Probabilidad Básica

TEMA 4: PROBABILIDAD BÁSICA.
TEORIA DE PROBABILIDAD
SIGNIFICADO
Es la posibilidad u oportunidad de que ocurra un hecho o fenómeno.
• Precipitaciones el fin de semana.
• Que gane el equipo XX el próximo partido.
• Que salga un número par al arrojar un dado.
La Estadística, como un método para efectuar generalizaciones o tomar decisiones ante la Incertidumbre, se
basa en la Teoría de Probabilidad, porque la Probabilidad es a la vez el Lenguaje y la Medida de la
Incertidumbre y los riesgos asociados con ella.
CONCEPTOS BÁSICOS
• Experimento Aleatorio
Un experimento se considera aleatorio o estocástico si sus resultados son inciertos.
• Espacio Muestral
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Es un conjunto universal y se
simboliza con S.
Ejemplo: el experimento consiste en arrojar un dado
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Punto Muestral
Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.
• Suceso, hecho o evento
Es un subconjunto del espacio muestral S. Un suceso E definido en un espacio muestral se dice que es simple
o elemental si contiene un solo punto muestral en S; se dice que es compuesto si contiene más de un punto
muestral.
Ejemplo: Experimento que consiste en arrojar un dado
Espacio Muestral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos Simples E1 ={1 } E2 ={2} E3= {3} E4 ={4} E5 ={5} E6 ={6}
Eventos compuestos E1 ={1, 3, 5 } E2 ={2, 4, 6 }
TEORIAS DE PROBABILIDAD
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OBJETIVAS SUBJETIVAS
Clásica a Priori Clásica Empírica
o Frecuencial
• Teoría Clásica a priori
Teoría de la razón insuficiente
Cuando no hay razones para preferir uno de los posibles resultados o suceso a cualquier otro, todos
deben considerarse con la misma probabilidad de ocurrencia. Entonces la probabilidad de ocurrencia
de un suceso E, es:
Resultados favorables
Resultados posibles
La Teoría Clásica a priori se basa en el conocimiento anterior o previo del proceso o fenómeno.
• Teoría Clásica frecuencial
Cuando el experimento aleatorio se repite un gran número de veces (n) y el suceso ocurre (m) veces, la
frecuencia relativa m/n será prácticamente (casi igual, aproximadamente) igual a P.
1er Enfoque frecuencia relativa n: grande
2do Enfoque P (E): Lim n "
La teoría frecuencial se basa en datos observados como resultado de repetir el experimento un número
grande de veces.
LAS FRECUENCIAS RELATIVAS ESTABILIZAN LAS PROBABILIDADES
Ejemplo:
La moneda se arroja 200 veces; el número de caras en cada 20 ocasiones que se arroja se muestra en el
cuadro que sigue. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara cuando se arroja la moneda?
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• Con la base de este experimento, la mejor respuesta que puede enunciarse es que la probabilidad de
que con esta moneda particular caiga cara al arrojarla es 98/200= 0,49.
La gráfica siguiente muestra el número de tiros y la frecuencia relativa acumulativa. Adviértase que la gráfica
varía alrededor de la frecuencia relativa de 0.5 calculada si la moneda es ordinaria, normal o legal.
• Las fluctuaciones de las frecuencias relativas varían considerablemente, cuando n es pequeño.
• Cuando n es grande, las fluctuaciones disminuyen y la frecuencia relativa presenta regularidad
estadística.
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento E en un experimento aleatorio, es el valor numérico P(E) que satisface los
siguientes axiomas:
• Si E es un evento definitivo del espacio muestral S, entonces:
0 "P (E) " 1
• Si S representa el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, entonces:
P (S)= 1
• Si A y B son dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral y, si A" B = , entonces A y
B se dice que son mutuamente excluyentes y, la probabilidad de que ocurra A ó B es la suma de
probabilidad de sus probabilidades:
P (A " B) = P (A) + P (B)
• Si A y B son dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral y, si A " B " , entonces A y
B se dice que son no mutuamente excluyentes y, la probabilidad de que ocurra A ó B es la suma de
probabilidad de sus probabilidades menos la probabilidad de ocurrencia de ambos eventos:
P (A " B) = P (A) + P (B) − P (A" B)
• Evento imposible, es aquel que no tiene ningún resultado favorable dentro de un conjunto de resultados
posibles de un experimento aleatorio:
P () = 0
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• Evento complementario , de un evento A es el evento que consiste en todos los resultados que no contiene
el evento A:
P ( ) = 1 − P (A)
REGLAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES
• Probabilidad Conjunta.
