DINÁMICA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

DINÁMICA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Función de transferencia para
Forma general de la ecuación diferencial
2
d2y
dy
 2  y  Ku
2
dt
dt
G  s 
Y  s   G  s U  s 
K
2 s 2  2s  1
Simbología:
y  t  salida del sistema (como variable de desviación)
u  t  entrada del sistema (como variable de desviación)
periodo natural de oscilación del sistema


factor de amortiguamiento
K
ganancia estática (en estado estable) del sistema
frecuencia (angular) del sistema


ángulo de fase del sistema (en radianes)
Respuesta de un sistema de segundo orden a un escalón de amplitud m
U  s 
m
s
por lo que la salida será:
Y  s 
Km
s   s  2s  1
2 2
Para la separación en fracciones parciales,
las raíces de
 s  2s  1 son:
2 2
  2  1
s

Por la raíz cuadrada, dependiendo del valor
de  se tendrán raíces reales o complejas,
Variable de salida (desviación)
La transformada de Laplace de la entrada es:
1
Km
ξ = 0.3
ξ = 0.5
ξ=1
ξ=2
ξ=4
0
0
1
2
3
4
5
6
7 8 9
Tiempo
10 11 12 13 14
CASO 3
CASO 2
CASO 1
por lo que se distinguen tres casos:
 1
SOBREAMORTIGUADO
(dos raíces reales diferentes)
 1
CRÍTICAMENTE
AMORTIGUADO
(dos raíces reales iguales)
0 1
SUBAMORTIGUADO
(dos raíces complejas conjugadas)
REVISIÓN 3 – 75957.00
t 



t 2

t 2
  
y  t   Km 1  e  cosh 
senh 
 1 
  1  
2



  
 1


Tiene cierta semejanza con la respuesta de un sistema de primer orden, pero la pendiente
en el origen es cero. La respuesta es más lenta entre mayor sea el valor del factor de
amortiguamiento.
  t  t
y  t   Km 1   1   e  
   
Similar a los sistemas sobreamortiguados, pero es el que responde más rápidamente sin
que se produzcan oscilaciones.
t



1
y  t   Km 1 
e  sen  t   
2
1 


donde

 1  2
1  2
y   arctan 
 






La respuesta subamortiguada es inicialmente más rápida que la críticamente amortiguada
o la sobreamortiguada. Aunque alcanza pronto el valor final, no permanece ahí, sino que
se sobrepasa y oscila con amplitud decreciente. El comportamiento oscilatorio se vuelve
más pronunciado conforme el factor de amortiguamiento  se vuelve más pequeño.
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Variable de salida (desviación)
Análisis detallado del comportamiento de un sistema subamortiguado:
b
c
Km1
± 5%
periodo
(una oscilación completa)
a
0
0
tiempo de
1 2 3
elevación
SOBRETIRO
(overshoot)
4
5
6
7
8
tiempo de
9 10 11 12 13 14 15asentamiento
16 17 18 19 20 21 22 23
Tiempo
Es la relación b / a , donde a  Km es el valor final de la respuesta y b es la máxima
cantidad que la respuesta sobrepasa su valor final. El sobretiro depende de  .
sobretiro 
RAZÓN DE ASENTAMIENTO
(decay ratio)
Es la relación c / b , es decir, la relación que existe entre la cantidad que la respuesta
sobrepasó el valor final en dos máximos sucesivos.
razón de asentamiento 
PERIODO DE OSCILACIÓN
( T , period)
TIEMPO DE ELEVACIÓN
( tR , rise time)
  
b
 exp 

 1  2 
a


 2
c
 exp 
 1  2
b

Es el tiempo que dura una oscilación completa.
T
2
2


1  2
Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez su valor final.
Se emplea para caracterizar qué tan rápido responde un sistema de segundo orden.
tR 
TIEMPO DE SOBRETIRO
( tmax , overshoot time)
TIEMPO DE ASENTAMIENTO
(response time)
REVISIÓN 3 – 75957.00

2
   sobretiro 


    
1  2
Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar su valor máximo.
tmax 

1  2
Es el tiempo que tarda la respuesta en quedar dentro de ciertos límites arbitrarios
(por ejemplo ±5%) del valor final. No hay fórmula específica para determinarlo.
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