Determinación de un modo (11) de la ecuación de Helmholtz en un

Determinación de un modo (11) de la ecuación de Helmholtz
en un recinto elíptico.
Gallardi, Carlos M.
Area Física Aplicada - Depto. de Física - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
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ANTECEDENTES
Las autofunciones y autovalores de la ecuación de Helmholtz [ 1 ] tienen importancia por sus diversas
aplicaciones.Esta ecuación se origina al separar variables, por ejemplo, en la ecuación de hondas homogénea, y
su solución permite el análisis de problemas relacionados con fenómenos vibratorios, entre otros. El tratamiento
matemático de dicha ecuación en coordenadas elípticas conduce a las funciones de Mathieu.En años recientes
se publicaron importantes aplicaciones de estas funciones [ 2 ]-[ 3 ]-[ 4 ] y desarrollaron métodos para calcular
soluciones de la mencionada ecuación en dichas coordenadas .
En esta comunicación se realiza una sistematización de algoritmos y presenta un método para calcular, de
manera simple, un modo o solución de la citada ecuación en un recinto elíptico con condiciones de contorno y
el autovalor correspondiente, utilizando el programa Mathematica ® V.2.2 [ 5 ].
METODO DE CALCULO
Se busca una solución de la ecuación de Helmholtz
(1)
2
s (ξ , η ) = 0
(∇ 2 + k 11
)Φ11
en un recinto elíptico con condiciones de contorno, donde (ξ , η ) representan coordenadas elípticas. Más
precisamente y con las condiciones mencionadas, el método aquí desarrollado permite calcular un modo o
autofunción inmediatamente superior al fundamental [ 6 ] de la ecuación anterior que satisfaga condiciones
homogéneas en todos los puntos de un contorno elíptico.
2 indicamos el autovalor asociado al modo Φs y, como es posible demostrar [ 1 ], este último se expresa
Con k11
11
mediante un producto de dos funciones senos de Mathieu. Este trabajo desarrolla un método de cálculo [ 6 ] para
s
2 h2 / 4 ,siendo h la distancia focal de
hallar un modo Φ11(ξ , η ) = Se1 (ξ , q11 ) se1(η , q11 ) [ 1 ] ,con q11 = k11
la elipse para un dado valor de su excentricidad e , y que satisface las siguientes condiciones: debe ser
solución de la ecuación (1) en un abierto y cumplir condiciones homogéneas de Dirichlet sobre su frontera
elíptica ξ 1 ( q11 ) de manera que :
(2)
s
Φ11
(ξ1 , η ) = Se1 (ξ1 , q11 ) se1(η , q11 ) = 0.
La función se1(η , q11 ) se anula solamente para η = 0 y η = π donde se halla una línea nodal, entonces la
condición (2) se satisface siempre que Se1 (ξ1 , q11 ) = 0. Siguiendo a [ 7 ] escribimos la función seno
modificada de Mathieu de primera especie y orden uno como sigue:
(3)
Se1 (ξ , q ) =
∞
∑
(1)
B2r+1(
q ) senh [(2 r +1) ξ ]
r= 0
y la función seno de Mathieu de primera especie y orden uno
∞
∑
se1(η , q ) =
(4)
(1)
B2r+1(
q ) sen [(2 r +1) η ]
r= 0
tiene los mismos coeficientes que (2).
Teniendo en cuenta que, para una dada excentricidad e, no es un dato de entrada el valor asociado de q para
que se cumpla la condición (2) , el método que aquí se expone [ 6 ] permite establecer previamente una relación
qi -> ei para un intervalo arbitrario q1 ≤ q ≤ q2 (q1 > 0 ) y hallar posteriormente una función polinómica q
= q(e) .
Así, conocida una elipse y desde un punto de vista práctico, será posible determinar con facilidad el
correspondiente valor de q y en consecuencia , el modo y el autovalor asociado .
Puede elegirse un intervalo [ q1, q2 ] representativo de un amplio conjunto de excentricidades, o bien hallar
diferentes funciones q = q(e) para varios intervalos de e.
Cálculo de los coeficientes B(1)2r+1( q ) y de la excentricidad.
