Racionalización de radicales

Cuando tengamos raíces en los denominadores, los tenemos que
operar para que dichas raíces desaparezcan del denominador.
Esta operación se conoce como racionalización de los radicales.
Ejemplo 1. Racionalizar la siguiente expresión.
4
3√3
Para poder quitar la raíz del denominador tenemos que
multiplicar tanto el denominador como el numerador por √3.
Logicamente para que la expresión no cambie tenemos que
multiplicar por lo mismo tanto en el numerador que por el
denominador.
4
∗
√3
3√3 √3
=
4√3 4√3
=
3∗3
9
Ejemplo 2. Racionalizar la siguiente expresión.
2
√75
Antes de racionalizar tenemos que extraer todos los factores que
podamos fuera de la raíz.
2
√75
=
2
√5 ∗ 3
=
2
5√3
Para poder quitar la raíz del denominador, de nuevo tenemos
que multiplicar de nuevo por √3 tanto en el numerador, como
en el denominador.
2
∗
√3
5√3 √3
=
2√3 2√3
=
5∗3
15
Ejemplo 3 Racionalizar la siguiente expresión.
1
√3
Nota. Un fallo importante ( y a la vez bastante común) a la hora
de racionalizar estas raíces que no son cuadradas es pensar que
tenemos que multiplicar por √3. Veamos porque esto no es
correcto.
1
√3
∗
√3
√3
=
√3
√3
Como se puede ver esta racionalización no es correcta, porque al
racionalizar no hemos conseguido quitar la raíz del denominador.
Para realizarla correctamente tendremos que conseguir que al
multiplicar nos quede √3 para podamos simplificar la potencia
con la raíz.
Por lo tanto tendremos que multiplicar por √3
1
√3
∗
√3
√3
=
√3
√3
=
√3
3
Ejemplo 4. Racionalizar la siguiente expresión.
2
√8
Antes de empezar a racionalizar la expresión tenemos que
intentar simplificarla al máximo.
2
√8
=
2
√2
Por lo tanto para racionalizarla tendremos que multiplicar por
√2 para que nos termine quedando √2 y podamos simplificar
la raíz quinta con la potencia quinta.
2
√2
∗
√2
=
√2
2 √2
=
√2
2 √2
=
2
2
Ejemplo 5 Racionalizar la siguiente expresión.
2 √2
√2
Para que se nos vaya la raíz del denominador en este caso
tenemos que multiplicar por √2
2 √2
√2
∗
√2
√2
=
2 √2
√2
=
2 √2
=
2
2
Ejemplo 6. Racionalizar la siguiente expresión.
1
√2 + 1
Cuando tengamos una expresión con dos sumandos en el
denominador, tendremos que multiplicar por su conjugado, es
decir por la misma expresión pero cambiada de signo. En este
caso por √2 − 1
1
∗
√2 − 1
√2 + 1 √2 − 1
Multiplicamos por el conjugado para que en el denominador nos
quede la tercera identidad notable +
− =
−
1
∗
√2 − 1
√2 + 1 √2 − 1
=
√2 − 1
= √2 − 1
2−1
Ejemplo 7. Racionalizar la siguiente expresión.
√3 + 2
√3 − 2
De nuevo tenemos que multiplicar por el conjugado.
√3 + 2 √3 + 2
∗
√3 − 2 √3 + 2
De nuevo en el denominador tenemos la tercera identidad
notable.
Cuando estamos racionalizando estas expresiones con dos
sumandos en el denominador, al racionalizar, SIEMPRE en el
denominador tendremos que operar con la tercera identidad
notable.
En el numerador tenemos otra identidad notable, pero en este
=
+ + 2 . Ojo que esto ha
caso es la primera
+
sido casualidad, y no tiene porque ocurrir siempre.
√3 + 2 √3 + 2 3 + 4 + 2 ∗ 2 ∗ √3 7 + 4√3
∗
=
=
= −7 − 4√3
3−4
−1
√3 − 2 √3 + 2
Ejemplo 8. Racionalizar la siguiente expresión.
3
√5 − √3
En este caso el conjugado del denominador es √5 + √3
3
∗
√5 + √3
√5 − √3 √5 + √3
=
3√5 + 3√3 3√5 + 3√3
=
5−3
2
Ejemplo 9. Racionalizar la siguiente expresión.
√2 + √3
1 + √3
El conjugado en este caso es 1 − √3
√2 + √3 1 − √3 √2 + √6 + √3 − 3 √2 + √6 + √3 − 3
∗
=
=
1−3
2
1 + √3 1 − √3
Ojo que √2 + √6 + √3 no se puede operar entre si y hay que
dejarlo como esta.
Ejemplo 10. Racionalizar la siguiente expresión.
√2 − 4√3
3√2 − 2√3
En este ejemplo tenemos que multiplicar por 3√2 + 2√3
√2 − 4√3
∗
3√2 + 2√3
=
3 ∗ 2 − 12√6 + 2√6 − 8 ∗ 3
9∗2−4∗3
3√2 − 2√3 3√2 + 2√3
−18 − 10√6 −9 − 5√6
=
=
6
3