TEORIA DE JUEGOS

Teoría de Juegos
M. En C. Eduardo Bustos
Farías
1
¿Qué es un juego?
• Un juego es un problema de toma de decisiones en
el que participan dos o más individuos
(≡ decisores, jugadores, agentes, controladores).
• Es una herramienta matemática que analiza las
interrelaciones entre dos o mas individuos, y busca
un modelo de actuación óptimo.
Con un individuo el problema es un
problema de control.
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Farías
2
¿Qué tipos de juegos hay?
• Juegos estáticos o de una tirada (one-shot games).
• Juegos repetidos.
• Juegos dinámicos.
Juego diferencial
Juego diferencial estocástico
Juegos de saltos (tipo cadenas de Markov), juegos híbridos, …
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3
„
„
„
Juegos cooperativos:
• los jugadores deciden cooperar entre ellos para
alcanzar un resultado que sea “benéfico” para ellos.
Problema:
encontrar equilibrios cooperativos
conocidos también como equilibrios de Pareto.
Juegos de Stackelberg:
• uno de los jugadores es el líder (tira primero) y
• el resto de los jugadores son seguidores…
… etc, etc, etc,…
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4
Generalmente, en un juego hay un
conflicto de intereses
−
los objetivos de los jugadores pueden oponerse
unos contra otros.
Por lo tanto, los jugadores tienen que
negociar,
es decir,
ponerse de acuerdo cómo “jugar el juego”.
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5
¿Como se juega un juego?
„
Juegos no cooperativos:
• los jugadores no cooperan entre ellos;
• actúan independientemente,
• cada uno tratando de satisfacer su propio objetivo.
Problema:
encontrar equilibrios no-cooperativos
también conocidos como Equilibrios de Nash.
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Farías
Elementos del juego
„
„
„
„
„
„
„
Jugadores
No jugadores (“naturaleza”)
Acciones
Información
Estrategias
Resultados
Equilibrio
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7
Supuestos
Los participantes en la relación:
•
•
•
•
•
Son conscientes de ésta
Buscan el máximo provecho
Actúan racionalmente
Existe un costo de la relación y se obtiene un
beneficio de ella.
Se supone que el jugador escogerá la elección
óptima
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8
Juegos
„
„
„
„
„
Un juego es una situación competitiva entre n
personas o grupos, denominados jugadores
Se realiza bajo un conjunto de reglas
previamente establecidas con consecuencias
conocidas
Las reglas definen las actividades elementales o
movimientos del juego.
Pueden permitirse diferentes movimientos para
los distintos jugadores , pero cada jugador
conoce los movimientos de que dispone cada
jugador
Si un jugador gana lo que otro jugador pierde el
juego se le denomina de suma cero
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9
Un juego de 2 personas es un juego que tiene
solo dos jugadores
„ Cada jugador tiene un número finito de
elecciones o infinito llamadas estrategias.
„ Los resultados o pagos de un juego se resumen
como funciones de las diferentes estrategias para
cada jugador
„ Un juego con 2 jugadores, donde la ganancia de
un jugador es igual a la perdida de otro se
conoce como un juego de 2 persona y de suma
cero
„ En tal juego es suficiente expresar los resultados
en términos del pago a un jugador.
„ Se emplea una matriz para resumir los pagos al
jugador cuyas estrategias
est
án dadas por los
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10
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Farías
renglones de la matriz
„
„
„
Una estrategia pura es un plan
previamente determinado, que establece
la secuencia de movimientos y contra
movimientos que un jugador realiza
durante un juego completo.
La matriz de consecuencias o pagos
proporciona una caracterización completa
del juego al que corresponde.
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11
Juegos en Forma Normal
„
Un Juego en Forma Normal
consiste en:
• Jugadores
• Estrategias de acciones factibles.
• Matriz de Pagos (“Payoffs”)
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12
Juegos de suma cero
„
„
Se dice que un juego es de “suma cero”
cuando lo que gana un jugador lo pierde el
otro, como en ajedrez, poquer, etc.
Todos los ejemplos que hemos visto de
juegos son de suma cero, por eso en las
celdas de la matriz del juego un mismo
número es la ganancia para el jugador de
los renglones y la pérdida para el de las
columnas.
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Farías
13
Ejemplo 1
„
„
„
Construya la matriz de pagos para el
siguiente juego.
Considere un juego de “igualar” monedas
en el cual cada uno de 2 jugadores A y B
elige sol (S) ó águila (A).