Adoptamos para los B(1)2r+1 ( q ) la condición de normalización [ 7 ] :
[1/ B1(1) ]2 = 1 +
(5 )
∞
∑
r =1
(1) 2
[ B (1)
2r +1 / B1 ] = 1 +
∞
∑
r =1
(R 2 r+1 )2.
Utilizando algoritmos con fracciones continuas convergentes [ 8 ] se pueden calcular los números R2r+1.
Escribimos R3 = G3 = B(1)3 / B(1)1 = 1+ (b1-1) /q = 1 / (V3 - G5 ) con V3= (bj - 9)/q . Además definimos:
Gm = 1 / ( Vm - Gm + 2 ) , ( m = 5,7,9,..) que genera una fracción continua para G3 ; Vm = (b j - m2 ) / q ,
(
j=1,2,3,..) y G 2p+1 = B(1) 2p+1 / B(1) 2p-1 , ( p =1,2,3,...) donde b j (q) son los números característicos de
Mathieu para las funciones Se1( q1j ) y se1( q1j ). Para el caso que estamos tratando, j = 1.
En estas condiciones, la raíz de menor valor b1 de la ecuación G3 -
1
1
1
....
V3 - V5 - V7 -
= 0 , permite
calcular R3 para un dado valor de q . Las otras cantidades R se obtienen de las fracciones generadas por
r
Gm (b1) pues R2 r+1 = ∏ G2 p+1 . Llevando estos valores a (5 ) puede calcularse B(1)1 y en consecuencia B(1)2
p=1
(1)
= R2 r+1 . B 1 , lo que permite construir las funciones (3) y (4). Igualando a cero la función (3) para una
suma finita hasta el coeficiente B(1)2 r+1, se halla la menor raíz ξ = ξ 1 . Finalmente, de las coordenadas
elípticas resulta que e = 1/ Cosh ξ 1 ; excentricidad en correspondencia con el valor originalmente adoptado
para q.
r+1
Cálculo de la función q = q(e).
Se debe eligir un intervalo de n valores qi que permitan calcular, mediante el método expuesto anteriomente, las
excentricidades ei correspondientes. Con los n pares de valores o, en situaciones prácticas, una cantidad
menor, se construye una función polinómica q = q(e) que pase por los puntos ( ei, qi ).
DISCUSION DE RESULTADOS
La Tabla I muestra un amplio intervalo de valores qi de entrada y las excentricidades correspondientes.Esta
correspondencia, al relacionar solamente los qi con las ei, tiene un carácter general e independiente de los
valores que se adopten posteriormente para los ejes de las elipses.
El número de decimales exactos del autovalor k211 está determinado por la exactitud con la que se expresa la
distancia focal h en la fórmula teórica indicada anteriormente, y no por el método aquí espuesto, pues siempre
es posible hallar q11 con una exactitud mucho mayor que la correspondiente al dato de la distancia h, con sólo
considerar una conveniente extensión de las fracciones continuas y aumentar consecuentemente el número de
coeficientes B(1)2 r+1 .
En la Tabla, las excentricidades calculadas , están expresadas con seis decimales exactos habiéndose
considerado hasta r = 6 para el cálculo de los coeficientes B(1)2 r+1 .
Para una elipse con e = 0,800 , el polinomio cuadrático en el intervalo [ 0.792714 , 0.804249] resultó :
q( e ) = 86,6992 - 238,324 e + 170,949 e2 y en consecuencia q (0,8) = q11 = 5,44734.
Utilizando este último valor, las fracciones continuas Gm (b1) fueron calculadas hasta m = 19 y por consiguiente
ξ 1 (e) = 0,693145 obteniéndose para la condición de contorno la cantidad: 1,5x10-16 que, en valor absoluto, es
la máxima diferencia con la condición (2) y proviene de los valores que para q11 tienen las funciones Se1 y
se1 , esta última para η = π /2 y η =3 π /2 donde asume sus valores máximos y mínimos ,respectivamente.
s
El modo calculado se escribe finalmente: Φ11(ξ , η ) = Se1 (ξ , 5.44734 ) se1(η , 5.44734 ) y el autovalor
asociado k211 = 4 q11/ h2 = 21,78936 /h2 .
Para una elipse con e = 0,8 y un semieje mayor de 2 unidades, resulta un semieje menor de 1,2 unidades. Con
s en un plano que contiene al eje menor de la elipse
estos semiejes , la Fig. 1 muestra los valores del modo Φ11
y es perpendicular al plano de la misma.
