral que incluirá la media de la población 95,5 % de las
veces?.
Al gerente de las casetas de cobro de una carretera le preocupa el número de automóviles que no se
detienen en ellas y está examinando la conveniencia de modificar el procedimiento de cobro, con tal que
esto resulte rentable. Muestreó aleatoriamente 75 horas para determinar la tasa de la trasgresión. Fueron 7
violaciones promedio por horas. Si se sabe que la desviación estándar de la población es 0.9, estime un
intervalo que tenga una probabilidad de 95,5 % de contener la verdadera media.
Suponga que una muestra de 50 se extrae de una población, con una desviación estándar de 12, y que la
media muestral sea 100.
a. Establezca una estimación por intervalo de la media de la población que ofrezca una seguridad del
95,5% de incluir la verdadera media de la población.
b. Suponga en cambio, que el tamaño de la muestra fue 5000. Establezca un intervalo de la media de la
población que tenga una seguridad del 95,5 % de incluir la verdadera media de la población.
c. Por qué podría la estimación a ser preferida a la estimación b?. Por qué podría preferirse b a a?
Al reunir una muestra de 200 en una población cuya desviación estándar es de 5,23, se descubre que la
media es de 76,3.
a. Encuentre un intervalo de confianza de 90 % para la media.
b. Encuentre un intervalo de confianza de 98% para la media.
Una muestra de 35 individuos se escoge de una población de 360. En la muestra, se descubre que la
media es de 20,9 y que la desviación estándar es de 5,8.
a. Calcule el error estándar estimado para la media.
b. Construya un intervalo de confianza de 96 % para la media.
En una muestra de 42 estaciones de gasolina en un estado, se comprobó que el precio promedio de un
galón de gasolina sin plomo era de $ 112, con una desviación estándar de $ 40 por galón. ¿En qué
intervalo caerá 99.7 % de las veces la verdadera media del precio por galón de gasolina?.
La oficina de hacienda muestreó a 200 declaraciones de impuestos y descubrió que el ingreso promedio de
la muestra por concepto de devolución de impuestos era de $ 425.39 con una desviación estándar de la
muestra de $ 107.1
a. Usando esta información, estime la devolución media de la población y su desviación estándar.
b. Usando las estimaciones anteriores, construya un intervalo donde la media de la población dé una
confianza de 95 % de que va a disminuir.
Con una muestra de 60 autobuses, la oficina de transporte masivo en Santa Fé de Bogotá, ha calculado
que el número promedio de pasajeros por kilómetro, es de 4.1. Gracias a estudios anteriores se sabe que
la desviación estándar de la población es de 1.2 pasajeros por kilómetro.
a. Encuentre el error estándar de la media.
b. Construya un intervalo de confianza de 96 % para el número promedio de pasajeros.
Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal
con una desviación típica de 0,12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos
cuyo peso medio es de 4,07 kilos.
a. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.
b. Determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendría mayor, menor o la
misma longitud que el calculado en el apartado a.
c. Se decide que mañana se tomará una muestra de 60 ladrillos. Sin realizar los cálculos, determinar si un
intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos mañana tendría mayor,
menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.
d. Se sabe que la desviación típica poblacional para la producción de hoy es de 0,15 kilos. Determinar si
un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy tendría mayor,
menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.
Proporciones:

IC   p  z α 
2

p 1  p 
p 1  p  

,p  zα 
n
n
2

10. El dueño de una inmobiliaria revisó aleatoriamente 150 de las 3000 cuentas de la compañía y determinó
que 60 % se hallaban en excelente estado.
a. Estime el error estándar de la proporción.
b. Basado en el enciso anterior, que clase de estimación de intervalo pudiera dar usted para el número
absoluto de cuenteas que satisfacen los requisitos de excelencia, conservando el mismo nivel de
confianza de 95%.
11. Juan Beltrán acaba de comprar un programa de computadora que afirma que puede escoger con una
precisión de 85 %, las acciones que aumentarán de precio la próxima semana. ¿En cuántas acciones
deberá el señor Beltrán probar el programa a fin de tener una certidumbre de 98 %de que el porcentaje
de acciones que aumentan de valor en la siguiente semana se encuentra dentro de +/- 0.03 de la muestra
de la población?.
12. Una empresa de ropa está pensando en reintroducir corbatas anchas con diseños llamativos. A fin de evitar
un fracaso estrepitoso, entrevistó a 75 ejecutivos (su mercado primario), y averiguó que 70 de ellos
opinaban que ese tipo de corbata eran elegantes y querían comprar una. Usando un nivel de confianza de
98 %, para la proporción de ejecutivos jóvenes a quienes gustan las corbatas elegantes y llamativas.
13. Un fabricante de máquinas de afeitar desechables solicita se haga un investigación de mercados, tomando
una muestra de 100 personas, empleadas en el sector público, obteniéndose que el 60 % prefieren esa
marca y tipo de máquina. Con la anterior información se pide: Fijar los límites de confianza del 99 % de las
personas que prefieren estas máquinas.
14. En unas encuestas de opinión pública, 640 personas de un total de 800, se pronunciaron a favor de cierto
producto. Establezca un intervalo de confianza del 99 %, para estimar la proporción de personas que están
a favor de este producto.
15. Un inspector de granos en un puerto marítimo descubre descomposición en 40 de 120 lotes seleccionadas
aleatoriamente de trigo embarcado en el puerto. Construya un intervalo de confianza de 95 % para él,
aplicable a la proporción real de lotes con trigo descompuesto en los embarques procedentes de ese
puerto.
16. En una determinada población se toma una muestra al azar de 256 personas. De esta muestra, el 20% de
las personas lleva gafas graduadas y el resto no. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la
proporción poblacional de las personas que llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.
17. En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a un total de 100 votantes elegidos al
azar en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo
de confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción de votantes favorables al alcalde actual.
18. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la política del
actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción de
alumnos que apoyan a esta dirección?
19. Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta cantidad, 30, y las
marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque. Transcurridos unos días volvemos a pescar otro
montón y observamos qué proporción están marcadas con la anilla. Es esta última pesca obtenemos 100
ranas de las que 7 están marcadas. Calcular un intervalo al 99% de confianza para la proporción de ranas
marcadas.
20. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la
función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las
pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que
fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los
reproductores de discos compactos de la población que no pasarían todas las pruebas.
“Pasan los años y la responsabilidad crece, sin embargo muchas veces con los años nos hacemos más
irresponsables”
N.N.
Por:
Germán Isaac Sosa Montenegro
Octubre 05 de 2011.