Si son iguales los 2 resultados (S y S) ó (A
y A) el jugador A gana 1 peso al jugador
B, de otra manera A pierde un peso que
paga a B
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14
Solución
1.- Son dos jugadores
2.- Lo que uno gana el otro lo pierde
3.- Cada jugador tiene 2 estrategias
puras
4.- La matriz de juegos es de 2x2
expresado en términos del pago al
jugador
Jugador A
Jugador B
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A
S
A
1
-1
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Farías
S
-1
1
15
Ejemplo 2
„
„
„
Construya la matriz de juegos para el
siguiente juego
Considere un juego en el cual 2 jugadores
muestran simultáneamente 1, 2 ó 3 dedos
uno al otro. Si la suma de dedos
mostrados, es par, el jugador II paga al
jugador I esta suma en pesos.
Si la suma es non, el jugador I paga esa
cantidad al jugador II.
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16
Solución
„
„
„
„
Son dos jugadores
Lo que gana 1 el otro lo pierde por lo que es de
suma cero
Cada jugador tiene 3 estrategias puras, mostrar 1,
2, 3 dedos
La matriz de juegos es de 3x3 expresada en
términos del pago del jugador I
Jugador II
Jugador I
Investigació
Investigación de Operaciones
1
2
3
1
2
-3
4
2
-3
4
-5
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
3
4
-5
6
17
A
10 kms
20 kms
B
15 kms
C
Ejemplo 3
Construya una matriz de consecuencias para el
siguiente juego.
„ Dos cadenas de supermercados se proponen
construir, cada una, una tienda en una región
rural en donde se encuentran 3 pueblos.
„ 45% de la población vive cerca del pueblo A
„ 35% de la población vive cerca del pueblo B
„ 20% de la población vive cerca del pueblo C
„ Debido a que la cadena I es más grande que la
cadena II, la cadena I controlará la mayoría de
los negocios, siempre que sus ubicaciones sean
comparativas.
„ Ambas cadenas conocen los intereses de la otra
en la región y ambas han terminado estudios de
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ón de Operaciones
18
mercado
que danM.proyecciones
idénticas.
Investigaci
En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
„
Si ambas cadenas se sitúan en el mismo pueblo o
los equidistantes de un pueblo, la cadena I
controlará el 65% de los negocios en ese pueblo.
„ Si la cadena I está más cercana a un pueblo que
la cadena II, la cadena I controlará 90% de los
negocios en este pueblo.
„ Si la cadena I está más alejada de un pueblo que
la cadena II, atraerá a 40% de los negocios de
este pueblo.
„ El resto de las operaciones, bajo cualquier
circunstancia, irán a la cadena II.
„ Además ambas cadenas saben que la política de
la cadena I es no ubicarse en pueblos que sean
demasiado pequeños, y el pueblo C cae dentro de
esta categoría. M. En C. Eduardo Bustos Faríías
Investigació
19
Investigación de Operaciones
Far
„
Solución
„
„
Hay 2 jugadores.
El jugador I tiene 2 estrategias puras
y el II tiene 3 estrategias puras.
Investigació
Investigación de Operaciones
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
20
I
A
B
C
I
„
„
II
Si I se ubica en A y II en B entonces
I tendrá (0.9)(0.45) + (0.4)(0.35) +
(0.4)(0.2) = 0.625
O sea el 62.5% de los negocios de la
región.
Investigació
Investigación de Operaciones
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
21
A
„
„
B
I
C
II
Si I se ubica en B y II en C, entonces
I tendrá (0.9)(0.45) + (0.9)(0.35) +
(0.4)(0.2) = 0.8
O sea el 80% de los negocios de la
región.
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Farías
22
II
A
„
„
B
I
C
Si I se ubica en B y II en A entonces
I tendrá (0.9)(0.35) + (0.4)(0.45) +
(0.9)(0.2) = 0.575
O sea un 57%
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Farías
23
I
A
B
II
II
„
I
C
Si ambas cadenas se ubican en el
mismo pueblo I recibirá 65% de los
negocios de toda la región.
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24
Tabla de pagos o consecuencias
Jugador I
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A
B
A
65
67.5
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Farías
Jugador II
B
62.5
65
C
80
80
25
DOMINANCIA
26
Estrategia dominante
„
Se dice que una estrategia es
“dominante” cuando es la mejor
opción del jugador para todas las
posibles opciones del contrincante
(similarmente para varios
contrincantes).