A lo largo del eje mayor, existe una línea nodal puesto que se1(0 , q11) = se1( π , q11 ) = 0.
Para una elipse con e = 0,2 y el mismo valor para el semieje menor de 1,2 unidades, se obtuvo la autofunción:
s
Φ11
(ξ , η ) = Se1 (ξ , 0.151017)se1(η , 0.151017) y un k211 = 0,604068 /h2.
El máximo error para la condición (2) resultó ser, en valor absoluto, 9,04x10-16.
La Fig.2 muestra los valores de esta última autofunción en un plano que contiene al eje menor de la elipse y es
perpendicular al plano de la misma.
Las Figs 1 y 2 indican que la amplitud del modo para una alta excentricidad, y salvo una constante
multiplicativa, es muy pequeño comparado con el correspondiente a una baja excentricidad.
Tabla I. Correspondencia entre valores de q y e .
q
e
q
e
0.1
0.163378
2.6
0.666439
0.2
0.228730
3.6
0.729287
0.4
0.317089
4.6
0.772658
0.8
0.431389
5.2
0.792714
1.2
0.509075
5.4
0.798645
1.6
0.567326
5.6
0.804249
2.0
0.613164
5.8
0.809550
s sobre un plano
Fig. 1 Valores del modo Φ11
perpendicular a la elipse y que contiene al eje
menor, para e = 0,8.
s sobre un plano
Fig. 2. Valores del modo Φ11
perpendicular a la elipse y que contiene al eje
menor, para e = 0,2.
APLICACION
Los resultados anteriores permiten calcular la frecuencia de corte fc [ 9 ] y la longitud de onda de corte λc para
una onda electromagnética que se propaga en el modo TM11 en una guía de ondas cilíndrica de sección
transversal elíptica.
En una guía metálica con aire como dieléctrico en su interior, la componente Ez,11 (ξ , η ) del campo eléctrico
satisface una ecuación del tipo (1) y las condiciones (2), donde z representa la dirección longitudinal de la guía.
Para una elipse con e = 0,8 y 1,2 cm de semieje menor resulta h = 1,6 cm, entonces : fc = c k11 / 2 π = 3.10
10
( q11) 1/2 /h π = 1,39.1010 s-1 y λc = 2 π / k11 = π h/ ( q11)1/2 = 2,1 cm.
CONCLUSIONES
El método aquí expuesto para el cálculo de q11 permite determinar, de manera simple, el modo
2
autovalor k
11
. El modo
c
Φ11
expresado mediante funciones cosenos de Mathieu y modos
2
superiores con sus autovalores asociados k
utilizados aquí.
nj
Φn j
s
Φ11
y el
de órdenes
2
= 4 qn j / h , pueden hallarse mediante algoritmos similares a los
REFERENCIAS
[ 1 ] Morse, P.M., and Feshbach,H., Methods of Theoretical Phisics. N.Y. McGraw-Hill.1970.
[ 2 ] Chen,G., Morris,P.J., and Zhou,J., Visualization of Special Eigenmode Shapes of a Vibrating Elliptical
Membrane. SIAM Review. 36(3).1994.
[ 3 ] Allievi,A.,and Soudack,A., Ship Stability via the Mathieu equation.Int.J.Control. 51.1990.
[ 4 ] Hettich,R.,Haarem,E.,et al,Acurate numerical approximations of eigenfrequencies and eigenfunctions
of elliptic membranes.ZAMM, 67.1987.
[ 5 ] Adamchik,V.,et al,Guide to Standard Mathematica ® Packages.V.2.2.T. Report.W. Research Inc. 1993
[ 6 ] Gallardi,C.M., Método para calcular el modo fundamental de la ecuación de Helmholtz en un recinto
elíptico. Comunicaciones Científicas y Tecnológicas. Tomo IV. UNNE.1998.
[ 7 ] Angot ,A., Moderna Matemática para Ingenieros.Ed. Nigar. Buenos Aires. 1964.
[ 8 ] Abramowitz, M., and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions. Dover Publ. Inc. N. Y. 1972.
[ 9 ] Jackson,J.D., Electrodinámica Clásica.Alhambra.S.A.Madrid.1966.