• Probabilidad Marginal.
• Probabilidad Condicional.
• Independencia.
Ejemplo: Una Empresa ha relevado y clasificado a su personal según el tipo de puesto que ocupan y el tipo de
estudio alcanzado.
Universitario
No Universitario
Total
(A)
(A´)
25
5
30
75
195
270
100
200
300
Gerencial
B
No gerencial
B´
Total
• Si al elegir un empleado al azar resulta que su formación es universitaria, cuál es la probabilidad
que ocupe un puesto gerencial?
• Si al elegir un empleado al azar resulta que ocupa un puesto gerencial, cuál es la probabilidad que
su formación sea universitario?
• Cual es la probabilidad de que al elegir un empleado al azar su formación sea universitaria y ocupe
un puesto gerencial?
• Cual es la probabilidad de que al seleccionar un empleado al azar ocupe un puesto gerencial?
• Cual es la probabilidad que al seleccionar dos empleados azar, el primero ocupe un puesto gerencial
(B1), y el segundo, también (B2)?
PROBABILIDAD CONDICIONAL
• Si al elegir un empleado al azar resulta que su formación es universitaria, cuál es la probabilidad
que ocupe un puesto gerencial?
• Si al elegir un empleado al azar resulta que ocupa un puesto gerencial, cuál es la probabilidad que
sea universitario?
La probabilidad de que se presente el evento A, cuando se sabe que el suceso B ya se presentó, es la
probabilidad de A, condicionada a la ocurrencia del suceso B. Se denota como P(A/B) y se puede definir
como:
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P (A / B) = " P (B / A) =
P (A / B) = =25/30 " 0.83 P (B / A) = = 25/100 = 0.25
PROBABILIDAD CONJUNTA
• Cual es la probabilidad de que al elegir un empleado al azar su formación sea universitaria y ocupe
un puesto gerencial?
La probabilidad de que se presenten en forma simultanea dos eventos A y B, se conoce como
probabilidad conjunta de A y B y se puede definir como:
=
=
PROBABILIDAD MARGINAL
• Cual es la Probabilidad de que al seleccionar un empleado al azar ocupe un puesto gerencial?
La probabilidad marginal es la probabilidad de un evento simple A, es decir un evento de una sola
característica y se puede definir como:
• P(A) = 100/300 " 0,333
• la suma de ocurrencias conjuntas
P (A) = P (A " B) + P (A " B*) = (25/300) + (75/300) " 0,333
P (B) = P (A " B) + P (A* " B) = (25/300) + (5/300) " 0,333
INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA − REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Al resolver la probabilidad de ocurrencia conjunta de (A y B) se tiene:
La regla general de la multiplicación
• Los eventos A y B son independientes sólo si :
P (A / B) = P (A)
P (B / A) = P (B)
• Los eventos son estadísticamente independiente sólo sí:
P(A y B) = P (A). P (B)
Veamos:
−Cual es la probabilidad que al seleccionar dos empleados azar, el primero ocupe un puesto gerencial (B1),
y, el segundo, también (B2)?
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Por lo que, para el ejemplo de clasificación del personal de la empresa tenemos dos posibles situaciones
a) Selección (muestreo) sin reemplazo
P (B1 y B2) = P (B2 / B1) . P (B1)
= (29/ 299) * (30/ 300) " 0.0097
Son eventos independientes?
P (B2 / B1)= P (B2)
(29/ 299) " (30/300) Eventos dependientes
b) Selección (muestreo) con reemplazo
P (B1 y B2) = P (B2 / B1) . P (B1)
= (30/ 300) (30/ 300) = 0,01
Son eventos independientes?
P (B2 / B1) = P(B2)
(30/300) = (30/300) Eventos Independientes
Se deduce que si B2 y B1 son independientes, su probabilidad de ocurrencia conjunta es:
P (B2 y B1) = P (B2) P (B1) = (30/ 300) (30/ 300) = 0.01
13
25
4
6
S
Evento Conjunto
Evento Simple
6