Investigació
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27
Dominancia
„
„
„
Algunas veces una fila o columna de la matriz de
pagos carece de efectividad para influir sobre las
estrategias óptimas y el valor del juego
Una estrategia pura P es dominada por una
estrategia pura Q si, para cada estrategia pura
del oponente, el pago asociado con P no es mejor
que el pago asociado con Q.
Ya que una estrategia pura dominada no puede
ser nunca parte de una estrategia óptima, el
renglón o columna correspondiente en la matriz
del juego debe ser eliminada
Investigació
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Farías
28
Ejemplo 1. Dominancia
II
I
1
2
3
1
4
3
2
2
-8
-9
6
3
7
2
8
4
-2
-3
2
Observe que entre las filas 1 y 2, la 2 no desempeña ningún papel
de importancia en la estrategia del jugador I.
4>3
-8 > -9
7>2
-2 > -3
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29
„
„
Por lo tanto la probabilidad asociada a
ella será cero.
La solución del juego anterior sería la
misma si la matriz de pago fuera:
II
I
Investigació
Investigación de Operaciones
1
3
1
4
2
2
-8
6
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
3
7
8
4
-2
2
30
Estrategia débilmente
dominante
„
„
„
Decimos que una estrategia es
“débilmente dominante” cuando no es
peor que ninguna otra estrategia.
Es lo mismo que decir que es la mejor o al
menos igual a otra.
Ojo: Una estrategia dominante es también
débilmente dominante; lo contrario no es
cierto.
Investigació
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31
Estrategia dominante, ejemplo (cont)
Análisis de casos para ver si B tiene estrategia dominante
Si A elige 1 (renglón sup.), la mejor opción de B es 2 (u=-2).
Si A elige 2 (renglón cen.), la mejor opción de B es 2 (u=0).
Si A elige 3 (renglón inf.), las mejores opciones de B son 1 y
2 (u=-5).
a1
a2
a3
b1
0
2
-5
b2
-2
0
-5
b3
4
10
0
B tiene una estrategia débilmente dominante
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32
Ejemplo 2. Dominancia
„
Determine si alguna de las estrategias
puras del problema de la ubicación de los
supermercados en los pueblos A, B y C
pueden descartarse por dominación. La
matriz del juego era:
II
I
Investigació
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A
B
A
65
67.5
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
B
62.5
65
C
80
80
33
Solución
El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya que
las consecuencias de esta estrategia siempre son
menores o iguales a las consecuencias de B
„ 67.5 > 65
„ 65 > 62.5
„ 80 = 80
II
I
Investigació
Investigación de Operaciones
A
B
A
65
67.5 Farías
M. En C. Eduardo Bustos Farí
B
62.5
65
C
80
80
34
El jugador II puede descartar A y C, ya que
son inferiores a B. La matriz es:
II
I
A
65
67.5
A
B
B
62.5
65
C
80
80
I
II
A
35
37.5
20
A
B
C
B
32.5
35
20
I
II
A
B
C
A
35
37.5
20
B
32.5
35
20
La matriz de consecuencias se reduce al valor en que coinciden ambas tablas B.
Lo que indica que el supermercado I debe ubicarse en el pueblo B y controlar
Investigación de Operaciones
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ías
elInvestigació
65% de los negocios y la cadena
II ubicarseFar
en
el mismo pueblo y manejar 35
el 35% de los negocios restantes
VALOR DEL JUEGO
„
„
EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL
JUGADOR 1 CUANDO AMBOS
JUEGAN DE MANERA OPTIMA.
JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO
ES 0.
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36
CRITERIO MINIMAX
JUGADOR 2
ESTRATEGIA
JUGADOR 1
1
2
3
1
-3
-2
6
2
2
0
2
3
5
-2
-4
¿QUE OPCION ESCOGE CADA JUGADOR DE MANERA
QUE LA MAYOR PERDIDA POSIBLE SEA MINIMIZADA?
Investigació
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Farías
37
CRITERIO MINIMAX
JUGADOR 2
ESTRATEGIA
1 2 3
MÍNIMO
1 -3 -2 6
2 2 0 2
3 5 -2 -4
JUGADOR 1
MÁXIMO
-3
0
-4
5 0 6
VALOR MAXIMIN
PUNTO SILLA
VALOR MINIMAX
SE SELECCIONA LA OPCION 2
VALOR DEL JUEGO= 0 (JUEGO JUSTO).
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38
PUNTO SILLA
„
„
„
MINIMAX= MAXIMIN
PUNTO SILLA ->NINGUN JUGADOR
PUEDE APROVECHAR LA
ESTRATEGIA CONOCIDA DE SU
OPONENTE ->
SOLUCION ESTABLE
Investigació
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39
SOLUCIONES SIN PUNTO
SILLA
JUGADOR 2
ESTRATEGIA
1 0 -2 2
2 5 4 -3
3 2 3 -4
JUGADOR 1
MÁXIMO
Investigació
Investigación de Operaciones
1 2 3
MÍNIMO
-2
-3
-4
maximin
5 4 2
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Farías
minimax
40
Solución Óptima de juegos de 2
personas y suma cero
- Juegos estables (Valor de juego,
estrategias minimax y maximin).
Puntos silla
- Juegos Inestables (estrategias
mixtas)
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41
Juegos inestables o estrategias
mixtas
„
„
„
El objetivo en la teoría de juegos es determinar
una estrategia “mejor” para un jugador dado,
bajo la consideración de que el oponente es
racional y realizará movimientos inteligentes en
contra.
En consecuencia si un jugador siempre selecciona
la misma estrategia pura o selecciona estrategias
puras en un orden fijo, su oponente reconocerá a
tiempo el patrón y tratará de vencerlo, si es
posible.
Por esto, la estrategia más efectiva es una
estrategia mixta, definida por una distribución
probabilística sobre un conjunto de estrategias
puras.
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42
Ejemplo 1: Estrategias mixtas.
„
„
„
En el juego de mostrar 1,2 ó 3 dados
se puede construir una estrategia
mixta
X=[1/6, 1/3, ½],
que significa que el jugador uno,
planea mostrar el dedo 1 1/6 de
veces, 2 dedos 1/3 de veces, 3
dedos ½ de las veces.
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Farías
43
Ejemplo 2: Estrategias Mixtas.
„
„
Sea la siguiente matriz de pagos para un
juego de 2 jugadores de suma cero
Este juego no tiene punto de silla, ni se
puede calcular el valor de juego. Se dice
que es un juego inestable.
Jugador A
Investigació
Investigación de Operaciones
1
2
3
4
1
5
6
Jugador B
2
3
-10
9
7
8
8
7
15
3
4
-1
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
4
0
1
2
4
44
Solución del problema de
estrategias mixtas
„
„
Se basa en el criterio mínimax. La única
diferencia es que A (ó jugador I) elije Xi,
la cual maximiza el pago esperado más
pequeño en una columna, en tanto que B
(ó jugador II) selecciona Yj, la cual
minimiza el pago esperado en un renglón.
Igual que en estrategias puras se verifica
la relación:
pago esperado minimo < pago esperado maximin
Investigació
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Farías
45
„
„
„
Cuando Xi y Yj corresponden a la solución
óptima, se cumple la igualdad y los
valores resultantes llegan a ser iguales al
valor esperado (óptimo) del juego.
Si Xi* y Yj* son las soluciones óptimas
para ambos jugadores, cada elemento de
pago Aij estará asociado a la probabilidad
(Xi*, Yj*). Por consiguiente, el valor
esperado óptimo del juego es:
En otras palabras cualquier juego matricial
tiene un valor
Investigació
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Farías
46
Métodos para resolver juegos
Métodos para resolver juegos (2xn) ó
(mx2)
„
„
Gráfico
De programación lineal
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Farías
47
Solución gráfica de juegos de
(2xN) y (Mx2)
„
Las soluciones gráficas son
únicamente aplicables a juegos en
los cuales, por lo menos uno de los
jugadores, tiene solamente 2
estrategias.
Investigació
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M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
48
Solución gráfica de
juegos (mx2)
49
Ejemplo 1
„
Considere el siguiente juego:
B
A
1
2
1
2
4
2
2
3
3
3
2
4
-M.2En C. Eduardo Bustos
6 Farí
Farías
Investigació
Investigación de Operaciones
50
SOLUCIÓN
51
El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y
y2 (=1- y1) dos estrategias mixtas de B.
Estrategia
pura de A
1
Pagos
esperados
para B
-2y1 + 4
2
-y1 + 3
3
y1 + 2
4
Investigació
Investigación de Operaciones
-8y1 + 6
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
52
El juego no tiene punto silla.
Sean Y1 y Y2 (Y2 = 1-Y1) dos estrategias mixtas de B
Estrategias puras Pagos esperados
de A
de B
1
-2Y1 + 4
2
-Y1 + 3
3
Y1 + 2
4
-8Y1 + 6
Investigació
Investigación de Operaciones
Y1 = 0
Y1 = 1
4
3
2
6
2
2
3
-2
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
53
El punto minimax se determina como el
punto mas bajo de la envolvente superior
El valor de Y1* se obtiene como el punto de
intersección de las líneas 1 y 3
-2Y1 + 4 = Y1 + 2
-3Y = -2
Y = 2/3 (Esta es la estrategia óptima para A)
Sustituyendo en 1 y en 3
V* =
-2(2/3) + 4 = 8/3
2/3 + 2 = 8/3
El valor del juego es 8/3
Investigació
Investigación de Operaciones
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
54
Investigació
Investigación de Operaciones
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
55
Investigació
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M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
56
POR WINQSB
ESTRATEGIA ÓPTIMA PARA
EL JUGADOR A
ESTRATEGIA ÓPTIMA PARA
EL JUGADOR B
Investigació
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Farías
57
Ejemplo2: Considere el siguiente
juego (2x4)
1.
2.
3.
Encuentre el punto máximo
Calcule la estrategia optima de A
Calcule el valor del juego
A
Investigació
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1
2
1
2
4
B
2
2
3
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
3
3
2
4
-1
6
58
Solución
„
„
El juego no es estable ya que las
estrategias puras maximin = 2 es
diferente a la mínimax = 3
Por lo que los pagos esperados de A
corresponden a las estrategias
puras de B son:
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Farías
59
Estrategias puras Pagos esperados
de B
de A
1
-2X1 + 4
-X1 + 3
2
3
X1 +2
4
-7X1 + 6
X1 = 0
X1 = 1
4
3
2
6
2
2
3
-1
Resolviendo 2 y 3
-X1 + 3 = X1 +2
-2X1 = -1
X1 = ½ (maximin)
A
La estrategia óptima es
(½ , ½)
V* = - ½ +3 = 5/2
Investigació
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M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
1
2
1
2
4
B
2
2
3
3
3
2
4
-1
6
60
Investigació
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M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
61
Investigació
Investigación de Operaciones
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
62
Ejemplo 3: Considere el juego
(2x4)
„
„
„
Encuentre el punto maximin
Calcule la estrategia óptima
Calcule el valor de juego
P1
Investigació
Investigación de Operaciones
1
2
1
19
0
P2
2
15
20
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
3
17
15
4
16
5
63
Solución
„
El juego no es estable ya que las
estrategias puras maximin = 15 es
diferente a mínimax = 16
Estrategias puras Pagos esperados
de P2
de P1
1
(19-0)X1 + 0 =
19X1
2
(15-20)X1 + 20 =
-5X1 + 20
3
(17-15)X1 + 15 =
2X1 +15
4
(16-5)X1 + 5 =
11X1 + 5
Investigació
Investigación de Operaciones
X1 = 0
X1 = 1
0
19
20
15
15
17
5
16
M. En C. Eduardo Bustos Farí
Farías
64
Resuélvalo por winqsb
Investigació
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Farías
65
Método simplex
66
Solución de juegos (mxn) por
programación lineal
„
„
Se trata de Maximizar el valor del
juego (representado por las
estrategias de un jugador). Sujeto a
la combinación lineal por renglón de
la matriz de juego.
Si el valor maximin es positivo se
procede de este modo, si es negativo
se agrega a la matriz de juego una
constante k
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67
Ejemplo 1.
„
Sea la matriz de consecuencias para el
juego (2x2):
Jugador 1
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A1
A2
Jugador 2
B1
B2
0
½
1
0
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68
Solución por programación
lineal
Como el valor maximin = 0, se
procede a resolver:
MAX Z = Y1 + Y2
S.A.
Jugador 1
A1
A2
0Y1 + 0.5Y2 <= 1
1Y1 + 0Y2 < = 1
Y1, Y2 >= 0
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Jugador 2
B1
B2
0
½
1
0
69
Solución por Winqsb:
planteamiento
Jugador 1
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A1
A2
Jugador 2
B1
B2
0
½
1
0
70
Datos importantes
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71
Estrategias óptimas
Estrategias óptimas del jugador 2
„ V* = 1/3
„ Y1* = 1/3
„ Y2* = 2/3
„ (.3, .6) Estrategias para uno de los jugadores
Para obtener las estrategias óptimas del jugador 1
resolvemos por simplex dual y se tiene:
„ X1* = 2/3
„ X2* = 1/3
„ (0.66, 0.33), véase que suman 1.
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72
EJERCICIOS DE REPASO DEL TEMA DE TEORÍA DE JUEGOS.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
M. EN C. EDUARDO BUSTOS FARÍAS
6
1